2022新高考總復習《數(shù)學》(人教)第五章　平面向量、復數(shù)課時規(guī)范練28　平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用

1、 課時規(guī)范練28平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用基礎鞏固組1.(2020山東鄄城一中高三月考)在梯形ABCD中,ABDC,ADAB,AD=2,則BCAD=() A.-1B.1C.2D.22.(2019四川廣元高三期末)在ABC中,若(CA+CB)BA=0,則ABC是()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.鈍角三角形3.(2020黑龍江哈師大附中高三調(diào)研)已知向量a=(-2,m),b=(1,-2),c=(m+1,5),若ab,則a與b+c的夾角為()A.4B.3C.23D.344.(2020河南南陽中學高三月考)已知向量a=(1,2),A(6,4),B(4,3),|b|為向量AB在向量a

2、上的投影,則|b|=()A.455B.1C.5D.45.在ABC中,若AB=(1,2),AC=(-x,2x)(x0),則當BC最小時,ACB=()A.90B.60C.45D.306.(多選)(2020山東高考預測卷)已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m0),且向量b滿足b(a+b)=3,則()A.|b|=2B.(2a+b)(a+2b)C.向量2a-b與a-2b的夾角為4D.向量a在向量b上的投影為557.(多選)(2020海南中學高三期中)若ABC內(nèi)接于以O為圓心,1為半徑的圓,且3OA+4OB+5OC=0,則下列結論正確的是()A.BOC=90B.AOB=90C.OBCA=-45D.O

3、CAB=-158.在直角三角形ABC中,C=2,AC=4,取點D,E,使BD=3DA,AB=4BE,那么CDCA+CECA=.9.(2020浙江舟山高三期中)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,|a-2b|=13,則a與b的夾角為;a在b上的投影是.10.(2020河南中原名校質(zhì)檢)在ABC中,ABAC,M是BC的中點.(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角的余弦值;(2)若O是線段AM上任意一點,且|AB|=|AC|=2,求OAOB+OCOA的最小值.11.(2020山東齊魯備考聯(lián)盟校階段檢測)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin )

4、,c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值;(2)設=4,且a(b+c),求cos 的值.綜合提升組12.(多選)(2020湖北孝感一中考前診測)已知e1,e2是兩個單位向量,R,|e1+e2|的最小值為32,則下列結論正確的是()A.e1,e2的夾角是3B.e1,e2的夾角是3或23C.|e1+e2|=1或3D.|e1+e2|=1或3213.(多選)(2020山東濟南歷城第二中學高三開學考試)點O在ABC所在的平面內(nèi),則以下說法正確的有()A.若OA+OB+OC=0,則O為ABC的重心B.若OAAC|AC|-AB|AB|=OBBC|BC|-BA|BA|=0,則O為ABC的垂心C.若(

5、OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,則O為ABC的外心D.若OAOB=OBOC=OCOA,則O為ABC的內(nèi)心14.已知直線y=x+m和圓x2+y2=1交于A,B兩點,O為坐標原點,若AOAB=32,則實數(shù)m=()A.1B.32C.22D.1215.(2020上海復興高級中學高三調(diào)研)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,AH為邊BC上的高,有以下結論:ACAH|AH|=csin B;BC(AC-AB)=b2+c2-2bccos A;AHAC=AH2;AH(AB+BC)=AHAB.其中結論正確的序號是.16.(2020甘肅武威第六中學高三段考)已知ABC為等腰直角三角形,OA=1

6、,OC為斜邊上的高.若P為線段OC的中點,則APOP=;若P為線段OC上的動點,則APOP的取值范圍為.創(chuàng)新應用組17.(2020陜西高三模擬)定義空間兩個向量的一種運算ab=|a|b|sin,則關于空間向量上述運算的以下結論中:ab=ba;(ab)=(a)b;(a+b)c=(ac)+(bc);若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=|x1y2-x2y1|.其中恒成立的有()A.B.C.D.18.(2020山東濟南一中二模)已知向量a=(cos x,-1),b=3sin x,-12,函數(shù)f(x)=(a+b)a-2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在ABC中,內(nèi)角

7、A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點A,12,b,a,c成等差數(shù)列,且ABAC=9,求a的值.參考答案課時規(guī)范練28平面向量的數(shù)量積與平面向量的應用1.D由題可知,因為四邊形ABCD為直角梯形,所以BC在AD上的投影為2,由數(shù)量積的幾何意義可知BCAD=(2)2=2,故選D.2.C設D為AB的中點,則CA+CB=2CD,2CDBA=0,即CDBA=0,CDAB,直線CD是線段AB的中垂線,ABC為等腰三角形.故選C.3.D因為ab,a=(-2,m),b=(1,-2),所以-21+(-2)m=0,解得m=-1.所以a=(-2,-1),c=(0,5),所以b+c=(1,3

8、).設a與b+c的夾角為,則cos =a(b+c)|a|b+c|=-21+(-1)3(-2)2+(-1)212+32=-552=-22,因為0,所以=34,故選D.4.AAB=(-2,-1),由題意知|b|=ABa|a|=-21+(-1)25=455.故選A.5.ABC=AC-AB=(-x-1,2x-2),|BC|=(-x-1)2+(2x-2)2=5x2-6x+5.令y=5x2-6x+5,x0,當x=35時,ymin=165,此時BC最小,CA=35,-65,CB=85,45,CACB=3585-6545=0,CACB,即ACB=90,故選A.6.AC將a=(1,2),b=(m,1)代入b(a

9、+b)=3,得(m,1)(1+m,3)=3,得m2+m=0,解得m=-1或m=0(舍去),所以b=(-1,1),所以|b|=(-1)2+12=2,故A正確;因為2a+b=(1,5),a+2b=(-1,4),14-(-1)5=90,所以2a+b與a+2b不平行,故B錯誤;設向量2a-b與a-2b的夾角為,因為2a-b=(3,3),a-2b=(3,0),所以cos =(2a-b)(a-2b)|2a-b|a-2b|=22,所以=4,故C正確;向量a在向量b上的投影為ab|b|=12=22,故D錯誤.故選AC.7.BD由于ABC內(nèi)接于以O為圓心,1為半徑的圓,且3OA+4OB+5OC=0,所以3OA+

10、4OB=-5OC,兩邊平方并化簡得25+24OAOB=25,解得OAOB=0;3OA+5OC=-4OB,兩邊平方并化簡得34+30OAOC=16,解得OAOC=-35;4OB+5OC=-3OA,兩邊平方并化簡得41+40OBOC=9,解得OBOC=-45.所以BOC90,故A錯誤;AOB=90,故B正確;OBCA=OB(OA-OC)=OBOA-OBOC=45,故C錯誤;OCAB=OC(OB-OA)=OCOB-OCOA=-45-35=-15,故D正確.故選BD.8.8BD=3DA,CD-CB=3(CA-CD),化簡得CD=34CA+14CB.同理可得CE=-14CA+54CB.C=2,CACB=

11、0,CDCA+CECA=CA(CD+CE)=CA12CA+32CB=12CA2+32CACB=12|CA|2=8.9.3422設a與b的夾角為,0,則|a-2b|=(a-2b)2=|a|2-2|a|2b|cos+|2b|2=13,將|a|=1,|b|=2代入上式,化簡可得1-42cos+8=13,解得cos =-22.0,=34,即a與b的夾角為34.a在b上的投影的絕對值|a|cos |=22.10.解 (1)設向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角為,則cos =(AB+2AC)(2AB+AC)|AB+2AC|2AB+AC|,令|AB|=|AC|=a,則cos =2a2+2a25a5a=

12、45.(2)|AB|=|AC|=2,|AM|=1.設|OA|=x(0 x1),則|OM|=1-x.而OB+OC=2OM,OAOB+OCOA=OA(OB+OC)=2OAOM=2|OA|OM|cos =2x2-2x=2x-122-12.當x=12時,OAOB+OCOA取得最小值,最小值是-12.11.解 (1)b+c=(cos -1,sin ),則|b+c|2=(cos -1)2+sin2=2(1-cos ).因為-1cos 1,所以0|b+c|24,即0|b+c|2.當cos =-1時,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值為2.(2)若=4,則a=22,22.又由b=(cos ,sin

13、),c=(-1,0)得a(b+c)=22,22(cos -1,sin )=22cos +22sin -22.因為a(b+c),所以a(b+c)=0,即cos +sin =1,所以sin =1-cos ,平方后化簡得cos (cos -1)=0,解得cos =0或cos =1.經(jīng)檢驗cos =0或cos =1即為所求.12.BC由題可知,(e1+e2)2=2+2e1e2+1=(+e1e2)2+1-(e1e2)21-(e1e2)2.e1,e2是兩個單位向量,且|e1+e2|的最小值為32,(e1+e2)2的最小值為34,則1-(e1e2)2=34,解得cos =12,e1與e2的夾角為3或23,|

14、e1+e2|2=1+2e1e2+1=2212=1或3,|e1+e2|=1或3.故選BC.13.AC對于A,設D為BC的中點,由于OA=-(OB+OC)=-2OD,所以O為BC邊上中線的三等分點(靠近點D),所以O為ABC的重心,故A正確;對于B,向量AC|AC|,AB|AB|分別表示與AC,AB方向相同的單位向量,設為AC和AB,則它們的差是向量BC,則當OAAC|AC|-AB|AB|=0,即OABC時,點O在BAC的平分線上,同理由OBBC|BC|-BA|BA|=0,知點O在ABC的平分線上,故O為ABC的內(nèi)心,故B錯誤;對于C,OA+OB是以OA,OB為鄰邊的平行四邊形的一條對角線,而AB

15、是該平行四邊形的另一條對角線,AB(OA+OB)=0表示這個平行四邊形是菱形,即OA=OB,同理有OB=OC,于是O為ABC的外心,故C正確;對于D,由OAOB=OBOC得OAOB-OBOC=0,OB(OA-OC)=0,即OBCA=0,OBCA.同理可證OACB,OCAB.OBCA,OACB,OCAB,即O是ABC的垂心,故D錯誤.故選AC.14.C聯(lián)立y=x+m,x2+y2=1,消y可得2x2+2mx+m2-1=0.由題意知=-2m2+80,解得-2m2.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-m,x1x2=m2-12,y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x

16、2)+m2,AO=(-x1,-y1),AB=(x2-x1,y2-y1).AOAB=32,AOAB=x12-x1x2+y12-y1y2=1-m2-12-m2-12+m2-m2=2-m2=32,解得m=22.故選C.15.AH為邊BC上的高,ABAH=ACAH=|AH|2,ACAH|AH|=|AH|2|AH|=|AH|=csin B,正確;BC(AC-AB)=BCBC=a2=b2+c2-2bccos A,正確;AHAC=AH2,正確;AH(AB+BC)=AHAC=|AH|2=AHAB,正確.16.140,1ABC為等腰直角三角形,CO為斜邊上的高,則CO為邊AB上的中線,所以AC=BC=2,AO=

17、BO=CO=1.當P為線段OC的中點時,在ACO中,AP為邊CO上的中線,則AP=12(AC+AO),所以APOP=12(AC+AO)OP=12(ACOP+AOOP)=12|AC|OP|cos 45+0=1221222=14.當P為線段OC上的動點時,設OP=OC,01,APOP=(AC+CP)OP=ACOP+CPOP=OCAC-(1-)OC(OC)=1222-(1-)=-+2=20,1,所以APOP的取值范圍為0,1.17.A由定義可知ab=ba,故正確;(ab)=|a|b|sin,(a)b=|a|b|sin=|a|b|sin,當0時,(ab)=(a)b不成立,故錯誤;(a+b)c=|a+b|c|sin,ac+bc=|a|c|sin+|b|c|sin,顯然不恒成立,例如取a,b,c為兩兩垂直的單位向量,易得(a+b)c=2,(ac)+(bc)=2,故錯誤;由ab=|a|b|sin,ab=|a|b|cos,可知(ab)2+(ab)2=|a|2|b|2,則(ab)2=|a|2|b|2-(ab)2=(x12+y12)(x22+y22)-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2,故ab=|x1y2-x2y1|,故正確.18.解 (1)f(x)=(a+b)a-2=|a|2+ab-2=cos2x+1+3sin xcos x+12-2=