隨機(jī)過(guò)程理論：05 功率譜密度和白噪聲過(guò)程

1、青春 塞繆爾厄爾曼青春不是年華，而是心境；青春不是桃面、丹唇、柔膝，而是深沉的意志、恢宏的想像、熾熱的感情；青春是生命的深泉在涌流。青春氣貫長(zhǎng)虹，勇銳蓋過(guò)怯弱，進(jìn)取壓倒茍安。如此銳氣，弱冠后生有之，耳順之年亦多見(jiàn)。年歲有加，并非垂老；理想丟棄，方墮暮年。歲月悠悠，衰微只及肌膚；熱忱拋卻，頹唐必致靈魂。憂(yōu)煩、惶恐、喪失自信，定使心靈扭曲，意氣如灰。無(wú)論年屆花甲，抑或二八芳齡，心中皆有生命之歡樂(lè)，奇跡之誘惑，孩童般天真久盛不衰。人的心靈應(yīng)如浩淼翰海，只有不斷接納美好、希望、歡樂(lè)、勇氣和力量的百川，才能青春永駐、風(fēng)華長(zhǎng)存。一旦心?？萁撸J氣便被冰雪覆蓋，玩世不恭、自暴自棄油然而生，即便年方二十，實(shí)已

2、垂垂老矣；然則只要虛懷若谷，讓喜悅、達(dá)觀(guān)、仁愛(ài)充盈其間，你就有望在八十高齡告別塵寰時(shí)仍覺(jué)年輕。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度 白噪聲隨機(jī)過(guò)程主講人：張有光電 話(huà)：82314978辦公室：新主樓F806第五講：主要內(nèi)容一、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度二、譜密度與自相關(guān)函數(shù)三、平穩(wěn)過(guò)程的互譜密度四、白噪聲過(guò)程一、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度 能量型信號(hào) 信號(hào)的頻譜 信號(hào)的能譜 功率型信號(hào) 平均功率的譜表示和功率譜密度 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度1、能量型信號(hào)能量型信號(hào) 其中，s(t)為信號(hào)，W為總能量。2、信號(hào)的頻譜在的情況下，能量型信號(hào)s(t)的傅里葉變換存在，即 稱(chēng)F()為信號(hào)s(t)的頻譜。？3、信號(hào)的能譜密度能量型信

3、號(hào)的能譜E()為由巴塞伐爾等式，可得到能量守恒！信號(hào)的總能量信號(hào)的能譜密度4、功率型信號(hào)能量無(wú)限，平均功率有限的信號(hào)稱(chēng)為功率型信號(hào), 即Ps為信號(hào)的平均功率。5、平均功率的譜表示功率型信號(hào)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件為了能夠利用傅里葉變換給出平均功率的譜表示式，構(gòu)造截尾函數(shù)：平均功率的譜表示sT(t)能夠滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件， sT(t)的頻域結(jié)構(gòu)sT(t)的平均功率：平均功率的譜表示由巴塞伐爾等式，可得到兩邊同除以2T，并由截尾函數(shù)的定義，得到平均功率的譜表示令T趨于無(wú)窮，功率型信號(hào)s(t)在 (-, )上的平均功率可表示為功率型信號(hào)的平均功率譜密度功率譜密度功率型信號(hào)的平均功率譜密度，簡(jiǎn)稱(chēng)功率譜密度，定

4、義為：6、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)是功率型的為平穩(wěn)過(guò)程X(t)的平均功率。定義6、平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度由于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均方值是常數(shù)平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度定義 為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度。這樣，Px又可以寫(xiě)成平均功率譜的表達(dá)式平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度 為雙邊功率譜密度，但在實(shí)際應(yīng)用中，負(fù)頻率不存在，故引入 單邊譜密度二、譜密度與自相關(guān)函數(shù)1、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)2、功率譜密度的兩種定義3、功率譜密度的性質(zhì)1、譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度是它的自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換：由于是實(shí)函數(shù)譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系由傅里葉逆變換公式，有上述兩式統(tǒng)稱(chēng)為 維納-辛欽公式

5、返回注釋?zhuān)簩?duì)比“信號(hào)與系統(tǒng)”中維納辛欽公式2、功率譜密度兩種定義的等價(jià)條件對(duì)于第一種定義，將其展開(kāi)功率譜密度兩種定義的等價(jià)條件通過(guò)變量置換，最后得到：只要?jiǎng)t上式中第二項(xiàng)為零，故此時(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積的情況下，維納-辛欽公式成立。此時(shí)功率譜密度的兩種定義等價(jià)。功率譜密度兩種定義的等價(jià)條件功率譜的意義3、功率譜密度的性質(zhì)若過(guò)程X(t)是實(shí)平穩(wěn)的，則自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，因此功率譜密度也是實(shí)偶函數(shù)，即證明：功率譜密度的性質(zhì)由于R()和S()都是偶數(shù)，于是維納-辛欽公式還可以寫(xiě)成：例 2.4-1設(shè)隨機(jī)相位余波 的功率譜密度，其 是在區(qū)間 內(nèi)均勻分布.解：例 2.4-2隨機(jī)電報(bào)信號(hào)自相關(guān)函

6、數(shù)求功率譜密度例 2.4-3已知功率譜留數(shù)和應(yīng)用留數(shù)定理例 2.4-4若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜三、互譜密度1、互譜密度的定義2、互譜密度的維納-辛欽公式3、互譜密度的性質(zhì)1、互譜密度的定義定義：設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則定義互譜密度為2、互譜密度的維納-辛欽公式隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)的互譜密度是它們的互相關(guān)函數(shù)RXY()的傅里葉變換：2、互譜密度的維納-辛欽公式當(dāng)若X(t)是一個(gè)二端電壓、Y(t)是流經(jīng)該器件的電流，則上式左邊就是消耗的功率。兩個(gè)正交隨機(jī)過(guò)程性質(zhì)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)正交此時(shí)有：隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)正交3、互譜密度的性質(zhì)1）2）3）奇函數(shù)偶函數(shù)先證明

7、：令：互譜密度函數(shù)不是實(shí)的、正的偶函數(shù)從定義和施瓦茨不等式3)四、白噪聲過(guò)程1、白噪聲過(guò)程的定義2、白噪聲過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)3、白噪聲的相關(guān)系數(shù)1、白噪聲過(guò)程的定義若一個(gè)均值為零的平穩(wěn)過(guò)程 具有恒定功率譜密度則稱(chēng)W(t)為白噪聲過(guò)程,其中N0表示單邊功率譜密度相當(dāng)于信號(hào)與系統(tǒng)中的脈沖函數(shù)2、白噪聲過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)維納-辛欽公式，白噪聲過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)：2、白噪聲過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度3、白噪聲過(guò)程的相關(guān)系數(shù)白噪聲的相關(guān)系數(shù)：可見(jiàn)白噪聲在任意兩個(gè)相鄰時(shí)刻的取值都不相關(guān)。換句話(huà)說(shuō)，白噪聲隨時(shí)間的起伏變化較快，頻域來(lái)說(shuō)頻譜很寬。注釋?zhuān)喊自肼暺骄β拾自肼暿且环N理想化的數(shù)學(xué)模型，在物理上不可實(shí)現(xiàn)，因?yàn)榘凑瞻自肼暤亩x它的平均功率是無(wú)限大。 由于白噪聲數(shù)學(xué)表述上的簡(jiǎn)潔性，是很多物理現(xiàn)象的一種近似。如電子管中的散彈噪聲，通信傳播中的信道干擾。顯然白噪聲是各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，它可以看成是大數(shù)定律中隨機(jī)序列推廣到連續(xù)時(shí)間的情形。4、非白噪聲非白噪聲成為有色噪聲，或相關(guān)噪聲，其功率譜密度：其功率譜密度不再是均勻的，而是頻率