固體中學(xué)物理學(xué)導(dǎo)論

1、固體物理學(xué)導(dǎo)論第一章晶體結(jié)構(gòu)1,1原子的周期性陣列一個晶體的所有各面的方向指數(shù)都是精確的整數(shù)。衍射實(shí)驗(yàn)決定性的證明了晶體是由原子或原子團(tuán)的周期性陣列組成的。在理想情況下，晶體是由全同的原子團(tuán)在空間無限重復(fù)排列而構(gòu)成的，這樣 的原子團(tuán)被稱為基元。在數(shù)學(xué)上這些基元可以抽象為幾何點(diǎn)，而這些點(diǎn)的集合被 稱為晶格。原胞是體積最小的晶胞，初基基元是包含原子數(shù)目最少的基元。1,2晶格的基本類型晶格可以通過晶格平移或其它各種對稱操作與其自身重合。典型的對稱操作 是圍繞一個通過格點(diǎn)的晶軸進(jìn)行轉(zhuǎn)動。對于轉(zhuǎn)動角度為甌，匝，頃回，四ZI 和回孤度或者是這些角度的整數(shù)倍，總可以找到一些會與自身重合的晶格， 與這些角度相

2、對應(yīng)的轉(zhuǎn)動軸分別被稱為一重、二重、三重、四重和六重軸，通常 用符號1、2、3、4和6分別表示這些轉(zhuǎn)動軸。晶格平移矢量具有任意性，由此給出的一般性晶格通常被稱為斜方晶格。二維晶格的分類：有五種，即一種斜方晶格和四種特殊晶格。布拉維晶格 （Bravais lattice）是對某種具體晶格類型的統(tǒng)稱，于是有五種二維布拉維晶格。三維晶格的分類：有14種，即三斜晶格和13種特殊晶格。為方便起見，通 常按照七種慣用晶胞將這14種晶格劃分為7種晶系，即三斜（1）、單斜（2）、 正交（4）、四角（2）、立方（3）、三角（1）和六角晶系（1）。立方晶系包括簡單立方（sc），體心立方（bcc）和面心立方（fcc）

3、三種晶格。1,3 晶面指數(shù)系統(tǒng)一個晶面的取向可以由這個晶面上的任意三個不共線的點(diǎn)確定。晶體中某一方向的指數(shù)是指這樣一組最小整數(shù)，這組最小整數(shù)間的比率等于 該方向的一個矢量在軸上的諸分量的比率。1,4簡單晶體結(jié)構(gòu)氯化鈉型結(jié)構(gòu)：面心立方?；梢粋€鈉離子和一個氯離子組成，每個原子 有六個異類原子作為最近鄰。每一個單位立方體中有4個氯化鈉基元。氯化銫型結(jié)構(gòu)：簡單立方，基元由一個銫離子和一個氯離子組成，每個原子 有八個異類原子作為最近鄰。每個原胞有1個分子。六角密堆積型結(jié)構(gòu)（hcp）:與面心立方結(jié)構(gòu)的總體積被球占據(jù)的體積比率一 樣，都為0.74。每個球與其它6個球相接觸。金剛石型結(jié)構(gòu)：面心立方，慣用單

4、位立方體中包含8個原子，每個原子有4 個最近鄰和12個次近鄰。立方硫化鋅結(jié)構(gòu)：面心立方，慣用晶胞為立方體，含4個硫化鋅分子，圍繞 每個原子有4個等間距的異類原子，排列在一個正四面體的頂角上。1.5原子結(jié)構(gòu)的直接成像借助透射電子顯微技術(shù)，可以直接得到晶體的結(jié)構(gòu)圖像。使用掃描隧道顯微 鏡技術(shù)（STM）可以得到最為精美的結(jié)構(gòu)圖像，因?yàn)榭梢园l(fā)揮量子隧道效應(yīng)對金 屬探針與晶體表面的間距異常敏感的優(yōu)勢。1,6非理想晶體結(jié)構(gòu)無規(guī)堆垛：密排面的堆垛序列是無規(guī)律的。多型性的特征表現(xiàn)在沿堆垛軸有一個長重復(fù)單元的堆垛序列。第二章晶體衍射和倒格子2,1晶體衍射衍射依賴于晶體結(jié)構(gòu)和入射粒子的波長。布拉格定律：當(dāng)行程差是

5、波長國的整數(shù)（n）倍時(shí)，來自相繼平面的輻射就 發(fā)生相長干涉，所以有Pdsin8 =回。定律成立的條件是波長，d為平行 晶面的間距?！咀ⅰ肯嚅L干涉是指在產(chǎn)生激光的光學(xué)共振腔中，由于滿足駐波條件，使得在出口處 原光與反射光相互疊加增強(qiáng)的現(xiàn)象2,2散射波振幅倒格子：倒易空間晶格每個晶體結(jié)構(gòu)都將有兩套晶格與之相聯(lián)系：一套是正晶格（或稱正格子）， 另一套是倒晶格（亦稱倒格子）。定理：一組倒格矢決定了可能存在的X射線反射。衍射條件：hk = GRG云勞厄條件: 土 = 2六巧； eg & = 2兀宜蘭;a；） ,?兀以3倒格于的初基平移矢量為：b=2 冗電 X ； bi =2na Xaj -i *2 X

6、a3* a2 X flaai - az X g其中Gl,也，史是正格子的初基平移矢量，倒格矢的表達(dá)式!其中咨，理取整數(shù)或零，2,3布里淵區(qū)布里淵區(qū)定義為倒格子空間中的維格納-賽茨原胞，布里淵區(qū)包括了所有能 在晶體上發(fā)生布拉格反射的波的波矢。只有波長k自原點(diǎn)出發(fā)而終止于布里淵區(qū) 表面的那些波，才能被晶體衍射。倒格子的中央晶胞稱為第一布里淵區(qū)。作由原點(diǎn)出發(fā)的諸倒格矢的垂直平分 面，由這些垂直平分面所圍成的完全封閉的最小體積就是第一布里淵區(qū)。簡單立方的第一布里淵區(qū)為立方體；體心立方的第一布里淵區(qū)為菱形十二面 體；面心立方的第一布里淵區(qū)為截角八面體。第六章自由電子費(fèi)米氣一維情況下的能級泡利不相容原理:

7、兩個電子的所有量子數(shù)不能彼此全同，也就是每個軌道最 多只能容納一個電子。這條原理適用于原子、分子以及固體中的電子。具有相同能量的軌道可以不止一個，具有相同能量的軌道的數(shù)目稱為簡并度。費(fèi)米能定義為在N個電子系統(tǒng)的基態(tài)下最高被填滿能級的能量。費(fèi)米氣體(Fermi gas)，又稱為自由電子氣體(free electron gas)、費(fèi)米原子氣體，是 一個量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的理想模型，指的是一群不相互作用的費(fèi)米子。溫度對費(fèi)米-狄拉克分布的影響基態(tài)是指N個電子系統(tǒng)在絕對零度時(shí)的狀態(tài)。當(dāng)溫度升高時(shí)，電子氣的動能增加。某些在絕對零度時(shí)原本空著的能級將被 占據(jù)，而某些在絕對零度時(shí)被占據(jù)的能級將空出來。6.3三維情

8、況下的自由電子氣費(fèi)米能附近單位能量間隔內(nèi)的軌道數(shù)目(即態(tài)密度)恰好等于傳導(dǎo)電子總數(shù) 除以費(fèi)米能，上下最多相差一個數(shù)量級為1的因子。電子氣的比熱容比熱容在絕對零度下趨于零，在低溫下正比于絕對溫度。電子比熱容的觀測值與自由電子的比熱容值之比不等于1的原因：傳導(dǎo)電子同剛性晶格周期勢場的相互作用。電子在這種勢場中的有效質(zhì)量 被稱為能帶有效質(zhì)量。傳導(dǎo)電子與聲子的相互作用。電子傾向于使其臨近的晶格極化或發(fā)生畸變， 因此運(yùn)動著的電子試圖牽曳附近的離子，從而電子的有效質(zhì)量增大。傳導(dǎo)電子之間的相互作用。一個運(yùn)動著的電子在周圍的電子氣中將引起一 個慣性反作用，從而導(dǎo)致電子有效質(zhì)量增加。一些金屬化合物具有很大的電子

9、比熱容常數(shù)，其數(shù)值比一般金屬的電子比熱 容常數(shù)高出2-3個數(shù)量級，這樣的化合物稱為重費(fèi)米子化合物。電導(dǎo)率和歐姆定律由于電子同雜質(zhì)、晶格缺陷以及同聲子的碰撞，可以使移動的費(fèi)米球在電場中維 持一種穩(wěn)態(tài)。如果碰撞的時(shí)間間隔為匝則在穩(wěn)態(tài)下費(fèi)米球所發(fā)生的位移可令6k曰，期間速度增量為阡丑=eEi/m|。如果在恒定電場e中，單位體積內(nèi)含 有n個電荷q=e的電子，則電流密度為=叩=n/詁/利。這就是所謂的歐姆 定律。由巨1定義電導(dǎo)率52元。電阻率中與溫度相關(guān)的部分正比于電子同熱聲子和熱電子發(fā)生碰撞的速率， 與聲子的碰撞速率正比于熱聲子的濃度。電子被聲子倒逆散射是引起在低溫下產(chǎn)生電阻率的主要原因。在磁場中的運(yùn)

10、動當(dāng)導(dǎo)體中傳導(dǎo)電流j的方向和磁場B交叉時(shí)，將產(chǎn)生沿巨目方向且橫跨導(dǎo) 體兩個面的電場，這個電場稱為霍爾電場。霍爾系數(shù)載流子濃度愈低，霍爾系數(shù)的絕對值愈大，測量網(wǎng)是確定載流子濃度的一 種重要手段。6.7金屬的導(dǎo)熱性在不太低的溫度下，金屬的熱導(dǎo)率與電導(dǎo)率之比正比于溫度，其中比例常數(shù) 的值不依賴于具體的金屬。第七章能帶晶體的電子分布在各個能帶上，這些能帶之間間隔著不存在類波電子軌道的 能量區(qū)域。這種禁區(qū)稱為能隙或帶隙，它們是由于傳導(dǎo)電子波和晶體中的離子實(shí) 現(xiàn)相互作用而產(chǎn)生的。如果允許能帶是充滿的或是全空的，則晶體是絕緣體;如果一個或更多的能帶被 部分填滿，則晶體是金屬性的;如果除了一個或者兩個能帶是幾

11、乎空著或幾乎充 滿以外，其余所有能帶全部充滿，則晶體就是半導(dǎo)體或者半金屬。7,1近自由電子模型近自由電子模型中能帶電子看作是僅僅受到離子周期勢場的微擾。布拉格反射反映了晶體中波傳播的特征性質(zhì)，晶體中電子波的布拉格反射是 能隙的起因。兩個駐波使電子聚集在不同的區(qū)域內(nèi)，因此這兩個波在晶格離子場中具有不 同的勢能值，這就是能隙的由來。7,2布洛赫函數(shù)布洛赫定理說明對于周期勢場中的波動方程而言，其本征函數(shù)的形式為一個 平面波乘上一個具有晶格周期性的函數(shù)。形式如| W）f2xp3E|（其中）=+叫,在晶格平移 變換下保持不變，其中T為晶格平移矢量）給出的單個電子的波函數(shù)就是一個所 謂的布洛赫函數(shù)，可以表

12、示成行波的和，可以疊加微波包，從而表示在離子實(shí)勢 場中自由傳播的電子。7,4電子在周期勢場中的波動方程在晶格的平移變換下勢能不變。一個對于晶格平移操作不變的函數(shù)可以展開 為倒格矢G表示的傅立葉級數(shù)。將勢能表示為傅里葉級數(shù)叵）=對于實(shí)際的晶體勢能，系數(shù)四的值的變化趨勢是隨著G的量值的增加而迅速減少。 對于裸的（無屏蔽的）庫倫勢場，四按照逕的規(guī)律下降。一般要求勢能匝是一個實(shí)函數(shù)。晶體中電子的波動方程是出）=匝此處H是哈密頓算符，目為能量本征值，其解國稱為本征函數(shù)或軌道，亦稱之為布洛赫函數(shù)。一般將標(biāo)識布洛赫函數(shù)的k值選擇為位于第一布里淵區(qū)內(nèi)。實(shí)際的能帶結(jié)構(gòu)一般表示在第一布里淵區(qū)內(nèi)，并以能量與波矢的關(guān)

13、系給出， 如果波矢碰巧落在第一布里淵區(qū)以外，則可以通過將該波矢減去一個合適的倒格 矢使之返回到第一布里淵區(qū)之內(nèi)。7.5能帶中的軌道數(shù)目每個原胞恰好給每個能帶貢獻(xiàn)一個獨(dú)立的k值。如果價(jià)電子剛好填滿一個或更多的能帶，而其余的能帶仍然全空，那么這個 晶體將是一個絕緣體。只有在晶體原胞內(nèi)價(jià)電子數(shù)目為偶數(shù)時(shí)，這個晶體才可能是一個絕緣體。如 果一個晶體的每個原胞內(nèi)有偶數(shù)個價(jià)電子，則必須考慮能帶在能量上是否交疊。 如果能帶交疊，就可能得到金屬性質(zhì)的兩個部分填充的能帶，而不是一個構(gòu)成絕 緣體的滿帶。能帶中軌道數(shù)目為2N，N為樣品中原胞的數(shù)目。能帶可以用一個或兩個平面波做近似的表示。在若干能量區(qū)域內(nèi)不存在波動方

14、程的布洛赫函數(shù)解，這些能值構(gòu)成禁區(qū)，在 此區(qū)內(nèi)波函數(shù)在空間被阻尼，k是復(fù)值的。絕緣體的出現(xiàn)是由于這些能量取值禁 區(qū)的存在而引起的。第十四章 等離子體、電磁耦子和極化子14,1電子氣的介電函數(shù)介電函數(shù)可以定義為即分別以自由電荷密度和感生電荷密度的回和K給出。2 47rne2 2 ne2等離子體頻率定義為作 m 鐘，介電函數(shù)的極點(diǎn)確定四，零點(diǎn)確定性。等離體（plasma,即等離子體）是這樣一種介質(zhì)，它所含有的正電荷與負(fù)電 荷的濃度相等，這兩種電荷中至少有一種是可遷移的。在固體中，傳導(dǎo)電子的負(fù) 電荷被離子核的相等濃度的正電荷所均衡。介電函數(shù)記作F）三涅1,國為等 離子體頻率（橫電磁波的低頻截止頻率）

15、。一個波只有當(dāng)它的自由空間波長小于精=2兀歸時(shí)才能夠傳播，否則這波 就將被反射。簡單金屬會反射可見光，而對于高頻率的紫外光則是透明的。介電函數(shù)的零點(diǎn)決定了振蕩縱模的頻率。這就是根據(jù)條件已刀=|確定K=0附近的縱頻率回。自由電子氣是借用理想氣體模型描述費(fèi)米子系統(tǒng)性質(zhì)的量子力學(xué)模型。14,2等離體子等離體子（plasmon,俗稱等離激元）是等離體振蕩的量子?？梢粤铍娮哟┻^ 金屬薄膜，或令電子或光子由薄膜上反射來激發(fā)一個等離體子。電子電荷與等離 體振蕩的靜電場起伏耦合。反射或透射的電子將發(fā)生能量損失，其大小等于等離 體子能量的整倍數(shù)。我們也可以在介電體薄膜中激發(fā)等離體振蕩，介電體的等離體振蕩與金屬中

16、 的等離體振蕩在物理上是相同的。14,3靜電屏蔽“金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變”一詞的含義是：當(dāng)某種材料由金屬變?yōu)榻^緣體時(shí)，其 電導(dǎo)率的變化是作為某種外部參數(shù)（材料的組成、壓力、應(yīng)變或磁場）的函數(shù)來 描述的。金屬相通常利用獨(dú)立電子模型進(jìn)行處理，絕緣體相應(yīng)要著重考慮電子- 電子相互作用。在等離體中，庫倫相互作用被屏蔽。當(dāng)半導(dǎo)體摻雜濃度增加時(shí)，它將向傳導(dǎo)金屬相轉(zhuǎn)變。當(dāng)摻雜原子的濃度足夠 高，以致電子的基態(tài)波函數(shù)與鄰近雜質(zhì)原子的波函數(shù)有顯著的交疊，這時(shí)就會發(fā) 生絕緣體-金屬轉(zhuǎn)變。在半導(dǎo)體文獻(xiàn)中，通常將金屬范圍內(nèi)的重?fù)诫s半導(dǎo)體稱為簡并半導(dǎo)體。當(dāng)晶體中最近鄰間距a變至四的量級時(shí)，就可能發(fā)生一個金屬-絕緣體轉(zhuǎn)變，這匝

17、1是絕緣體中的第一玻爾軌道半徑。金屬相在a取小于匝的條件下存在。14.4電磁耦子在共振之下，聲子-光子耦合會完全改變傳播特性，并且將產(chǎn)生一個禁帶， 禁帶出現(xiàn)的原因與晶格的周期性完全無關(guān)?！咀ⅰ抗舱裰傅氖莾蓚€粒子的頻率和波矢均近似相等。耦合聲子-光子的量子稱為電磁耦子，這種耦合由麥克斯韋方程組所保證，對于電磁波傳播，頻譜區(qū)間云口 改|是禁戒區(qū)間。在晶體體積內(nèi)縱聲子不與橫光子發(fā)生耦合。頻率回有兩個含義：一個是指小K下的LO頻率，另一含義是電磁波傳播禁 帶的高截止頻率。這兩個頻率的數(shù)值日全同。沒有阻尼的電磁波如果它的頻率在禁區(qū)內(nèi)，則不能在一個厚的晶體中傳播。電子-電子相互作用傳導(dǎo)電子通過它們之間的靜電勢而彼此發(fā)生相互作用，所以電子將經(jīng)歷碰撞。 一個運(yùn)動的電子在它周圍的電子氣中產(chǎn)生一個慣性反作用，從而使電子的有效質(zhì) 量增大。費(fèi)米氣是一個由無相互作用的費(fèi)米子構(gòu)成的系統(tǒng)，當(dāng)存在著相互作用時(shí)，這 個系統(tǒng)就是費(fèi)米液體。電子-,子相互作用：極化子電子-聲子相互作用最通常的效應(yīng)是電阻率對溫度的依賴關(guān)系。電子被聲子所散射，溫度愈高就會存在更多的聲子，因此，散射也就會愈加 頻繁。電子-聲子相互作用