《高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件-》9.4～9.5

1、第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 第九章 一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理. 若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù), 在點 t 可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)證: 設(shè) t 取增量t ,且有推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. 設(shè)設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如：又如,當它們都具有可微條件時, 有注意:這里口訣 :分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)與不同,例1. 設(shè)解:例2.解:例3. 設(shè) 求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到,下列兩個例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)

2、技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.為簡便起見 , 引入記號例4. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解: 令則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為則復(fù)合函數(shù)都可微, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.例 6.解法1:解法2: 第九章 第五節(jié)一、一個方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)(不要求)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 所確定的函數(shù)為隱函數(shù).接下來怎么求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1. 設(shè)函數(shù)則方程一個連續(xù)函數(shù) y= f (x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)具本推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定在點的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件導(dǎo)數(shù)兩邊對 x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則若隱函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù) :則隱函的例1. 驗證方程在點(0,0)某鄰域可確定一個可導(dǎo)隱函數(shù)解: 令連續(xù) ,由 定理1 可知,導(dǎo)的隱函數(shù) 則在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在可且并求兩邊對 x 求導(dǎo)兩邊再對 x 求導(dǎo)令x =0, 導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理2 .若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 公式推導(dǎo)如下:滿足 在點滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確兩邊對 x 求偏導(dǎo)同樣可得