高二數(shù)學(xué)課件7.曲線與方程

1、17.4 曲線與方程 基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí)要點梳理1.曲線與方程 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上 的點與一個二元方程f（x，y）=0的實數(shù)解建立了 如下關(guān)系：（1）曲線上點的坐標(biāo)都是 .（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是 .那么這個方程叫做 ，這條曲線叫做 .這個方程的解曲線上的點曲線的方程方程的曲線22.求動點的軌跡方程的一般步驟（1）建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.（2）設(shè)點設(shè)軌跡上的任一點P（x，y）.（3）列式列出動點P所滿足的關(guān)系式.（4）代換依條件式的特點，選用距離公式、 斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡.（5）證明證明所求方程即為符合條件的動 點軌跡方程.33.兩曲線的

2、交點（1）由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐 標(biāo)應(yīng)該是兩個曲線方程的 ，即兩個曲線方 程組成的方程組的實數(shù)解；反過來，方程組有幾 組解，兩條曲線就有幾個交點，方程組 ，兩 條曲線就沒有交點.（2）兩條曲線有交點的 條件是它們的方程所 組成的方程組有實數(shù)解.可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù) 解問題.公共解無解充要4基礎(chǔ)自測1.f（x0，y0）=0是點P（x0，y0）在曲線f（x，y） =0上的 （ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 利用曲線與方程定義的兩條件來確定其關(guān)系， f（x0，y0）=0可知點P（x0

3、,y0）在曲線f（x,y）=0上， 又P（x0，y0）在曲線f（x，y）=0上時，有f（x0，y0）=0， f（x0，y0）=0是P（x0，y0）在曲線f（x，y）=0 上的充要條件.C52.方程x2+xy=x的曲線是 （ ） A.一個點 B.一條直線 C.兩條直線 D.一個點和一條直線 解析 方程變?yōu)閤（x+y-1）=0， x=0或x+y-1=0. 故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.C63.已知點A（-2，0）、B（3，0），動點P（x,y） 滿足 =x2-6，則點P的軌跡是 （ ） A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析 =（-2-x，-y）， =（3-x，-y）， 則 =

4、（-2-x）（3-x）+（-y）2=x2-6， 化簡得y2=x,軌跡為拋物線.D74.已知定點P（x0，y0）不在直線l:f(x,y)=0上，則 方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一條 （ ） A.過點P且垂直于l的直線 B.過點P且平行于l的直線 C.不過點P但垂直于l的直線 D.不過點P但平行于l的直線 解析 P（x0，y0）不在直線l上,f（x0，y0）0. 方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的直線與l平行. 又f（x0，y0）-f（x0，y0）=0. 點P（x0，y0）在方程f（x，y）-f（x0，y0）=0 表示的直線上，即直線過P點.B85.已知兩定點A（-2，0）

5、，B（1，0）,如果動點 P滿足|PA|=2|PB|，則點P的軌跡所圍成的圖形 的面積等于 （ ） A. B.4 C.8 D.9 解析 設(shè)P（x，y），則由|PA|=2|PB| 得(x+2)2+y2=4(x-1)2+y2, 即（x-2）2+y2=4，故P點的軌跡是以（2，0）為 圓心，以2為半徑的圓. 所圍成的圖形的面積等于 22=4 .B9題型一 直接法求軌跡方程【例1】如圖所示，過點P（2，4） 作互相垂直的直線l1、l2.若l1交x 軸于A，l2交y軸于B，求線段AB 中點M的軌跡方程. 設(shè)M（x，y），則A、B兩點坐標(biāo)可 用x,y表示，再利用 =0,建立等式即可.思維啟迪題型分類 深度

6、剖析10解 設(shè)點M的坐標(biāo)為（x,y）,M是線段AB的中點，A點的坐標(biāo)為（2x,0），B點的坐標(biāo)為（0，2y）. =（2x-2，-4）， =（-2，2y-4）.由已知 =0，-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.線段AB中點M的軌跡方程為x+2y-5=0.11探究提高 （1）本題中的等量關(guān)系還有kPAkPB=-1，|AB|=2|PM|.但利用kPAkPB=-1時，應(yīng)分直線l1斜率存在和不存在兩種情況,應(yīng)用|AB|=2|PM|時，運算較繁.（2）求軌跡方程時，最后要注意它的完備性與純粹性，多余的點要去掉，遺漏的點要補(bǔ)上.12知能遷移1 已知動點M到定點A(1,0)與定直線l:x

7、=3的距離之和等于4,求動點M的軌跡方程. 解 如圖所示,設(shè)M（x,y）是軌跡上任意一點,作MNl于N. 則|MA|+|MN|=4，即 =4-|x-3|. 當(dāng)3x4時， =7-x. 即y2=-12(x-4) (3x4). 當(dāng)0 x3時， =x+1, 即y2=4x (0 x3). M的軌跡方程是y2=-12(x-4) (3x4) 和y2=4x(0 x3).13題型二 利用定義法求軌跡方程【例2】一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓 x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程， 并說明它是什么樣的曲線. 利用兩圓的位置關(guān)系相切這一性 質(zhì)得到動圓圓心與已知兩圓圓心間的關(guān)系，再

8、 從關(guān)系分析滿足何種曲線的定義.思維啟迪14解 方法一 如圖所示，設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為R，設(shè)已知圓的圓心分別為O1、O2，將圓的方程分別配方得：（x+3）2+y2=4,(x-3)2+y2=100,當(dāng)動圓與圓O1相外切時，有|O1M|=R+2. 當(dāng)動圓與圓O2相內(nèi)切時，有|O2M|=10-R. 15將兩式相加，得|O1M|+|O2M|=12|O1O2|，動圓圓心M（x,y）到點O1（-3,0）和O2（3,0）的距離和是常數(shù)12，所以點M的軌跡是焦點為O1（-3,0）、O2（3,0）,長軸長等于12的橢圓.2c=6，2a=12，c=3，a=6，b2=36-9=27，圓心軌跡方程為 軌跡

9、為橢圓.16方法二 由方法一可得方程移項再兩邊分別平方得：兩邊再平方得3x2+4y2-108=0，整理得所以,動圓圓心的軌跡方程是 軌跡是橢圓.17探究提高 在利用圓錐曲線定義求軌跡時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定點的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡求得方程.18知能遷移2 已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:（x-3）2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程.解 如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|-|AC1|=|

10、MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因為|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.19這表明動點M到兩定點C2，C1的距離之差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義,動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到C2的距離大，到C1的距離?。?，這里a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點M的坐標(biāo)為（x,y）,其軌跡方程為 (x-1).20題型三 相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程【例3】（12分）已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的 一點，A、B是圓上兩動點，且滿足APB=90, 求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程. 連結(jié)QP交AB于R,則R是矩形APBQ 的中心.因而可選R的坐標(biāo)

11、為中間變量，先求R 的軌跡方程,再將Q的坐標(biāo)代入R的坐標(biāo)中即可.思維啟迪21解 如圖所示，設(shè)AB的中點為R,坐標(biāo)為（x1，y1），Q點坐標(biāo)為（x，y）， 2分則在RtABP中，|AR|=|PR|，又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理有RtOAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（x +y ）.又|AR|=|PR|=所以有（x1-4）2+y =36-（x +y ）.即x +y -4x1-10=0. 8分4分解題示范22因為R為PQ的中點，所以x1 10分代入方程x +y -4x1-10=0，得整理得x2+y2=56.這就是Q點的軌跡方程. 12分23探究提高 相關(guān)點法也叫坐標(biāo)轉(zhuǎn)移（代入

12、）法，是求軌跡方程常用的方法.其題目特征是：點A的運動與點B的運動相關(guān),且點B的運動有規(guī)律（有方程），只需將A的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到B的坐標(biāo)中,整理即可得A的軌跡方程.24知能遷移3 已知長為1+ 的線段AB的兩個端點 A、B分別在x軸、y軸上滑動,P是AB上一點,且 = .求點P的軌跡C的方程. 解 設(shè)A（x0，0），B（0，y0），P（x，y）， 又 =（x-x0，y）， =（-x，y0-y）， 所以x-x0=- ，y= （y0-y） 得x0= ，y0=（1+ ）y. 因為|AB|=1+ ，即x +y =（1+ ）2， 25 化簡得 點P的軌跡方程為26方法與技巧1.弦長公式:直線y=kx+b與二次

13、曲線C交于P1（x1,y1） 與P2(x2,y2)得到的弦長為思想方法 感悟提高272.求軌跡的方法 （1）直接法： 如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量 （如距離與角）的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡 單明了且易于表達(dá),我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為 x、y的等式就得到曲線的軌跡方程. （2）定義法： 其動點的軌跡符合某一基本軌跡（如直線與圓 錐曲線）的定義，則可根據(jù)定義采用設(shè)方程， 求方程系數(shù)得到動點的軌跡方程.28 在判斷軌跡符合哪一個基本軌跡時，常常用幾何 性質(zhì)列出動點滿足的距離關(guān)系后，可判斷軌跡是 否滿足圓錐曲線的定義. 定義法與其它求軌跡方程的思維方法不同處在于： 此方法通過曲線定義直接

14、判斷出所求曲線軌跡類 型，再利用待定系數(shù)法求軌跡方程.（3）代入法（相關(guān)點法）： 當(dāng)所求動點M是隨著另一動點P（稱之為相關(guān)點） 而運動.如果相關(guān)點P所滿足某一曲線方程，這時 我們可以用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點坐標(biāo)，再把相關(guān) 點代入曲線方程，就把相關(guān)點所滿足的方程轉(zhuǎn)化 為動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān) 點法或坐標(biāo)代換法.29失誤與防范1.求曲線方程時有已知曲線類型與未知曲線類型， 一般當(dāng)已知曲線類型時一般用待定系數(shù)法求方程； 當(dāng)未知曲線類型時常用求軌跡方程的方法求曲線 方程.2.求曲線軌跡方程時，常常要設(shè)曲線上任意一點 的坐標(biāo)為（x,y）,然后求x與y的關(guān)系.303.在求軌跡方程五種類型中，

15、單從思維角度應(yīng)該 分為兩個方面：一是用定義法,（從已知曲線類 型、或從距離關(guān)系中）能判斷到曲線類型時,再 用待定系數(shù)法求曲線方程；二是,當(dāng)未知曲線類 型時用其它四種方法求曲線方程.4.仔細(xì)區(qū)分五種求軌跡方法，合理確定要選擇的 求軌跡方法,哪些類型、哪些已知條件適合哪一 種方法，要融會貫通，不可亂用方法！31一、選擇題1.如果命題“坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點都在曲線C上” 不正確.那么，以下正確的命題是 （ ）A.曲線C上的點的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y)=0B.坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點有些在C上，有些不在C上C.坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點都不在曲線C上D.一定有不在曲線C上的

16、點，并且其坐標(biāo)滿足方程 F(x,y)=0 解析 方法一 若方程為y=|x|，曲線C為一、三象限 的平分線，顯然曲線C上的點的坐標(biāo)不都滿足方程，故A 錯誤，同理可推出，坐標(biāo)滿足方程的點都不在曲線C 上是錯誤的，故C不正確. 定時檢測32若方程為y=x+1，曲線C為一、三象限角的平分線，顯然滿足方程的點都不在曲線C上，故B是錯誤的.因此只有D正確.方法二 “坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點都在曲線C上”不正確，就是說“坐標(biāo)滿足方程F(x,y)=0的點不都在曲線C上”是正確的.這意味著一定有這樣的點(x0,y0)，雖然F（x0,y0）=0，但(x0,y0) C，即一定有不在曲線上的點，其坐標(biāo)滿足F(

17、x,y)=0. 答案 D332.（2008北京）若點P到直線x=-1的距離比 它到點（2,0）的距離小1,則點P的軌跡為（ ） A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析 由題意可知,點P到直線x=-2的距離等于它 到點(2,0)的距離,根據(jù)拋物線定義知,點P的軌跡 為拋物線.D343.方程（x-y）2+(xy-1)2=0的曲線是 （ ） A.一條直線和一條雙曲線 B.兩條雙曲線 C.兩個點 D.以上答案都不對 解析 （x-y）2+(xy-1)2=0C354.已知定點A（1，1）和直線l:x+y-2=0，那么到定 點A的距離和到定直線l距離相等的點的軌跡為 （ ） A.橢圓 B.雙曲線 C

18、.拋物線 D.直線 解析 由于點A在直線x+y-2=0上.因此選D.D365.如圖所示,一圓形紙片的圓心為 O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周 上一動點，把紙片折疊使M與F 重合,然后抹平紙片,折痕為CD， 設(shè)CD與OM交于點P，則點P的 軌跡是 （ ） A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓 解析 由條件知|PM|=|PF|. |PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R|OF|. P點的軌跡是以O(shè)、F為焦點的橢圓.A376.設(shè)點A為圓（x-1）2+y2=1上的動點，PA是圓的切線，且 |PA|=1,則P點的軌跡方程為 （ ）A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4C.y2=-2x D

19、.(x-1)2+y2=2 解析 設(shè)點P(x,y), 易知圓心為C(1,0)，半徑r=1. 由直角三角形得|PC|2=|PA|2+r2=2, 故P點的軌跡方程為(x-1)2+y2=2.D38二、填空題7.平面上有三個點A（-2，y），B ， C（x，y），若 則動點C的軌跡方程是 . 解析 動點C的軌跡方程為y2=8x.y2=8x，398.ABC中，A為動點，B、C為定點， 且滿足條件 sinC-sin B= sin A,則動點A的軌跡方程是 . 解析 由正弦定理： |AB|-|AC|= |BC|，且為雙曲線右支.409.已知ABC的頂點B（0，0），C（5，0），AB 邊上的中線長|CD|=3

20、，則頂點A的軌跡方程為 . 解析 方法一 直接法.設(shè)A（x,y）,y0,則 化簡得：（x-10）2+y2=36,由于A、B、C三點 構(gòu)成三角形，所以A不能落在x軸上，即y0.41方法二 定義法.如圖所示，設(shè)A（x,y）,D為AB的中點，過A作AECD交x軸于E，|CD|=3，|AE|=6，則E（10，0）A到E的距離為常數(shù)6，A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓，即(x-10)2+y2=36,又A、B、C不共線，故A點縱坐標(biāo)y0,故A點軌跡方程為（x-10）2+y2=36 (y0).答案 (x-10)2+y2=36 (y0)42三、解答題10.A、B分別是直線y= x和y=- x上的動點.O是 坐標(biāo)原點，且|OA|OB|=a2+b2 （a，b為常數(shù) 值，b0）. 求線段AB的中點P的軌跡方程. 解 設(shè)P、A、B三點的坐標(biāo)分別為（x，y）、（x1，y1）、（x2，y2）. 43又|OA|OB|=且|OA|OB|=a2+b2，|x1x2|=a2. 將代入得y= (x1-x2),即 2-2得x2- 即x2- =a2.所求軌跡方程為 =1.4411.已知拋物線y2=2x,O為頂點，A、B為拋物線上 兩動點，且滿足OAOB，如果OMAB，垂足 為M，求M點的軌跡. 解 方法一 設(shè)直線OA的方程為y=kx, 則直線OB的方程為y=- x. 由 得k