重積分積分區(qū)域的對稱性

1、重積分積分區(qū)域的對稱內部編號：(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)情形一：積分區(qū)域。關于坐標軸對稱 定理4設二元函數/(x,y)在平面區(qū)域。連續(xù)，且。關于x軸對稱，則1）當y） = -x,y）（即是關于y的奇函數）時,有JJ f（X, y）dxdy = O .D2)當/(x,-y) = f(局y)(即f (x,y)是關于y的偶函數)時，有JJ /(X，ydxdy = 2。f(x, y)dxdy .DD其中A是由x軸分割。所得到的一半區(qū)域。例5計算/= JJOy + j/wxdy ,其中。為由V=2x與x = 2圍成的區(qū)域。 D解：如圖所示，積分區(qū)域。關于

2、X軸八 X, 一)，) = -(xy + /) = -/(X, y)即/*,)，)是關于y的奇函數，由定理1JJ/Gyy + y3)Wy = oD類似地，有: 定理5設二元函數/(x,y)在平面區(qū)域。連續(xù)，且。關于y軸對稱，則 其中2是由y軸分割。所得到的一半區(qū)域例6計算/ =其中。為由Dy = 2x+2;y = -2x + 2 及y = 0 所用。解：如圖所示，。關于)，軸對稱，并且=x2y = /(x,y),即被積分函數是關于x軸的偶函數，由對稱性定理結論有:/ = JJ x2 ydxdy = 2JJ x1 ydxdy = 2廣x1 ydxdy =-d1入15定理6設二元函數/(x,y)在

3、平面區(qū)域O連續(xù)，且。關于x軸和y軸都對稱，則(1)當/(一乂) = 一/(工)，)或/0,一)，)=一/0/)時，有JJ /(x，ydxdy = O(2)當/(一,) = /(上一、)=/0,、)時,有其中A為由x軸和y軸分割。所的至IJ的1/4區(qū)域。9例7計算二重積分/ =仃(國+ 3)必必，其中。：因+卜|工1 .解：如圖所示，。關于工軸和)，軸均對稱，且被積分函數關于工和y是偶函數，即有/(x, -y) = /(-x, y) = /(x, y),由定理2,得其中R是。的第一象限部分，由對稱性知，JJ|-v|6Zx6/y = JJ | yylxcly ,情形二、積分區(qū)域。關于原點對稱定理7

4、設平面區(qū)域。=A + 4,且A，2關于原點對稱，則當D上連續(xù)函數滿足1)/(-X，-y) = f(x, y)時，有 JJ f(x,y)dxdy = 2JJ 于(x, y)dxdyDM/(-x,-y) = -/(x,y)時,有 JJ /(x, y)dxdy = O.例8計算二重積分口(胃+y3M乂/y,。為)，=/與),=*.所圍區(qū)域 D 解:如圖所示,區(qū)域。關于原點對稱,對于被積函數/(2)=/+),3,有= (-X)3 + (一 = -(%3 + y) =,)，有定理7,得JJ (x3 + y3 dxdy = O.情形三、積分區(qū)域。關于直線y = x對稱定理8設二元函數/(x,y)在平面區(qū)域

5、。連續(xù)，且。=A + Q, A關于直線y = x對稱,則1)JJ f(x, yYlxdy = ff f(yx)dxdy ;i)JJ f(x, y)dxdy = JJ f(x, ydxdy .DD、2)當 /(y,x) = -f(x,y)時，有 JJ/(x, y)dxdy = O.D3)當/(y,x) = /(x,y)時,有 JJ/O, y)dxdy =2jj 于(x, ydxdy . TOC o 1-5 h z 99例9求/=0+今)如/),，。為W+y24心所圍.解:積分區(qū)域。關于直線y = x對稱，由定理8,得2222+ 學小=H & + 5)dxdy,222222故/=1十+?心辦=54

6、(?.)+!哈+?對=件類似地，可得： 定理9設二元函數/(x,y)在平面區(qū)域。連續(xù)，且O = A+O” R D2關于直線 對稱，則 (1)當/(-y,-x) = -/(陽)，)，則有 y)xy = O ; D當 /(-y,-a) = /(x,y),則有 JJ 于(x、y)dxdy = 2JJ f(x, ydxdy . TOC o 1-5 h z DDIy k例 10 計算 / = Jj，+ y ) arcsin(x + y)dxdy，其中。為區(qū)D1i_2i:0 xl, -ly0.D X、解:如圖所示，積分區(qū)域。關于直線y = -x對稱,且滿足 -1y=.X由以上性質，得:+ y2 ) circsin(x + ydx