專題5立體幾何課件教學教材

1、HUN-理科數(shù)學數(shù)學數(shù)學數(shù)學決勝高考專案突破名師診斷對點集訓題型2010年2011年2012年小題第13題:三視圖(求高度).第3題:三視圖(求體積).第3題:三視圖(判斷俯視圖).大題第18題:正方體(求線面角、證線面平行).第19題:圓錐(證兩個面垂直、求二面角的余弦值).第18題:四棱錐(證線面垂直、求四棱錐的體積).【考情報告】名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【考向預測】立體幾何是高考考查的重點內(nèi)容之一,主要考查簡單幾何體的三視圖、柱、錐、臺、球的表面積和體積,點、直線與平面位置關系的判斷及證明,空間直角坐標系、空間向量的運算、立體幾何中的向量方法;考查學生的空間想象能力,語言表達能力

2、,推理論證能力,運算求解能力.結合近三年的高考命題情況,預測2013年高考對立體幾何的考查主要有空間幾何體的三視圖與其表面積、體積結合,二面角的求法,在復習時要引起足夠的重視.此外,對于異面直線所成的角、直線與平面所成的角在高考中也時有考查,在復習過程中也不應遺漏.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(A). (B).(C)3+. (D)12+.【解析】由三視圖知該幾何體為一個半球和一個四棱柱的組合體.體積V=V半球+V四棱柱=r3+Sh=23+223=+12.故選D.【答案】D名師診斷專案突破對點集訓決勝高考2.(2012年南昌模擬)如圖為一個幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為()(A

3、)4.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(B)8.(C)12.(D)16.【解析】由幾何體的三視圖知該幾何體為一個底面是正方形,有一條側棱與底面垂直的四棱錐,由已知數(shù)據(jù)可求得該幾何體外接球的半徑R=,所以S=4R2=12.故選C.【答案】C名師診斷專案突破對點集訓決勝高考3.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1上的動點.(1)求證:A1EBD.(2)當E恰為棱CC1的中點時,求證:平面A1BD平面EBD.(3)在棱CC1上是否存在一個點E,可以使二面角A1-BD-E的大小為45?如果存在,試確定點E在棱CC1上的位置;如果不存在,請說明理由.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考

4、【解析】如圖,連接AC,設ACDB=O,連接A1O、OE,(1)AA1底面ABCD,BDA1A,又BDAC,A1AAC=A,BD平面ACEA1,A1E平面ACEA1,A1EBD.(2)在等邊三角形A1BD中,BDA1O,BD平面ACEA1,OE平面ACEA1,BDOE,A1OE為二面角A1-BD-E的平面角.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設棱長為2a,E為棱CC1的中點,由平面幾何知識,得EO=a,A1O=a,A1E=3a,名師診斷專案突破對點集訓決勝高考滿足A1E2=A1O2+EO2,A1OE=90,即平面A1BD平面EBD.(3)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,假設棱CC1上

5、存在點E,可以使二面角A1-BD-E的大小為45,由(2)知,A1OE=45.設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2a,EC=x(ax2a),得EO=,A1O=a,A1E=.在A1OE中,由A1E2=A1O2+EO2-2A1OEOcosA1OE,得x2-8ax-2a2=0,名師診斷專案突破對點集訓決勝高考解得x=4a3a,顯然不滿足ax2a,在棱CC1上不存在點E使得二面角A1-BD-E的大小為45.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考4.(2012年山東淄博模擬)如圖,在五面體ABCDEF中,FA平面ABCD,ADBCFE,ABAD,M為EC的中點,AF=AB=BC=FE=AD.(1)求證

6、:BFDM;(2)求二面角A-CD-E的余弦值.【解析】如圖所示,以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,不妨設AB名師診斷專案突破對點集訓決勝高考=1.依題意得A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,2,0)、E(0,1,1)、F(0,0,1)、M(,1,).(1)=(-1,0,1),=(,-1,),cos=0.BFDM.(2)設平面CDE的法向量為u=(x,y,z),名師診斷專案突破對點集訓決勝高考則 又=(-1,0,1),=(0,-1,1), 令x=1,可得u=(1,1,1).又平面ACD的一個法向量為v=(0,0,1),cos=.故二面角A-CD-E的余弦值為.名師診

7、斷專案突破對點集訓決勝高考5.(2012年湖北)如圖1,ACB=45,BC=3,過動點A作ADBC,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿AD將ABD折起,使BDC=90(如圖2所示).(1)當BD的長為多少時,三棱錐A-BCD的體積最大;(2)當三棱錐A-BCD的體積最大時,設點E,M分別為棱BC,AC的中點,試在棱CD上確定一點N,使得ENBM,并求EN與平面BMN所成角的大小.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】(1)(法一)在如圖1所示 ABC中,設BD=x(0 x3),則CD=3-x.由ADBC,ACB=45知,ADC為等腰直角三角形,所以AD=CD=3-x.由折起前ADBC

8、知,折起后(如圖2),ADDC,ADBD,且BDDC=D,所以AD平面BCD.又BDC=90,所以SBCD=BDCD=x(3-x).名師診斷專案突破對點集訓決勝高考于是VA-BCD=ADSBCD=(3-x)x(3-x)=2x(3-x)(3-x)3=,當且僅當2x=3-x,即x=1時,等號成立.故當x=1,即BD=1時,三棱錐A-BCD的體積最大.(法二)同解法1,得VA-BCD=ADSBCD=(3-x)x(3-x)=(x3-6x2+9x).令f(x)=(x3-6x2+9x),由f(x)=(x-1)(x-3)=0,且0 x0;當x(1,3)時,f(x)0.所以當x=1時,f(x)取得最大值.名師

9、診斷專案突破對點集訓決勝高考故當BD=1時,三棱錐A-BCD的體積最大.(2)(法一)以D為原點,建立如圖a所示的空間直角坐標系D-xyz.由(1)知,當三棱錐A-BCD的體積最大時,BD=1,AD=CD=2.于是可知D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0),且=(-1,1,1).設N(0,0),則=(-,-1,0).因為ENBM等價于=0,即(-,-1,0)(-1,1,1)=+-1=0,故=,N(0,0).所以當DN=(即N是CD的靠近點D的一個四等分點)時,ENBM.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考設平面BMN的一個法向量為n

10、=(x,y,z),由及=(-1,0),得可取n=(1,2,-1).設EN與平面BMN所成角的大小為,則由=(-,-,0),n=(1,2,-1),可得sin =cos(90-)=|=,即=60.故EN與平面BMN所成角的大小為60.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(法二)由(1)知,當三棱錐A-BCD的體積最大時,BD=1,AD=CD=2.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考如圖b,取CD的中點F,連接MF、BF、EF,則MFAD.由(1)知AD平面BCD,所以MF平面BCD.如圖c,延長FE至P點使得FP=DB,連接BP,DP,則四邊形DBPF為正方形,所以DPBF.取DF的中點N,連接EN,又E

11、為FP的中點,則ENDP,所以ENBF.因為MF平面BCD,又EN面BCD,所以MFEN.又MFBF=F,所以EN面BMF.又BM面BMF,所以ENBM.因為ENBM當且僅當ENBF,而點F是唯一的,所以點N是唯一的,即當DN=(即N是CD的靠近點D的一個四等分點),ENBM.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考連接MN,ME,由計算得NB=NM=EB=EM=,所以NMB與EMB是兩個共底邊的全等的等腰三角形,如圖d所示,取BM的中點G,連接EG,NG,則BM平面EGN,在平面EGN中,過點E作EHGN于點H,則EH平面BMN,故ENH是EN與平面BMN所成的角.在EGN中,易得EG=GN=NE=

12、,所以EGN是正三角形,故ENH=60,即EN與平面BMN所成角的大小為60.【診斷參考】名師診斷專案突破對點集訓決勝高考1.空間幾何體的表面積和體積與三視圖的綜合是每年高考的必考內(nèi)容,此類問題解答易錯點有三:一是由多面體的三視圖不能夠想象出空間幾何體的形狀,或不能夠正確畫出其直觀圖;二是不能根據(jù)三視圖的形狀及相關數(shù)據(jù)推斷出(或錯誤推斷出)原幾何圖形中的點、線、面間的位置關系及相關數(shù)據(jù);三是不記得或不能熟練掌握、應用常見空間幾何體的表面積、體積公式.2.由考情報告知,對球的考查是每年高考的必考內(nèi)容,特別是空間幾何體的外接、內(nèi)切球問題,一直是高考的熱點.此類問題的解題關鍵是正確探求出幾何體與其外

13、接、內(nèi)切球間的位置關系及數(shù)量關系,這也是此類問題解答的易錯點.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考3.線面位置關系的判斷或證明是立體幾何的重要內(nèi)容之一,也是高考的必考點,試題難度不大,經(jīng)常作為解答題的第一問出現(xiàn),或以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).在推證線面位置關系時,一定要嚴格遵循其判定定理或性質(zhì)定理,注意其成立的條件,否則極易出錯.如在判斷線面平行時,一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi),否則結論是不一定成立的.4.求空間幾何體的體積除了利用公式法外,還常用到分割、補形、轉(zhuǎn)化法等,這也是解決一些非規(guī)則幾何體體積計算問題的常用方法.特別是利用轉(zhuǎn)化法(或等積法)求三棱錐高的問題.但在利用“割”、“補”法求幾何體的體

14、積時,一定要辨清“割”、“補”后幾何體的結構特征,若辨析不清則易出現(xiàn)錯解.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考5.空間向量法解立體幾何問題,不僅可以判斷線面間的位置關系,也是求空間角及距離的常用方法,空間向量的引入是把立體幾何問題代數(shù)化,是利用“數(shù)”的方法來解決“形”的問題,從而使立體幾何問題的解答變得更加靈活,故空間向量法也是解決立體幾何問題的強大工具.空間向量法解答立體幾何問題的關鍵是要建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,注意這里的坐標系一定要建立右手系,同學們的易錯點是不分左、右手系,若坐標系建成了左手系,在高考改卷過程中,這一問是至少要扣掉一半分的,大家一定要注意這一點!6.空間角,特別是二面角的求

15、解,是每年高考的熱點和必考點.求二面角最常用的方法是空間向量法,即分別求出二面角的兩個面所在的名師診斷專案突破對點集訓決勝高考平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結合實際圖形,能夠正確判斷出所求二面角和法向量夾角間的關系,這是同學們的易混淆點,此外,運算錯誤也是常見的易錯點.7.探索型(或開放性)試題是近年高考試題命制的新寵,此類問題的命制非常靈活,角度新穎,能夠很好地考查學生對知識的靈活運用及知識的遷移能力.解答開放性問題的基本策略是先猜想,后證明,因此大膽假設,嚴格證明是解決開放性問題的基本策略.此類問題不知如何作答是同學們常見的困惑.8.翻折問題體現(xiàn)了平

16、面問題和空間問題間的轉(zhuǎn)化,能夠很好地考查名師診斷專案突破對點集訓決勝高考學生的空間想象能力、圖形變換能力及識圖能力.在解題過程中,若不能分清翻折前后基本量間的位置關系或數(shù)量關系則易造成錯解. 【核心知識】一、空間幾何體1.三視圖(1)三視圖的正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正名師診斷專案突破對點集訓決勝高考前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.畫三視圖的基本要求:正俯一樣長,俯側一樣寬,正側一樣高.(2)三視圖排列規(guī)則:俯視圖放在正(主)視圖的下面,長度與正(主)視圖一樣;側(左)視圖放在正(主)視圖的右面,高度和正(主)視圖一樣,寬度與俯視圖一樣.2.柱體、錐體、臺體

17、和球的表面積與體積(1)表面積公式:圓柱的表面積S=2r(r+l);圓錐的表面積S=r(r+l);圓臺的表面積S=(r2+r2+rl+rl);球的表面積S=4R2.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(2)體積公式:柱體的體積V=Sh;錐體的體積V=Sh;臺體的體積V=(S+S)h;球的體積V=R3.二、點、直線、平面之間的位置關系1.直線與平面的位置關系(1)直線與平面平行的判定方法判定定理:不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線與這個平面平行.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考轉(zhuǎn)化為面面平行再推證線面平行.一直線在兩平行平面外,且與其中一平面平行,則這一直線與另一平面也平行

18、.(2)直線與平面的垂直問題線面垂直判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.注:在判定定理中,易忽視兩直線為“相交直線”.過一點有且只有一條直線與一個平面垂直;過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考a.2.平面與平面的位置關系(1)平面與平面的平行問題面面平行判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行,則這兩個平面平行.面面平行性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.注:在面面平行的判定定理中,“兩條相交直線”中的“相交”兩個字不能忽略,否則結論不一定成立.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考空

19、間中直線與直線平行,直線與平面平行,平面與平面平行三者之間可以互相轉(zhuǎn)化,其轉(zhuǎn)化關系為:線線平行線面平行面面平行若由兩個平面平行來推證兩直線平行時,則這兩直線必須是第三個平面與這兩個平面的交線.分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線,它們可能平行,也可能異面.a、b為兩異面直線,a,b,且a,b,則.過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(2)平面與平面的垂直問題面面垂直判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.面面垂直性質(zhì)定理:兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.注:判定的關鍵是結合圖形并利用條件在一平面內(nèi)找一條直線是另一平面

20、的垂線,由此可知,凡是包含此直線的平面都與另一平面垂直.空間中直線與直線垂直,直線與平面垂直、平面與平面垂直三者名師診斷專案突破對點集訓決勝高考之間可以互相轉(zhuǎn)化,其轉(zhuǎn)化關系為:線線垂直線面垂直面面垂直利用面面垂直的性質(zhì)定理添加面的垂線時,一定要注意是在某一平面內(nèi)作交線的垂線,此線即為另一面的垂線,否則結論不一定成立.幾個常用結論:垂直于同一個平面的兩條直線平行;垂直于同一條直線的兩個平面平行;垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交;垂直于同一條直線的兩條直線平行、相交或異面.三、空間向量與立體幾何1.空間角的類型與范圍名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(1)異面直線所成的角():0;(2)直線與平

21、面所成的角():0;(3)二面角():0.2.求空間距離:直線到平面的距離、兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.點P到平面的距離:d=(其中n為的法向量,M為內(nèi)任一點).3.幾何法求空間角與距離的步驟:一作、二證、三計算.【考點突破】名師診斷專案突破對點集訓決勝高考熱點一:空間幾何體的三視圖、表面積和體積空間幾何體的表面積、體積問題一直是高考的熱點內(nèi)容,主要是考查學生的空間想象能力和計算求解能力.此考點多結合三視圖綜合考查,由三視圖中的數(shù)據(jù)得到原幾何體的數(shù)據(jù)是解題的關鍵.此熱點試題多出現(xiàn)在選擇題、填空題,有時也以解答題的形式考查,屬較容易題.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(2012年廣

22、東中山調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【分析】本例的解題關鍵是根據(jù)三視圖還原出幾何體,確定幾何體的形狀,然后再根據(jù)幾何體的形狀及相關數(shù)據(jù)計算其體積.【解析】由三視圖可知,原幾何體上面是 一個四棱錐,下面是一個四棱柱,則V=221+112=.【答案】 【歸納拓展】(1)求規(guī)則幾何體的體積,關鍵是確定底面和高,要注意多角度、多方位地觀察,選擇恰當?shù)牡酌婧透?使計算簡便;(2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則幾何體,再進一步求解;(3)求錐體的體積,要選擇適當?shù)牡酌婧透?然后應用公式V=Sh進行計算即可,

23、常用到等積變換法和割補法.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考變式訓練1(2012年河南濮陽模擬)已知一個四棱錐的正(主)視圖和側(左)視圖為兩個完全相同的等腰直角三角形(如圖所示),腰長為1,則該四棱錐的體積為()(A).(B).(C).(D).【解析】由于正(主)視圖和側(左)視圖為兩個全等的等腰直角三角形,可知四棱錐底面為正方形,四個側面為正三角形.其中底面正方形名師診斷專案突破對點集訓決勝高考的邊長為1,四棱錐的高為,所以該四棱錐的體積為V=Sh=12=.【答案】C名師診斷專案突破對點集訓決勝高考熱點二:空間幾何體與球的綜合有關球的知識的考查也是高考中常出現(xiàn)的問題,特別是球與多面體、旋轉(zhuǎn)體

24、等組合的接、切問題.問題多以客觀題的形式呈現(xiàn),屬中檔題目.解決球與其他幾何體的切、接問題,關鍵在于仔細觀察、分析,弄清相關元素的關系,選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關系),達到空間問題平面化的目的.(2012年新課標全國)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且名師診斷專案突破對點集訓決勝高考SC=2,則此棱錐的體積為()(A).(B).(C).(D).【分析】本題是考查三棱錐與球的組合體,由題設條件計算出三棱錐的基本量,而后求出其體積.本題屬于中檔試題,需認真把握幾何體的線面關

25、系和度量關系.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】由題意得,ABC的邊長為1,所以CO1=.在直角COO1中,CO=1,所以OO1=,所以三棱錐S-ABC的高h=.所以幾何體的體積為V=Sh=12=,故選A.【答案】A【歸納拓展】(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時,其直觀圖很難畫清,一般過球心及多面體中的特殊點或線作截面,把空間問題化歸為平面問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系.(2)若球面上四點P、A、B、C構成的線段PA、PB、PC兩兩垂直,且PA名師診斷專案突破對點集訓決勝高考=a,PB=b,PC=c,則4R2=a2+b2+c2,把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體

26、(或其他圖形),從而顯示出球的數(shù)量特征,這是一種常用的好方法.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考變式訓練2(2012年濟南調(diào)研)如圖是一個空間幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】設該幾何體的外接球的半徑為R.依題意知,該幾何體是如圖所示的三棱錐A-BCD,其中AB平面BCD,AB=2,BC=CD=,BD=2,BCDC,因此可將該三棱錐補形為一個長方體,于是有(2R)2=22+()2+()2=8,即4R2=8,則該幾何體的外接球的表面積為4R2=8.【答案】8名師診斷專案突破對點集訓決勝高考熱點三:直線、平面平行與垂直的判斷、證明線與面、面與面平行

27、或垂直關系的證明是立體幾何初步考查的基本內(nèi)容,故備考中要加強訓練,熟練運用.在運用中體會判定定理條件的運用,包括思路分析、方法確認、書寫表達規(guī)范,尤其是在表達規(guī)范性上,一定要推理充分,論證有力,思路清晰,邏輯嚴密.如圖,在七面體ABC-DEFG中,平面ABC平面DEFG,AD平面DEFG,ABAC,EDDG,EFDG,且AC=EF=1,AB=AD=DE=DG=2.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(1)求證:平面BEF平面DEFG;(2)求證:BF平面ACGD;(3)求三棱錐A-BCF的體積.【分析】(1)要證平面BEF平面DEFG,由題設條件可以看出,只要能夠證明平面BEF內(nèi)的BE平面DEFG

28、即可;(2)要證直線BF平面ACGD成立,只需證BF平行平面ACGD內(nèi)的一條直線即可,由題設條件知EFCA,這也為下一步的解題打開了想象的空間.【解析】(1)平面ABC平面DEFG,平面ABC平面ADEB=AB,平面DEFG平面ADEB=DE,ABDE.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考AB=DE,四邊形ADEB為平行四邊形,BEAD.AD平面DEFG,BE平面DEFG,BE平面BEF,平面BEF平面DEFG.(2)取DG的中點M,連接AM、FM,則有DM=DG=1,又EF=1,EFDG,四邊形DEFM是平行四邊形,名師診斷專案突破對點集訓決勝高考DEFM,又ABDE,ABFM,四邊形ABFM是

29、平行四邊形,BFAM.又BF平面ACGD,故BF平面ACGD.(3)平面ABC平面DEFG,F到平面ABC的距離為AD.VA-BCF=VF-ABC=SABCAD=(12)2=.【歸納拓展】(1)線面平行可依據(jù)判定定理,只要找到平面內(nèi)的一條直線與這條直線平行即可.(2)證明面面垂直的方法:證明一個面過另一個面的垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,一般先從現(xiàn)有直線中尋找,若圖中不存在這樣的直線,則借助中點、高線或添加輔助線來解決.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考變式訓練3(2012江蘇鎮(zhèn)江調(diào)研試題)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA=PB,底面ABCD是菱形,且ABC=60,點M是AB的中點,

30、點E在棱PD上,滿足DE=2PE.求證:(1)平面PAB平面PMC;(2)直線PB平面EMC.【解析】(1)PA=PB,M是AB的中點,PMAB.底面ABCD是菱形,BA=BC.ABC=60,ABC是等邊三角形,CMAB.PMCM=M,AB平面PMC.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考AB平面PAB,平面PAB平面PMC.(2)連接BD交MC于F,連接EF.由CD=2BM,CDBM,易得CDFMBF.DF=2BF.又DE=2PE,EFPB.EF平面EMC,PB平面EMC,PB平面EMC.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考熱點四:空間向量在立體幾何中的應用利用空間向量解決立體幾何問題是高考的熱點,是

31、每年高考的必考內(nèi)容.主要涉及直線、平面位置關系的判定,空間角的求法和空間幾何體體積的計算.題目多以解答題的形式出現(xiàn),屬中檔題.其一般解題步驟為:(1)建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)求出相關點的坐標;(3)寫出向量坐標;(4)結合公式進行論證、計算;(5)轉(zhuǎn)化為幾何結論.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,ACB=90,2AC=AA1=BC=2,D為側棱AA1上一點.(1)若D為AA1的中點,求證:平面B1CD平面B1C1D;(2)若二面角B1-DC-C1的大小為60,求AD的長.【分析】本題是以三棱柱為載體考查空間中的面面垂直的判定及二面角

32、的問題.第(1)問面面垂直問題,可轉(zhuǎn)化為線面垂直問題;第(2)問可由二面角這一條件,建立關于AD邊長的方程式,解方程即可.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】(1)如圖,以C為坐標原點,CA、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,1).得=(0,2,0),=(-1,0,1),=(1,0,1).由=(1,0,1)(0,2,0)=0,得CDC1B1.由=(1,0,1)(-1,0,1)=0,得CDDC1.又DC1C1B1=C1,CD平面B1C1D.又CD平面B1CD,平面B1CD平面B1

33、C1D.(2)設AD=a,則D點坐標為(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2).名師診斷專案突破對點集訓決勝高考設平面B1CD的一個法向量為m=(x,y,z),則 令z=-1,得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一個法向量為n=(0,1,0),則由cos 60=,得=,即a=,故AD=.【歸納拓展】求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考變式訓練4如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,BB1平面ABC,AB

34、平面BB1C1C.(1)求直線C1B與底面ABC所成角的正切值;(2)在棱CC1(不包括端點)上確定一點E的位置,使EAEB1(要求說明理由);(3)在(2)的條件下,若AB=,求二面角A-EB1-A1的大小.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】以B為坐標原點,BC、BB1、AB所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0).(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC的一個法向量為=(0,2,0),又=(1,2,0),設BC1與平面ABC所成的角為,則sin =|cos|=,名師診斷專案突破對點集訓決勝高考tan

35、=2,即直線C1B與底面ABC所成角的正切值為2.(2)設E(1,y,0),A(0,0,z),則=(-1,2-y,0),=(-1,-y,z),EAEB1,=1-y(2-y)=0,y=1,即E(1,1,0),E為CC1的中點.(3)由題知A(0,0,),則=(1,1,-),=(1,-1,0),設平面AEB1的一個法向量為n=(x1,y1,z1),則 令x1=1,則n=(1,1,),=(1,1,0),=1-1=0.BEB1E.又BEA1B1,BE平面A1B1E.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考平面A1B1E的一個法向量為=(1,1,0),|cos|=.二面角A-EB1-A1的大小為45.名師診斷專

36、案突破對點集訓決勝高考熱點五:立體幾何中的探索性(或開放性)問題立體幾何中已知結論尋求結論成立的條件(或是否存在問題),能較好地考查學生的邏輯推理能力和空間想象能力,能很好地體現(xiàn)新課標高考的特點,故在近年的高考命題中備受青睞,成為高考命題的熱點,常見有條件探索型問題、結論探索型問題、信息遷移型問題等.解決探索型問題的基本策略是弄清題意,抓住命題所考查的知識點,將所學知識進行合理整合、提升與遷移.三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,所有棱的長都是2,M是BC邊的中點,試問在側棱CC1上是否存在點N,使得異面直線AB名師診斷專案突破對點集訓決勝高考1和MN所成的角等于45?若存在,求出

37、點N的位置;若不存在,請說明理由.【分析】本例是“條件探索型”問題,解答此類問題時,常先假設點存在,若推證無矛盾,則點存在;若推證出矛盾,則點不存在.【解析】如圖,以A為原點,建立空間直角坐標系A-xyz,由題意有:A(0,0,0),B1(,1,2),M(,0),假設在側棱CC1上存在點N,名師診斷專案突破對點集訓決勝高考使得異面直線AB1和MN所成的角等于45,可設N(0,2,m)(0m2),則=(,1,2),=(-,m),|=2,|=,=2m-1.異面直線AB1和MN所成的角等于45,和的夾角是45或135,又cos=,=,解得m=-,但-0,2,名師診斷專案突破對點集訓決勝高考點N不在側

38、棱CC1上,即在側棱CC1上不存在點N,使得異面直線AB1和MN所成的角等于45.【歸納拓展】利用向量法解答立體幾何中的“探索型”問題時,常把“是否存在”問題,轉(zhuǎn)化為“方程是否有解”或“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等問題,這也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與方程思想的應用.如本例探究點N是否存在的問題,轉(zhuǎn)化為與點N坐標相關的方程是否有解的問題.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考變式訓練5(2012年福建)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD中點.(1)求證:B1EAD1;(2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的長,若不存在,說明理由;(3)若二面角A-

39、B1E-A1的大小為30,求AB的長.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】(1)以A為原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖),設AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1),故=(0,1,1),=(-,1,-1),=(a,0,1),=(,1,0).=-0+11+(-1)1=0,B1EAD1.(2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0,z0),使得DP平面B1AE,此時=(0,-1,z0).又設平面B1AE的法向量n=(x,y,z).名師診斷專案突破對點集訓決勝高考n平面B1AE,n,n,得取x=1,得平面

40、B1AE的一個法向量n=(1,-,-a).要使DP平面B1AE,只要n,有-az0=0,解得z0=.又DP平面B1AE,存在點P,滿足DP平面B1AE,此時AP=.(3)連接A1D,B1C,由長方體ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1A1D.B1CA1D,AD1B1C.又由(1)知B1EAD1,且B1CB1E=B1,名師診斷專案突破對點集訓決勝高考AD1平面DCB1A1,是平面A1B1E的一個法向量,此時=(0,1,1).設與n所成的角為,則cos =.二面角A-B1E-A1的大小為30,|cos |=cos 30,即=,解得a=2,即AB的長為2.名師診斷專案突破對點集訓決

41、勝高考熱點六:翻折問題空間圖形的翻折問題是高考命題的亮點之一,它能夠較好地考查學生的空間想象能力、圖形變換能力及識圖能力.選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn),尤其解答題為多,屬中檔難度試題.(2012年北京)如圖1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點,且DEBC,DE=2,將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如圖2.(1)求證:A1C平面BCDE;名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(2)若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大小;(3)線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【

42、分析】第(1)問判斷線面位置關系的問題,易證,且可以充分地利用垂直條件,建立空間直角坐標系,也為第(2)、(3)問的解答建立了基礎,第(3)問是探索性問題,常轉(zhuǎn)化為方程是否有解的問題.【解析】(1)因為ACBC,DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC,所以DEA1C.又因為A1CCD,所以A1C平面BCDE.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(2)如圖,以C為坐標原點,建立空間直角坐標系C-xyz,則A1(0,0,2),D(0,2,0),M(0,1,),B(3,0,0),E(2,2,0).設平面A1BE的法向量為n=(x,y,z),則n=0,n=0.又=(3,0,

43、-2),=(-1,2,0),所以 令y=1,則x=2,z=.所以n=(2,1,),設CM與平面A1BE所成的角為,因為=(0,1,),名師診斷專案突破對點集訓決勝高考所以sin =|cosn,|=|=.所以CM與平面A1BE所成角的大小為.(3)線段BC上不存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直,理由如下:假設這樣的點P存在,設其坐標為(p,0,0),其中p0,3.設平面A1DP的法向量為m=(x,y,z),則m=0,m=0,又=(0,2,-2),=(p,-2,0),名師診斷專案突破對點集訓決勝高考所以 令x=2,則y=p,z=.所以m=(2,p,).平面A1DP平面A1BE,當且僅當mn

44、=0,即4+p+p=0.解得p=-2,與p0,3矛盾.所以線段BC上不存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【歸納拓展】(1)解決與翻折有關的問題的關鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量,一般情況下,線段的長度是不變量,而位置關系往往會發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.(2)在解決問題時,要綜合考慮折疊前后的圖形.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考變式訓練6(2012年河南許昌質(zhì)檢)已知四邊形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,BAD=45,DEAB(如圖1).現(xiàn)將ADE沿DE折起,使得AEEB(如圖2),連結AC,AB,設M是AB的中點.(1)求證:

45、BC平面AEC;(2)判斷直線EM是否平行于平面ACD,并說明理由.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】(1)在圖1中,過C作CFEB,垂足為F.DEEB,四邊形CDEF是矩形,CD=1,EF=1.四邊形ABCD是等腰梯形,AB=3,AE=BF=1.BAD=45,DE=CF=1.則CE=CB=.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考EB=2,BCE=90,則BCCE.在圖2中,AEEB,AEED,EBED=E,AE平面BCDE.BC平面BCDE,AEBC.AECE=E,BC平面AEC.(2)假設EM平面ACD.EBCD,CD平面ACD,EB平面ACD,EB平面ACD,EBEM=E,平面AEB平面

46、ACD.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考而A平面AEB,A平面ACD,與平面AEB平面ACD矛盾.假設不成立,EM與平面ACD不平行. 限時訓練卷(一)一、選擇題名師診斷專案突破對點集訓決勝高考1.一個簡單幾何體的正(主)視圖、側(左)視圖如圖所示,則其俯視圖不可能為:長方形;正方形;圓;橢圓.其中正確的是()(A).(B).(C).(D).【解析】根據(jù)畫三視圖的規(guī)則“長對正,高平齊,寬相等”可知,該幾何體的三視圖不可能是圓和正方形.【答案】B名師診斷專案突破對點集訓決勝高考2.一長方體木料,沿圖1所示平面EFGH截長方體,若ABCD,那么圖2四個圖形中是截面的是()【解析】AB、MN兩條交線

47、所在平面(側面)互相平行,故AB、MN無公共點,又AB、MN在平面EFGH內(nèi),故ABMN,同理易知ANBM,又ABCD,截面必為矩形.【答案】A名師診斷專案突破對點集訓決勝高考3.有一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖(單位:cm),則該幾何體的表面積為()(A)12 cm2.(B)15 cm2.(C)24 cm2.(D)36 cm2.【解析】該幾何體是底面半徑等于3,母線長等于5的圓錐,其表面積S表=35+32=24 cm2.【答案】C名師診斷專案突破對點集訓決勝高考4.某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是半圓,則該幾何體的表面積為()(A).(B)+.(C)+.(D)+.【解析】由三視圖可知該

48、幾何體為半個圓錐,底面半徑為1,高為,表面積S=2+12+12=+.【答案】C名師診斷專案突破對點集訓決勝高考5.用若干個棱長為1的正方體搭成一個幾何體,其正(主)視圖、側(左)視圖都是如圖的圖形,對這個幾何體,下列說法正確的是()(A)這個幾何體的體積一定是7.(B)這個幾何體的體積一定是10.(C)這個幾何體的體積的最小值是6,最大值是10.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考(D)這個幾何體的體積的最小值是5,最大值是11.【解析】易知其俯視圖如圖,由其正(主)視圖與側(左)視圖知5必為3塊,若“1和9”或“3和7”各有1塊,則最小體積為5.最大體積為5有3塊,其余各有1塊,共11塊,故選D

49、.【答案】D名師診斷專案突破對點集訓決勝高考6.將棱長為3的正四面體的各頂點截去四個棱長為1的小正四面體(使截面平行于底面),所得幾何體的表面積為()(A)7.(B)6.(C)3.(D)9.【解析】原正四面體的表面積為4=9,每截去一個小正四面體,表面減小三個小正三角形,增加一個小正三角形,故表面積減少42=2,故所得幾何體的表面積為7.【答案】A名師診斷專案突破對點集訓決勝高考7.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積等于()(A)4.(B)6.(C)8.(D)12.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】幾何體底面是兩底長為2和4,高為2的直角梯形,四棱錐的高為2,故V=(2+4)

50、22=4.【答案】A名師診斷專案突破對點集訓決勝高考8.如圖所示是某一容器的三視圖,現(xiàn)向容器中勻速注水,容器中水面的高度h隨時間t變化的圖象是()名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】由三視圖知該容器是一倒放的圓錐形容器,因其下部體積較小,勻速注水時,開始水面上升較快,后來水面上升較慢,圖象B符合題意.【答案】B名師診斷專案突破對點集訓決勝高考9.如圖,在多面體ABCDEF中,已知ABCD是邊長為1的正方形,且ADE、BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為()(A).(B).(C).(D).名師診斷專案突破對點集訓決勝高考【解析】如圖,分別過點A、B作EF的垂線,垂足分別

51、為G、H,連結DG、CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,SAGD=SBHC=1=,V=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=+1=.故選A.【答案】A名師診斷專案突破對點集訓決勝高考10.已知一幾何體的三視圖如圖,正(主)視圖和側(左)視圖都是矩形,俯視圖為正方形,在該幾何體上任意選擇4個頂點,它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點,這些幾何形體是(寫出所有正確結論的編號).二、填空題名師診斷專案突破對點集訓決勝高考矩形;不是矩形的平行四邊形;有三個面為直角三角形,有一個面為等腰三角形的四面體;每個面都是等腰三角形的四面體;每個面都是直角三角形的四面體.【解析】由該幾何

52、體的三視圖可知該幾何體為底面邊長為a,高為b的長方體,這四個頂點的幾何形體若是平行四邊形,則一定是矩形.【答案】名師診斷專案突破對點集訓決勝高考11.已知一個圓錐的展開圖如圖所示,其中扇形的圓心角為120,底面圓的半徑為1,則該圓錐的體積為.【解析】因為扇形弧長為2,所以圓錐母線長為3,高為2,體積V=122=.【答案】 名師診斷專案突破對點集訓決勝高考12.半徑為2的半球內(nèi)內(nèi)接一個底面為正六邊形,側棱長都相等的六棱錐P-ABCDEF,當六棱錐的體積最大時,六棱錐的側面積是.【解析】由題意可知,P在圓面上的射影是圓心O.易得PO=2,AO=2,AF=2,PA=2.SPAF=AF=,六棱錐的側面

53、積為6.【答案】6 名師診斷專案突破對點集訓決勝高考三、解答題13.如圖,平行四邊形ABCD中,DAB=60,AB=2,AD=4.將CBD沿BD折起到EBD的位置,使平面EBD平面ABD.(1)求證:ABDE;(2)求三棱錐E-ABD的側面積.【解析】(1)在ABD中,AB=2,AD=4,DAB=60,BD=2.AB2+BD2=AD2,ABBD.又平面EBD平面ABD,平面EBD平面ABD=BD,AB平面ABD,名師診斷專案突破對點集訓決勝高考AB平面EBD.DE平面EBD,ABDE.(2)由(1)知ABBD.CDAB,CDBD,從而DEBD.在RtDBE中,DB=2,DE=DC=AB=2,S

54、DBE=DBDE=2.又AB平面EBD,BE平面EBD,ABBE.BE=BC=AD=4,SABE=ABBE=4.DEBD,平面EBD平面ABD,ED平面ABD.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考而AD平面ABD,EDAD,SADE=ADDE=4.綜上,三棱錐E-ABD的側面積S=8+2.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考1.l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是()(A)l1l2,l2l3l1l3.(B)l1l2,l2l3l1l3.(C)l1l2l3l1,l2,l3共面.(D)l1,l2,l3共點l1,l2,l3共面.【解析】當l1l2,l2l3時,l1也可能與l3相交或異面,故

55、A不正確;l1l2,l2l3l1l3,故B正確;當l1l2l3時,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三條側棱,故C不正確;l1,l2,l3共點時,l1,l2,l3未必共面,如正方體中從同一頂點出發(fā)的三條棱,故D不正確.【答案】B限時訓練卷(二)一、選擇題名師診斷專案突破對點集訓決勝高考2.如圖,在四面體ABCD中,若截面PQMN是正方形,則在下列命題中,錯誤的是()(A)ACBD.(B)AC截面PQMN.(C)AC=BD.(D)異面直線PM與BD所成的角為45.【解析】截面PQMN為正方形,PQMN,PQ平面DAC.又面ABC面ADC=AC,PQ面ABC,PQAC,同理可證QMBD.故選項A

56、、B、D正確,C錯誤.【答案】C名師診斷專案突破對點集訓決勝高考3.如圖,已知ABC為直角三角形,其中ACB=90,M為AB中點,PM垂直于ABC所在平面,那么()(A)PA=PBPC.(B)PA=PB0),AD=a,則DD1=a,連接MF.若DF平面D1MB,則有DFD1B,DFFM.在RtBDD1中,DF=.又F、M分別是BD1,CC1的中點,易證FM=a,又DM=a,在RtDFM中,DF2+FM2=DM2,即+a2=a2,解得2=2,=,當=時,DF平面D1MB.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考1.若不同直線l1,l2的方向向量分別為,v,則下列直線l1,l2中既不平行也不垂直的是()(

57、A)=(1,2,-1),v=(0,2,4).(B)=(3,0,-1),v=(0,0,2).(C)=(0,2,-3),v=(0,-2,3).(D)=(1,6,0),v=(0,0,-4).【解析】A項中v=0+4-4=0,l1l2;C項中=-v,v共線,故l1l2;D項中,v=0+0+0=0,l1l2.【答案】B限時訓練卷(三)一、選擇題名師診斷專案突破對點集訓決勝高考2.設A、B、C、D是空間不共面的四個點,且滿足=0,=0,=0,則BCD的形狀是()(A)鈍角三角形.(B)直角三角形.(C)銳角三角形.(D)無法確定.【解析】=(-)(-)=-+=0,同理0,0,BCD是銳角三角形.【答案】C

58、名師診斷專案突破對點集訓決勝高考3.已知向量m,n分別是直線l和平面的方向向量和法向量,若cos=-,則l與所成的角為()(A)30.(B)60.(C)120.(D)150.【解析】cos=-,=120.故線面角=120-90=30.【答案】A名師診斷專案突破對點集訓決勝高考4.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,則實數(shù)x,y,z分別為()(A),-,4.(B),-,4.(C),-2,4.(D)4,-15.【解析】,=0,即3+5-2z=0,得z=4.又BP平面ABC,則解得 【答案】B名師診斷專案突破對點集訓決勝高考5.在正方體ABCD-A

59、1B1C1D1中,點E為BB1的中點,則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()(A).(B).(C).(D).【解析】如圖,以A為原點建立空間直角坐標系,設棱長為1.名師診斷專案突破對點集訓決勝高考則A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0),=(0,1,-1),=(1,0,-).設平面A1ED的法向量為n1=(1,y,z),則n1=(1,2,2).平面ABCD的一個法向量為n2=(0,0,1),cos=.即所成的銳二面角的余弦值為.【答案】B名師診斷專案突破對點集訓決勝高考6.菱形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,AB=2,BCD=60,現(xiàn)將其沿對角線BD折成直

60、二面角A-BD-C(如圖),則異面直線AB與CD所成角的余弦值為()(A).(B).(C).(D).【解析】=(+)(+)=0+0+0-1=-1,而|=|=2,cos=-,故異面直線AB與CD所成角的余弦值為.【答案】C名師診斷專案突破對點集訓決勝高考7.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,AB=BC=AA1,ABC=90,點E、F分別是棱AB、BB1的中點,則直線EF與BC1所成的角是()(A)45.(B)60.(C)90.(D)120.【解析】以B點為坐標原點,以BC、BA、BB1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系.設AB=BC=AA1=2,則B(0,0,0),C