《現(xiàn)代數(shù)值計算》課件4.1引言與問題特例_第1頁
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文檔簡介

1、第 四 章 數(shù) 值 積 分 和 數(shù) 值 微 分學習目標理解求積公式及代數(shù)精度概念，掌握確定求積公式的代數(shù)精度的方法，掌握 Newton-Cotes 求積公式、Romberg算法及Gauss求積公式的構造技術、特點及余項形式。掌握復化梯形求積公式、復化Simpson求積公式的構造技術及余項形式。了解上述求積公式的適用類型并會熟練使用這些公式做數(shù)值積分。了解數(shù)值微分法及 Richardson 加速技術，了解Newton-Cotes求積公式、Gauss 求積公式的穩(wěn)定性問題。（Numerical Integration）4.1 引言與問題特例示例 引言 積分與微分的計算，是具有廣泛應用的古典問題然而

2、，在微積分教材中，只對簡單的或特殊的情況，提供了函數(shù)的積分或微分的解析表達式比如，對于在區(qū)間 上函數(shù)f (x)的積分，只要能找到被積函數(shù)f (x)的原函數(shù)F (x) ，在理論上可以使用Newton-Leibniz公式計算但對很多實際問題，這種方法已無能為力，常常遇到的主要問題有：(1)找不到被積函數(shù)f (x)的原函數(shù)F (x) ，如(2)被積函數(shù)沒有有限的解析表達式，而是由測量數(shù)據(jù)或數(shù)值計算給出的數(shù)據(jù)表示 例4.1 一塊鋁合金的橫斷面為正弦波，要求原材料鋁合金板的長度。也就是f (x)=sinx 從x=0到x=b的曲線弧長L，可用積分表示為這是一個橢圓積分計算問題。例4.2 正態(tài)分布是統(tǒng)計學中

3、的重要分布, 正態(tài)分布函數(shù)的簡單形式是 . 該函數(shù)在科學和工程中有很多應用. 對 , 該函數(shù)曲線與軸之間的面積可用積分表示為 因此，積分的數(shù)值計算問題是值得研究的重要問題. 對函數(shù)的微分也一樣，以表格形式給出的函數(shù)，要求出其導數(shù)時，也是要依靠數(shù)值微分的方法 例4.3 已知一組實測數(shù)值 其數(shù)學模型是一個二階常微分方程 需要確定模型中的待定參數(shù)a和b如果能由實測數(shù)值得到 和 的數(shù)值，代入模型中就可用最小二乘法確定a和b.這是一個計算數(shù)值微分值的問題所謂關于的數(shù)值積分公式，就是一類公式，它是用被積函數(shù)f (x)在a,b區(qū)間上的一些節(jié)點xk 處的函數(shù)值f (xk )的線性組合來近似作為待求定積分的值，即右端公式稱為左端定積分的某個數(shù)值積分公式其中xk稱為積分節(jié)點, Ak為求積系數(shù), 也稱之為

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