江蘇省南通市2018屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題含答案

1、南通市2018屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)I一、選擇題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.已知集合A 1,0,a , B 0,而.若B A,則實(shí)數(shù)a的值為 . .1 4i.已知復(fù)數(shù)z ,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) z的實(shí)部為.1 i.已知某校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)分別為400, 400, 500.為了解該校學(xué)生的身高情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為65的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取 名學(xué)生. TOC o 1-5 h z .根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果 S為 . r* ：ST：ii I!I:：:fI1End WhiteIPrin

2、ts.某同學(xué)欲從數(shù)學(xué)建模、航模制作、程序設(shè)計(jì)和機(jī)器人制作4個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選擇 2個(gè)，則數(shù)學(xué)建模社團(tuán)被 TOC o 1-5 h z 選中的概率為.X 1,.若實(shí)數(shù)x, y滿足 y 3, 則2x y的最大值為.x y 1 0,22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F為拋物線y2 8x的焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線2 1的漸近線169的距離為.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，若a2 1, a8 a6 6a4,則a3的值為.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 將函數(shù)y sin 2x 的圖像向右平移 01 個(gè)單位長(zhǎng)度.若平 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 32移后得到

3、的圖像經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為 .若曲線y xln x在x 1與x t處的切線互相垂直，則正數(shù) t的值為 .已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高都為6cm的正三棱柱零件，則該正三棱柱的.如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛胚是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的4cm ,圓柱的底面積為973cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為(不計(jì)損耗).如圖，已知矩形 ABCD的邊長(zhǎng)AB 2, AD 1.點(diǎn)P, Q分別在邊BC , CD上，且PAQ 45.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A( 4,0) , B(0,4),從直線AB上一點(diǎn)P向圓x22y 4引兩條切線PC , PD ,切點(diǎn)分別為C , D .設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M ,則線段A

4、M長(zhǎng)的最大值為.已知函數(shù)f (x)2x 2ax a 1,x 0,2g(x) x 1 2a.若函數(shù)y f (g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) ln( x),x 0,a的取值范圍是.三、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.).如圖，在三麴隹P ABC中，AB PC, CA CB, M是AB的中點(diǎn).點(diǎn)N在PC上，點(diǎn)D是BN的中點(diǎn).求證：(1) MD/平面PAC;(2)平面ABN 平面PMC.16.在 ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別是a, b, c,且a2 b2 c2 bc , a -b.(1)求sin B的值;(2)求cos C

5、的值. 12217.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓22 a2y1 (a b 0)的離心率為,兩條準(zhǔn)線之間的2距離為4.2 .(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)M在圓x2 y28 ,一上，直線AM與橢圓相交于另一點(diǎn) B ,且 AOB的 9面積是 AOM的面積的2倍，求直線 AB的方程.18.如圖，某小區(qū)中央廣場(chǎng)由兩部分組成，一部分是邊長(zhǎng)為80cm的正方形 ABCD,另一部分是以 AD為直徑的半圓，其圓心為 O .規(guī)劃修建的3條直道AD , PB, PC將廣場(chǎng)分割為6個(gè)區(qū)域：I、出、V為綠化區(qū)域(圖中陰影部分)，n、IV、W為休閑區(qū)域，其中點(diǎn) P在半圓弧上，AD分別

6、與PB, PC相交于點(diǎn)E , F .(道路寬度忽略不計(jì))(1)若PB經(jīng)過(guò)圓心，求點(diǎn) P到AD的距離;(2)設(shè) POD ,0,-.試用表示EF的長(zhǎng)度；當(dāng)sin為何值時(shí)，綠化區(qū)域面積之和最大.已知函數(shù)g(x) x3 ax2 bx(a,b R)有極值，且函數(shù)f(x) (x a)ex的極值點(diǎn)是g(x)的極值點(diǎn)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)a 0時(shí)，若函數(shù)F(x) f(x) g(x)的最小值為M(a),證明：m Z.3.若數(shù)列an同時(shí)滿足：對(duì)于任意的正整數(shù)n , aa 1 an恒成立；對(duì)于給定的正整數(shù)k ,an k an k 2an

7、對(duì)于任意的正整數(shù) n(n k)恒成立，則稱(chēng)數(shù)列an是“ R(k)數(shù)列”.2n 2,n為奇數(shù)，.(1)已知an4,由的判斷數(shù)列an是否為“ R(2)數(shù)列”，并說(shuō)明理由；2n,n為偶數(shù)，已知數(shù)列出是“ R(3)數(shù)列”，且存在整數(shù)P(P 1),使得b3P 3 , b3p 1 , b3p 1 , b3P 3成等差數(shù)列， 證明：bn是等差數(shù)列.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 . 若多做，則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.選彳4-1 :幾何證明選講如圖，已知eQ的半徑為2, eO2的半徑為1,兩圓外切于點(diǎn)T.點(diǎn)P為eO1上

8、一點(diǎn)，PM與eO2切于 點(diǎn)M .若PM J3 ,求PT的長(zhǎng).“041 x已知x R,向量 是矩陣A的屬于特征值10 2的一個(gè)特征向量，求與A1C.選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程_x t 1在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線y x與曲線 2y t2 1t為參數(shù))相交于 A, B兩點(diǎn)，求線段 AB的D.選彳4-5 :不等式選講人22已知a 1 , b 1,求的最小值.a 1 b 1【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域 內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22.如圖，在四棱錐 P ABCD中，AP , AB , AD兩兩垂直，BC/AD,AP AB AD

9、4 ,BC 2.(1)求二面角P CD A的余弦值;(2)已知點(diǎn)H為線段PC上異于C的點(diǎn)，且DCDH ,求-PH的值.PC23. (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) n N*時(shí),cosx cos2x cos3xcosnx一一 1 sin n x 2 19 . 122sin - xx R,且 x 2kk Z);求sin62sin 63sin364sin 62018sin2018 的值.6、選擇題1. 12.5. 16.2南通市2018屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評(píng)分建議3.254.107.68.、35110. e 11.2 1012.4 2 465 113. 3 214.2 ,1 U 1,二、

10、解答題15.【證明】（1）在 ABN中，M是AB的中點(diǎn)，D是BN的中點(diǎn)，所以 MD /AN .又因?yàn)锳N 平面PAC , MD 平面PAC ,所以MD/平面PAC.(2)在 ABC中，CA CB, M是AB的中點(diǎn)，所以AB MC ,又因?yàn)?AB PC, PC 平面 PMC, MC 平面 PMC , PCI MC C, 所以AB 平面PMC .所以平面ABN 平面PMC .16.【解】(1)在 ABC中，根據(jù)余弦定理及又因?yàn)锳B 平面ABN ,222222b c aa b c bc 得，cos A 2bc又因?yàn)锳 0,，所以A . 3a b TOC o 1-5 h z 在ABC中，由正弦定理得，

11、sin A sin Bb . a 235sin B -sin A.a .15250 B -.315 一一(2)因?yàn)閍 b b ,所以A B ,即得 TOC o 1-5 h z 又 sin B 5 ,所以 cosB .1 sin2 B 25 . 55在 ABC 中，ABC ,所以 cos(C ) cos( A B 一) 1212cos(B )4cosB cos sin Bsin 442.5 工、5、,2. 10.52521017.【解】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意得， 近，曳 472 a 2 c解得a 2 , c 夜，所以b 72.22所以橢圓的方程為1.42(2)方法一：因?yàn)镾AOB2sA

12、OM所以AB 2AM ,所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).22因?yàn)闄E圓的方程為 J L 1,42所以 A( 2,0).設(shè) M(%,yo),則 B(2xo 2,2y0).22所以x2y29，11,2由得9x2 18xo 16 0 ,-28斛得x0,x0一(舍去)33，一 2 一2把Xo2代入，得y033一,1所以kAB二，2_因此，直線AB的萬(wàn)程為y (x2)即x 2y20,x 2y20.方法二：因?yàn)镾 aob 2s aom ,所以AB 2AM ,所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).設(shè)直線ab的方程為yk(x 2).2 x由Ty2匕1,曰2,得(1k(x 2),2k2)x2 8k2x8k20,所以(x_ 22)(1 2k

13、 )x4k22 0,解得xb2 4k21 2k2所以xMXb ( 2)24k21 2k2k(xM2)2kZ2，1 2k代入9得(4k2 )21 2k2)(12k2k2)28, 9化簡(jiǎn)得28 k42_k 2 0,即(7k2 2)(4k2 1) 0,解得1所以，直線 AB的方程為y 1(x22)即 x 2y2 0, x 2y 2 0.【解】以AD所在直線為x軸，以線段 AD的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(1)直線pb的方程為y 2x,半圓O的方程為x2 y2 402 ( y 0),y 2x,一由 222 得 y 16v5.x2 y2 402 (y 0),所以，點(diǎn)P到AD的距離為16而m.學(xué)V V

14、I由題意，得 P(40cos ,40sin ).直線PB的方程為y 80sin 2cos 1(x 40),0,得Xe80cos 80 m40sin 280cos 40sin直線PC的方程為y 80sinsin 280coscos80(x 40),所以,EF的長(zhǎng)度為sin 280cos 40sin40sinf()80sinXf Xe一sin0,.區(qū)域IV、VI的面積之和為“ 80sin80 sin806400sin區(qū)域n的面積為EF40sin80sin sin40sin1600sin 2sinS21600sin2sin6400 (02).設(shè)sint 3,_ 21600(t 2)t64001600

15、(t，4) 1600(2.8 4)6400( - 21).當(dāng)且僅當(dāng)t2垃,即sin2，2 2時(shí)“ ”成立.所以，休閑區(qū)域n、iv、w的面積 G S2的最小值為6400(72 1)m2.答：當(dāng)sin 2M 2時(shí)，綠化區(qū)域I、出、V的面積之和最大1.【解】 因?yàn)?f(x) ex (x a)ex (x a 1)ex,令 f(x) 0,解得 x a 列表如下.x(,a 1)a 1(a 1,)f (x)0f(x)極小值Z所以x a 1時(shí)，f(x)取得極小值.因?yàn)?g (x) 3x2 2ax b ,由題意可知g( a 1) 0,且4a2 12b 0所以 3( a 1)2 2a( a 1) b 0,化簡(jiǎn)得b

16、a2 4a 3 , TOC o 1-5 h z m22口3由4a2 12b 4a2 12(a 1)(a 3) 0,得 a -.2一3所以 b a2 4a 3, a 二. 2因?yàn)?F(x) f (x) g(x) (xa)ex(x3ax2bx),所以 F(x)f(x) g (x) (x a1)ex3x22ax(a1)(a 3)(x a 1)ex (x a 1)(3x a 3)(x a 1)(ex 3x a 3)記 h(x) ex 3x a 3,則 h(x) ex 3,令 h(x) 0,解得 x ln3 .列表如下.x(,ln 3)ln3(ln 3,)h(x)0h(x)極小值Z所以x ln3時(shí)，h(

17、x)取得極小值，也是最小值，此時(shí)，h(ln 3) eln3 3ln 3 a 3 6 3ln3 a23(2 ln3) a 3(ln ) a a 0.3令 F (x) 0 ,解得 x a 1.列表如下.x(,a 1)a 1(a 1,)F(x)0F(x)極小值Z所以x a 1時(shí)，F(xiàn)(x)取得極小值，也是最小值所以 M(a) F( a 1)a 132(a 1)e(a 1) a( a 1) b( a 1)ea1 (a 1)2(a 2).記 m(t)et t2(1 t)et t3 t2 , t 1,則 m(t)et3t2 2t, t 1.因?yàn)?e 1et0 , 3t2 2t 5,所以m(t) 0 ,所以m

18、(t)單調(diào)遞增.所以 m(t) et 21 27,33所以M(a) 7. 320.【解】(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an 1 an2(n 1) (2n 1) 3 0,所以 an 1 aan 2 an 22(n2) 12(n2)1 2(2n 1) 2an.當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，an1 an(2n1)2n 10,所以 an1 an.an 2 an 22(n 2) 2(n 2) 4n 2街.所以，數(shù)列an是“ R(2)數(shù)列”.(2)由題意可得：bn 3 bn 3 2,則數(shù)列b1, b4, b7,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為 d1 ,數(shù)列b2,b3,b8,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d2,數(shù)列b3,b6,b9,是等差數(shù)列，設(shè)

19、其公差為d3.因?yàn)?bn bn 1 ,所以 b3n 1 b3n 2 b3n 4 ,所以 b1 nd1 b2 nd2 b1 (n 1)d1,所以 n(d2 d1) b1 b2，n(d2 d1) b1 b2 d1 .右d2 d10,則當(dāng)n 時(shí)，不成立；d2 d1 TOC o 1-5 h z 4b1 b2 di ,若2 d10,則當(dāng)n 時(shí)，不成立；d2 d1若d2 d1 0,則和都成立，所以 d1d2.同理得：d1 d3,所以 d1 d2 d3,記 d d2 d3 d.設(shè) b3p 1b3p 3b3p1b3p1 b3p 3 b3p1,則 b3n1b3n 2b3p1(np)d (b3p 1(n p1)d

20、)b3p1 b3p1 d d .同理可得：b3nb3n 1b3n 1b3nd ，所以bn1bnd .所以bn是等差數(shù)列.b3p 1b3p 1【另解】b3p1b3P3b2(p 1)d(b3(p 2)d)b2b3 d ,b1 pd (b2 (p 1)d) b1 b2 d ,b3P 3 b3p i b3 pd (bipd) b3 bi,一 2以上三式相加可得：32d ,所以 一d ,3所以 b3n 2 bi (n 1)d b1 (3n 2 1)d, 3d b3n i b2 (n 1)db1d (n 1)db1 (3n 1 1),3db3nb3 (n 1)db1(n 1)d1bl (3n 1),3 T

21、OC o 1-5 h z dd所以 bn b1 (n 1)一，所以 bn1 bn，33所以，數(shù)列bn是等差數(shù)列21A【解】延長(zhǎng)PT交e O2與點(diǎn)C ,連結(jié) OF , O2C , O1O2,則。2過(guò)點(diǎn) T ,由切割線定理得：PM 2 PC PT 3.因?yàn)?O1TPO2TC ,OP與O2TC均為等腰三角形,所以 01TpO2TC ,所以PTTCP01C022,PT23所以，即PC-PT .PC323因?yàn)镻CPT-PTPT3,所以2PT 2.1 x 0B.【解】由已知得 c 2 12所以 所以Ax 0則AA1 0 a b0 2 cda b2c 2d TOC o 1-5 h z ,1所以 a 1 ,

22、b c 0, d -.21 0所以 2, A 11 .0 -2 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document X t 1cC.【解】曲線 9的普通方程為y X2 2x .y t2 1yx,x0 x1聯(lián)立 2 解得 或yx2x, y0y1所以 A(0,0) , B( 1, 1),所以 AB -,( 1 0)2 ( 1 0)2.2 .所以b2a 1d.【解】因?yàn)閍 1, b 1,a24(a 1) 4b, -a 4(b 1) 4a.b 1兩式相加:b2a 12a4(a 1)4(b 1)b 14b 4a,所以b2a 18.,22當(dāng)且僅當(dāng)_b_ 4(a 1)且-a-

23、a 1b 14(b 1)時(shí)“”成立.2 時(shí)，-ba 12-a取得最小值8.b 1uuir uuur uur22.【解】以 AB,AD,AP為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz.則 A(0,0,0) , B(4,0,0) , C(4,2,0) , D(0,4,0) , P(0,0,4)uuiruuir(1)由題意可知，DP (0, 4,4), DC (4, 2,0).ur設(shè)平面PCD的法向量為n1 (x,y,z),ur uuurn1 DP 0 4y 4z 0則 ur uuur 即令x 1 ,n1 DC 0 4x 2y 02, z 2.所以u(píng)rR (1,2,2).平面ACD的法向量為ur uurcos n，n2ur叫ur ni(0,0,1)，ur所以34)，L_E s，u-turn1國(guó)uuirDC (4, 2,0),uuir 設(shè)PHuurPC(4uuur 則DHuuurDPuuur PH(4,24,44 ),因?yàn)镈CDH ,所以 7(4 )2_2(24)(44 )2、20，化簡(jiǎn)得3又因?yàn)辄c(diǎn)H異于點(diǎn)C