廣西專用2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題專項(xiàng)練4高考中的立體幾何含解析新人教A版文2

1、PAGE PAGE 9高考大題專項(xiàng)練四高考中的立體幾何1.如圖,D為圓錐的頂點(diǎn),O是圓錐底面的圓心,ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點(diǎn),APC=90.(1)證明:平面PAB平面PAC;(2)設(shè)DO=2,圓錐的側(cè)面積為3,求三棱錐P-ABC的體積.2.(2021全國(guó))已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),BFA1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積;(2)已知D為棱A1B1上的點(diǎn),證明:BFDE.3.由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與

2、BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E平面ABCD.(1)證明:A1O平面B1CD1;(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn),證明:平面A1EM平面B1CD1.4.如圖,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABC=60,AA1=AC=2,A1B=A1D=22,點(diǎn)E在A1D上.(1)證明:AA1平面ABCD;(2)當(dāng)A1EED為何值時(shí),A1B平面EAC,并求出此時(shí)三棱錐D-AEC的體積.5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點(diǎn).(1)求證:BD平面PAC;(2)若ABC=60,求證:平面PAB平面PAE;(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF平面PAE?說(shuō)明

3、理由.6.如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.(1)證明:G是AB的中點(diǎn);(2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.7.(2021寧夏銀川模擬)如圖,矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點(diǎn),把ADE沿AE翻折,使得平面ADE平面ABCE.(1)求證:ADBE;(2)在CD上確定一點(diǎn)F,使AD平面BEF;(3)求四棱錐F-ABCE的體積.8.如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M

4、,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn).過(guò)B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)設(shè)O為A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN=3,求四棱錐B-EB1C1F的體積.答案：1.(1)證明由題設(shè)可知,PA=PB=PC.由于ABC是正三角形,故可得PACPAB,PACPBC.又APC=90,故APB=90,BPC=90.從而PBPA,PBPC,故PB平面PAC,所以平面PAB平面PAC.(2)解設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l.由題設(shè)可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.從而AB=3.

5、由(1)可得PA2+PB2=AB2,故PA=PB=PC=62.所以三棱錐P-ABC的體積為1312PAPBPC=1312623=68.2.(1)解在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1A1B1,BFA1B1,BB1BF=B,BB1,BF平面BCC1B1,A1B1平面BCC1B1.ABA1B1,AB平面BCC1B1,ABBC.AB=BC=2,AC=22+22=22,CE=BE=2.CF=12CC1=12AB=1,V三棱錐F-EBC=13SEBCCF=1312221=13.(2)證明如圖,連接A1E,取BC中點(diǎn)M,連接B1M,EM.E,M分別為AC,BC中點(diǎn),EMAB.又ABA1B1,A1B1E

6、M,則點(diǎn)A1,B1,M,E四點(diǎn)共面,故DE平面A1B1ME.又在側(cè)面BCC1B1中,FCBMBB1,FBM=MB1B.又MB1B+B1MB=90,FBM+B1MB=90,BFMB1.又BFA1B1,MB1A1B1=B1,MB1,A1B1平面A1B1ME,BF平面A1B1ME,BFDE.3.證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1,連接CO1,A1O1,因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是四棱柱,四邊形ABCD為正方形,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因?yàn)锳CBD,E,M分別為

7、AD和OD的中點(diǎn),所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因?yàn)锽1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.4.(1)證明因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,ABC=60,所以AB=AD=AC=2.在AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1AB.同理,AA1AD.又因?yàn)锳BAD于點(diǎn)A,所以AA1平面ABCD.(2)解當(dāng)A1EED=1時(shí),A1B平面EAC.證明如下:連接BD交AC于O,當(dāng)A1EED=1,即點(diǎn)E為A1D的中點(diǎn)時(shí),連接OE,則O

8、EA1B,所以A1B平面EAC.設(shè)AD的中點(diǎn)為F,連接EF.則EFAA1,所以EF平面ACD,且EF=1,可求得SACD=3.所以VE-ACD=1313=33,即VD-AEC=VE-ACD=33.5.(1)證明因?yàn)镻A平面ABCD,所以PABD.又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,所以BDAC.所以BD平面PAC.(2)證明因?yàn)镻A平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,ABC=60,且E為CD的中點(diǎn),所以AECD.所以ABAE.所以AE平面PAB.所以平面PAB平面PAE.(3)解棱PB上存在點(diǎn)F,使得CF平面PAE.取PB的中點(diǎn)F,取PA的中點(diǎn)G,連接CF,FG,EG.

9、則FGAB,且FG=12AB.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,且E為CD的中點(diǎn),所以CEAB,且CE=12AB.所以FGCE,且FG=CE.所以四邊形CEGF為平行四邊形.所以CFEG.因?yàn)镃F平面PAE,EG平面PAE,所以CF平面PAE.6.(1)證明因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以ABPD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點(diǎn).(2)解在平面PAB內(nèi),過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面

10、PAC,即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.連接CG,因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中點(diǎn),所以D在CG上,故CD=23CG.由題設(shè)可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面體PDEF的體積V=1312222=43.7.(1)證明平面ADE平面ABCE,平面ADE平面ABCE=AE,又由已知可得AE=BE=2,AB=2,BEAE,則BE平面DAE.AD平面DAE,ADBE.(

11、2)解連接AC交BE于點(diǎn)G,則CGGA=CEAB=12,在線段CD上取CD的三等分點(diǎn)F(靠近C),連接FG,則CFCD=CGCA=13,可得ADFG,而AD平面BEF,FG平面BEF,則AD平面BEF.(3)解取AE中點(diǎn)O,連接DO,則DOAE,又平面ADE平面ABCE,且平面ADE平面ABCE=AE,DO平面ABCE,在RtADE中,可得DO=22.F為CD的三等分點(diǎn)(靠近C),F到平面ABCE的距離為1322=26.可得四棱錐F-ABCE的體積為1312(1+2)126=212.8.(1)證明因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因?yàn)锳1B1C1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)解AO平面EB1C1F,AO平面A1AMN,平面A1AMN平面EB1C1F=PN,故AOPN.又APON,故四邊形APNO是平行四邊形,所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=3,PM=23A