《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（一）

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法(一)一、基礎(chǔ)過關(guān)1 某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN*)時，該命題成立，那么可推得nk1時，該命題也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時，該命題成立，那么可推導(dǎo)出()A當(dāng)n6時命題不成立B當(dāng)n6時命題成立C當(dāng)n4時命題不成立D當(dāng)n4時命題成立2 一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n2時命題成立，且由nk時命題成立可以推得nk2時命題也成立，則()A該命題對于n2的自然數(shù)n都成立B該命題對于所有的正偶數(shù)都成立C該命題何時成立與k取值無關(guān)D以上答案都不對3 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為eq f(1,2)n(n3)條時，第一步驗證n等于()A1 B2 C3 D04 若f(n)1eq f(

2、1,2)eq f(1,3)eq f(1,2n1)(nN*)，則n1時f(n)是()A1 B.eq f(1,3)C1eq f(1,2)eq f(1,3) D以上答案均不正確5 已知f(n)eq f(1,n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,n2)，則()Af(n)中共有n項，當(dāng)n2時，f(2)eq f(1,2)eq f(1,3)Bf(n)中共有n1項，當(dāng)n2時，f(2)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,4)Cf(n)中共有n2n項，當(dāng)n2時，f(2)eq f(1,2)eq f(1,3)Df(n)中共有n2n1項，當(dāng)n2時，f(2)eq f(1,2)eq f(1

3、,3)eq f(1,4)6 在數(shù)列an中，a12，an1eq f(an,3an1)(nN*)，依次計算a2，a3，a4，歸納推測出an的通項表達(dá)式為()A.eq f(2,4n3) B.eq f(2,6n5)C.eq f(2,4n3) D.eq f(2,2n1)二、能力提升7 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，從k到k1左端需要增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C.eq f(2k1,k1) D.eq f(2k3,k1)8 已知f(n)eq f(1,n1)eq f(1,n2)eq f(1,3n1)(nN*)，則f(k1)_.9 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明“

4、242nn2n(nN*)”的過程中的錯誤為_證明：假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即當(dāng)nk1時等式也成立因此對于任何nN*等式都成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明(1eq f(1,3)(1eq f(1,4)(1eq f(1,5)(1eq f(1,n2)eq f(2,n2)(nN*)11用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223242(1)n1n2(1)n1eq f(nn1,2).12已知數(shù)列an的第一項a15且Sn1an(n2，nN*)，Sn為數(shù)列an的前n項和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項

5、公式三、探究與拓展13是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式122232342n(n1)2eq f(nn1,12)(an2bnc)對一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論答案1B 2B3C4C 5D6B7B8f(k)eq f(1,3k)eq f(1,3k1)eq f(1,3k2)eq f(1,k1)9缺少步驟歸納奠基10證明(1)當(dāng)n1時，左邊1eq f(1,3)eq f(2,3)，右邊eq f(2,12)eq f(2,3)，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時等式成立，即(1eq f(1,3)(1eq f(1,4)(1eq f(1,5)(1eq f(1,k2)eq f(2,k2)，當(dāng)nk1時，(1e

6、q f(1,3)(1eq f(1,4)(1eq f(1,5)(1eq f(1,k2)(1eq f(1,k3)eq f(2,k2)(1eq f(1,k3)eq f(2k2,k2k3)eq f(2,k3)，所以當(dāng)nk1時等式也成立由(1)(2)可知，對于任意nN*等式都成立11證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊(1)11eq f(12,2)1，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時，結(jié)論成立即12223242(1)k1k2(1)k1eq f(kk1,2)，那么當(dāng)nk1時，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1eq f(kk1,2)(1)k(k1)2(1)k(k1)eq f(k2k2,2)(1

7、)keq f(k1k2,2).即nk1時結(jié)論也成立由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n都有此結(jié)論成立12(1)解a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想aneq blcrc (avs4alco1(5n1,52n2， n2，nN*).(2)證明當(dāng)n2時，a252225，公式成立假設(shè)nk(k2，kN*)時成立，即ak52k2，當(dāng)nk1時，由已知條件和假設(shè)有ak1Ska1a2a3ak551052k2.5eq f(512k1,12)52k1.故nk1時公式也成立由可知，對n2，nN*，有an52n2.所以數(shù)列an的通項公式為aneq blcrc (avs4alco1(

8、5n1,52n2 n2，nN*).13解假設(shè)存在a、b、c使上式對nN*均成立，則當(dāng)n1,2,3時上式顯然也成立，此時可得eq blcrc (avs4alco1(122f(1,6)abc，,122232f(1,2)4a2bc，,1222323429a3bc，)解此方程組可得a3，b11，c10，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式122232342n(n1)2eq f(nn1,12)(3n211n10)對一切正整數(shù)均成立(1)當(dāng)n1時，命題顯然成立(2)假設(shè)nk時，命題成立即122232342k(k1)2eq f(kk1,12)(3k211k10)，則當(dāng)nk1時，有122232k(k1)2(k1)(k2)2eq f(kk1,12)(3k211k10