解題研究二次曲線中的距離最值問題點點問題點線問題線段和差問題--712

1、努力的你，未來可期二次曲線的最值問題距離問題常見的有四大類：.求圓錐曲線上一動點到某一定點的距離的最值問題解題策略：(1)定義法：如果該定點恰好是該圓錐曲線的焦點或其他特殊點時，可以利用定義以及一些小結(jié)論來解決問題；(2)直接法：直接設(shè)動點 (x, y)和使用兩點間的距離公式，然后通過曲線方程換元，將其化簡為二次函數(shù)的最值問題來解決，但是要注意圓錐曲線變量的取值范圍；.求圓錐曲線上的一動點到某一直線距離的最值問題解題策略：(1)直接法：若是拋物線，往往可以直接設(shè)動點(x,y)和使用點到直線的距離公式，然后通過曲線方程換元，將其化簡為二次函數(shù)的最值問題來解決，但是要注意圓錐曲線變量的取值范圍；(

2、2)參數(shù)法：若是橢圓，直接法在曲線方程換元那里出現(xiàn)問題，所以可以設(shè)成參數(shù)方程x = aco s口，也是將其轉(zhuǎn)化為三角的最值問題來解決；y =bsi 巾(3)切線法：特殊做法，僅限此類題。由圖像可知，往往是曲線與將直線相離，將直線平拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期移，直到相切時，切點就是那個最值的特殊點，此時只需利用綜合法的=0即可求出切線方程，再利用兩平行線間的距離公式即可;.求圓錐曲線上的一動點到兩個點(或者線等)兩個距離之和(或者之差)的最值問題(兩距離最值)解題策略：基本都不能直接做，利用定義轉(zhuǎn)移，運用平面幾何知識找到最值，直接計算即可;.求圓錐曲線上的一動點到另一動點的最值問題(

3、多動點最值)解題策略：基本都不能直接做,“主動點”在圓錐曲線上，而“副動點”往往是在圓上，最值就是直接計算到圓心的距離，再加(減)半徑(可用三角形兩邊之和大于第三邊來證) 然后，再利用定義轉(zhuǎn)移，即可。橢圓題型一：點到點的距離問題PQ的最大值2X 2例題1：點P在橢圓-2 + y =1 (a1)上，點Q是短軸的一個端點，則a為.解：設(shè) P(x, y),取 Q(0,1),則|PQ2 =x2 +(y 1)2 =(1a2) y2 2y + (a2 +1) (-1 y1), ，一一 1 一， ，一對稱軸是y =2,開口向下，所以討論如下：-aE T ,即1 a E J2 ,當y = -1時，PQ有最大值

4、，為2 ;-a11 TM2 0,即a之J2 ,當y =2時，PQ有最大值，為-a21 -a2點評：坐標法。二次函數(shù)含參范圍討論題。拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期題型二：點到線的距離問題22_ xV例題2：已知點P在橢圓 一 + =1上，則P到直線l : x - y + 7 = 0的最短距離是 25 16解：解法一：設(shè) P(5cos0,4sin 0),所以 d =5cos 4sini 72J2 (-1)2| 41sin(i) 7解法所以:x y +c = 0 , l與橢圓相切,聯(lián)立消元，得 41x2 +50cx+25c2 400 = 0,再 A = 0= c = J41 ,所以兩平行線最

5、小距離是7-741d = ,12 (-1)22一7-,41)2點評：解法一，若本題仍舊使用點到直線距離公式，會發(fā)現(xiàn)無法化到二次函數(shù)形式，因此使 用參數(shù)式。解法二，切線法。題型三：線段和最值問題_22例題3:已知A(-2,而，F(xiàn)是橢圓+-=1的右焦點，點M在橢圓上移動，當| MA + 2| MF16 12取最小值時，求點 M的坐標。解：結(jié)合圖形，利用橢圓第二定義有|MA| -2|MF |=|MA| |MP| |AA|這里|Mp、|Ap分別表示點A到準線的距離和點 M到準線的距離。拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期設(shè)直線l是橢圓的右準線， MPl ,垂足為P,則 業(yè)J = e|MP|1由已知方

6、程付 a = 4, b = 2、.；3, -0=2, e = ,21由此 |MP| = |MF | 二 2|MF | e從而|MA|+2|MF |=|MA|+|MP閆AA|即當點M A、P三點共線且M是AP內(nèi)分點時等號成立，此時|MA|+2| MF |取得最小值，M坐標為(2J3,J3) TOC o 1-5 h z 22.一 ，一 x V . 一，一.例題4:若橢圓十匚=1內(nèi)有一點P (1,1), F為右焦點，點 M是橢圓上一動點，求 43MP +|MF|的最小值解：設(shè)F1是橢圓的左焦點，根據(jù)橢圓第一定義MF1| +|MF| =4所以 MP| +1| MF | =4+ MP -jMFj ； (

7、 MP MF1 )min = PF1所以(MP + MF )min = 4 - PF = 4- 4322鞏固1:已知橢圓：X +，= 1(0b3,由橢圓的性質(zhì)可知過橢圓焦點的弦中，通徑最短,2b2則售=3.所以b2 = 3,即b=43.鞏固2：橢圓x +上 = 1上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m,當m取最大值時，點P的9 25坐標是.解：記橢圓的兩個焦點分別為 F1, F2,有|PF1|十|PF2| = 2a=10.拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期則 m=|PFi| |PF2|0 |PF1|；|PF2|)=25,當且僅當|PFi|=|PF2|=5,即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得

8、最大值25.點P的坐標為(一3,0)或(3,0).22XV鞏固3:已知橢圓 +L=1, A(4, 0), B(2, 2)是橢圓內(nèi)白兩點，P是橢圓上任一點,25 9求5|PA| 十|PB|的最小值。4 |PA|4解：A為橢圓的右焦點。作 PQL右準線于點 Q,則由橢圓的第二定義_LO = e=|PQ| 55八 一 |PA| |PB|=|PQ| | PB|, 4顯然點 P應(yīng)是過 B向右準線作垂線與橢圓的交點，最小值為174yr拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期雙曲線題型一：點到點的距離問題例題1：已知雙曲線C: y2 x2 =4求點P(1,0)到此雙曲線上的點的最近距離 .解；設(shè)雙曲線上的點(

9、X/)到點尸的距離為d2 =(x-l)2 +y2 = / - 2x+l + 4+/ =2/ -2#+5，當=1時取得最小值而222鞏固1：已知雙曲線 C:y2 =1,P是C上的任意點.4(I )求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；(n )設(shè)點A的坐標為(3,0)，求|PA|的最小值.解：(I )設(shè)乳雙田)是雙曲線上任意一點該雙曲線的兩條海近線方程分別是冗-2尸0和 x+2y=0#點Pg,。到兩條湖謔戔的距離分別是I 再2印 g +2Ml丁廠一，它們的乘積是1工匚出上況 二工14 LL#乖55-.點P到雙眼& C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù).22 2o x25 . 12

10、.2 4(n )設(shè) P 的坐標為(xy),則|PA = (x 3) +y =(x 3)2 +1 =一(x)+一.4455拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期|x| 2,當 X =12時,|PA|2的最小值為4,即|PA|的最小值為 552Q為雙曲線上的一個動點，則 PQ的鞏固2：設(shè)P為雙曲線 勺y2 =1虛軸的一個端點,最小值為.解析：設(shè)Q(x, y),取P(0,1),則PQ2 = x2 +(y1)2 =(a2 +1) y2 -2y +(a2 +1) yw R,所以，當y=時，PQ有最小值，為 Ja2+1 a2+1Va2 +1題型二：線段和最值問題22例題2:已知F是雙曲線 上L=1的左焦點

11、,A(1,4),P是雙曲線上的動點，則|PF|+|PA|的最 4 12小值為.由雙曲線的圖象可知當點F共線時n滿足巾陽最小易知最小值為|X尸|二向拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期. 22鞏固：已知F是雙曲線C:x - y =2的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,2).當APF周長最小時，求 P的坐標.解：設(shè)雙曲線左焦點為居(-2, 0),于是由雙曲線性質(zhì)|F尸|一|產(chǎn)司=。所以+ 向| +1?產(chǎn)| =尸|+1理| + 2口之|版|+印+ 2% 當且僅當小尸、為共線時等號成立，即的 的周長最小”戶位于4時為所求*直線月耳二y 二工+ 2與雙曲線方程聯(lián)立得到片(-亍R * .P dM拼搏的

12、你，背影很美!努力的你，未來可期 TOC o 1-5 h z 22例題3：已知P是雙曲線 上 -L=1右支上的動點，點F是雙曲線的右焦點，定點A(8,4), 169求4 PF|+5 PA的最小值.解：由所求4 PF +5PA和e=5的特殊性，巧用第二定義化歸為平幾最值求解.4如圖：設(shè)尸1為尸在右準線上的射影，出為*在右準線上的射影, 則當F在幾處時，4附1| + 5啟|取到最小值,貝I 4|衛(wèi)父+5|取|=5,4 51| = 5(|必|+|五山)2 51|-此時的最小值為5卜4| = 5(8竺)=24 *22鞏固：已知P是雙曲線 -=1右支上的動點，點P是雙曲線的右焦點，定點 A(7,6),

13、16 20求2|pf|+31PA的最小值.拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期解,設(shè)Pi為P在右準線上的射影，Ai為A在右準線上的射影，/則2附十3網(wǎng)|=3 （白1|十*4|）之3田/“當且僅當小共線時取最大值，此時的最大值為3 kAi卜3（7一號）:19,即21aH + 3 |凡4的最小值為母弟題型三：線段差最值問題2y_例題4: P為雙曲線x215= 1右支上一點，M、N分別是圓（*+4尸+丫2=4和僅一4尸+y2=1上的點，則|PM|PN|的最大值為2解：已知兩圓圓心（一4,0）和（4,0）（記為Fi和F2）恰為雙曲線x2 *=1的兩焦點.如圖：當|PM|最大，|PN|最小時，|PM|

14、PN|最大，|PM|最大值為P到圓心F1的距離|PF1|與圓F1半徑之和，同樣 |PN|最小= |PF2|1,從而 |PM|PN|的最大值為 |PF“+ 2- （|PF2| 1）=|PF1|-|PF2|+ 3 = 2a + 3= 5.2鞏固：P為雙曲線X2 2=1右支上一點，M、N分別是圓（x+3）2+y2=4和（x 3）2+y2=1 8拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期上的點，則|PM|PN|的最大值為2解：已知兩圓圓心(一3,0)和(3,0)(記為Fi和F2)恰為雙曲線x2 工=1的兩焦點.8當|PM|最大，|PN|最小時，|PM|PN|最大，|PM|最大值為P到圓心Fi的距離|PFi

15、|與圓Fi半徑之和，同樣 |PN|最小=|PF2|1,從而 |PM|PN|的最大值為 |PFi| + 2 (|PF2| 1)= |PFi| |PF2|+ 3=2a + 3= 5.22例題5：已知P是雙曲線 人L=i右支上的動點，點F是雙曲線的右焦點，定點A(5,4), i6 9求4 PF -5 PA的最大值.5 .解：由所求4|PF|-51PA相e的特殊性，巧用第二定義化歸為平幾最值求解設(shè)Pi為P在右準線上的射影，Ai為A在右準線上的射影，則 4|PF|-5|RA|=5 (|FAi|-|PA|)由AiA|.當且僅當出共線時取最大值. TOC o 1-5 h z 169此時的最大值為=5(5 -

16、 一) = = 9 .SP 41尸用=51詡|的最大值為9. HYPERLINK l bookmark41 o Current Document E 2 y2i鞏固：已知點A (3, 2), F (2, 0),在雙曲線x2-L=i上求一點P,使|PA|- |PF|的311 211值最大.拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期c - 解：a=1, b=6，:c=2, e=2,PF |1設(shè)點P到與焦點（2, 0）相應(yīng)的準線的距離為d,則11 = 2八一| PF |= d d2即在雙曲線上求點 P,使P到定點A的距離與到準線的距離之差最大，顯然直線垂直于準線時合題意，且在雙曲線的左支上，此時P點縱坐

17、標為2,所求的點為P （叵，2）.拋物線題型一：點到點最值問題例題1：若點P在拋物線y2=4x上移動，點Q在（x1）2 + y2 =上移動，則PQ的最小 9值為.解析：設(shè)F （1,0）為拋物線的焦點，恰好為圓心，用三角形一邊大于兩邊之和以及定義轉(zhuǎn)移， TOC o 1-5 h z 廣.-一11 .12 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 得則 PQ PF - QF = PF =dP1 =- 333 3點評：定義法。多動點最值問題。題型二：點到線最值問題一一一,._ 2.例題2：已知點P在拋物線y=4x上，則P到直線l : 4x-y-5 = 0的最短

18、距離是 解：解法一：設(shè)P（x, y）,拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期則d= 4X-y-5 上42 (-1)217x-1) +4 4,171724x -4x c = 0 ,解法二：設(shè)直線l :4x-y+c = 0, l與拋物線相切，聯(lián)立消元，得再A=0n c = -1,所以兩平行線最小距離是-5 14 17.42 (-1)217點評：解法一：直接坐標法計算，二次函數(shù)最值問題，即可。而且，拋物線也沒有特殊的參 數(shù)方程。解法二，切線法。題型三：拋物線定義解決最值問題2例題3：若點P(x0,yo )在拋物線y =4x上移動，點B( 2,3 )，則x0 +|PB的最小值是 解：畫出圖像，發(fā)現(xiàn)點

19、B在拋物線外，用定義轉(zhuǎn)移，設(shè) F (1,0)為拋物線的焦點，得 + PB =(% +1)+ PB 1 = PF + PB -1 FB 1 =布1x0 + PB =(% +1)+ PB -1 = PF + PB -1 之 FB -1 = 710-1點評：定義法。畫出圖像，發(fā)現(xiàn)點B在拋物線外，無直接的幾何方法，代數(shù)法又太繁，所以想到根據(jù)。定義轉(zhuǎn)移。拋物線考查定義較多，往往是轉(zhuǎn)移，值得注意。2例題4：若點F是拋物線y =4x的焦點，若uir uir uun r uir uirFA + FB + FC = 0 ,求 FA + FB解：A(x1,yJB(x2,y2),C(x3,y3), F(1,0).uir uur uur rFA +FB +FC =0， x +x2 +x3 =3uirFAuur 十FBuuu十 FC =區(qū)+1)+(x2+1)+(x3+1) = 6uuu+ FC值鞏固1：已知拋物線y2=2px(p0)的焦點為F, ABC的頂點都在拋物線上，且滿足FA+ fB + fC = 0,則 + 1+1.kAB kBC kCA 拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期解：由題易知 F 0 ；,設(shè)點 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3),由 FA+ FB + FC = 0 知,p-2-+12p-22-2X+yy p-2