高等數(shù)學(xué)(下)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)(土木工程專業(yè)

1、 本學(xué)期高等數(shù)學(xué)的考試范圍是：第五章定積分的應(yīng)用，第六章至第十一章.內(nèi)容為：空間解析幾何與向量代數(shù)，多元函數(shù)的微積分，曲線積分，微積分的應(yīng)用 SKIPIF 1 0 級(jí)數(shù)理論及常微分方程的解法我們用了90課時(shí)，講了盡可能多的知識(shí)，保證了后繼課程學(xué)習(xí)中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的需要，及將來考研同學(xué)對(duì)高數(shù)的知識(shí)點(diǎn)范圍對(duì)教學(xué)工作仍堅(jiān)持一絲不茍、認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度，講好每節(jié)課，對(duì)大題量的作業(yè)做到每周全收、認(rèn)真批閱一次，耐心解答同學(xué)提出的問題對(duì)同學(xué)的學(xué)習(xí)堅(jiān)持從嚴(yán)要求，強(qiáng)調(diào)做好聽課、記筆記、獨(dú)立完成作業(yè)三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)同學(xué)掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課的方法：多動(dòng)腦勤動(dòng)手，數(shù)學(xué)書不是光靠看，還要?jiǎng)邮盅菟悴拍芾斫馍羁?，記憶牢固考試題型為：

2、一.選擇題（每小題3分，共15分）二.填空題（每小題3分，共15分）三.計(jì)算題（8小題，共40分）四.應(yīng)用題（2小題，共16分）五.證明題（2小題，共14分）下面分章復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí) 第五章 定積分的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用：求平面圖形的面積直角坐標(biāo)情形：由平面曲線 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 所圍圖形的面積為 SKIPIF 1 0 （2）極坐標(biāo)情形：由曲線 SKIPIF 1 0 及射線 SKIPIF 1 0 所圍成的曲邊扇形的面積為 SKIPIF 1 0 例 （填空題）由曲線 SKIPIF 1 0 及直線 SKIPIF 1 0 圍成的平面圖形的面積 . 第六章向量代數(shù)與空間解析幾

3、何（一）向量代數(shù)1.空間兩點(diǎn) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的距離公式 SKIPIF 1 0 2.非零向量 SKIPIF 1 0 的方向余弦公式 SKIPIF 1 0 3.向量的運(yùn)算設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 兩非零向量垂直、平行的充要條件 SKIPIF 1 0 4.向量 SKIPIF 1 0 在非零向量 SKIPIF 1 0 上的投影 SKIPIF 1 0 （二）平面與直線1.平面方程（1）一般式： SKIPIF 1 0 （2）點(diǎn)法式： SKIPIF 1 0 （3）截距式： SKIPIF 1 0 （4）三點(diǎn)式： SKIPIF 1 0 2.直線方程（

4、1）對(duì)稱式（點(diǎn)向式、標(biāo)準(zhǔn)式）： SKIPIF 1 0 （2）一般式： SKIPIF 1 0 （3）參數(shù)式： SKIPIF 1 0 （4）兩點(diǎn)式： SKIPIF 1 0 3.平面 SKIPIF 1 0 與直線 SKIPIF 1 0 平行、垂直的充要條件及夾角（1） SKIPIF 1 0 ; (2) SKIPIF 1 0 ；（3） SKIPIF 1 0 ；（4） SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的夾角： SKIPIF 1 0 (5) SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的夾角： SKIPIF 1 0 （6） SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的夾角： SK

5、IPIF 1 0 4.距離設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 直線 SKIPIF 1 0 （1）點(diǎn)到平面的距離公式： SKIPIF 1 0 (2)點(diǎn)到直線的距離公式： SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是直線上任一點(diǎn)（三）曲面與空間曲線 記住一些常見的曲面的方程（1）旋轉(zhuǎn)曲面園錐面： SKIPIF 1 0 ，旋轉(zhuǎn)拋物面： SKIPIF 1 0 ，旋轉(zhuǎn)橢球面： SKIPIF 1 0 （2）柱面圓柱面： SKIPIF 1 0 橢圓柱面： SKIPIF 1 0 ，拋物柱面： SKIPIF 1 0 ，雙曲柱面： SKIPIF 1 0 （

6、3）二次曲面球面： SKIPIF 1 0 橢球面： SKIPIF 1 0 ；橢球拋物面： SKIPIF 1 0 同號(hào)）； 雙曲拋物面： SKIPIF 1 0 同號(hào)）；單葉雙曲面： SKIPIF 1 0 ；雙葉雙曲面： SKIPIF 1 0 本章的考點(diǎn)：僅是一些簡(jiǎn)單的填空題或選擇題例1.設(shè)三角形 SKIPIF 1 0 ，已知 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 0 上的中線長(zhǎng) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例2.1.兩向量 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 互相垂直的充要條件是 SKIPIF 1 0 .2.向量 SKIPIF

7、1 0 平行，則 SKIPIF 1 0 1.3.求同時(shí)垂直于向量 SKIPIF 1 0 的單位向量是 SKIPIF 1 0 .解 SKIPIF 1 0 ，單位化 SKIPIF 1 0 .例 SKIPIF 1 0 .（選擇題）過點(diǎn) SKIPIF 1 0 且平行于平面 SKIPIF 1 0 的平面是（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例4.（選擇題）在空間直角坐標(biāo)系下，方程 SKIPIF 1 0 的圖形是（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 過原點(diǎn)的一條直線； SKIPIF 1 0 斜率為 SKIPIF

8、 1 0 的一條直線； SKIPIF 1 0 垂直于 SKIPIF 1 0 軸的一平面； SKIPIF 1 0 過 SKIPIF 1 0 軸的一平面.例5.（選擇題）方程 SKIPIF 1 0 在空間表示的圖形是（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 平行于 SKIPIF 1 0 坐標(biāo)面的平面； SKIPIF 1 0 平行于 SKIPIF 1 0 軸的平面； SKIPIF 1 0 過 SKIPIF 1 0 軸的平面； SKIPIF 1 0 直線例6.（選擇題）方程 SKIPIF 1 0 在空間表示的是（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 拋物線； SKIPIF 1 0

9、 拋物柱面； SKIPIF 1 0 母線平行于 SKIPIF 1 0 軸的柱面； SKIPIF 1 0 旋轉(zhuǎn)拋物面.例7. (選擇題) 下列平面方程中（ SKIPIF 1 0 ）過 SKIPIF 1 0 軸： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例8. 曲線 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 平面上的投影方程為： SKIPIF 1 0 第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一）基本概念1.二元函數(shù)：定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)律為 SKIPIF 1 0

10、 的兩要素，其定義域?yàn)槠矫嫔系狞c(diǎn)集例9 (填空題)二元函數(shù) SKIPIF 1 0 的定義域是 SKIPIF 1 0 二元函數(shù) SKIPIF 1 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 0 2.極限：函數(shù) SKIPIF 1 0 的極限為 SKIPIF 1 0 ，是指點(diǎn) SKIPIF 1 0 以任何方式沿某路徑趨于點(diǎn) SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 ，記為 SKIPIF 1 0 例10. 證明：極限 SKIPIF 1 0 不存在證明如果動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 0 沿 SKIPIF 1 0 趨于點(diǎn) SKIPIF 1 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 0 如果動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 0 沿 S

11、KIPIF 1 0 趨于點(diǎn) SKIPIF 1 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 0 因沿不同路徑，極限值不一，故原極限不存在.3.連續(xù)：函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 連續(xù)，必須同時(shí)滿足三個(gè)條件，缺一不可：（1）在 SKIPIF 1 0 內(nèi)有定義；（2） SKIPIF 1 0 存在；（3） SKIPIF 1 0 .否則間斷例11.（選擇題）設(shè) SKIPIF 1 0 ，下面結(jié)論正確的是（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 平面上連續(xù)； SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 平面上不連續(xù)； SKIPIF 1 0 在 SKIPIF

12、 1 0 平面上只有 SKIPIF 1 0 為間斷點(diǎn)； SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 平面上，只有在區(qū)域 SKIPIF 1 0 內(nèi)，函數(shù)連續(xù).例12 (選擇題) 函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 處（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 連續(xù)； SKIPIF 1 0 有極限但不連續(xù)； SKIPIF 1 0 極限不存在； SKIPIF 1 0 無定義.（二）偏導(dǎo)數(shù)1.定義與計(jì)算偏導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 是整體記號(hào)，不具有商的意義，求 SKIPIF 1 0 時(shí)，把 SKIPIF 1 0 中的 SKIPIF 1 0 固定（看作常數(shù)），利用一元函

13、數(shù)的求導(dǎo)公式和法則求出記?。浩珜?dǎo)函數(shù) SKIPIF 1 0 與一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) SKIPIF 1 0 記號(hào)不同，及它們之間的關(guān)系例13.（填空題）設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 2.高階偏導(dǎo)數(shù)（以二階為主）： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （注意：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在定義域 SKIPIF 1 0 內(nèi)連續(xù)時(shí)，相等）（三）全微分1.定義與計(jì)算：若函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 的全改變量（全增量）可表為 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 不依賴于 SKIPIF 1

14、 0 ，僅與 SKIPIF 1 0 有關(guān)， SKIPIF 1 0 ，則全增量的線性主要部分為為函數(shù)的全微分，記作 SKIPIF 1 0 例14.（選擇題）函數(shù) SKIPIF 1 0 由方程 SKIPIF 1 0 所確定，則 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例15. 函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的全微分為： .例16. 求 SKIPIF 1 0 的全微分及二階偏導(dǎo)數(shù).解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 2

15、.二元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)、可導(dǎo)（兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在）與可微的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) SKIPIF 1 0 可微 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，反之不一定成立.例17.（選擇題）二元函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 處（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 不連續(xù)，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在； SKIPIF 1 0 不連續(xù)，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在； SKIPIF 1 0 連續(xù)，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在； SKIPIF 1 0 連續(xù)，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 例18.（填空題） SKIPIF 1 0 連續(xù)是 SKIPIF 1 0 可微的 SKIPIF 1 0 條件. 例19. 證明題：證明函數(shù) SK

16、IPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù).（用定義求偏導(dǎo)數(shù)，取兩條路徑如極限不一則不連續(xù)）3.方向?qū)?shù)與梯度（不做考試要求）（1）方向?qū)?shù)函數(shù)在特定方向（指定方向）上的變化率： SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 為射線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 軸正向夾角 （2）梯度不同點(diǎn)的方向?qū)?shù)不同，它在哪個(gè)方向上最大呢？函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的梯度為： SKIPIF 1 0 例20.（填空題）函數(shù) SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 處沿方向 SKIPIF 1 0 的方向?qū)?shù)是 .（

17、四）多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1.鎖鏈法則先畫出鏈?zhǔn)綀D，寫出公式，然后計(jì)算. SKIPIF 1 0 ，則有鎖鏈公式： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 2.幾種推廣情形（1）若 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ，則有鎖鏈公式： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （2）若 SKIPIF 1 0 而 SKIPIF 1 0 ，則有鎖鏈公式： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 注意：這里 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 不同， SKIPIF 1 0 是把復(fù)合后的函數(shù)，將 SKIPIF 1 0 看作常數(shù)，對(duì) SKIPIF 1 0 求偏導(dǎo)；而 SK

18、IPIF 1 0 是把復(fù)合前的函數(shù)，將 SKIPIF 1 0 看作常數(shù)對(duì) SKIPIF 1 0 求偏導(dǎo)（3）設(shè) SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 ，則復(fù)合函數(shù)只有一個(gè)自變量， SKIPIF 1 0 求導(dǎo) SKIPIF 1 0 ，稱為全導(dǎo)數(shù). SKIPIF 1 0 何時(shí)用鎖鏈法則：函數(shù)關(guān)系不具體；中間變量多于一個(gè).例21.（選擇題）設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ）. SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例22. SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 例23.設(shè) SKIP

19、IF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 解由鎖鏈法則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例24.設(shè)二元函數(shù) SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是二階可微函數(shù)，求 SKIPIF 1 0 解設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例25.設(shè) SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 （五）隱函數(shù)微分法：（只討論一個(gè)方程的情形）1.方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)（復(fù)合函數(shù)的鎖鏈法則），解出所求的偏導(dǎo)數(shù)（是 SKIPIF

20、1 0 的函數(shù)）.2.公式法： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 3.微分法：利用一階全微分形式的不變性，對(duì)方程兩邊求全微分，即可求出所需的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)例26.（填空題）由方程 SKIPIF 1 0 確定 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .例27.設(shè) SKIPIF 1 0 求 SKIPIF 1 0 解由隱函數(shù)微分法設(shè) SKIPIF 1 0 因?yàn)?SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例28. 設(shè) SKIPIF 1 0 是由方程 SKIPIF 1 0 所確定的隱函數(shù)，求 SKIPIF 1 0 例29.設(shè) SK

21、IPIF 1 0 ，證明： SKIPIF 1 0 證明設(shè) SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 （六）微分法在幾何上的應(yīng)用（不做考試要求）1.空間曲線的切線與法平面設(shè)空間曲線 SKIPIF 1 0 的參數(shù)方程 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 在點(diǎn) SKIPIF 1 0 處的 切線方程為： SKIPIF 1 0 法平面方程為： SKIPIF 1 0 2.空間曲線的切平面與法線隱函數(shù)的曲面方程： SKIPIF 1 0 ，顯函數(shù)

22、的曲面方程： SKIPIF 1 0 ，（七）多元函數(shù)的極值及其求法1.極值的必要條件：見教材 SKIPIF 1 0 定理1（極值發(fā)生在可疑點(diǎn)，即駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上.2.極值的充分條件：設(shè) SKIPIF 1 0 為為函數(shù) SKIPIF 1 0 的駐點(diǎn)， SKIPIF 1 0 ,則下結(jié)論（1） SKIPIF 1 0 有極小值， SKIPIF 1 0 有極大值；（2） SKIPIF 1 0 ，無極值；（3） SKIPIF 1 0 ,不定，另作討論.例30.（選擇題）下列說法中，正確的是（） SKIPIF 1 0 可微函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 達(dá)到極值，則必有 SKI

23、PIF 1 0 SKIPIF 1 0 二元函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 達(dá)到極值，則必有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 可微函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 二元函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 的偏導(dǎo)數(shù)不存在，則必不存在極值.例31求函數(shù) SKIPIF 1 0 的極值.解 SKIPIF 1 0 ，得駐點(diǎn) SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故函數(shù)在 SKIPIF 1 0 處無極值.3.用 SKIPIF 1 0 乘子法求條件極值的應(yīng)用

24、題解題步驟：（1）將實(shí)際問題化為二元或三元函數(shù)的條件極值問題；（2）作輔助函數(shù) SKIPIF 1 0 原函數(shù)+ SKIPIF 1 0 乘條件函數(shù)； SKIPIF 1 0 （3）將輔助函數(shù)對(duì) SKIPIF 1 0 分別求偏導(dǎo)數(shù)，得方程組；（4）解方程組，得唯一駐點(diǎn)（5）答：根據(jù)實(shí)際問題的意義，知此唯一駐點(diǎn)即極值點(diǎn)，也是最值點(diǎn)，并求出最值例32應(yīng)用題：造一個(gè)容積為 SKIPIF 1 0 的長(zhǎng)方體盒子，如何設(shè)計(jì)，才能使所用材料最少？解設(shè)盒長(zhǎng)為 SKIPIF 1 0 ，寬為 SKIPIF 1 0 則高為 SKIPIF 1 0 ，故表面積為： SKIPIF 1 0 ，于是，將問題化為求二元函數(shù)的最大值問

25、題， SKIPIF 1 0 ，解得唯一駐點(diǎn) SKIPIF 1 0 ，根據(jù)實(shí)際問題的意義，此唯一駐點(diǎn)即為極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，答：當(dāng)盒子的長(zhǎng)寬高都是 SKIPIF 1 0 ，即正方體時(shí)，所用材料最少.例33. 應(yīng)用題：利用 SKIPIF 1 0 乘子法求橢圓拋物面 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的最短距離. 第八章重積分（一）重積分的概念1.定義：二重積分表示一種類型的和式極限； 三重積分表示另一種類型的和式極限.2.幾何與物理意義二重積分表示曲頂柱體的體積，平面薄板的質(zhì)量；三重積分表示空間物體的質(zhì)量（無幾何意義）3.性質(zhì)與定積分類似性質(zhì)3：如果在定義域 SKIPIF 1

26、 0 上，函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的面積，則 SKIPIF 1 0 （二）二重積分的計(jì)算1.直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算步驟：面積元素 SKIPIF 1 0 先通過解方程組曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后畫出積分域的草圖；如是 SKIPIF 1 0 形積分域，將其化為先對(duì) SKIPIF 1 0 后對(duì) SKIPIF 1 0 的積分次序積出來 SKIPIF 1 0 形積分域，將其化為先對(duì) SKIPIF 1 0 后對(duì) SKIPIF 1 0 的積分次序積出來.注利用“穿口法”的定限口訣是：后積先定限，限內(nèi)畫條線；先交下限寫，后交上限見.2.極坐標(biāo)系下二重積分的

27、計(jì)算何時(shí)采用極坐標(biāo)：（）積分域是園形或環(huán)形； （）被積函數(shù)包含 SKIPIF 1 0 .記住極坐標(biāo)變換： SKIPIF 1 0 面積元素： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 然后將積分化為先對(duì) SKIPIF 1 0 ，后對(duì) SKIPIF 1 0 的次序積出來；積分限如下定：（）若極點(diǎn) SKIPIF 1 0 在域 SKIPIF 1 0 內(nèi)，則 SKIPIF 1 0 （）若極點(diǎn) SKIPIF 1 0 在域 SKIPIF 1 0 的邊界上，則 SKIPIF 1 0 （）若極點(diǎn) SKIPIF 1 0 在域 SKIPIF 1 0 的外部，則 SKIPIF 1 0 例34.（選擇題）設(shè) SK

28、IPIF 1 0 是連續(xù)函數(shù)，交換二重積分 SKIPIF 1 0 的的積分次序后的結(jié)果為（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例35. 交換積分次序： SKIPIF 1 0 .例36.(選擇題)設(shè)域 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例37.計(jì)算二重積分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是由直線 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF

29、1 0 軸所圍的平面區(qū)域 解畫出積分區(qū)域草圖，這是 SKIPIF 1 0 型積分域，故選取先對(duì) SKIPIF 1 0 后對(duì) SKIPIF 1 0 的積分次序，得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例38.求二重積分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是頂點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 的三角形區(qū)域.例39.計(jì)算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 圍成解將 SKIPIF 1 0 改寫為： SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，所以原式 SKIPIF 1 0 SKI

30、PIF 1 0 SKIPIF 1 0 例40.計(jì)算 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是由圓周 SKIPIF 1 0 所圍成的閉區(qū)域解根據(jù)積分域和被積函數(shù)的特點(diǎn)，選用極坐標(biāo)計(jì)算 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例41.求二重積分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 解選用極坐標(biāo)計(jì)算 SKIPIF 1 0 例42.應(yīng)用題：求在 SKIPIF 1 0 平面上由 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所圍成區(qū)域的面積.例43. SKIPIF 1 0 是由曲線 SKIPIF 1 0 以及 SKIPIF 1 0 所圍成的圖形，試求 SKIPIF 1

31、 0 的面積. （以上兩題，利用二重積分的幾何意義，取被積函數(shù) SKIPIF 1 0 ，計(jì)算二重積分即 得所謂區(qū)域的面積） 例44.（填空題）設(shè)空間一光滑曲面 SKIPIF 1 0 ： SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 在坐標(biāo)面 SKIPIF 1 0 上的投影，則 SKIPIF 1 0 的面積 SKIPIF 1 0 例45.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 解由于極點(diǎn)在 SKIPIF 1 0 的邊界上，故原式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 （三）三重積分的

32、計(jì)算（只做簡(jiǎn)單的計(jì)算）1.直角坐標(biāo)系下的計(jì)算體積元素： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，（這是上下張著的曲面， SKIPIF 1 0 型的投影域）則 SKIPIF 1 0 2.柱坐標(biāo)系（極坐標(biāo) SKIPIF 1 0 軸）下的計(jì)算體積元素： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，(這是上下張著的曲面，極點(diǎn)在投影域外部)則 SKIPIF 1 0 3.球坐標(biāo)系下的計(jì)算體積元素： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 例46.在柱坐標(biāo)中， SKIPIF 1 0 （常數(shù)）表示的曲面是： SKIPIF 1 0 .例47.(填

33、空題)設(shè)一立體由上半球面 SKIPIF 1 0 及錐面 SKIPIF 1 0 所圍成，則其在 SKIPIF 1 0 平面上的投影為： SKIPIF 1 0 .例48.（選擇題） SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是由錐面 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 所圍成的閉區(qū)域，則它在柱坐標(biāo)系下的三次積分是（ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例49（選擇題）設(shè)區(qū)域 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 是連續(xù)函數(shù)，則 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ） SK

34、IPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 例50. 求曲面 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所圍成立體的體積體積.解 在柱坐標(biāo)系下，將被積函數(shù) SKIPIF 1 0 ，則所圍立體的體積為： SKIPIF 1 0 第九章曲線積分與曲面積分（曲面積分不做考試要求）（一）曲線積分1.第型曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的積分）2.第型曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的積分）3.兩類積分之間的聯(lián)系.4.計(jì)算方法（1）設(shè)曲線 SKIPIF 1 0 由它的的參數(shù)方程： SKIPIF 1 0 給出(特例) SKIPIF 1 0 )，則 SKIPIF 1 0 （2）若弧

35、SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 給出，起點(diǎn) SKIPIF 1 0 對(duì)應(yīng) SKIPIF 1 0 ，終點(diǎn) SKIPIF 1 0 對(duì)應(yīng) SKIPIF 1 0 則 SKIPIF 1 0 .5. SKIPIF 1 0 （格林）公式： SKIPIF 1 0 應(yīng)用： SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 得面積 SKIPIF 1 0 .6.平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件（1） SKIPIF 1 0 （2）設(shè) SKIPIF 1 0 是單連通域， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 內(nèi)與路徑無關(guān)

36、的充分必要條件是： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 內(nèi)恒成立.例51.（選擇題）設(shè) SKIPIF 1 0 為由點(diǎn) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 0 的直線段，則 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例52.計(jì)算曲線積分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是沿著園： SKIPIF 1 0 從點(diǎn) SKIPIF 1 0 到點(diǎn) SKIPIF 1 0 的上半圓弧.解 SKIPIF 1 0 因?yàn)?SKIPIF 1 0 所以，在不含原

37、點(diǎn)的任何閉曲線 SKIPIF 1 0 上 SKIPIF 1 0 ，即在不含原點(diǎn)的任一閉區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).故選擇路徑為線段 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 上有： SKIPIF 1 0 ，故原式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例53.計(jì)算曲線積分 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 是園的漸開線： SKIPIF 1 0 解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 原式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例54.（填空題） SKIPIF 1 0 為園： SKIPIF

38、1 0 ，計(jì)算弧長(zhǎng)的曲線積分 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例55. 計(jì)算 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 為正向圓周： SKIPIF 1 0 （應(yīng)用 SKIPIF 1 0 公式化為二重積分計(jì)算） 第十章無窮級(jí)數(shù)（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別一.級(jí)數(shù)的概念 SKIPIF 1 0 若 SKIPIF 1 0 ，則稱級(jí)數(shù)收斂到和 SKIPIF 1 0 級(jí)數(shù)收斂的必要條件： SKIPIF 1 0 收斂，則 SKIPIF 1 0 二.逆否命題：若 SKIPIF 1 0 則級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 發(fā)散三.收斂判別法1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的兩個(gè)判別法：比較判別法，比值判別法；2.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的

39、兩個(gè)定理；（1）絕對(duì)收斂定理 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 有如下關(guān)系： SKIPIF 1 0 收斂 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 也收斂； SKIPIF 1 0 發(fā)散 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 收斂或發(fā)散； SKIPIF 1 0 收斂 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 收斂或發(fā)散； SKIPIF 1 0 發(fā)散 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 必定發(fā)散.（2）比值判別法23.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的 SKIPIF 1 0 （萊布尼茲）判別法；4.從定義、性質(zhì)判別.四.兩個(gè)重要的參照級(jí)數(shù)：1.等比（幾何）級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 當(dāng) S

40、KIPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.2. SKIPIF 1 0 級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；特例： SKIPIF 1 0 時(shí)， SKIPIF 1 0 稱為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散.五.判別級(jí)數(shù)收斂的一般步驟：1.先看通項(xiàng) SKIPIF 1 0 是否趨于零？若 SKIPIF 1 0 ，則級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 發(fā)散；若 SKIPIF 1 0 ，則需進(jìn)一步判斷.2.選用合適的判別法；3.實(shí)在不行，再用定義試試，即看極限 SKIPIF 1 0 是否存在？例56.（選擇題）若級(jí)數(shù) SKIPI

41、F 1 0 收斂，則級(jí)數(shù)（ SKIPIF 1 0 ）收斂 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例57.若級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 收斂，則級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 收斂還是發(fā)散？ .例58.判定級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 的收斂性解這是正項(xiàng)級(jí)數(shù)法一.用比較判別法因 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 是公比 SKIPIF 1 0 的等比級(jí)數(shù)，收斂，由比較判別法，知原級(jí)數(shù)收斂.法二.用比值判別法因 SKIPIF 1 0 ，由比值判別法，知原級(jí)數(shù)收斂.例59判斷級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 的收斂性.解因 SKIPIF 1 0 S

42、KIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故由 SKIPIF 1 0 判別法，知原交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.例60（填空題）極限 SKIPIF 1 0 的值為 SKIPIF 1 0 解以 SKIPIF 1 0 為通項(xiàng)的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù)比值判別法知其收斂，又據(jù)收斂級(jí)數(shù)的必要條件，知其通項(xiàng)的極限為零.例61證明：若 SKIPIF 1 0 ，則級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 發(fā)散.證明因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值判別法的極限形式，由于 SKIPIF 1 0 為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散，所以級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 也發(fā)散.（二）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間1.用比值判別法2 S

43、KIPIF 1 0 （一般與 SKIPIF 1 0 有關(guān)），再討論，求出收斂半徑.2. SKIPIF 1 0 ，則收斂半徑為： SKIPIF 1 0 3.對(duì)端點(diǎn)單獨(dú)討論后，確定收斂區(qū)間.例62.求冪級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 的收斂域. 解 這是缺少奇數(shù)次項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，由比值判別法2， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，收斂半徑 SKIPIF 1 0 討論端點(diǎn)的情況：當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，原級(jí)數(shù)為 SKIPIF 1 0 發(fā)散，故收斂域 SKIPIF 1 0 例63.將函數(shù) SKIPIF 1 0

44、 展為 SKIPIF 1 0 的冪級(jí)數(shù). 例64.求冪級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 的收斂域；當(dāng) SKIPIF 1 0 時(shí)，是絕對(duì)收斂，還是條件收斂？并給出證明. （三）利用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)，求和函數(shù).設(shè)冪級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 的收斂半徑為 SKIPIF 1 0 ，則在 SKIPIF 1 0 內(nèi)，和函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）和函數(shù)是連續(xù)的；（2） SKIPIF 1 0 逐項(xiàng)可導(dǎo)，且 SKIPIF 1 0 ；（3） SKIPIF 1 0 逐項(xiàng)可積，且 SKIPIF 1 0 .注意：求導(dǎo)和積分后的和函數(shù)收斂半徑不變，但在收斂區(qū)間端點(diǎn)可能不同例65.求冪級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 的和函數(shù).

45、解設(shè)和函數(shù) SKIPIF 1 0 ，易得收斂區(qū)間為 SKIPIF 1 0 ，利用逐項(xiàng)微分和積分， SKIPIF 1 0 這是 SKIPIF 1 0 的等比級(jí)數(shù)，由因 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例66. 求冪級(jí)數(shù) SKIPIF 1 0 的收斂區(qū)間，并求其和函數(shù). （四）傅立葉級(jí)數(shù)(不做考試要求) 第十一章微分方程（一）一階微分方程的求解1.可分離變量的方程： SKIPIF 1 0 的解法分離變量后，兩邊同時(shí)積分得通解；2.齊次方程： SKIPIF 1 0 的解法：令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，