理論攻堅-數(shù)學(xué)運算筆記

1、理論攻堅-數(shù)算 3（筆記）第六節(jié)經(jīng)濟(jì)利潤問題一、常規(guī)經(jīng)濟(jì)利潤【知識點】經(jīng)濟(jì)利潤問題：考查很多，和行程、排列組合與概率考查頻率差不多，但是難度會低一些，建議重點把握。1.常規(guī)經(jīng)濟(jì)利潤：考查，難度稍大。（1）特征：有售價、成本、利潤、利潤率。（2）方法：方程法、賦值法（題目中沒有給帶的具體數(shù)值）。方程法用的最多。小部分題目考慮賦值法，題目中沒有給帶的具體值，考慮賦值法（不僅是經(jīng)濟(jì)問題適用，數(shù)算所有題型都適用），先賦數(shù)據(jù)，再套公式、列方程。（3）公式：掌握公式是重點，大部分題目套公式列方程。利潤=售價-成本，比如進(jìn)一件衣服 100 元，賣 180 元，則賺 80 元，為利潤。有的題目，成本也稱為進(jìn)價

2、，數(shù)算中，成本=進(jìn)價，數(shù)算是理想情況，不考慮水電費、員工費等，只考慮商品本身的進(jìn)價。利潤率=利潤/成本=（售價-成本）/成本，利潤為 80 元，進(jìn)價為 100 元，則利潤率=80/100=80%。如果沒有給利潤，先計算售價-成本=利潤，再除以成本即可。r=增長量/基期量。售價=成本*（1+利潤率）。成本=售價/（1+利潤率）。類似資料分析，成本是首先產(chǎn)生的，時間更靠前，可以理解為基期量，在成本上增加的利潤，理解為增長量，基期量+增長量=現(xiàn)期量（售價），故增長量/基期量=增長率（利潤率）。如果不能建立聯(lián)系，可以推導(dǎo)，比如售價=成本+利潤，利潤=成本*利潤率，則售價=成本*（1+利潤率），1利潤=

3、售價-成本利潤率=利潤/成本=（售價-成本）/成本售價=成本*（1+利潤率）成本=售價/（1+利潤率）總價=單件價格*數(shù)量售價=定價*折扣成本=售價/（1+利潤率）。比如以 800 元的價格進(jìn)一件商品，打算賺 40%，則應(yīng)該賣多少元？進(jìn)一件商品，是進(jìn)價?！百崱焙竺娴氖抢麧櫥蛘呃麧櫬?，有具體多少元利潤，給百分?jǐn)?shù)是利潤率，故 40%是利潤率。800*（1+40%）=800+320=1120?？梢越Y(jié)合生活實際更簡單。總價=單件價格*數(shù)量；一件賺 80 元，賣 100 件，總利潤為 80*100=8000。售價=定價*折扣。一件商品，定價 1000 元，打 6.6 折，則按照 66%賣，為 1000*

4、66%=660 元。類比：利潤=售價-成本增長量=現(xiàn)期- 基期。利潤率=利潤/成本r=增長量/基期量。售價=成本*（1+利潤率）現(xiàn)期=基期*（1+r）。成本=售價/（1+利潤率）基期=現(xiàn)期/（1+r）。（4）技巧：列表。遇到題目名詞多、數(shù)據(jù)多，導(dǎo)致弄不清量之間的關(guān)系，可以列表。比如上節(jié)課的題目，有技術(shù)、售后兩個部分，每個部門有、女性，如果寫在一起可能分不清，如果列表會很清晰。只要覺得數(shù)多，量亂，就可以列表分析，不需要畫出表，每排每列對應(yīng)整齊即可。2.分段計費：考查少，難度低?！纠?1】（2018 年浙江）商店以每雙 15 元的價格購進(jìn)一批拖鞋，售價為 18元，賣到8 雙時，除去購進(jìn)這批拖鞋的全

5、部成本外獲利 120 元，問商場共購進(jìn)拖鞋多少雙？（）A.80B.86C.88D.90【】例 1.購進(jìn)拖鞋，是進(jìn)價，有進(jìn)價，是常規(guī)經(jīng)濟(jì)問題，給具體值，不需要賦值，套公式、列方程即可。已知進(jìn)價=15，售價=18，優(yōu)先求誰設(shè)誰，設(shè)購進(jìn) x 雙，則賣出 x-8 雙，給進(jìn)價、售價、利潤，售價-進(jìn)價=利潤，18*（x-8）-15x=1203x=18*8+120 x=88。【選 C】【注意】大部分經(jīng)濟(jì)利潤問題，難度不大?！纠?2】（2018 年聯(lián)考）超市采購兩種不同口味的散裝巧克力共 x 斤，售價2分別為 30 元/斤和 50 元/斤，預(yù)計總收入為 y 元。如將其混合后以 40 元/斤的價格銷售，總收入將

6、為 1.25y 元。問采購了 30 元/斤的巧克力多少斤？（）A.0.9xB.0.95xC.0.75xD.0.8x【】例 2.問的是采購 30 元/斤的巧克力多少斤，可以設(shè)為 a 斤，則 50元/斤的巧克力為 x-a 斤，題目有兩個等量關(guān)系“預(yù)計總收入為 y 元”和“總收入將為 1.25y 元”，有的同學(xué)認(rèn)為有三個未知數(shù)兩個方程，是不定方程，但是結(jié)合選項，都有 x，x 對結(jié)果沒有影響，相當(dāng)于常數(shù)，因此做題可以直接給 x 取特值（更好算），故假定 x=10（或者假定是 1、100 都沒有問題），可列方程：30a+50（10-a）=y；40*10=1.25y=5/4*yy=400*4/5=320，

7、代入第一個方程：30a+50（10-a）=320-20a=-180a=9=0.9*10=0.9x，對應(yīng) A 項?！具x A】【注意】通過分析題干，發(fā)現(xiàn)只有兩個等量關(guān)系，如果是三個未知量，會出現(xiàn)不定方程，但是觀察選項，都有 x，說明 x 可以看作常數(shù)，故假定一個 x，再列方程解方程會更快。如果沒有給 x 取值，也可以算，只是會麻煩一點，做題要多思考，經(jīng)濟(jì)利潤問題，通常很少出現(xiàn)不定方程?！纠?3】（2017 年聯(lián)考）某蛋糕房銷售 A、B 兩種糕點，其單價均為 8 元，單個凈利潤分別為 3 元和 4 元。推廣期兩種糕點均六折出售。如某天出售 X 個糕點，問其中至少要有多少個 B 糕點才能夠保證不虧本？

8、（）A.0.2XB.0.25XC.0.75XD.0.8X【】例 3.單價通常指的是單個的售價，給 A 和 B 兩種蛋糕，可以想到題目不會很簡單，可以邊讀題邊列表，售價都是 8 元，利潤分別是 3 元和 4 元，有售價有利潤，可以推出成本（邊讀題邊寫出來，不浪費時間，后面可能會用到），A 糕點成本為 5，B 糕點成本為 4。打六折后，兩種蛋糕都是 4.8 元。要保證不虧本，體現(xiàn)在利潤，如果利潤是正數(shù)，說明賺錢，如果利潤是負(fù)數(shù)，說明虧錢，故要求總利潤0?？偫麧?單個利潤*數(shù)量，A 糕點單個利潤=4.8-5=-0.2，B 糕點單個利潤=4.8-4=0.8。3方法一：設(shè) B 糕點賣出 b 個，A 糕點

9、賣 x-b 個，總利潤=-0.2（x-b）+0.8b0n0.2x。方法二：有的同學(xué)認(rèn)為，每賣一個 A 虧 0.2，賣一個 B 賺 0.8，說明賣一個B 可以抵 4 個 A（0.2*4=0.8*1），故根據(jù) 1/4 猜 B 項（干擾項），但是總量是 5份，B 在 5 份中占 1 份，是 1/5=0.2，對應(yīng) A 項?！具x A】【注意】根據(jù)售價成本，也是不虧本，但是需要計算四個數(shù)，比較麻煩，盡量用更簡潔的方法計算。【例 4】（2019 年福建）某客戶擬采購 8 臺設(shè)備，若按原定價格廠家可獲利3200 元?，F(xiàn)客戶提出單臺設(shè)備廠家每讓利 50 元就多采購 4 臺。那么廠家若要獲利最大，每臺設(shè)備應(yīng)降價多

10、少元？（）A.250B.200C.150D.100【】例 4.“獲利 3200 元”是指 8 臺獲利 3200 元，則 1 臺獲利 400 元。“讓利”即降價。本題可以代入選項，計算出每個選項對應(yīng)的利潤，選對應(yīng)利潤最大的。但是如果題目問“廠家能夠獲得的最大利潤是多少”，則不好代入選項（最大利潤=單價利潤*數(shù)量，不知道是哪兩個數(shù)的乘積），題目中出現(xiàn)單價/利潤和銷量此消彼長，問總售價/總利潤最大，有特定的方法。利潤和銷量此消彼長，問利潤最大的時候某個值是多少，（1）設(shè)降價次數(shù)為x，要獲利最大，則表示利潤（說誰最大就表示誰），總利潤=單件利潤*銷量，總利潤=（400-50 x）*（8+4x），令總利

11、潤=0，解得 x1=8，x2=-2。（2）x=（8-2）/2=3，說明降價 3 次，一次降 50 元，則降價 150 元，對應(yīng) C 項?！具x C】【注意】如果問廠家最多獲利多少元，也可以求，x=3 代入總利潤=（400-50 x）4*（8+4x）即可，不論求誰，只要次數(shù)求出來，都可求，是萬能的方法?！局R點】1.題型特征：單價/利潤和銷量此消彼長，問總售價/總利潤最大？2.計算方法：兩點式。（1）設(shè)提/降價次數(shù)為 x，令總售價/總利潤為 0，解得x1、x2。不論問誰，設(shè)的都是提/降價次數(shù)為 x。（2）當(dāng)=（x1+x2）/2 時，取得最值。3.例：單價為 100 元，可賣出 60 件。單價每10

12、 元，則銷量降低 3 件。問單價為多少元時，總售價最高？答：售價和利潤此消彼長，問總售價最高。（1）設(shè)提價 x 次，表示總售價，總售價=單價*數(shù)量=（100+10 x）*（60-3x）。令總售價=0，則（100+10 x）和（60-3x）任何一個為 0 都滿足，可以解得x1=-10，x2=20。（2）x=（-10+20）/2=5 次，100+10*5=150 元。如果問總售價，再代入 x=5，得 150*45。4.這種方法的本質(zhì)是一元二次函數(shù)，函數(shù)圖像是拋物線，存在頂點（最高的或者最低點），最高點在對稱軸上，圖像與 x 軸的交點對應(yīng) y 值為 0，計算出 x1和 x2，再取平均數(shù)為最高點的 x

13、 值。有的同學(xué)會配方，也可以得到，但是大部分同學(xué)不記得了，此方法不需要思考，沒什么計算量，性價比很高。5.這種題型近幾年的國考、省考考查也比較多?！纠?5】（2017 年臨汾）某商店購進(jìn)一批土豆，以高于進(jìn)價 10%的定價出售，在售出 2/3 后，以定價的 8 折將剩下的土豆全部售出，該商店預(yù)計為成本的（）。A.3.2%B.不賺也不虧C.1.6%D.2.7%5【】例 5.是經(jīng)濟(jì)利潤問題，只有 10%、2/3、8 折，沒有帶的具體值，需要賦值。有進(jìn)價，優(yōu)先賦值進(jìn)價，賦值一個好算的數(shù)，賦值進(jìn)價為 10。要求總利潤，還需要知道數(shù)量，賦值數(shù)量，原則上是好算，因出現(xiàn)“在售出 2/3后”，賦值數(shù)量為 3。則

14、總進(jìn)價為 10*3=30 元?！耙愿哂谶M(jìn)價 10%的定價出售，在售出 2/3 后”，售價=10*（1+10%）=11 元，賣出 2/3*3=2 個?！耙远▋r的 8 折將剩下的土豆全部售出”， 售價=11*0.8=8.8 元，數(shù)量=3-2=1 個。則總售價=11*2+8.8*1=30.8 元，利潤=30.8-30=0.8 元，利潤/成本=0.8/30，首位商 2，對應(yīng) D 項?！具x D】【注意】1.經(jīng)濟(jì)利潤問題，如果賦值，通常優(yōu)先賦進(jìn)價，如果沒有進(jìn)價，再根據(jù)題目本身判斷誰比較好賦，如果涉及進(jìn)價或者成本，優(yōu)先賦進(jìn)價或者成本，沒有再考慮其他主體。2.本題難度不大，如果沒有帶的具體值，方法是賦值。二、

15、分段計費【例 6】（2017 年陽泉）某市根據(jù)用電情況實行階梯電價，當(dāng)月用電量在 100度之內(nèi)（包括 100 度），按 0.48 元/度收??；用電量超過 100 度，超出部分每度6【知識點】分段計費： 1.題型特征：每一段的價格不同。常見：坐出租車、水費、電費、停車費、稅費等。比如出租車起步價 3 公里以內(nèi)是 10 元，超過 3 公里是 1.5 元/公里，問坐10 公里？每段價錢不一樣，分段計費問題，分段計算再求和，10+1.5*（10-3）=20.5。如果增加難度：可以分為三段，03 公里、310 公里，大于 10 公里三種不同的價格；或者已知打車用了 50 元，問距離；或者要計算 10 公

16、里以后，每公里 ，需要設(shè)未知數(shù)列方程解題。2.方法：先分段計算，再匯總求和。電價上漲 10%，用電量超過 200 度，超出部分每度電在基礎(chǔ)上提價 0.2 元。若該市某居民當(dāng)月交電費 121.2 元，請問當(dāng)月該居民用了多少度電？（）A.230B.232C.250D.261【】例 6. “ 電量超過 100 度，超出部分每度電價上漲 10% ”，0.48*1.1=0.528 元/度?！坝秒娏砍^ 200 度，超出部分每度電在基礎(chǔ)上提價 0.2 元”指的是 0.48（最開始收的價格），0.48+0.2=0.68 元。分為三段，問的是用多少度電，三段分別計算再相加。有的同學(xué)擔(dān)心用的電數(shù)在哪個區(qū)間，結(jié)合

17、選項，都是 200 多，則一定是用 200 多，前面兩段不需要思考，都用滿了，0.48*100+0.528*100，超過200 度的部分，可以設(shè)總電量為x 但是計算需要-200，故可以設(shè)超出部分為 x 度，則可列方程：0.48*100+0.528*100+0.68x=121.248+52.8+0.68x=121.20.68x=20.4x=30，則總共為 230 度。【選 A】【注意】分段計費問題，只要找好分段點，把每一段的價格找好，每一段分別計算，再相加求和，一定可以做出來。只不過數(shù)據(jù)大可以能慢一些。【注意】經(jīng)濟(jì)利潤：71.常規(guī)經(jīng)濟(jì)利潤：（1）特征：成本、售價、利潤、利潤率。（2）公式：利潤=

18、售價-進(jìn)價。利潤率=（售價-進(jìn)價）/進(jìn)價。售價=成本*（1+利潤率）。成本=售價/（1+利潤率）。（3）方法：方程法、賦值法（沒有帶的具體值，可以先賦值，再套公式列方程）。（4）注意：列表可以更快量之間的關(guān)系。2.分段計費：（1）特征：每段的價格不同。（2）方法：分段計費、匯總求和。第七節(jié)排列組合與概率【注意】排列組合與概率：和高中的難度相比，現(xiàn)在的難度非常簡單。掌握 70%80%沒有問題。1.基礎(chǔ)概念。2.特殊方法。3.概率問題。4.事業(yè)重點考基礎(chǔ)概念和概率問題。特殊方法考得比較少。一、基礎(chǔ)概念8【知識點】基礎(chǔ)概念：加法原理：分類用加法（一步完成）。比如 去 ，想要穿連衣裙，有長裙、短裙和中

19、裙，問 選裙子有幾種方案？1+1+1=3 種。如果一件事只做一個選擇就能完成，說明一步可以完成，用加法。乘法原理：分步用乘法（一步完不成）。如果一步不能完成，需要多步，9分步用乘法。比如 穿上衣和褲子去 ，上衣有 1 件白色、1 件黑色、1 件灰色，褲子有 1 件長褲、1 件短褲，則 有幾種選擇？3*2=6。只選一個上衣不能完成選衣服，一步不能完成，多步用乘法。3.補(bǔ)例：某中學(xué)有語文教師 8 名、數(shù)學(xué)教師 7 名、英語教師 5 名和體育教師2 名。問題 1：現(xiàn)要從以上四科教師選出 1 名教師去參加培訓(xùn)，問有多少種不同的選法？答：從語文教師中選 1 個人，則事情做完了，只要選一個人就可以，一步能

20、做完，用加法，8+7+5+2=22。問題 2：現(xiàn)要從以上四科教師中各選出 1 名教師去參加培訓(xùn)，問有多少種不同的選法？答：語文教師 8 名中選 1 名，事情沒有做完，四科都要選，分多步做，用乘法，8*7*5*2。如果同學(xué)本身有基礎(chǔ)，可以區(qū)分好乘法和加法，可以用自己的方法，如果不能很好地區(qū)分，可以按照老師的方法，看能否一步完成判斷。4.排列：與順序有關(guān)（改變順序，結(jié)果變化）。看事情改變順序結(jié)果變不變，改變順序結(jié)果變，是因為順序變導(dǎo)致的，說明結(jié)果受到順序的影響，有順序，用排列。組合：與順序無關(guān)（改變順序，結(jié)果不變）。沒順序，用組合。5.（1）比如粉筆給同學(xué)發(fā)京東卡，小班中有 9 人，選 3 人發(fā)京

21、東卡，第一個人發(fā) 5000 元，第二個人發(fā) 3000 元，第三個人發(fā) 2000 元。如果第一種選人順序是 A、B、C，第二種順序是 C、A、B，第一種順序 A 有 5000 元，第二種順序， C 有 5000 元，順序變導(dǎo)致結(jié)果變，有順序，用排列，為 A（9,3），9 是總數(shù)，3是選出來的人數(shù)。如果還是 9 個人選 3 人，只要選出來，都發(fā) 5000，則選 A、B、C 和選 C、A、B，改變順序，結(jié)果不變，三名同學(xué)都是各 5000 元，結(jié)果和順序無關(guān)，用組合，C（9,3）。9 是總數(shù)，3 是選出來的人數(shù)。分不清有沒有順序，可以人為改變順序，結(jié)果變則有順序，結(jié)果不變則沒有順序?！纠?1】（201

22、8 年）某超市有 4 種白酒、9 種飲料、3 種礦泉水，想買三種白酒、兩種飲料、一種礦泉水，那么他的選擇有（）種。A.432B.216C.142D.492【】例 1.多少種、方案、排列順序），都是排列組合的典型問法。4 種白酒選 3 種買，沒有順序（比如是、五糧液、汾酒，先拿誰后拿誰，都是把這三種抱回家，改變順序?qū)Y(jié)果沒有影響），為 C（4,3），飲料為 C106.計算公式：（1）排列公式：A（n,m）=P（n,m）=n!/（n!-m!）=n*（n-1）*（n-2）*（n-m+1）。公式不要記，記住例子。舉例：A（9,3），從 9 開始，3 個連續(xù)整數(shù)相乘，為 9*8*7；A（7,4）=7*6

23、*5*4。（2）組合公式：C（n,m）=C（n,n-m）=（n-m）!*m!,n!=n*（n-1）*（n-2）*（n-m+1）/m*（m-1）*（m-2）*2*1。組合可以寫成分?jǐn)?shù)，上面是排列。舉例：C（9,3）=9*8*7/（3*2*1）；C（7,4）=7*6*5*4/（4*3*2*1）；C（7,3）=7*6*5/（3*2*1）。發(fā)現(xiàn) C（7,4）和 C（7,3）結(jié)果相同，是 C（n,m）=-m）?？梢岳斫鉃閺?7 人中選 3 人給錢，還是選 4 人不給錢，結(jié)果是一樣的。C（11,9）=C（11,2），從 11 人中選 9 人給錢和從 11 人中選 2 人不給錢，結(jié)果是一樣的。（3）逆向公式

24、：滿足條件的情況數(shù)=總數(shù)-不滿足條件情況數(shù)。正向不好計算，考慮看是否好算。比如男生的是，對的是錯，紅燈的是非紅燈。7.注意：（1）人排隊是有順序的。人住房間是有順序的（3 個單人間，每人一間，有順序，因為房間是有順序的），用排列。（2）常用排列組合數(shù)：C（4,2）=4*3/（2*1）=6；C（5,3）=C（5,2）=10； C（6,3）=20；C（6,4）=C（6,2）=15。做題會經(jīng)常遇到，記住則不需要列式。A（3,3）=6，A（4,4）=24，A（5,5）=120。能記住盡量記住，可以節(jié)省時間。（9,2），礦泉水為 C（3,1），買東西一步?jīng)]有做完，不僅是買酒，還要買飲料和水，需要多步完成

25、，用乘法，為 C（4,3）*C（9,2）*C（3,1）=4*（9*8/2）*3=2*72*3=144*3=432，對應(yīng) A 項?！具x A】【注意】C（4,3）=C（4,1）=4。即 C（n,1）=n?！纠?2】（2017 年聯(lián)考）某車間有 50 名工人裝配零件，男工每人裝配 4 個，女工每人裝配 2 個，最終男工裝配的零件數(shù)比女工多 20 個。車間準(zhǔn)備從男工和女工中各任意選擇 1 名參加技能比賽，問共有多少種不同的組合？（）A.400B.500C.600D.800【】例 2.題目要求從男工人中選 1 人，從女工人中選 1 人，未知男工人和女工人分別有多少人，需要計算一下。設(shè)男工人有 x 人，“

26、某車間有 50 名工人”，則女工人有（50-x）人，依題意列式：4x-2*（50-x）=20，解得 x=20，則男工人有 20 人，女工人有 30 人。從男工人選 1 人，從女工人選 1 人，選 1 人本質(zhì)上沒有順序，用 C 表示，需要的是各選一人，分步用乘法，列式：C（20,1）*C（30,1）=20*30=600，對應(yīng) C 項。【選 C】【例 3】（2019 年河北）從 1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意選出四個數(shù)，使它們的和為偶數(shù)，共有多少種不同的選法？（）A.60B.62C.65D.66【】例 3.看成從 1、2、3、4、5、

27、6、7、8、9 中任意選 4 個數(shù)，要求和為偶數(shù)，可以 4 個都是偶數(shù)，也可以 2 個偶數(shù) 2 個奇數(shù)，還可以 4 個奇數(shù)。共有 3 種情況，分類：（1）4 偶：2、4、6、8 是偶數(shù)，1、3、5、7、9 是奇數(shù)，從 4 個偶數(shù)中選 4個偶數(shù)，選出來的偶數(shù)改變順序結(jié)果不變，用 C 表示，即 C（4,4）=1 種。（2）2 偶 2 奇：從 4 個偶數(shù)中選 2 個偶數(shù)，從 5 個奇數(shù)中選 2 個奇數(shù)，選11數(shù)沒有區(qū)別，用 C 表示，分步用乘法，即 C（4,2）*C（5,2）=6*10=60 種。（3）4 奇：從 5 個奇數(shù)中選 4 個奇數(shù)，選出來的數(shù)沒有順序，用 C 表示，即 C（5,1）=5 種

28、。分類用加法，列式：1+60+5=66 種，對應(yīng) D 項?！具x D】【注意】）=1?！纠?4】（2019 年福建）某由三個不同專業(yè)的組成，其人數(shù)分別為 2，3，4。現(xiàn)從中選派 2 位不同專業(yè)的委員外出調(diào)研，那么不同的選派方式共有（）個。A.36B.26C.12D.8【】例4.方法一：排列組合問題，要求選不同專業(yè)，假設(shè)三個專業(yè)分別為甲、乙、丙?？梢赃x甲、乙兩個專業(yè)，也可以選甲、丙兩個專業(yè)，還可以選乙、丙兩個專業(yè)，分類：（1）選甲、乙兩個專業(yè)：甲專業(yè)一共 2 人，選 1 人，為 C（2,1）；乙專業(yè)一共 3 人，選 1 人，為 C（3,1），一步完不成，分步用乘法，列式：C（2,1）*C（3,1）

29、=6 種。（2）選甲、丙兩個專業(yè)：甲專業(yè)一共 2 人，選 1 人，為 C（2,1）；丙專業(yè)一共 4 人，選 1 人，為 C（4,1），一步完不成，分步用乘法，列式：C（2,1）*C（4,1）=8 種。（3）選乙、丙兩個專業(yè)：乙專業(yè)一共 3 人，選 1 人，為 C（3,1）；丙專業(yè)一共 4 人，選 1 人，為 C（4,1），一步完不成，分步用乘法，列式：C（3,1）*C（4,1）=12 種。分類用加法：6+8+12=26 種，對應(yīng) B 項。方法二：逆向公式：總情況-情況，情況是 2 人專業(yè)相同?？偳闆r：從 9 人中選 2 人，順序?qū)Y(jié)果沒有影響，即 C（9,2）；情況：2 人專業(yè)相同，可以從甲專

30、業(yè)中選 2 人，或者從乙專業(yè)中選 2 人，或者從丙專業(yè)中選 2 人，列式：C（9,2）-C（2,2）+C（3,2）+C（4,2）=（9*8）/2-（1+3+6）=36-10=26，對應(yīng) B 項。【選 B】12二、特殊方法【例 5】（2017年河北）有 5 對情侶相約一起去看，買到同一排的 10張連續(xù)票，當(dāng)然，每對情侶必須坐在一起，問一共有多少種安排座位的方法？（）A.3840B.384C.96D.48【】例 5.10 張連續(xù)票，出現(xiàn)“必須坐一起”，要求相鄰，用法。先將每對情侶，有順序，即 A（2,2），一共 5 對情侶，每對情侶之間都有順序（在左和男生在左不一樣），5 對情侶都是“A（2,2）

31、”，一共捆了 5次，將 5 對情侶當(dāng)做 5 個整體再排序，先再，用乘法，列式：A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（2,2）*A（5,5）=2*2*2*2*2*120，選項尾數(shù)13【知識點】特殊方法：重點掌握套路，事業(yè)考查較少，考查較多。1.法。題型特征：要求相鄰。解題思路：先把要求相鄰成一個整體（注意有無順序）。再排序?qū)⒌恼w和其他進(jìn)行排序例：3 名男生和 3 名排隊，要求 3 名必須相鄰，有多少種排隊方式？答：人排隊一定有順序，如果沒有要求，排序是 A（6,6）；現(xiàn)在要求必須相鄰，用法，先，將要求相鄰的人成一個整體，注意順序，再將捆起來的整體和其他人排序，先3 個，有

32、順序，即 A（3,3）；再和另外 3 名男生排序，一個整體和 3 名男生排序相當(dāng)于 4 個主體排序，即 A（4,4）；先后，用乘法，列式：A（3,3）*A（4,4）=6*24。 2.插空法。插板法。錯位排列。不同，用尾數(shù)法，尾數(shù)為 0，對應(yīng) A 項?！具x A】【注意】不能是 A（10,5），此時是從 10 人中選 5 個男生排序，這種不是將每對情侶挨一起排序?！局R點】插空法：1.題型特征：要求不相鄰。2.解題思路：（1）先排序把沒有要求的排序，形成若干空位。（2）再插空把要求不相鄰的到空位中。3.例：3 名男生和 3 名排隊，要求 3 名均不能相鄰，有多少種排隊方式？答：出現(xiàn)“不相鄰”，用插

33、空法。先排序，將男生先排序，即 A（3,3）；3個男生形成 4 個空，從 4 個空中選 3 個空，排序有順序（人排隊正常都有順序），即 A（4,3），先再，用乘法，列式：A（3,3）*A（4,3）?！纠?6】（2018 年聯(lián)考）某慶典儀式上準(zhǔn)備表彰 5 位先進(jìn)工作者。5 人排成一排依次，不能排在最后一個，不能和相鄰，問可能有多少種順序？（）A.18B.30C.42D.54【】例 6.出現(xiàn)“不能相鄰”，用插空法。先排沒有要求順序的人，假設(shè)5 人分別是、甲、乙、丙，先安排甲、乙、丙有順序，即 A（3,3）；3 個人形成 4 個空，其中不能排最后一個，先安排，可以從前三個空中挑一個，有 3 種方式可

34、以從剩下 3 個空中挑一個，也是 3 種方式；先再，用乘法，列式：A（3,3）*3*3=6*9=54，對應(yīng) D 項?！具x D】14【注意】A（3,1）=C（3,1）=3?！局R點】插板法：記住即可。1.題型特征：把 n 個相同的物品分給 m 人，要求每人至少 1 個。2.解題思路：C（n-1,m-1）。3.例：把 6 個完全相同的蛋糕分給 3 個人，要求每人至少 1 個，有多少種分配方法？答：套公式，C（6-1,3-1）=C（5,2）=10 種。推導(dǎo)：分 3 個人，只需要插 2個板，一共 5 個空，相當(dāng)于從 5 個空中放 2 個板，即 C（5,2）。如果算兩端的空，相當(dāng)于有 7 個空，不能滿足

35、每人至少 1 個，所以兩端的空不能放，只能放空。4.改題：把 16 個完全相同的蛋糕分給 3 個人，要求每人至少 4 個，有多少種分配方法？答：只要出現(xiàn)“至少 1 個”，就可以每個空都放板，先每人分 3 個，剩下 16-3*3=7 個，再套公式，C（7-1,3-1）=C（6,2）。【例 7】（2019 年宿遷）某要把 20 項任務(wù)分配給三個下屬，每個下屬至少要分得 3 項任務(wù)，則共有（）種不同的分配方式。A.28B.36C.54D.78【】例 7.如果改為“每個下屬至少分 1 項任務(wù)”，列式為 C（20-1,3-1）；現(xiàn)在是“每個下屬至少要分得 3 項任務(wù)”，先每人分 2 項，剩下 20-2*

36、3=14 項，套公式，C（14-1,3-1）=C（13,2）=（13*12）/2=78，對應(yīng) D 項?！具x D】【知識點】錯位排列：重點是“錯”，要求“錯開”。比如廚師不能嘗自己的菜，廚師和菜錯開；人不能拿回自己，人和錯開；車不能開回自己的停15車位，車和停車位錯開；信不能放回原信箱，信和信箱錯開。錯開的方案通過枚舉得來。1.題型識別：不能回原位。2.解題思路：1 個元素錯位排列有 0 種情況；2 個元素錯位排列有 1 種情況；3 個元素錯位排列有 2 種情況；4 個元素錯位排列有 9 種情況；5 個元素錯位排列有 44 種情況。3.例：（1）3 位廚師，每人炒了一盤菜，每個人都不嘗自己的菜，

37、有幾種情況？答：3 位廚師分別為甲、乙、丙，炒的菜對應(yīng)為 A、B、C，甲不可以嘗自己的，則甲可以嘗 B 或嘗 C，乙可以嘗 C 或嘗 A，丙可以嘗 A 或嘗 B，3 人錯位排列有 2 種情況；4 人錯位排列有 9 種情況。（2）4 位廚師，每人炒了一盤菜，每個人都不嘗自己的菜，有幾種情況？答：共有 9 種情況?！纠?8】（2018 年河北）四位同學(xué)機(jī)完全相同，他們將四部混放在一起再取回，只有一人拿到自己機(jī)，而其他三人均沒有拿到自己機(jī)。這樣的拿法共有多少種？（）A.6B.8C.10D.12【】例 8.人拿不回自己，相當(dāng)于人和自己錯開，屬于錯位排列。3 個人的錯位排列有 2 種情況，但是選項中沒有

38、 2 這個選項，假設(shè)四位同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁，但是到底誰拿回自己不清楚，所以可以先有 1 人拿回自己，即 C（4,1），一步完不成，分步用乘法，列式：C（4,1）*2=4*2=8，對應(yīng) B 項。【選 B】三、概率問題16【例 9】（2018 年）某小組總共有 18 人，其中 6 人來自湖南，5 人來自，4 人來自，3 人來自山西。如果從該小組隨機(jī)抽出兩人，那么兩人來自相同的省份的概率為（）。A.1/9B.2/9C.1/3D.4/9【】例 9.給情況求概率，公式：P=滿足條件的情況數(shù)/總情況數(shù)?？偳闆r數(shù)是從 18 人中選 2 人，選人沒順序，用 C 表示，即 C（18,2）；要求相同省份，可

39、以 2 人都是湖南人，2 人都是人，2 人都是人，2 人都是山西人，一步能完成，用加法，則滿足條件的情況數(shù)為 C（6,2）+C（5,2）+C（4,2）+C（3,2），列式：P=C（6,2）+C（5,2）+C（4,2）+C（3,2）/C（18,2）=（15+10+6+3）17基本公式：概率=滿足條件的情況數(shù)/總情況數(shù)分步概率公式：概率=各步概率的乘積分類概率公式：概率=各類概率的和逆向思維概率公式：概率=1-不滿足條件的概率【知識點】概率問題：近些年考查比例大，總體有三種情況。給情況求概率（題目中沒有給出概率）：概率=滿足條件的情況數(shù)/總情況數(shù)。例：班級中有 9 名同學(xué)，其中有 5 名為，從班級

40、中任選 2 人，選到 2人都是的概率為多少？答：這種是給情況數(shù)求概率，P=滿足條件的情況數(shù)/總情況數(shù)?？偳闆r數(shù)是從 9 人中選 2 人，即 C（9,2）；滿足條件的情況數(shù)是從 5 名中選 2 人，即 C（5,2）；列式：P=C（5,2）/C（9,2）。給概率求概率：判斷概率應(yīng)該是用乘法還是用加法。分步概率公式（一步完不成）：概率=各步概率的乘積。分類概率公式（一步能完成）：概率=各類概率的和。3.正難則反（逆向公式）：概率=1-不滿足條件的概率?？偢怕蕿?1，如果計算過程中概率大于 1，一定是算錯了，因為概率過 1。比如生活中說“我保證百分之二百”，這是一種夸張說法，數(shù)學(xué)中概率不會超 100%

41、。（18*17）/2=34/（9*17）=2/9，對應(yīng) B 項?！具x B】【知識點】給概率求概率：1.例子：甲和乙兩名水平相當(dāng)?shù)倪x手打羽毛球，每局每人的勝率都是 50%，如果兩個人打了 5 場，甲連勝 3 場的概率為（）。2.答：題目中已知一個概率，求概率，屬于給概率求概率。要求連勝 3 場，不能寫成“C（5,3）”。分類：（1）前三場連勝，第四場必須輸，第五場輸贏都可以，每人的勝率都是 1/2，輸?shù)母怕室彩?1/2，分步用乘法，列式：1/2*1/2*1/2*1/2*1=1/16。（2）第一場必須輸，第二場、第三場、第四場連勝，第五場必須輸，分步用乘法，列式：1/2*1/2*1/2*1/2*1

42、/2=1/32。（3）第一場輸贏都可以、第二場必須輸，第三場、第四場、第五場連勝，分步用乘法，列式：1*1/2*1/2*1/2*1/2=1/16。（4）分類用加法，列式：1/16+1/32+1/16?！纠?10】（2016 年聯(lián)考）甲和乙兩名水平相當(dāng)?shù)倪x手打羽毛球，每局每人的勝率都是 50%，如果兩個人打五場，甲至少連勝三場的概率為（）。A.1/4B.1/8C.1/16D.3/16【】例 10.每人勝的概率為 50%，輸?shù)母怕室矠?50%。要求“至少連勝”，至少是大于等于的意思，即連勝次數(shù)要大于等于 3。分類：（1）連勝三場：之前引例分析過連勝三場。從第一場到第三場都連勝，第四場必須輸，第五場輸贏都可以，列式：1/2*1/2*1/2*1/2*1=1/16。第一場必須輸，從第二場到第四場都連勝，第五場必須輸，列式： 1/2*1/2*1/2*1/2*1/2=1/32。第一場輸贏都可以、第二場必須輸，從第三場到第五場連勝，列式：1*1/2*1/2*1/2*1/2=1/16。（2）連勝四場：18從第一場到第四場都連勝，第五場必須輸，列式：