東華大學(xué)電路分析PPT第6章動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

1、第六章 動(dòng)態(tài)(dngti)電路的復(fù)頻域分析 6.1 拉普拉斯變換(binhun)及其性質(zhì) 6.2 拉普拉斯反變換 6.3 電路基本定律及電路元件的復(fù)頻域形式 6.4 應(yīng)用拉普拉斯變換分析動(dòng)態(tài)電路 6.5 網(wǎng)絡(luò)函數(shù) 6.6 固有頻率 共九十八頁(yè) 本章(bn zhn)要介紹的拉普拉斯變換方法是研究線性非時(shí)變動(dòng)態(tài)電路的基本工具。采用拉普拉斯變換的分析方法，稱為復(fù)頻域分析，即s域分析。 6.1拉普拉斯變換(binhun)及其性質(zhì)6.1.1 拉普拉斯變換的定義 設(shè)時(shí)域函數(shù)f(t)在區(qū)間 0， )內(nèi)的定積分為 式中，s=+j為復(fù)頻率。若該定積分在s某一域內(nèi)收斂，則由此積分確定的復(fù)頻域函數(shù)可表示為共九十八頁(yè)

2、 復(fù)頻域函數(shù)(hnsh)F(s)定義為時(shí)域函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）或稱F(s)為f(t)的象函數(shù)F(s) = f(t) 簡(jiǎn)記(jin j)成 已知象函數(shù)F(s)求對(duì)應(yīng)原函數(shù)f(t)的變換，稱拉普拉斯反變換（簡(jiǎn)稱拉氏反變換），其積分公式為簡(jiǎn)記為f(t)=-1F(s) 共九十八頁(yè)表6.1.1 一些常用(chn yn)時(shí)間函數(shù)的拉氏變換序 號(hào)原函數(shù)f(t) (t 0)象函數(shù)F(s)1 (t)123(t)4567sint表6.1.1 一些(yxi)常用時(shí)間函數(shù)的拉氏變換 共九十八頁(yè)8cost9101112 共九十八頁(yè)6.1.2 拉普拉斯變換的基本(jbn)性質(zhì) 若f1(t)= F1(

3、s)，f2(t)= F2(s)a1f1(t)+a2f2(t) = a1f1(t)+a2f2(t) = a1F1(s)+a2F2(s) 則對(duì)任意(rny)常數(shù)a1及a2（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）有一、線性性質(zhì) 即拉氏變換滿足齊次性和可加性。 應(yīng)用：共九十八頁(yè)對(duì)電阻電壓、電流進(jìn)行(jnxng)拉氏變換，并由線性性質(zhì)可得 uR = RiR = R iR電阻元件(yunjin)電壓電流關(guān)系的復(fù)頻域形式。 它表明，電阻電壓的象函數(shù)與電阻電流的象函數(shù)之間的關(guān)系也服從歐姆定律。例6.1.4 試求電阻元件電壓電流關(guān)系的復(fù)頻域形式。解:時(shí)域中線性電阻元件共九十八頁(yè)二、微分(wi fn)性質(zhì)若f(t) = F(s)，則 拉氏

4、變換的微分性質(zhì)表明，時(shí)域中的求導(dǎo)運(yùn)算，對(duì)應(yīng)(duyng)于復(fù)頻域中乘以s的運(yùn)算，并以f(0-)計(jì)入原始值 推廣：共九十八頁(yè)例6.1.5 試求電容元件電壓電流(dinli)關(guān)系的復(fù)頻域形式。解：在時(shí)域中線性非時(shí)變電容(dinrng)元件 對(duì)電容電壓、電流進(jìn)行拉氏變換，并根據(jù)微分性質(zhì)和線性性質(zhì)可得 iC = = C = CsUC(s)-uC(0-)則電壓電流關(guān)系的電容元件的復(fù)頻域形式為共九十八頁(yè)若f(t) = F(s)，則三、積分(jfn)性質(zhì) 拉氏變換的積分(jfn)性質(zhì)表明，時(shí)域中由0到t的積分運(yùn)算，對(duì)應(yīng)于復(fù)頻域中除以s的運(yùn)算 例6.1.6 試求電感元件電壓電流關(guān)系的復(fù)頻域形式。解：在時(shí)域中線

5、性非時(shí)變電感元件共九十八頁(yè) 對(duì)電感電壓、電流進(jìn)行拉氏變換，并由積分(jfn)性質(zhì)和線性性質(zhì)可得 iL = = + 電感(din n)元件的復(fù)頻域形式為： 從微分和積分性質(zhì)可看出，在應(yīng)用拉氏變換時(shí)，直接用時(shí)域中的0-時(shí)的原始值，而不必考慮0+時(shí)的初始值。共九十八頁(yè)四、時(shí)移性質(zhì)(xngzh)若f(t) = F(s)，則f(t-) = F(s) 拉氏變換的時(shí)移性質(zhì)表明，若原函數(shù)在時(shí)間(shjin)上推遲(即其圖形沿時(shí)間軸向右移動(dòng) )，則其象函數(shù)應(yīng)乘以延時(shí)因子e-s 例6.1.7 圖示單個(gè)矩形脈沖波形f(t)，其幅度為A，試求f(t)的拉氏變換F(s)。解 ：矩形脈沖f(t)可表示為共九十八頁(yè)故根據(jù)(

6、gnj)時(shí)移性質(zhì)，有 的象函數(shù)例6.1.8 已知求解 ：故根據(jù)時(shí)移性質(zhì)，有共九十八頁(yè)五、頻移性質(zhì)(xngzh)若f(t) = F(s)，則 =F(s-) 拉氏變換的頻移性質(zhì)(xngzh)表明，若原函數(shù)乘以指數(shù)因子et,則其象函數(shù)應(yīng)位移（即其圖形沿實(shí)軸向右移動(dòng)）。例6.1.9 試求 及 的拉氏變換。 根據(jù)頻移性質(zhì)可求得解 ：共九十八頁(yè)六、初值定理(dngl) 若f(t) = F(s)，且 存在，則若f(t) = F(s)，且 存在，則 七、終值定理(dngl) 利用初值定理和終值定理，可以不經(jīng)過反變換而直接由象函數(shù)F(s)來確定原函數(shù)f(t)的初值和終值。 共九十八頁(yè)例6.1.10：解 ：根據(jù)初

7、值定理 求原函數(shù)f(t)的初始值f(0+)已知求原函數(shù)f(t)的終值f()已知根據(jù)(gnj)終值定理 共九十八頁(yè)八、卷積定理 若f1(t)= F1(s)，f2(t)= F2(s)，且t 0時(shí)f1(t) = f2(t) = 0則f1(t)f2(t) = F1(s)F2(s) 卷積定理表明，時(shí)域中兩原函數(shù)的卷積，對(duì)應(yīng)(duyng)于復(fù)頻域中兩象函數(shù)的乘積。 共九十八頁(yè)例：已知某網(wǎng)絡(luò)的的沖激響應(yīng)為求該網(wǎng)絡(luò)在激勵(lì)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)解:共九十八頁(yè)6.2 拉普拉斯反變換(binhun) 拉普拉斯反變換(binhun)可以將頻域響應(yīng)返回至?xí)r域響應(yīng)。拉普拉斯反變換的定義： 拉普拉斯反變換的計(jì)算較復(fù)雜，一般多采

8、用部分分式展開的方法間接求得。（適用于有理式） 設(shè)F(s)可以表示為如下的有理分式，m 和n 為正整數(shù)。共九十八頁(yè)展開定理(dngl)的第一步是把有理函數(shù)真分?jǐn)?shù)化（真分式化） 若mn則 將F(s)分解為一個(gè)s多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和 其中A(s)是P(s)除以Q(s)的商，是一個(gè)多項(xiàng)式，其對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)是(t)，(1)(t)， (2)(t) 等的線性組合。B(s)是P(s)被Q(s)所除而得的余式，則B(s)/ Q(s)為真分式 共九十八頁(yè)所以(suy)F(s)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)為例6.2.1 試求 的原函數(shù)。解：將F(s)真分式化得共九十八頁(yè)設(shè)：F(s)為真分式，并將分母多項(xiàng)式Q(s)用因式(yns

9、h)連乘的形式來表示，即：如果(rgu) pj(j1，2，r)是Q(s)的r重根，則稱pj為F(s)的r階極點(diǎn)。 pj(j=1，2，n)為方程Q(s)=0的根，稱為Q(s)的零點(diǎn)。當(dāng)spj時(shí)，F(xiàn)(s)，所以pj也稱為F(s)的極點(diǎn)。若pj是多項(xiàng)式Q(s)的單根，則稱pj為F(s)的單極點(diǎn)。共九十八頁(yè)6.2.2 單極點(diǎn)(jdin)有理函數(shù)的拉氏反變換 F(s)的極點(diǎn)(jdin)均為單極點(diǎn)(jdin)時(shí)， F(s)的部分分式展開式為Kj(j=1，2，n)為待定常數(shù) 方法二 方法一 共九十八頁(yè)f(t) = -1F(s) = -1 拉氏反變換(binhun)并進(jìn)行線性組合，可得： 一、 極點(diǎn)(jdin

10、)均為實(shí)數(shù)情況 例6.2.2 試求 的原函數(shù)f(t)。F(s)的各極點(diǎn)分別為p1 = -1，p2 = 2，p3 = 3解共九十八頁(yè)f(t) = -1F(s) = -1 共九十八頁(yè)二、極點(diǎn)為復(fù)數(shù)情況(qngkung)（共軛復(fù)根）若F(s)有 單極點(diǎn)(jdin)，則必有 單極點(diǎn)(jdin)。 則F(s)將包含K1和K2一般也是共軛復(fù)數(shù)，即： 如果則共九十八頁(yè)拉氏反變換(binhun)為：f(t)=例6.2.3 試求 的原函數(shù)f(t)。F(s)極點(diǎn)分別為p1 = 2+j3，p2 = 2j3，p3 = 1。.解：則F(s)的部分分式展開式為共九十八頁(yè)f(t)= -1 共九十八頁(yè)6.2.3 重極點(diǎn)(jd

11、in)有理函數(shù)的拉氏反變換 若F(s)有一個(gè)(y )r階極點(diǎn)p1，其他為單極點(diǎn)，則F(s)的部分分式展開式為：其中：共九十八頁(yè)f(t) = -1F(s) = -1例6.2.4 試求 的原函數(shù)f(t) 解：可得：共九十八頁(yè)f(t)= -1 共九十八頁(yè)6.3 電路基本定律及電路元件(yunjin)的復(fù)頻域形式 KCL(t)KVL(t)支路(zh l)關(guān)系(t)KCL(s)KVL(s)支路關(guān)系(s)6.3.1基爾霍夫定律的復(fù)頻域形式 共九十八頁(yè)6.3.2電路元件(yunjin)電壓電流關(guān)系的復(fù)頻域形式 一、電阻元件電壓電流關(guān)系(gun x)的復(fù)頻域形式 二、電容元件電壓電流關(guān)系的復(fù)頻域形式 共九十八

12、頁(yè)二、電容元件(yunjin)電壓電流關(guān)系的復(fù)頻域形式 復(fù)頻域諾頓模型(mxng) 時(shí)域模型復(fù)頻域戴維南模型附加電壓源附加電流源1/sC具有電阻的量綱，稱為運(yùn)算容抗 sC稱為運(yùn)算容納 共九十八頁(yè)三、電感元件(yunjin)電壓電流關(guān)系的復(fù)頻域形式 復(fù)頻域諾頓模型(mxng) 時(shí)域模型復(fù)頻域戴維南模型sL具有電阻的量綱，稱為運(yùn)算感抗1/sL稱為運(yùn)算感納 共九十八頁(yè)四、耦合電感元件電壓電流(dinli)關(guān)系的復(fù)頻域形式 (a) 時(shí)域模型(mxng) 復(fù)頻域形式為 (b) 復(fù)頻域模型共九十八頁(yè)若用倒電感矩陣表示(biosh)耦合電感元件 (a) 時(shí)域模型(mxng) (b) 復(fù)頻域模型共九十八頁(yè)6.

13、4 應(yīng)用(yngyng)拉普拉斯變換分析動(dòng)態(tài)電路 6.4.1電路的復(fù)頻域形式(xngsh)及運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納 將電路中所有元件都用復(fù)頻域模型表示，所有電壓和電流都用相應(yīng)的象函數(shù)表示，這樣的電路就成為原電路的復(fù)頻域模型，稱為運(yùn)算電路(operational circuit) 例：RLC并聯(lián)電路 (a) 時(shí)域電路 (b) 運(yùn)算電路共九十八頁(yè) 一個(gè)處于零狀態(tài)的無源(w yun)一端口運(yùn)算電路，端口電壓象函數(shù)U(s)與電流象函數(shù)I(s)之比稱為運(yùn)算阻抗(operational impedance)Z(s)，即與之對(duì)偶(du u)的為運(yùn)算導(dǎo)納(operational admittance)Y(s) 例

14、：RLC串聯(lián)運(yùn)算電路 共九十八頁(yè)RLC串聯(lián)(chunlin)運(yùn)算電路的運(yùn)算導(dǎo)納為注意：盡管運(yùn)算阻抗Z(s)和運(yùn)算導(dǎo)納Y(s)都是有關(guān)象函數(shù)(hnsh)的比值，但它們都不是象函數(shù)(hnsh)，只是復(fù)變數(shù)s的函數(shù)。 共九十八頁(yè)6.4.2用運(yùn)算法分析線性非時(shí)變(sh bin)動(dòng)態(tài)電路運(yùn)算法分析(fnx)線性非時(shí)變動(dòng)態(tài)電路的主要步驟可歸結(jié)為：(3) 將求得響應(yīng)的象函數(shù)反變換求出響應(yīng)的原函數(shù)。(1) 將時(shí)域電路變換為運(yùn)算電路（2）建立電路的復(fù)頻域代數(shù)方程，并求解方程。共九十八頁(yè)例6.4.1 圖(a)所示電路，已知電壓(diny)源為單位階躍uS(t)，電流源為單位沖激iS(t)，電阻R1=10，R2=5

15、，電容C=1F，電路處于零狀態(tài)uC(0-)=0V。試求t 0時(shí)的uC(t)。根據(jù)KCL求得節(jié)點(diǎn)(ji din)方程 (a) 時(shí)域電路 (b) 運(yùn)算電路共九十八頁(yè)解得象函數(shù)(hnsh):對(duì)UC(s)進(jìn)行(jnxng)拉氏反變換求得原函數(shù)uC = -1 另外根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的線性函數(shù)，此題也可分別求出沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)后再疊加。共九十八頁(yè)例6.4.2 在圖(a)所示電路(dinl)中，iL(0-)=1A，uC(0-)=1V，uS= (t)V，R1=R2=1，L=1H，C=1F，試求t 0 時(shí)的u(t)。根據(jù)KVL求得電路(dinl)的網(wǎng)孔方程 共九十八頁(yè)解方程可求得響應(yīng)象函數(shù)反變換(binhu

16、n)求得原函數(shù) u(t) = -1共九十八頁(yè)例6.4.3 在圖(a)所示電路中，開關(guān)(kigun)S在t=0時(shí)閉合，S閉合前電路處穩(wěn)定狀態(tài)。已知R1=RS=1，R2=2，L1=2H，L2=1H，M=1H，uS=(t)V。試求t 0 時(shí)的i1和i2。解: 可得i1(0-)=0.5A，i2(0-)=0A 共九十八頁(yè)根據(jù)KVL得電路的回路方程代入具體參數(shù)的耦合電感電壓(diny)方程為共九十八頁(yè)解得：求得待定常數(shù) 反變換求得原函數(shù) i1(t) = -1i2(t) = -1共九十八頁(yè)例6.4.4 圖所示二端口電路處于零狀態(tài)(zhungti)，試求該二端口電路的短路導(dǎo)納矩陣 二端口電路(dinl)可分解

17、為(a)、(b)所示兩個(gè)二端口電路的并聯(lián) (b)(a)共九十八頁(yè)共九十八頁(yè)共九十八頁(yè) 例6.4.5 在圖所示電路中，開關(guān)(kigun)S在t=0時(shí)斷開，S斷開前電路處穩(wěn)定狀態(tài)。已知R1=30，R2= R3=5，L=0.1H，C=10-3F，uS=140V。試求t 0 時(shí)的uC。解: 由于開關(guān)S斷開前電路(dinl)處于穩(wěn)定狀態(tài)，可求得電路(dinl)原始狀態(tài)iL(0-)=4A，uC (0-)=20V 用戴維南定理求UOC(s) Zeq(s) 共九十八頁(yè)可得：由等效運(yùn)算(yn sun)電路，可求得uC的象函數(shù) 共九十八頁(yè)求得待定常數(shù)(chngsh) 反變換求得原函數(shù)uC = -1共九十八頁(yè)例6.

18、4.6 圖(a)所示電路，開關(guān)(kigun)S在t=0時(shí)打開，S打開前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。已知C=0.1F， G=100S，iS=4cos1000tA，試求t 0 時(shí)的uC。解：根據(jù)(gnj)KCL求得電路的節(jié)點(diǎn)方程共九十八頁(yè)求得待定常數(shù)(chngsh) 反變換求得原函數(shù) uC = -1uC=暫態(tài)分量(fn ling)+穩(wěn)態(tài)分量 從工程技術(shù)上看，經(jīng)過45，暫態(tài)過程已結(jié)束，電容電壓uC(t)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即： 共九十八頁(yè)例6.4.7 圖(a)所示電路，開關(guān)S在t=0時(shí)閉合(b h)，S閉合前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。已知iS=10A，C1=0.3F，C2=0.2F，R1=(1/2)，R2=(1/3)，試求

19、t 0 時(shí)的uC和iC1，iC2。解：開關(guān)S閉合前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，可求得uC1(0-)=5V，uC2 (0-)=0 V。根據(jù)KCL求得電路的節(jié)點(diǎn)(ji din)方程共九十八頁(yè)求得待定常數(shù)(chngsh) 可得： 可得iC1的象函數(shù)(hnsh) 共九十八頁(yè)求得待定常數(shù)(chngsh) 同理可得iC2的象函數(shù)(hnsh)反變換求得原函數(shù) uC = -1iC1 = -1iC2 = -1共九十八頁(yè) 本例所求與例5.6.7相同，且已知兩電容(dinrng)電壓在t=0時(shí)發(fā)生強(qiáng)迫跳變，由t=0- 時(shí)的uC1(0-)=5V，uC2(0-)=0V，跳變到t=0+ 時(shí)的uC1(0+)=uC2(0+)=3V。使

20、電容中出現(xiàn)沖激電流而產(chǎn)生的結(jié)果。 但在應(yīng)用運(yùn)算法的計(jì)算過程中不需要特別考慮是否發(fā)生電容電壓的強(qiáng)迫跳變，這是因?yàn)檫\(yùn)算方法使用的是t=0- 時(shí)刻的原始值，而不是t=0+ 時(shí)刻的初始值。因此(ync)，在分析含有電容電壓和電感電流發(fā)生強(qiáng)迫跳變的電路時(shí)，復(fù)頻域分析方法要比時(shí)域分析方法方便 共九十八頁(yè)例6.4.8 在圖(a)所示電路中，開關(guān)S在t=0時(shí)由1切換到2，S切換前電路處穩(wěn)定狀態(tài)。已知iS1=1A，iS2=5A，R1=R3=1，R2=0.5，L1=1H，L2=2H，M=1H，試用(shyng)節(jié)點(diǎn)分析法求t 0 時(shí)的u2。解:開關(guān)S切換(qi hun)前電路處穩(wěn)定狀態(tài)，可得iL1(0-)=1A，

21、iL2(0-)=0 根據(jù)電路標(biāo)出的參考方向有電感矩陣和倒電感矩陣共九十八頁(yè)可得：共九十八頁(yè)求得響應(yīng)(xingyng)象函數(shù) 反變換求得原函數(shù) u2 = -1 從該例可看出在列寫電路的節(jié)點(diǎn)方程(fngchng)時(shí)，如果電路中含有耦合電感元件，那么使用倒電感矩陣比電感矩陣更為方便。 共九十八頁(yè)6.5 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)6.5.1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義(dngy)和分類 一個(gè)零狀態(tài)的運(yùn)算電路，輸入(shr)激勵(lì)的象函數(shù)為W(s)，零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為Y(s)，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(network function)H(s) 定義為零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)Y(s)與激勵(lì)象函數(shù)W(s)之比，即驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗（或入端阻抗） 驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納（或入端導(dǎo)

22、納） 共九十八頁(yè)6.5.1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義(dngy)和分類轉(zhuǎn)移阻抗 轉(zhuǎn)移導(dǎo)納 轉(zhuǎn)移電壓比 轉(zhuǎn)移電流比 共九十八頁(yè)例6.5.1 圖示為電流(dinli)源IS(s)激勵(lì)下的RLC并聯(lián)運(yùn)算電路。設(shè)電壓U(s)和電流IL(s)都是零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)，試求阻抗函數(shù)U(s)/IS(s)和電流比IL(s)/IS(s)。(a) 驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù) (b) 轉(zhuǎn)移函數(shù) (c)解:由圖(b)有電路的節(jié)點(diǎn)方程為由圖(c)可得共九十八頁(yè)例6.5.2 圖(a)所示時(shí)域電路(dinl)中，試求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)= IL(s)/US(s) (a)(b)解: 用回路分析法可得復(fù)頻域電路(dinl)回路方程為共九十八頁(yè)解得: 從上兩例可看

23、出(kn ch),網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)都是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，函數(shù)中的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式的系數(shù)取決于電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和各元件的參數(shù)。 共九十八頁(yè)例 6.5.3 圖(a)所示電路(dinl)，稱為PID調(diào)節(jié)器。試求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)=Uo(s)/Ui(s)。 (a) (b) 解 :由運(yùn)算電路圖(b)，對(duì)節(jié)點(diǎn)列寫電流方程為 從H(s)的表達(dá)式可以看出，輸出電壓對(duì)輸入電壓實(shí)現(xiàn)比例(bl)、積分和微分運(yùn)算，因此稱為PID調(diào)節(jié)器。 共九十八頁(yè)例 6.5.4 圖示電路(dinl)中，已知二端口電路(dinl)N的a參數(shù)矩陣為 試求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)=U2(s)/U1(s)。解：將圖示電路分解成N1、N、N2三部分

24、，可分別求出N1和N2的a參數(shù)(cnsh)矩陣為則整個(gè)二端口電路a參數(shù)矩陣為 共九十八頁(yè)令I(lǐng)2(s)=0，得到網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)=U2(s)/U1(s)為共九十八頁(yè)6.5.2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)(ln din)和極點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以(ky)表示成s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，即或： 式中zi(i=1，2，m)是分子多項(xiàng)式的零點(diǎn)，當(dāng)s=zi時(shí)，H(s)=0，稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)(zero) pj(j=1，2，n)是分母多項(xiàng)式的零點(diǎn)，當(dāng)s= pj時(shí)，H(s)=，稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)(pole)。共九十八頁(yè)例如(lr)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 H(s)的零點(diǎn)(ln din)為 極點(diǎn)為p1 1，p2 2+j2，p3 2j2 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)和

25、極點(diǎn)都是實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，可標(biāo)示在s復(fù)平面上。通常用“”表示零點(diǎn)，用“”表示極點(diǎn)，從而得到網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布圖，簡(jiǎn)稱極零圖 注：如遇到重零點(diǎn)和重極點(diǎn)的情況，可在代表零點(diǎn)和極點(diǎn)的符號(hào)旁注一個(gè)表示重?cái)?shù)的數(shù)字 共九十八頁(yè)6.5.3網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖激響應(yīng)由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義(dngy)可得： 電路的零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)等于(dngy)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與激勵(lì)象函數(shù)的乘積 當(dāng)激勵(lì)為單位沖激w(t)=(t) 即W(s)=1時(shí) -1即：網(wǎng)絡(luò)函數(shù)就是沖激響應(yīng)的象函數(shù)。 或者說網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的拉氏反變換就是沖激響應(yīng)，共九十八頁(yè) 在時(shí)域分析中已經(jīng)知道，沖激響應(yīng)就是t 0+ 時(shí)的零輸入響應(yīng)，反映了時(shí)域響應(yīng)中自由分量的特性?，F(xiàn)在可通過對(duì)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

26、極點(diǎn)的分析，來判斷(pndun)沖激響應(yīng)的特性，進(jìn)而判斷(pndun)電路的性質(zhì)。 若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為真分式且分母(fnm)為單根，則電路的沖激響應(yīng)為-1=-1沖激響應(yīng)h(t)與H(s)的極點(diǎn)在s復(fù)平面上的位置有關(guān) (1) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)全都在s復(fù)平面的開左半平面上，沖激響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)而趨于零，電路是漸近穩(wěn)定的。 pi 0 (i=1，2，n)，所以因?yàn)榇藭r(shí) 共九十八頁(yè)若極點(diǎn)(jdin)中有共軛復(fù)極點(diǎn)(jdin)，則 由于(yuy)i 0 (i=1，2，n)，故 漸近穩(wěn)定電路的極點(diǎn)與沖激響應(yīng) 共九十八頁(yè)(2) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)有一個(gè)（實(shí)極點(diǎn)）或一對(duì)(y du)（共軛復(fù)極點(diǎn)）在s復(fù)平面的開右半平面上，沖激

27、響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)而發(fā)散并趨于無窮大，電路是不穩(wěn)定的。 在這種情況下，與s復(fù)平面的右半平面上的極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，在沖激響應(yīng)中將含有 或 所以 不穩(wěn)定(wndng)電路的極點(diǎn)與沖激響應(yīng)共九十八頁(yè)(3) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)全都(qundu)在s復(fù)平面的閉左半平面上，且位于虛軸上的為單極點(diǎn)，沖激響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)趨于一恒定常數(shù)或等幅振蕩，電路是臨界穩(wěn)定或振蕩的。 在這種情況下，與虛軸上的單極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，在沖激響應(yīng)中將含有K1cos(1t+1)或K2，故 穩(wěn)定(wndng)電路的極點(diǎn)與沖激響應(yīng) 共九十八頁(yè)(4) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)全都在s復(fù)平面的閉左半平面上，且位于(wiy)虛軸上的為重極點(diǎn)，沖激響應(yīng)將隨時(shí)間增長(zhǎng)而趨于無窮大

28、，電路是不穩(wěn)定的。 在這種情況下，與虛軸上的重極點(diǎn)(jdin)相對(duì)應(yīng)，在沖激響應(yīng)中將含有(K1+K2t+)cos(1t+1) 或K1+K2t+， 故。 另外，沖激響應(yīng)衰減（或發(fā)散）的快慢和振蕩的快慢也與網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)在s復(fù)平面的位置密切相關(guān)。極點(diǎn)越靠近虛軸，沖激響應(yīng)的衰減（或發(fā)散）越慢；極點(diǎn)越靠近實(shí)軸，沖激響應(yīng)的振蕩越慢。共九十八頁(yè)6.6 固有頻率( yu pn l) 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是和零狀態(tài)響應(yīng)相聯(lián)系的。本節(jié)將要(jingyo)討論的固有頻率則是與零輸入響應(yīng)相聯(lián)系的。固有頻率反映了電路本身所具有的特性，僅由電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及元件參數(shù)決定，而與輸入激勵(lì)和電路的狀態(tài)無關(guān)。雖然網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和固有頻率聯(lián)系的對(duì)象

29、不同，但它們彼此之間并非毫無關(guān)系。事實(shí)上，通過網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來確定固有頻率有時(shí)更為簡(jiǎn)便。 6.6.1固有頻率的定義一、電路變量的固有頻率 在線性非時(shí)變電路中，若電路變量y的零輸入響應(yīng)方程的特征根si（i=1，2，n）為單根共九十八頁(yè)有零輸入(shr)響應(yīng)為則稱si為電路(dinl)變量y(t)的一階固有頻率。 一般地，如果零輸入響應(yīng)表達(dá)式為則稱si為電路變量y(t)的ri階固有頻率。 例如：如果s1為特征方程的4重根，零輸入響應(yīng)中將含有項(xiàng)，并可表示成 共九十八頁(yè)則稱s1為電路(dinl)變量y的四階固有頻率。 電路變量(binling)的固有頻率確定了該電路變量(binling)零輸入響應(yīng)的性質(zhì)，因

30、而從電路變量(binling)的固有頻率也可獲知電路是否穩(wěn)定。（1）若電路中各電路變量的固有頻率全都位于s復(fù)平面的開左半平面，則電路是漸近穩(wěn)定的；（3）若在虛軸上有高階固有頻率或在s復(fù)平面的開右半平面上有固有頻率，則電路是不穩(wěn)定的。 （2）若固有頻率除位于s復(fù)平面的開左半平面外，有一些位于虛軸上，但位于虛軸上的這些固有頻率全都是一階的，則電路是振蕩的（臨界穩(wěn)定的）；共九十八頁(yè)二、電路(dinl)的固有頻率 電路中所有(suyu)電路變量固有頻率的集合，稱電路的固有頻率。例6.6.1 在圖示電路中，C1=C2=C3=1F，G1=G2=1S，試求電路的固有頻率。由于電容C1，C2和C3構(gòu)成回路，只

31、有兩個(gè)電容電壓是獨(dú)立的。則: uC3(0)=U10U20在零輸入情況下，電路的節(jié)點(diǎn)矩陣方程為 解：設(shè)uC1(0)=U10，uC2(0)=U20共九十八頁(yè)在零輸入情況下，電路的節(jié)點(diǎn)矩陣(j zhn)方程為 共九十八頁(yè)電路(dinl)變量uC1和uC2都有1/3和1兩個(gè)固有頻率。但是 uC3只有(zhyu)1/3一個(gè)固有頻率 原因是上式分子、分母中正好有公因子（s+1）相除。因此，整個(gè)電路的固有頻率集為1/3，1。共九十八頁(yè)6.6.2電路(dinl)固有頻率數(shù) 如果電路中有n個(gè)固有頻率（k階固有頻率算作k個(gè)固有頻率），那么就有n個(gè)待定系數(shù)Ki需要由電路的初始狀態(tài)確定。從前面分析(fnx)已知，組成

32、電路初始狀態(tài)的初始值為獨(dú)立電容電壓和獨(dú)立電感電流，因此，要確定n個(gè)待定系數(shù)Ki，電路中就必須有總數(shù)為n的獨(dú)立電容電壓和（或）獨(dú)立電感電流。反之亦然。由此可得出結(jié)論: 電路固有頻率數(shù) = 電路獨(dú)立儲(chǔ)能元件數(shù) 這個(gè)數(shù)目也稱為電路的復(fù)雜度 共九十八頁(yè) 電路(dinl)中影響電路(dinl)狀態(tài)的變量（電容電壓或電感電流）的獨(dú)立性問題可分無源電路(dinl)和有源電路(dinl)兩種情況進(jìn)行討論。所謂有源電路(dinl)是指含有受控源或負(fù)值RLC元件的電路，否則稱無源電路。 (b)如果含有一個(gè)全電容回路，其中將有一個(gè)電容電壓受其它(qt)電容電壓或電壓源的制約。因此，如果電路中有nC個(gè)電容元件，同時(shí)含

33、有l(wèi)C個(gè)相互獨(dú)立的全電容回路，則獨(dú)立電容電壓數(shù) = nC lC (1)無源（RLC）電路:(a)如果電路中不含全電容回路（全部由電容或電容和獨(dú)立電壓源構(gòu)成的回路），則每一個(gè)電容電壓都是獨(dú)立的。共九十八頁(yè) (a)如果電路中不含全電感割集（全部由電感或電感和獨(dú)立電流(dinli)源構(gòu)成的割集），則每一個(gè)電感電流(dinli)都是獨(dú)立的。 (b)如果含有一個(gè)全電感割集，其中(qzhng)將有一個(gè)電感電流受其它電感電流或電流源的制約。因此，如果電路中有nL個(gè)電感元件，同時(shí)含有qL個(gè)相互獨(dú)立的全電感割集，則獨(dú)立電感電流數(shù) = nL qL 所以無源（RLC）電路的復(fù)雜度，即電路固有頻率的數(shù)量n為n = n

34、C + nL lC qL共九十八頁(yè)(2) 有源電路(dinl)電路復(fù)雜度公式 只能給出其上、下限，即0 n nC + nL lC qL 例6.6.2 考察圖示有源電路，試確定(qudng)電路固有頻率的個(gè)數(shù)。解: 由圖示電路，有KVL路方程如果 1，則有一個(gè)固有頻率若 = 1，則IL(s)=0，沒有固有頻率。共九十八頁(yè)解 :由圖示電路(dinl)，有網(wǎng)孔方程例6.6.3 考察圖示有源電路，試確定(qudng)電路固有頻率的個(gè)數(shù)。其中:共九十八頁(yè)解得: 從上兩式可見，如果L1L2，則電路有兩個(gè)固有頻率；如果L1=L2，則只有一個(gè)固有頻率，因?yàn)榇藭r(shí)Ia(s)=Ib(s)，于是iL1=iL2=iL3

35、，三個(gè)電感(din n)電流只有一個(gè)是獨(dú)立的。共九十八頁(yè)6.6.3零固有頻率( yu pn l) 如果(rgu)電路的某一固有頻率si = 0，則稱為零固有頻率。當(dāng)電路變量有零固有頻率時(shí)，其零輸入響應(yīng)中就含有K，即常數(shù)項(xiàng)。 (1) 如果零輸入響應(yīng)是電流且為常量，只有全電感回路（全部由電感或電感和獨(dú)立電流源構(gòu)成的回路）才有可能保持恒定電流的流通。 電路中出現(xiàn)零固有頻率只有兩種可能 (2) 如果零輸入響應(yīng)是電壓且為常量，只有全電容割集（全部由電容或電容和獨(dú)立電壓源構(gòu)成的割集）才有可能保持恒定電壓的存在。 則如果電路中含有l(wèi)L個(gè)全電感回路和qC個(gè)全電容割集，則電路零固有頻率的數(shù)量n0為n0 = lL + qC 共九十八頁(yè)6.6.4固有頻率( yu pn l)的求取一、電路(dinl)變量固有頻率的求取 這里介紹網(wǎng)絡(luò)函數(shù)法，也就是通