橋梁地震反應(yīng)分析(反應(yīng)譜)147頁

1、第四章 橋梁地震反應(yīng)分析 本章教學(xué)內(nèi)容 反應(yīng)譜分析方法 動(dòng)力時(shí)程分析方法(線性/非線性) 靜力彈塑性分析方法(Pushover) 反應(yīng)譜分析方法1 SDOF體系在地震作用下動(dòng)力方程絕對位移相對位移地震位移時(shí)程地震加速度時(shí)程（已知）地震輸入（已知）結(jié)構(gòu)響應(yīng)（待求）外荷載：01 SDOF體系在地震作用下動(dòng)力方程恢復(fù)力阻尼力慣性力應(yīng)用DAlembert原理1 SDOF體系在地震作用下動(dòng)力方程2 SDOF體系地震反應(yīng)數(shù)值計(jì)算方法 Duhamel積分方法 線性加速度法 中心差分法 Newmark-法 Wilson-法2.1 Duhamel積分求解瞬時(shí)沖量引起的自由振動(dòng)瞬時(shí)沖量S=P.dt作用在靜止物體上

2、初速度 v0=S/m 初位移 x0=0根據(jù)有阻尼自由振動(dòng)通解，有2.1 Duhamel積分求解任一動(dòng)力荷載加載過程可以看作由一系列的瞬時(shí)沖量組成，根據(jù)線性微分方程的特性，可以運(yùn)用疊加原理，把各個(gè)瞬時(shí)沖量單獨(dú)作用下的動(dòng)力反應(yīng)求出，然后再疊加求得總的動(dòng)力反應(yīng)微沖量由于地面運(yùn)動(dòng)加速度是極不規(guī)則的，上式一般無閉合解，需要借助數(shù)值積分方法求解，如Simpson法則（參見結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)（R.W. Clough & J. Penzien）2.1 Duhamel積分求解假設(shè)加速度在t,t+t內(nèi)線性變化2.2 線性加速度法求解上式寫為其中2.2 線性加速度法求解2.3 線性加速度法的數(shù)值穩(wěn)定性 穩(wěn)定性的含義，當(dāng)滿足

3、穩(wěn)定性條件時(shí)，計(jì)算值u為有限值；當(dāng)不滿足穩(wěn)定性條件時(shí)，隨著t，u。 穩(wěn)定性條件2.3 Newmark-法求解2.4 Newmark-法求解2.5 Newmark-法的求解步驟2.6 Newmark-法的數(shù)值穩(wěn)定性2.7 編程算例(Newmark-)計(jì)算算例SDOF系統(tǒng)在ElCentro地震作用下的反應(yīng)分析結(jié)果圖形輸出計(jì)算結(jié)果2.8 Wilson-法2.8 Wilson-法2.8 Wilson-法2.9 Wilson-法的求解步驟2.9 Wilson-法的數(shù)值穩(wěn)定性3.1 反應(yīng)譜的概念 地震地面運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性、不規(guī)則性，對于工程抗震設(shè)計(jì)而言，更關(guān)心結(jié)構(gòu)反應(yīng)的最大值。質(zhì)點(diǎn)絕對加速度質(zhì)點(diǎn)最大地震作用

4、3.1 反應(yīng)譜的概念 具有不同周期（Ti，頻率為i）、阻尼比為的一組SDOF體系,在給定的地震動(dòng)過程xg(t)的作用下,各質(zhì)點(diǎn)體系的最大絕對加速度反應(yīng)記為Sa,以周期T為橫坐標(biāo)、Sa為縱坐標(biāo)，畫出的曲線就是阻尼比的SDOF體系在為xg(t)作用下的加速度反應(yīng)譜。 周期TT1T2Ti3.1 反應(yīng)譜的概念加速度反應(yīng)譜 速度反應(yīng)譜位移反應(yīng)譜3.1 反應(yīng)譜的概念SDOF系統(tǒng)地震反應(yīng)Duhamel積分解3.1 反應(yīng)譜的概念當(dāng)13.1 反應(yīng)譜的概念當(dāng)13.1 反應(yīng)譜的概念3.1 反應(yīng)譜的概念若令偽速度反應(yīng)譜為則有與一般相差不大3.2 反應(yīng)譜的特性1、絕對剛性結(jié)構(gòu)物(T0)2、無限柔性結(jié)構(gòu)物 (T) 3、高

5、頻段取決于地震動(dòng)最大加速度PGA, 中頻段取決于地震動(dòng)最大速度PGV, 低頻段取決于地震動(dòng)最大位移PGA。4、阻尼比對反應(yīng)譜的影響3.3 規(guī)范反應(yīng)譜 由于地震記錄具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，受多種因素影響，如場地條件、震中距、震源深度、震級、震源機(jī)制、傳播路徑等，使得不同的地震記錄得到反應(yīng)譜也具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，由大量地震記錄輸入得到的反應(yīng)譜曲線經(jīng)平均、光滑、擬合后，可得到工程設(shè)計(jì)使用的規(guī)范反應(yīng)譜曲線。3.3 規(guī)范反應(yīng)譜（1）動(dòng)力放大系數(shù)反應(yīng)譜（鐵路工程抗震設(shè)計(jì)規(guī)范）（2）地震影響系數(shù)反應(yīng)譜（建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范）動(dòng)力放大系數(shù)地震影響系數(shù)地震系數(shù)3.3.1 公路橋梁抗震設(shè)計(jì)細(xì)則 （JTG_T B02-01-2

6、008）反應(yīng)譜水平設(shè)計(jì)加速反應(yīng)譜（阻尼比為0.05）3.3.1 公路橋梁抗震設(shè)計(jì)細(xì)則 （JTG_T B02-01-2008）反應(yīng)譜Ci-抗震重要性系數(shù)Cs-場地系數(shù)Cd-阻尼比調(diào)整系數(shù)A水平向設(shè)計(jì)基本地震動(dòng)峰值3.3.2 加速度反應(yīng)譜特征周期Tg3.3.3 抗震重要性系數(shù)Ci3.3.4 場地系數(shù)Cs3.3.5 阻尼調(diào)整系數(shù)Cd3.3.6 豎向設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜3.6 鐵路工程抗震設(shè)計(jì)規(guī)范 （GB50111-2006）反應(yīng)譜3.6 鐵路工程抗震設(shè)計(jì)規(guī)范 （GB50111-2006）反應(yīng)譜4 多自由度體系（MDOF）的地震反應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程自振特性（自振周期、自振振型）振型正交性振型分解（疊加）法振型分解

7、反應(yīng)譜法4.1 MDOF體系的運(yùn)動(dòng)方程牛頓第二定律；直接平衡法(d Alember)；虛位移原理；Hamilton方程；運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程4.1.1 直接平衡法 N個(gè)自由度體系離散成N個(gè)質(zhì)點(diǎn)彈簧模型。 4.1.1 直接平衡法應(yīng)用dAlember原理 fIi慣性力；fDi阻尼力；fsi彈性恢復(fù)力；pi外力。 共有N個(gè)方程，上式也可以寫成矩陣形式。 4.1.1 直接平衡法結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動(dòng)方程可以用矩陣的形式表示為： M質(zhì)量矩陣； C阻尼矩陣； K剛度矩陣； p(t)外荷載向量。 4.1.2 水平地震作用下MDOF體系運(yùn)動(dòng)方程m1m2m3k1k2k3m1m2m3miu1u2u3ugfIifSi

8、fDi4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 振型就是結(jié)構(gòu)體系在無外荷載作用時(shí)的自由振動(dòng)時(shí)的位移形態(tài); N個(gè)自由度體系有N個(gè)不同的振型。 當(dāng)結(jié)構(gòu)按某一振型振動(dòng)時(shí)，自振頻率是與之相對應(yīng)的常量。因此對N個(gè)自由度體系，一般情況下有個(gè)N個(gè)自振頻率。 結(jié)構(gòu)的振型和自振頻率是結(jié)構(gòu)的固有特性，和單自由度一樣是反映結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的主要量。因此在講到結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性時(shí)，首先想到的就是結(jié)構(gòu)的自振振型和頻率。 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 結(jié)構(gòu)的自振振型和頻率，可通過分析結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)方程獲得。多自由度體系無阻尼自由振動(dòng)的方程為：其中M、K為NN階的質(zhì)量和剛度矩陣，u和是N階位移和加速度（或廣義坐標(biāo)）

9、向量，0是N階零向量。上式是體系作自由振動(dòng)時(shí)必須滿足的控制方程，下面分析當(dāng)位移向量u是什么形式時(shí)可以滿足此式要求。 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 根據(jù)單自由度體系自由振動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)多自由度體系在進(jìn)行自由振動(dòng)時(shí)也是在作簡諧振動(dòng)，多自由度體系的振動(dòng)形式可寫為：表示體系位移形狀向量，它僅與坐標(biāo)位置有關(guān)， 不隨時(shí)間變化，稱為振型。 簡諧振動(dòng)的頻率， 相位角。上式對時(shí)間求兩次導(dǎo)數(shù)可得 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 將位移向量u和加速度向量代入無阻尼自由振動(dòng)方程：因?yàn)閟in(t+)為任意的，可以消去，因此 ：上式是關(guān)于的N階齊次線性方程組，表征了振型和自振頻率的關(guān)系 ，稱為運(yùn)動(dòng)方程

10、的特征方程。由特征方程可解得和。 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 特征方程存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零 ：是一關(guān)于的多項(xiàng)式，稱為頻率方程。將剛度陣和質(zhì)量陣代入得頻率方程的具體形式： 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 對于穩(wěn)定結(jié)構(gòu)體系，其質(zhì)量陣與剛度陣具有實(shí)對稱性和正定性，所以相應(yīng)的頻率方程的根都是正實(shí)根。對于N個(gè)自由度的體系，頻率方程是關(guān)于2的N次方程，由此可以解得N個(gè)根（122232N2）。n（n=1, 2, , N）即為體系的自振頻率。其中量值最小的頻率1叫基本頻率（相應(yīng)的周期T1=2/1叫基本周期）。從以上分析可知，多自由度體系只能按一些特定的頻率即按自振

11、頻率做自由振動(dòng)。按某一自振頻率振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)將保持一固定的形狀，稱為自振振型，或簡稱振型。 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 把相應(yīng)的自振頻率n代入運(yùn)動(dòng)方程的特征方程得到振型 n=1n，2n ，Nn T體系的n階振型 。由于特征方程的齊次性（線性方程組是線性相關(guān)的），振型向量是不定的，只有人為給定向量中的某一值，例如令1n=1，才能確定其余的值。實(shí)際求解時(shí)就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。雖然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上會(huì)不一樣，但其比例關(guān)系是不變的。所謂振型就是結(jié)構(gòu)不同點(diǎn)（自由度）變化時(shí)的比例關(guān)系。 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，

12、有時(shí)需要按某一標(biāo)準(zhǔn)將振型歸一化，或稱標(biāo)準(zhǔn)化，給出標(biāo)準(zhǔn)振型或歸一化振型，通常有三種方法： (1) 特定坐標(biāo)的歸一化方法。指定振型向量中的某一坐標(biāo)值為1，其它元素值按比例確定。 (2) 最大位移值的歸一化方法，將振型向量中各元素除以最大值。 (3) 正交歸一化。 以后講到振型正交性時(shí)可以發(fā)現(xiàn)按(3)定義的振型滿足關(guān)于質(zhì)量矩陣M的內(nèi)積為1的條件。 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 以上分析方法就是代數(shù)方程中的特征值分析，自振頻率相應(yīng)于特征值，而振型即是特征向量。得到體系的N個(gè)自振頻率和振型后，可以把振型和自振頻率分別寫成矩陣的形式，其中，n n階自振頻率，n n階振型。和也分別稱為振型矩陣和

13、譜矩陣。4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例1 如圖(a)所示三層框架結(jié)構(gòu)，各樓層的質(zhì)量和層間剛度示于圖中，確定結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型（ Clough書中的例題，為英制，以下計(jì)算中不寫單位，但均滿足統(tǒng)一的單位；同時(shí)將自由度ui按樓層的序號排） 結(jié)構(gòu)模型及各剛度元素 ：4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例1 結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣、剛度陣： 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例1 運(yùn)動(dòng)方程的特征方程：頻率方程：4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例1 由頻率方程得到三個(gè)根 ：利用關(guān)系式可得結(jié)構(gòu)的三個(gè)自振頻率： 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例1 根據(jù)運(yùn)動(dòng)方

14、程的特征方程求振型 ：設(shè)3n=1，則 則振型方程為： 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例1 振型方程： 以上三個(gè)代數(shù)方程中僅有兩個(gè)是獨(dú)立的，可以采用任意兩個(gè)方程求得1n和2n，通過觀察發(fā)現(xiàn)，用第一個(gè)方程和第三個(gè)方程求解將避免求聯(lián)立方程組。由第三個(gè)方程： 由第一個(gè)方程：一階振型：將B1=0.3515 (1=14.522rad/s) 代入上式得 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例1 二階振型：B2=1.6066 (2=31.048rad/s) 三階振型：B3=3.5420 (3=46.10rad/s) 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例1 4.2 多自由度體系的

15、自振振型和自振頻率 算例1 從以上給出的振型圖看，對層間模型，振型特點(diǎn)為：一階振型不變符號，二階振型變一次符號，三階振型變二次符號。 以上給出的振型的求解公式是解耦的，不用求聯(lián)立方程組，這只有當(dāng)結(jié)構(gòu)是層間模型時(shí)，即特征方程的系數(shù)矩陣是三對角陣時(shí)才可以實(shí)現(xiàn)，一般情況下，當(dāng)特征方程的系數(shù)矩陣不為三對角陣時(shí)，必須解聯(lián)立方程組才可獲得結(jié)構(gòu)的振型。 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例2 確定由兩個(gè)梁單元構(gòu)成的結(jié)構(gòu)的自振頻率和自振周期，梁的彎曲剛度均為EI。忽略軸向變形，采用集中質(zhì)量法，梁的質(zhì)量集中到梁端，而梁成為無質(zhì)量梁。 結(jié)構(gòu)模型及自由度：4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例2質(zhì)

16、量陣： 剛度陣：特征方程： 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例2 頻率方程：頻率方程的兩個(gè)根為： 自振頻率為： 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例2令1=1，由特征方程的第一式得：將1(1=0.5695)代入上式，得到2=2.097將2(2=4.0972)代入上式，得到2=-1.431結(jié)構(gòu)的兩階振型為：4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 算例2結(jié)構(gòu)振型圖：4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 求解結(jié)構(gòu)體系的自振頻率和振型也稱為結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析。在兩個(gè)例題中采用的求多自由度體系自振頻率和振型的方法，是一種嚴(yán)格的理論分析方法，當(dāng)體系自由度較低時(shí)是可行的。對工程問題，

17、可涉及成百上千，甚至幾萬個(gè)自由度，此時(shí)采用矩陣行列式方法很難實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析。目前借助于計(jì)算機(jī)，已發(fā)展了多種行之有效的矩陣迭代法，有現(xiàn)成的軟件，關(guān)于這部分的內(nèi)容可以自學(xué)，在教學(xué)部分不詳細(xì)介紹。 4.2 多自由度體系的自振振型和自振頻率 在多自由度體系自由振動(dòng)分析中發(fā)現(xiàn)，與單自由度結(jié)構(gòu)體系相比，兩者之間相同的是都存在自振頻率，但多自由度體系有多個(gè)自振頻率，N個(gè)自由度，則一般存在N個(gè)自振頻率，新的內(nèi)容是出現(xiàn)了振型的概念。所謂振型就是結(jié)構(gòu)按某一階自振頻率振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)各自由度變化的比例關(guān)系，多自由度體系的振型和頻率一樣，是結(jié)構(gòu)的重要特性。 自振頻率及共振當(dāng)結(jié)構(gòu)按某一自振頻率振動(dòng)時(shí)，與單自由度結(jié)構(gòu)完全

18、一樣，結(jié)構(gòu)體系的慣性力和彈性恢復(fù)力在振動(dòng)的任意時(shí)刻相平衡。如果有外力作用（作用頻率等于結(jié)構(gòu)自振頻率），無阻尼時(shí)，結(jié)構(gòu)反應(yīng)會(huì)變得無窮大；有阻尼時(shí)，僅靠阻尼力平衡外力，由于阻尼力都很小，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅值會(huì)比不按自振頻率振動(dòng)時(shí)的結(jié)果大得多。例如，對一個(gè)地震動(dòng)輸入，當(dāng)結(jié)構(gòu)的自振頻率接近地震動(dòng)卓越頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)大，而避開此卓越頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)小。結(jié)構(gòu)的振型結(jié)構(gòu)的振型是結(jié)構(gòu)振動(dòng)反應(yīng)中最容易發(fā)生的變形形態(tài)，而一階振型又是所有振型中最易于出現(xiàn)的。因而人們對振型的形態(tài)進(jìn)行研究，確定其變化規(guī)律，用簡單的、最接近振型的形狀函數(shù)來描述動(dòng)力反應(yīng)時(shí)的振動(dòng)形態(tài)。例如基于Rayleigh法等對結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化分析。4.3

19、 振型的正交性 在線彈性反應(yīng)分析中，振型的重要作用是提供了一種結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析方法的基礎(chǔ)。即提供了振型疊加（分解）法的基礎(chǔ)。以振型為一種坐標(biāo)基，提供了一種坐標(biāo)變換，將多自由度體系問題分解成一系列單自由度問題求解，大為簡化了分析。這主要是由于振型所具有的特性：正交性。 振型的正交性是指不同振型向量滿足以下條件：即振型關(guān)于質(zhì)量陣M和剛度陣K正交，也稱為加權(quán)正交。 4.3 振型的正交性振型正交性的證明在Clough書中應(yīng)用的是Betti互易定理，就像dAlember原理一樣考慮了慣性力，是運(yùn)動(dòng)學(xué)中功的互等定理。 實(shí)際振型正交性的證明可以直接從運(yùn)動(dòng)方程的特征方程，即從導(dǎo)出自振頻率和振型的公式中直接得到

20、。 4.3 振型的正交性對于兩個(gè)頻率m和n，及其振型分別滿足： (1) (2) 式(1)兩邊同時(shí)前乘mT式(2)兩邊同時(shí)前乘nT得 對上式等式兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置得： M和K均為對稱矩陣4.3 振型的正交性 以上兩式相減得：當(dāng)mn時(shí)（即mn）： 4.3 振型正交性的物理意義Anil K. Chopra, Dynamics of Structures1、第n階振型的慣性力在第r階振型位移上做功為零 4.3 振型正交性的物理意義Anil K. Chopra, Dynamics of Structures2、第n階振型的恢復(fù)力在第r階振型位移上做功為零 4.3 振型的正交性 例題1振型正交性的檢驗(yàn) 結(jié)構(gòu)的

21、質(zhì)量陣和剛度陣分別為：而振型為： 4.3 振型的正交性 關(guān)于質(zhì)量陣的正交性：4.3 振型的正交性 關(guān)于剛度陣的正交性：4.3 振型的正交性 對于其它振型之間的正交性同理可以檢驗(yàn)例如 ：4.3 振型的正交性 例題2振型正交性的檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和剛度陣分別為：而振型為： 4.3 振型的正交性 例題2振型正交性的檢驗(yàn)關(guān)于質(zhì)量陣的正交性：關(guān)于剛度陣的正交性： 4.3 振型的正交性 當(dāng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)振型和自振頻率求解時(shí)，檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否正確的方法之一是檢驗(yàn)是否滿足正交性。 4.3 振型的正交性 如果把振型和自振頻率滿足的方程 兩邊同時(shí)前乘nT，則有 ：其中： 可以得到表達(dá)式 ：這與單自由度體系自振頻率的計(jì)算公

22、式一樣。有時(shí)稱Mn和Kn為振型質(zhì)量和振型剛度。 4.3 振型的正交性 在振型的歸一化方法中，有時(shí)要求歸一化以后的振型滿足（其中“”代表是歸一化的以后的振型 ）：如果求得的振型n不滿足以上歸一化條件，則可令：其中 為歸一化振型，為一待定常數(shù)?？梢詫懗缮鲜降脑蚴峭徽裥偷牟煌磉_(dá)僅相差一常數(shù)。4.3 振型的正交性 由振型質(zhì)量公式， 則歸一化方法為 ：即是前面介紹的3種振型歸一化方法中的第3種方法。 4.4 位移的振型展開和振型（正規(guī)）坐標(biāo) 對于任意N個(gè)自由度的問題，任意N個(gè)獨(dú)立的向量都可以用來描述任何其它的N階向量。上一節(jié)已證明N個(gè)自由度結(jié)構(gòu)體系的N個(gè)振型是正交的，因而N個(gè)振型是相互獨(dú)立的，結(jié)構(gòu)

23、在任一時(shí)刻的位移向量就可以用結(jié)構(gòu)的N個(gè)振型來表示，即位移可以用振型來展開：其中，分別為位移向量和振型，qn(t), n=1, 2, , N, 為廣義坐標(biāo)，是時(shí)間的函數(shù)。 4.4 位移的振型展開和振型（正規(guī)）坐標(biāo) 位移用振型展開：是N維狀態(tài)空間中的坐標(biāo)變換法，把物理空間中的N個(gè)位移（分）量變換N個(gè)廣義坐標(biāo)qn(t)空間，而振型n，n=1,2,N是坐標(biāo)變換的坐標(biāo)基，可以證明對于保守系統(tǒng)（無能量交換），N個(gè)獨(dú)立的振型是完備的，即任何結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移的形態(tài)都可以用其N個(gè)振型線性表示。 4.4 位移的振型展開和振型坐標(biāo) 上面表達(dá)式表示了位移可以用振型展開。 廣義坐標(biāo)qn(t)，n=1,2,N, 也稱為正規(guī)坐

24、標(biāo)，常稱為振型坐標(biāo)。 對于任意一個(gè)位移向量u，當(dāng)用振型來展開時(shí)，可以利用振型的正交性來獲得振型坐標(biāo)的值。例如對位移u的振型展開式兩邊同時(shí)左乘nTM，得到根據(jù)振型的正交性，上式右端N項(xiàng)公式中，只有第n項(xiàng)不等于零，則： 將n從1取到N，則得到N個(gè)振型坐標(biāo)qn(t)，n=1,2,N的值 4.4 位移的振型展開和振型坐標(biāo) 例1續(xù) 利用振型展開公式將位移 向量u=1 1 1T用振型展開 解 結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣和三階振型分別為：振型展開公式為： 振型坐標(biāo)為： 4.4 位移的振型展開和振型坐標(biāo) 例1續(xù) 1階振型坐標(biāo)為： 2階振型坐標(biāo)為：4.4 位移的振型展開和振型坐標(biāo) 例1續(xù) 3階振型坐標(biāo)為： 驗(yàn)證：4.4 位移

25、的振型展開和振型坐標(biāo) 從以上分析看到，結(jié)構(gòu)任一位移反應(yīng)（狀態(tài)）都可以用振型展開。這樣，求解多自由體系的位移反應(yīng)問題，可以轉(zhuǎn)化為求振型坐標(biāo)問題。從上面求振型坐標(biāo)的公式，可以發(fā)現(xiàn)利用振型的正交性，可使求振型坐標(biāo)問題解耦，計(jì)算公式各自獨(dú)立，即將耦聯(lián)的N個(gè)自由度問題化為N個(gè)獨(dú)立的單自由度問題。 4.5 無阻尼體系的振型分解（疊加）法 體系的運(yùn)動(dòng)方程：其中位移向量和外荷載向量分別為：設(shè)體系的振型和自振頻率已預(yù)先求得，將位移向量用振型展開： 4.5 無阻尼體系的振型分解（疊加）法 位移和加速度代入運(yùn)動(dòng)方程式得， 左乘nT（實(shí)際上應(yīng)該用mT更明確，但為前后一致，以n代表任一向量），利用振型正交性得： 4.5

26、 無阻尼體系的振型分解（疊加）法其中：分別稱為n階振型的廣義（振型）質(zhì)量、廣義（振型）剛度和廣義（振型）荷載。從上面的正交性證明中已給出，Mn和Kn的關(guān)系： n體系第n階自振頻率。 4.5 無阻尼體系的振型分解（疊加）法振型坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程兩邊同除Mn得：這是N個(gè)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)方程，可以用單自由度受任意荷載時(shí)的分析方法求解。例如用Duhamel積分、Fourier變換等。若用Duhamel積分，可得： 4.5 無阻尼體系的振型分解（疊加）法求得qn(t)后，利用式 將N個(gè)振型反應(yīng)疊加可以得到多自由度體系在任一時(shí)刻的位移u(t)。如果外力是簡諧荷載和周期性荷載，則可以用前面講的有關(guān)公式

27、得到解（包括動(dòng)力放大系數(shù)Rd等）。以上分析方法叫振型疊加法，有時(shí)也稱為振型分解法。 4.5 無阻尼體系的振型分解（疊加）法用Duhamel積分得到的解是滿足零初始條件時(shí)的特解，當(dāng)有非零初始條件時(shí)，需計(jì)算初始條件引起的通解，即體系的自由振動(dòng)。此時(shí)可以把初始條件也用振型展開，即直接利用公式：得到用振型坐標(biāo)表示的初始位移條件，和初始速度條件， 4.5 無阻尼體系的振型分解（疊加）法左乘nTM ，n=1,2,N，并利用振型的正交性，得 得到以振型坐標(biāo)表示的初始條件后，可直接根據(jù)單自由度體系自由振動(dòng)的解式，得到由初始條件引起的各廣義坐標(biāo)的自由振動(dòng)qn0(t)為：由初始條件引起的體系的自由振動(dòng)u0(t)為

28、： 4.5 無阻尼體系的振型分解（疊加）法將強(qiáng)迫振動(dòng)引起的解和初始條件引起的解疊加，得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)完整的解ut(t)， 4.6 有阻尼體系的振型分解（疊加）法當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)中的阻尼，采用振型疊加法分析時(shí)，能否將聯(lián)立的運(yùn)動(dòng)方程化為解耦的（非耦合的）一系列單自由度運(yùn)動(dòng)方程，將取決于阻尼矩陣的性質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的振型是否關(guān)于阻尼陣滿足正交條件。如果滿足阻尼陣的正交條件，即：nTCm=0，mn則采用振型疊加法分析時(shí)，就可以把多自由度體系的動(dòng)力反應(yīng)問題化為一系列單自由度問題求解；如果不滿足阻尼陣的正交條件，則對位移向量用振型展開后，關(guān)于振型坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程成為耦聯(lián)的，必須聯(lián)立求解，與解耦方程相比，增加了難度和計(jì)算量。

29、下面分別針對滿足和不滿足阻尼正交條件分別討論多自由度體系的振型疊加法。 4.6 有阻尼體系的振型分解（疊加）法1、滿足阻尼陣正交條件 多自由度體系有阻尼運(yùn)動(dòng)的方程為：將位移向量用振型展開，則速度向量也同樣可表示為振型的疊加。將第n階振型nT左乘展開后的運(yùn)動(dòng)方程，即： 由于振型關(guān)于質(zhì)量陣M、阻尼陣C和剛度陣K均滿足正交條件： 4.6 有阻尼體系的振型分解（疊加）法1、滿足阻尼陣正交條件 運(yùn)動(dòng)方程化為n個(gè)解耦的關(guān)于振型坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程：其中：稱Cn為振型阻尼系數(shù)。 4.6 有阻尼體系的振型分解（疊加）法1、滿足阻尼陣正交條件 定義振型阻尼比 ：而n2=Kn/Mn有阻尼體系振型坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程可寫為如下

30、形式： 上式即為有阻尼單自由度體系在外荷載作用下的標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)方程，可以采用在單自由度動(dòng)力問題反應(yīng)分析中的有關(guān)方法進(jìn)行計(jì)算。 4.6 有阻尼體系的振型分解（疊加）法1、滿足阻尼陣正交條件 采用Duhamel積分求解而，分別為第n階有阻尼自振頻率和單位脈沖反應(yīng)函數(shù)。 4.6 有阻尼體系的振型分解（疊加）法1、滿足阻尼陣正交條件 若考慮非零初始條件u(0)和，則可確定qn(0)和 ，由非零初始條件引起的自由振動(dòng)解為：問題的全解為： 4.6 有阻尼體系的振型分解（疊加）法1、滿足阻尼陣正交條件 采用頻域分析方法求解振型荷載的Fourier譜 為復(fù)頻反應(yīng)函數(shù) 如果存在非零初始條件，則采用與上面類似的方法可

31、以得到由初始條件引起的各廣義坐標(biāo)表示的自由振動(dòng)，再利用振型疊加公式，可以得到位移的時(shí)域解。 5 有阻尼體系的振型疊加法1、滿足阻尼陣正交條件 外荷載向量p(t)為簡諧荷載例如， 其中p0為常向量，即簡諧外力的幅值向量。振型坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程為: 5 有阻尼體系的振型疊加法1、滿足阻尼陣正交條件 振型反應(yīng)為： 振型坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程為:Rdn相應(yīng)于n階自振頻率的動(dòng)力放大系數(shù)，或稱振型反應(yīng)的動(dòng)力放大系數(shù)更合適。 5 有阻尼體系的振型疊加法1、滿足阻尼陣正交條件 從以上分析可以看出，對于滿足阻尼正交條件的結(jié)構(gòu)體系,當(dāng)采用振型疊加法分析時(shí)，多自由度體系的動(dòng)力反應(yīng)問題即轉(zhuǎn)化為一系列單自由度體系的反應(yīng)問題，并可以考慮

32、初始條件的影響。此時(shí)在單自由度體系分析中采用的各種分析方法都可以用于計(jì)算分析多自由體系的動(dòng)力反應(yīng)問題，使問題的分析得到極大簡化，因?yàn)榍蠼釴個(gè)獨(dú)立的方程比求解一個(gè)N階聯(lián)立的方程組要簡便得多。 5 有阻尼體系的振型疊加法1、滿足阻尼陣正交條件 對于自由度很多的結(jié)構(gòu)，例如具有上萬個(gè)自由度的大型結(jié)構(gòu)體系，計(jì)算全部的特征值（自振頻率）和特征向量（振型）是不需要或說是不可能的，即便是求解幾萬個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方程所需的時(shí)間也顯得太多，因?yàn)槊總€(gè)方程的解都對應(yīng)一條時(shí)間函數(shù)。計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，對多自由度體系的動(dòng)力反應(yīng)問題，一般情況下,高階振型起的作用小，而低階振型起的作用大。在振型疊加法分析中，實(shí)際并不需要采用所有的振型進(jìn)行

33、計(jì)算，因高階振型的影響極小，僅取前有限項(xiàng)振型即可以取得精度良好的計(jì)算結(jié)果。例如對于4萬個(gè)自由度超高層結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)，僅取前30階振型就可以達(dá)到所需的精度?？拐鹨?guī)范規(guī)定，一般情況下，僅保證在一個(gè)振動(dòng)方向上有前三階振型就可以。因此振型疊加法大大加快了計(jì)算速度，但對于一些大型特殊的結(jié)構(gòu)，例如懸索橋，可能需要使用上百個(gè)振型才可以取得滿意的計(jì)算結(jié)果。 5 有阻尼體系的振型疊加法1、滿足阻尼陣正交條件 雖然振型疊加法有計(jì)算速度快、節(jié)省時(shí)間這些突出的優(yōu)點(diǎn)，但存在局限性。主要局限是由于采用了疊加原理，因而原則上僅適用于分析線彈性問題，限制了使用范圍；第二個(gè)局限是由于要求阻尼正交，對實(shí)際工程中存在的大量不滿足阻

34、尼正交條件的問題，迫使采用額外的處理方法，近似處理方法包括采用正交阻尼代替非正交阻尼，或采用復(fù)模態(tài)方法，但復(fù)模態(tài)分析將使問題維數(shù)擴(kuò)大一倍。 5 有阻尼體系的振型疊加法1、滿足阻尼陣正交條件 新成果：1、關(guān)于線性彈性限制目前已把振型疊加方法推廣用于處理非線性問題，例如用SAP2000，但計(jì)算中要采用足夠多的振型。2 、關(guān)于非正交阻尼限制除對阻尼進(jìn)行近似處理（正交化）或復(fù)模態(tài)方法外，還發(fā)展了迭代算法。6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 阻尼不但對結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)有重要的影響，而且對計(jì)算方法也產(chǎn)生影響。因而結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中阻尼是一個(gè)重要的研究課題，發(fā)展了很多阻尼理論和構(gòu)造結(jié)構(gòu)阻尼矩陣的方法。由于試圖通過從結(jié)

35、構(gòu)的尺度、結(jié)構(gòu)構(gòu)件尺寸、結(jié)構(gòu)材料阻尼的性質(zhì)來像形成結(jié)構(gòu)剛度陣或質(zhì)量陣那樣直接構(gòu)造阻尼矩陣是不現(xiàn)實(shí)的（雖然前面給出了從材料阻尼系數(shù)開始計(jì)算阻尼陣的公式），對連續(xù)介質(zhì)尚可以考慮，但對建筑結(jié)構(gòu)問題較大 。結(jié)構(gòu)阻尼除材料本身外，構(gòu)件間摩擦是阻尼的重要來源，對此很難用理論方法確定。 6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 結(jié)構(gòu)的阻尼一般都是通過實(shí)測得到的，通過統(tǒng)計(jì)分析得到不同類型結(jié)構(gòu)阻尼值。由實(shí)測得到的阻尼值一般都是振型阻尼比。 振型阻尼比：modal damping ratios，記為n，為對應(yīng)于n階振型反應(yīng)的阻尼比。從模擬精度來講，用振型阻尼比來描述結(jié)構(gòu)線彈性反應(yīng)中的阻尼性質(zhì)是足夠的。下面先通過一個(gè)實(shí)際例

36、子介紹一下結(jié)構(gòu)的阻尼，從中可以發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)阻尼比的大小并不是固定值，而是與結(jié)構(gòu)振動(dòng)的幅值有關(guān)。然后介紹阻尼矩陣的構(gòu)造，主要是Rayleigh阻尼，最后介紹經(jīng)典阻尼和非經(jīng)典阻尼的概念。 6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 1、阻尼實(shí)測的例子 加州理工學(xué)院的Millika圖書館，為九層鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，建于19661967年，21m23m44m高。建筑進(jìn)行了起振機(jī)簡諧振動(dòng)試驗(yàn)（采用半功率點(diǎn)法）。 經(jīng)歷了：Lytle Creek地震（1970.12），M=5.4, 震中距=64km。 舊金山地震（1971.9），M=6.4，震中距=30km。 6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 1、阻尼實(shí)測的例子 由起振機(jī)振

37、動(dòng)試驗(yàn)和兩次實(shí)際地震得到的結(jié)構(gòu)的阻尼比6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 1、阻尼實(shí)測的例子 從以上實(shí)測結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)： 結(jié)構(gòu)的自振周期和振型阻尼比隨振幅的不同而變化，隨振動(dòng)強(qiáng)度的增大：自振周期變長，振型阻尼比變大。但自振周期的變化小于振型阻尼比的變化。 微振時(shí)，阻尼比較小，為12； 微、小振（震）時(shí)，阻尼比達(dá)3； 小、中振（震）時(shí)，阻尼比可達(dá)57。一般當(dāng)我們做結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)分析時(shí)，除在機(jī)器基礎(chǔ)等設(shè)計(jì)時(shí)涉及到微振外，大部分都涉及小、中振（震）分析，因此一般取鋼筋混凝土阻尼比為5是一個(gè)平均值。 6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 1、阻尼實(shí)測的例子 從以上結(jié)果也看到，不同振型阻尼比是有差別的。右表給出

38、一般情況下工程中鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)和木結(jié)構(gòu)阻尼比的推薦值。 6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 2、 Rayleigh阻尼 Rayleigh阻尼是最簡單、方便，結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中得到廣泛應(yīng)用的一種阻尼形式。Rayleigh阻尼假設(shè)結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的組合，即 ：其中a0和a1是兩個(gè)比例常數(shù)（比例系數(shù)），分別具有s-1和s的量綱。以上表達(dá)式是Lord Rayleigh首先建議使用的，稱為Rayleigh阻尼。 6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 2、 Rayleigh阻尼 在前一節(jié)內(nèi)容中已講，結(jié)構(gòu)的振型是關(guān)于質(zhì)量陣和剛度陣正交的，很容易想到，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合必定滿足正交條件，因此

39、Rayleigh阻尼是一種正交阻尼。滿足振型正交條件的阻尼也稱為經(jīng)典阻尼。Rayleigh阻尼公式中，a0和a1是待定的兩個(gè)常數(shù)，可以用實(shí)際測量得到的結(jié)構(gòu)阻尼比來確定，或通過給定的兩個(gè)振型阻尼比的值來確定，為此要把Rayleigh阻尼公式化成由阻尼比表示的形式。 6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 2、 Rayleigh阻尼 將Rayleigh阻尼公式分別左乘振型的轉(zhuǎn)置nT和右乘振型n得: 其中Cn、Mn、Kn分別是第n階振型阻尼比、振型質(zhì)量和剛度:利用公式: 得到：6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 2、 Rayleigh阻尼 假設(shè)i和j給定，可寫出計(jì)算a0和a1的矩陣形式可解得：當(dāng)振型阻尼比i=j=時(shí)，上式簡化為： 6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 2、 Rayleigh阻尼 采用公式經(jīng)過簡單的運(yùn)算就可以得到進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算所需的阻尼矩陣為保證構(gòu)造的阻尼矩陣合理、可靠，在確定Rayleigh阻尼的常數(shù)a0和a1時(shí)，必須遵循一定的原則，否則構(gòu)造的阻尼陣可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的嚴(yán)重失真，為此，下面分析Rayleigh阻尼的特點(diǎn)。6 結(jié)構(gòu)中的阻尼和阻尼矩陣的構(gòu)造 2、 Rayleigh阻尼 將Rayleigh阻尼分成兩項(xiàng)，一項(xiàng)