高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下冊(cè)期末考試題和答案解析四套

1、高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))期末考試試卷 (一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)1、 z = Jloga(x2 y2)(a 0)的定義域?yàn)?D=。2、二重積分 ln(x2 y2)dxdy的符號(hào)為。 |x| |y| 13、由曲線y lnx及直線x y e 1, y 1所圍圖形的面積用二重積分表示為 為。4、設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為 x (t)( x ),則弧長(zhǎng)元素dsy (t)5、設(shè)曲面12為x2 y2 9介于z 0及z 3間的部分的外側(cè)，則(x2 y2 1)ds6、微分方程dy tan的通解為 odx x x7、方程y(4) 4y 0的通解為。18、級(jí)數(shù)一1的和為。n 1 n(n 1)二、選擇題(每小題2

2、分，共計(jì)16分)1、二元函數(shù)z f (x, y)在(x0,y)處可微的充分條件是()%丫)在040)處連續(xù);fx(x, y) , fy(x, y)在(xo, y)的某鄰域內(nèi)存在;z fx(x0,yo) x fy(x0,yo) y 當(dāng) j( x)2 ( y)20時(shí)，是無(wú)窮小;(D)limxyz fx(xo,yo) x fy(xo, yo) y 0 x)2(y)22、設(shè)uyf(x) yxf(y),其中xf具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則x72u勺y-y(A) x(B) x；(C) y;(D)03、設(shè)22y z 1,z0,則三重積分IzdV等于(02dd 1r2sin o o_1 3(A) 4 02d02dor

3、 sin cos dr;(B)21 3d d r sin cos dr o0002_1 o(C)0 d02dOr sin cos dr ；(D)4、球面x2 y2 z2 4a2與柱面x2 y22ax所圍成的立體體積V=( TOC o 1-5 h z - 2a cos994 2 d4a r dr ;002a cos22(B)4 02d0 r 4a r dr;(0 80%2a cos0r . 4a2 r2dr ;(D)2a cos 22-r 4a r dr o0導(dǎo)數(shù)，貝U l Pdx Qdy (),、 PQ(A)(一 )dxdy ;d yxP Q(C)()dxdy ;d x y6、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的

4、是(方程xy方程y以dx方程(x2方程dydx(A)exsin 2x ；函數(shù)P(x, y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏5、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向,一 QP( 一)dxdy ;d yxQ P(D)()dxdy od x y)2y x2y 0是三階微分方程；x電 ysinx是一階微分方程；dx2xy3)dx (y2 3x2 y2)dy 0 是全微分方程;2v , 、一-x芻是伯努利方程。x7、已知曲線y y(x)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與直線2x y 6 0平行，而y(x)滿足微分方程y 2y 5y 0,則曲線的方程為y ()x .e (sin 2x cos2x);

5、(C) ex(cos2x sin 2x)；(D)ex sin 2x 。8、設(shè) lim nun 0，則 Un (nn 1(A)收斂；(B)發(fā)散;、求解下列問(wèn)題(共計(jì)15分)(C)不一定；(D)絕對(duì)收斂1、(7分)設(shè)f,g均為連續(xù)可微函數(shù)。f ( x, xy ), v g (x xy ),u u求,。 x y2、(8 分)設(shè) u(x,t) f(z)dz,求-u,-u。 x tx t四、求解下列問(wèn)題(共計(jì)15分)。2221、計(jì)算 I dx eydy。(7分) 0 x2、計(jì)算I(x2 y2)dV,其中 是由x2 y2 2z,z 1及z 2所圍成的空間閉區(qū)域(8分)五、(13分)計(jì)算I * 嗎 ydx，

6、其中L是xoy面上的任一條無(wú)重點(diǎn)且分段光滑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0)L x y的封閉曲線的逆時(shí)針?lè)较?。六?9分)設(shè)對(duì)任意x,y, f(x)滿足方程f(x y) 刈f(y),且f (0)存在，求f(x)。1 f(x)f(y)七、(8分)求級(jí)數(shù)1)n (x 2)2n 1的收斂區(qū)問(wèn)。2n 1高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))期末考試試卷(二) TOC o 1-5 h z 1、設(shè) 2sin(x 2y 3z) x 2y 3z ,貝U-z 。x y39 xy2、lim 。x 0 xyy 0 2 2x3、設(shè)I odx x f(x,y)dy,交換積分次序后，I 。4、設(shè)f(u)為可微函數(shù)，且f (0) 0,則limyf(v x2

7、 y2)d t 0 t x2 y2 t25、設(shè)L為取正向的圓周x2 y2 4,則曲線積分y( yex 1)dx (2yex x)dy 。6、設(shè) A (x2 yz) i (y2 xz) j (z2 xy)k ,則 div A 。7、通解為y C1ex C2e 2x的微分方程是。一1x 08、設(shè)f (x),則匕的Fourier展開(kāi)式中的an 1,0 x、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)2xy1、設(shè)函數(shù) f(x, y) x2 y4 ,0,(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在； (C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在；2、設(shè)u(x, y)在平面有界區(qū)域2y(B) (D)0，一,則在點(diǎn)(0, 0)處(0連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在； 不連續(xù)

8、且偏導(dǎo)數(shù)不存在。D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足x y則(A)(B)(C)(D)2u-2 x2u二 0 ) y)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在 D的內(nèi)部；最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在 D的邊界上；最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上;最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上。3、設(shè)平面區(qū)域D: (x 2)2(y1)2 1,若 I1 (x y)2dD-2 (x y)3dD則有(A) I1 I2；(B)I 2 ；( C) I 1 I 2 ；(D)不能比較。4、設(shè)是由曲面zxy,yx, x1及z 0所圍成的空間區(qū)域，則2 3xy z dxdydz =1(A)；361(B)1;3621(0 ；3631(D

9、) o3645、設(shè)f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為(t)(t)其中(t), (t)在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2(t)2(t)0,則曲線積分L f(x,y)ds(A)f( (t),)dt;(B)f( (t),(t)K2(t)2(t)dt ；(C)f( (t), (t) . 2(t)22(t)dt；(D)f( (t), (t)dto6、設(shè)是取外側(cè)的單位球面則曲面積分xdydz ydzdx zdxdy =(A) 0 ；(B)2;(C)(D)7、下列方程中，設(shè)yi,y2是它的解，可以推知yiy2也是它的解的方程是(A) y p(x)y q(x) 0；(B)p(x)y q(x)y

10、0;P(x)y q(x) 0O(C) y P(x)y q(x)y f(x)；(D) y8、設(shè)級(jí)數(shù)a。為一交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則()n 1(A)該級(jí)數(shù)必收斂；(B)該級(jí)數(shù)必發(fā)散；(C)該級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)若a。0 (n 0),則必收斂。三、求解下列問(wèn)題(共計(jì)15分)1、(8 分)求函數(shù) u ln(x Vy2 z2)在點(diǎn) A (0, 1, 0)沿 A 指向點(diǎn) B (3, -2,2) 的方向的方向?qū)?shù)。2、(7分)求函數(shù)f(x,y) x2y(4 x y)在由直線x y 6, y 0,x 0所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。四、求解下列問(wèn)題(共計(jì)15分)1、(7分)計(jì)算I dvT，其中 是由x 0

11、,y 0,z 0及x y z 1所圍成的立體(1 x y z)域。2、(8分)設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，定義F z2 f (x2 y2)dv,其中 (x, y, z)|0 z h,x2 y2 t2 ,求生。 dt五、求解下列問(wèn)題(15分)1、(8 分)求 IL(exsinymy)dx(ex cosym)dy ,其中 L 是從 A(a,0)經(jīng) y a axx2至UO(0, 0)的弧。2、(7分)計(jì)算 Ix2dydz y2dzdx z2dxdy,其中 是 x2 y2 z2(0 z a)的外側(cè)。六、(15分)設(shè)函數(shù)(x)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分J3 (x) 2 (x) xe2x ydx (x)d

12、y 與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)(x)。高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))期末考試試卷(三)一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分) TOC o 1-5 h z 1、設(shè) uet dt,貝U 。xzz2、函數(shù)f(x,y) xy sin(x 2y)在點(diǎn)(0, 0)處沿l* (1,2)的方向?qū)?shù)f _ l (0.0)03、設(shè) 為曲面z 1 x2 y2, z 0所圍成的立體，如果將三重積分If (x, y,z)dv化為先對(duì)z再對(duì)y最后對(duì)x三次積分，則|=。4、設(shè) f (x, y)為連續(xù)函數(shù)，則 Ilim2 f(x, y)d，其中 D : x2 y2 t2。t 02D5、口Jx2 y2)ds , 其中 L : x2 y2 a2。6、設(shè)

13、是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果函數(shù)P(x,y,z), Q(x, y,z) , R(x,y,z)在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系式：, 該關(guān)系式稱(chēng)為 公式。7、微分方程y 6y 9y x2 6x 9的特解可設(shè)為y 。8、若級(jí)數(shù) L12發(fā)散，則pn 1 np二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)1、設(shè) fx(a,b)存在，則 lim f(x a,b) f(a x,b)=()x 0 x1(A)fx(a,b);B)0;C)2fx(a,b);D)fx(a,b)。222、設(shè)z xy ,結(jié)論正確的是()2222(A) 0；(B) 0；x y y

14、xx y y x(C)0;(D)0。3、若f(x, y)為關(guān)于x的奇函數(shù)，積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)部分記為D1，D2 , f (x,y)在D上連續(xù), TOC o 1-5 h z 則 f(x, y)d ()D(A) 0;(B)2 f (x, y)d ； (C) 4 f(x, y)d ； (D)2 f (x, y)d 。D1D1D24、設(shè) ：x2 y2 z2R2 ,則 (x2 y2)dxdydz=()(A)8R5；(B)4 R5;(C)R5;(D)16 R5。3315155、設(shè)在xoy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L,在點(diǎn)(x, y)處的線密度為(x, y),則曲線弧L的重心的x坐標(biāo)x為(/ .、 一

15、 1，(A)-江 Lx(x,y心；(Bx= Lx (x, y)ds ;x =1x=- X (x,y)dx;M L1 一一一 xds, 其中M為曲線弧L的質(zhì)量。M L6、設(shè) 為柱面x2 y2 1和x 0,y 0,z 1在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則曲面積分 TOC o 1-5 h z c y2zdxdy xzdydz x2ydxdz= ()，、一，一5，一(A) 0;(B)-；(C)方；(D) -o7、方程y 2y f(x)的特解可設(shè)為()(A) A,若 f(x) 1；(B) Aex,若 f(x) ex;Ax4 Bx3 Cx2 Dx E,若 f(x) x2 2x；x( Asin 5x Bcos5

16、x),若 f(x) sin 5x 0一1x 08、設(shè)f(x),則匕的Fourier展開(kāi)式中的an等于() TOC o 1-5 h z 10 x(D)0確定的x,y的函數(shù)，其中f,F具有一階連續(xù)2(A) 1 ( 1)n ;(B) 0;(C)工；nn、(1 2 分)設(shè) y f(x,t), t 為由方程 F(x,y,t)四、(8分)在橢圓x2 4y2偏導(dǎo)數(shù)，求dydx 4上求一點(diǎn)，使其到直線2x 3y 6 0的距離最短五、(8分)求圓柱面x2 y2 2y被錐面z dx2 y2和平面z 0割下部分的面積A。 六、(1 2分)計(jì)算Ixyzdxdy,其中 為球面x2 y2 z2 1的x 0, y 0部分的

17、外側(cè)。七、(10分)設(shè) df(cosx) 1 sin2x,求 f(x)。 d(cos x)八、(10分)將函數(shù)f (x)ln(1 x x2 x3)展開(kāi)成x的幕級(jí)數(shù)。高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(一)參考答案一、1、當(dāng) 0 a1 時(shí)，0 x2y2 1;當(dāng) a1 時(shí)，x2y21;1 e 1 yc992、負(fù)方；3、 d 0dy ey dx; 32;4、(t) (t)dt ;D5、180 ; 6、sin? Cx； x7、y Ci cosV2x C2 sin v2x Cse Ce、2x ;8、1;、1、D; 2、D; 3、C; 4、B; 5、D; 6、B; 7、A; 8、C;f1xg (x xy)；2、四、

18、1、f (xt)f (xt)；2、五、2dx0y dy20dyuye0f(xy dxt)f(x t)；ye y2 dy 1 (1 2柱面坐標(biāo)Idr2r3dz231 2 r _r2dz14；3y2 x于是當(dāng)L所圍成的區(qū)域22X2(x y )Q, (x,y) (0,0)； xD中不含O (0,一 P0)時(shí)， yQ在D內(nèi)連續(xù)。 x所以由Green公式彳導(dǎo):I=0 ;外都連續(xù)，此時(shí)作曲線l為當(dāng)L所圍成白區(qū)域D中含O (0, 0)時(shí)，上,Q在D內(nèi)除O (0, 0)222 / 八x y (01),逆時(shí)針?lè)较?并假設(shè)D為L(zhǎng)及l(fā)所圍成區(qū)域,六、由所給條件易得:f (x) limx 0f(x x) f(x) =

19、 limf(x) f(x)1 f(x)f( x) xf(x)(0)f (x)2 f1 f (x)arctan f (x)(0) xf (x) tan f (0)x cf (0) 0 即 cf (x) tan( f (0)x)考慮級(jí)數(shù)nt 2n 11)n-2n 1當(dāng)t2 1即t 1時(shí)，亦即1 x3時(shí)所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)t| 1即x 3或x 1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)t 1即x 1時(shí)，級(jí)數(shù) (1)n1收斂;n12n 1當(dāng)t 1即x 3時(shí)，級(jí)數(shù) (I)n收斂;n i 2n 1級(jí)數(shù)的半徑為R=1,收斂區(qū)間為1 , 3。高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(二)參考答案、1、1; 2、-1/6 ; 3、2 y4220dy

20、 y/2 f (x, y)dx 2dy y/2f(x, y)dx ； 4、- f (0);32(x y z) ； 7、yy 2y 0； 8、0;、1、C;2、B;3、A;4、D;5、C;6、D;7、B;8、C;、1、函數(shù)u ln(x Jy2 z2)在點(diǎn)A (1, 0, 1)處可微，且(1,0,1)1/2;y ,y2(1,0,1)0 ；AB (2, 2,1),所以 l(f2 1-,-),故在A點(diǎn)沿l3 3AB方向?qū)?shù)為:u a cos + yA cosA cos2、由fx 2xy(4 x y) xy( -2一 一fy x (4 x 2y) 01)0得D內(nèi)的駐點(diǎn)為M 0(2,1),且 f (2,1

21、) 4,又 f(0,y) 0, f(x,0) 0而當(dāng) x y 6,x 0,y 0 時(shí)，f (x, y) 2x3 12x2(0 x 6)令(2x3 12x2)0得*1 0,x2 4 TOC o 1-5 h z 于是相應(yīng) y16,y22且 f (0,6) 0, f(4,2)64.f(x, y)在D上的最大值為f(2,1) 4,最小值為f(4,2)64.0 x1四、1、的聯(lián)立不等式組為：0yx10z1xy11 x所以 I0dx 0 dydz(1 x y z)32、在柱面坐標(biāo)系中所以五、1、連接OA,由Green公式得:z a2、作輔助曲面1 :222 ,上側(cè)，則由Gauss公式得:x y ax2y2

22、 z2,02(x yz az)dxdydzx22 ,a dxdya2六、adz0 2 xzdxdy22y z由題意得：3 （x）2 (x)xe2x(x)(x) 3 (x) 2 (x)2x xe特征方程r2 3r 2 0 ,特征根口1,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：y c1ex2xc2e又因?yàn)?是特征根。故其特解可設(shè)為:2xx( Ax B)e代入方程并整理得：A 12即 y ；x(x2x2)e故所求函數(shù)為:(x)xc1e2xc2e1 , 一 x(x 22)e2x高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（三）參考答案、1、 yey2zx2z2 xe3、1dx11 x2一2 dy1 x21 x2y2f (x, y,z)dz

23、;4、 f(0,0)；52 a3R)dvzPdydz Qdzdx Rdxdy,Gauss公式;7、Ax2BxP 0o二、1、C;三、由于dy2、B;3fx(x,t)dxft(x,t)dt , Fxdx Fydy Ftdt由上兩式消去dt ,即得:dy fx Ft ftFx dxFt ftFy四、設(shè)(x, y)為橢圓x2 4y24上任一點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線2x 3y 6 0的距離為6 2x 3y;令 L(62222x 3y) (x 4y 4),于是由:得條件駐點(diǎn)：M1(8,3),M2(3 58 3、一 ，83、一，83、-,-), M 3( , -),M 4(-, -)5 55555依題意，橢圓到直

24、線一定有最短距離存在，其中dmin6 2x 3y.13M1嚕即為所求。五、曲線z x222x y2y在yoz面上的2yz2 2y投影為 2yx 0(0 y z)于是所割下部分在yoz面上的投影域?yàn)?0 y 2D yz :，0 z , 2y由圖形的對(duì)稱(chēng)性，所求面積為第一卦限部分的兩倍六、將分為上半部分1 : z11 x2y2和下半部分20,2在面xoy上的投影域都為：Dxy : x1,x0,y于是:xyzdxdy1. 1 x2Dxy2 .y dxdy七、因?yàn)闃O坐標(biāo)2d0 xyzdxdy2=_2一 152df(cos x)d (cosx)所以f (x) 22sinxy(Dxycos .121 x2

25、y2)(115，dxdy)1151 sin2 x ,即 f(cos x)21 sin x.1 3f (x) 2x x c 3八、 f(x) ln(1 x)(1x2)ln(1 x) ln(1 x2)又 ln(1 u)上Un,U(1,1高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）期末考試試卷（四）、填空題：（本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把筌室直接填在題史橫線上_）r r r r r r rr r1、已知向量a、b滿足a b 0 , a 2, b 2,則ab .2、設(shè) z xln(xy),3、曲面 x2y2z9在點(diǎn)（1,2, 4）處的切平面方程為4、設(shè)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，它在,）上的表達(dá)式為f（x） x,則

26、f（x）的傅 里葉級(jí)數(shù)在 x 3處收斂于, 在 x處收斂于.5、設(shè)L為連接（1,0）與（0,1）兩點(diǎn)的直線段，則L（x y）ds .以下各題在答題紙上作答，答題時(shí)必須寫(xiě)出詳細(xì)的解答過(guò)程，并在每張答題紙寫(xiě)上： 姓名、學(xué)號(hào)、班級(jí).1、求曲線_ 24222x2 3y2 z22 c 22z 3x y、解下列各題：（本題共5小題，每小題7分，滿分35分）9， ，在點(diǎn)Mo （1, 1,2）處的切線及法平面萬(wàn)程.2、求由曲面z2x2 2y2及z 6 x2 y2所圍成的立體體積.3、判定級(jí)數(shù) （1）nlnU 是否收斂？如果是收斂的，是絕對(duì)收斂還是條件收斂？ n 1n24、設(shè)z f （xy,-） sin y ,

27、其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 工,- yx x y5、計(jì)算曲面積分,其中 是球面x2 y2 z2 a2被平面z h （0 h a）截出的頂z部.三、（本題滿分9分）拋物面z x2 y2被平面x y z 1截成一橢圓，求這橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最 大值與最小值.四、（本題滿分10分）計(jì)算曲線積分 Jexsin y m)dx (ex cosy mx)dy ,其中m為常數(shù)，L為由點(diǎn)A(a,0)至原點(diǎn)O(0,0)的上半圓周x2 y2 ax (a 0).五、(本題滿分10分)n求幕級(jí)數(shù)上的收斂域及和函數(shù).n i3n n六、(本題滿分10分)計(jì)算曲面積分 I2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)

28、dxdy,其中為曲面z 1 x2 y2(z 0)的上側(cè).七、(本題滿分6分)設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，f(0) a, F(t) z f(x2 y2 z2)dv ,其中t是由曲面tz 7x2y2與z #x，所圍成的閉區(qū)域，求 Jm Ft(t) 備注：考試時(shí)間為2小時(shí)；考試結(jié)束時(shí)，請(qǐng)每位考生按卷面答題紙 草稿紙由表及里依序?qū)φ凵辖?不得帶走試卷。高等數(shù)學(xué)A(下冊(cè))期末考試試題 【A卷】2009年6月14 ; 4、3, 0;7x一4z參考解答與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1一、填空題【每小題4分，共20分】1、4; 2、 V ； 3、2x 4y zy5、72.二、試解下列各題【每小題7分，共35分】 TOC o 1-5 h

29、 z 3 ydy zdz2x)二1、解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得dxdx，從而出5x ,電dydzdx4y dxyz3xdx dx41ur 5 7該曲線在1, 1,2處的切向量為T(mén) (1,27)4 81 -(8,10,7).8.【5】.222d x y z11故所求的切線方程為人8y 110法平面方程為10即8x 10y 7z 12.【7】2、解：-2z 2x2y22 y在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?2Dxy: x y2故所求的體積為V3 、解：由limn【3】dvun6 22 2 dz220(6 3 2)d 6.【7】又 |un| ln(11) nln(1收斂.【7】4、解:(f12zf1xyfnf2Dxy一2(x, y) | xzxz2dSDxy【7】limn1) yf12 (nln(1lim ln(1 n1)n nunn 1【7】程為z22a2 h2 .a.、a2adxdy2x、【9分】,limn|Un |limnln(11-)0.故所給級(jí)數(shù)收斂且條件 nVf, a2x2【3】f2- f21y“