連續(xù)型隨機變量和其概率密度介紹

1、連續(xù)型隨機變量和其概率密度介紹2.4.1 連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)2.4. 常見的連續(xù)型隨機變量2.4.1 連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)定義：設(shè) X 是一隨機變量，若存在一個非負(fù) 可積函數(shù) f(x) 使得其中 F(x) 是它的分布函數(shù)則稱 X 是連續(xù)型隨機變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)( p.d.f. )，簡稱為密度函數(shù)或概率密度xf ( x)xF ( x )分布函數(shù)F ( x )與密度函數(shù) f ( x )的幾何意義p.d.f. f ( x )的性質(zhì) 常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù) 在 f ( x ) 的連續(xù)點處，1x 對于連續(xù)型隨機

2、變量，還要指出兩點：（1）F(x)是連續(xù)函數(shù);（2）PX=a=0（a為任意實數(shù)）. 因此，對于連續(xù)型隨機變量，有xf ( x)a 例1 設(shè)隨機變量 具有概率密度函數(shù) 試確定常數(shù)A， 以及 的分布函數(shù). 解:由知A=3，即 而 的分布函數(shù)為 例2 在高為h 的 ABC 中任取一點M ,點M到AB 的距離為X , 求X 的分布函數(shù)，概率密度函數(shù) f (x). EFABCh.MXx解 作 當(dāng) 時使EF 與AB間的距離為x于是2.4.2.1 均勻分布(a ,b)上的均勻分布記作2.4.2 常見的連續(xù)型隨機變量若 X 的密度函數(shù)為 ，則稱 X 服從區(qū)間其中X 的分布函數(shù)為xf ( x)abxF( x)b

3、a即 X 的取值在(a,b)內(nèi)任何長為 d c 的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān), 只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.若隨機變量在區(qū)間(a,b)內(nèi)等可能的取值，則應(yīng)用場合:例3 秒表的最小刻度差為0.01秒. 若計時精度是取最近的刻度值, 求使用該秒表計時產(chǎn)生的隨機誤差X 的概率密度, 并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率. 解 由題設(shè)知隨機誤差 X 等可能地取得區(qū)間 上的任一值，則所以2.4.2.2 指數(shù)分布若X 的密度函數(shù)為則稱X 服從參數(shù)為的指數(shù)分布記作X 的分布函數(shù)為 0 為常數(shù)1xF( x)0 xf ( x)0對于任意的 0 a 0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為,的正態(tài)分布或

4、高斯（Gauss）分布。記作 X N（,2）2.4.2.3 正態(tài)分布f (x) 的性質(zhì)：(1) 圖形關(guān)于直線 x = 對稱： f ( + x) = f ( - x) 在 x = 時, f (x) 取得最大值或?qū)τ谌我獾膞 0有 P-xX = PX+x 顯然， x離越遠(yuǎn)，f(x)的值越小。即對于同樣長度的區(qū)間，X 落在離越遠(yuǎn)的區(qū)間內(nèi)，概率越小。(2)(3)曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀 (4) 拐點：(，f(); 水平漸近線：ox 軸。(5)f(x)的兩個參數(shù)：f(x)x=2=0.5=112f(x)x (6) 固定，改變值，曲線 f(x)形狀不變，僅沿x軸平移。可見確定曲線 f(x)的

5、位置 。 (7) 固定, 改變值, 則愈小時, f(x)圖形的形狀愈陡峭, X 落在附近的概率越大。 位置參數(shù) 形狀參數(shù) 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對稱的鐘形曲線。特點是“兩頭小，中間大，左右對稱”。 決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度。應(yīng)用場合: 若隨機變量 X 受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加, 則 X 服從正態(tài)分布.可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：各種測量的誤差； 人的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度； 金屬線的抗拉強度；熱噪聲電流強度； 學(xué)生們的考試成績； 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這

6、可以由以下情形加以說明： 正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的可以證明，如果一個隨機指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布 正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的 正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布正態(tài)分布的重要性: 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 XN(0,1)即當(dāng)= 0，=1時的正態(tài)分布。密度函數(shù)：分布函數(shù)：3.4.1.-xx1-(x) (-x)2. 設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 ) 解:P272 表2例6例7 已知且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X C=PXC則C=（ )2. 設(shè)XN(，42),YN(，52),記 p1=PX-4，p2=PY+5則( ) 對任意實數(shù)，都有p1=p2 對任意實數(shù)，都有p1p23課堂練習(xí)f(x)x0P(X)P(X)設(shè)XN(，2),則隨的增大， 概率