學術(shù)論文中數(shù)理統(tǒng)計方法的正確使用問題

1、環(huán)境科學領(lǐng)域?qū)W術(shù)論文中常用數(shù)理統(tǒng)計方法的正確使用問題張利田，卜慶杰，楊桂華，劉秀蘭環(huán)境科學學報編輯部，北京100085在環(huán)境科學研究中，經(jīng)常會涉及到對隨機變量大小、離散及分布特征描述以及對2個或多個隨 機變量之間關(guān)系比較的問題。而對隨機變量及隨機變量之間的關(guān)系進行定量描述的數(shù)學工具就是數(shù) 理統(tǒng)計。由于能否正確使用各種數(shù)理統(tǒng)計方法關(guān)系到能否得出客觀和可信的結(jié)論，所以，來稿中使 用的數(shù)理統(tǒng)計方法是否正確是學術(shù)期刊編輯們極為重視的問題。針對近年來環(huán)境科學學報作者 稿件中常見的數(shù)理統(tǒng)計方法方面的錯誤，我們對環(huán)境科學領(lǐng)域?qū)W術(shù)論文中常用數(shù)理統(tǒng)計方法(主要 是相關(guān)分析和回歸分析)的正確使用問題進行了初步分析

2、，希望能對環(huán)境科學學報的作者們有 所幫助。1統(tǒng)計軟件的選擇在進行統(tǒng)計分析時，盡管作者可以自行編寫計算程序，但在統(tǒng)計軟件很普及的今天，這樣做是 毫無必要的。因此，出于對工作效率以及對算法的可靠性、通用性和可比性的考慮，多數(shù)科技期刊 要求作者采用專門的數(shù)理統(tǒng)計軟件進行統(tǒng)計分析。我們在處理稿件時經(jīng)常發(fā)現(xiàn)的問題是，作者未使 用專門的數(shù)理統(tǒng)計軟件，而采用Excel這樣的電子表格軟件進行統(tǒng)計分析。由于電子表格軟件提供 的統(tǒng)計分析功能十分有限，很難滿足實際需要，除非比較簡單的分析，我們不主張作者采用這樣的 軟件。目前，國際上已開發(fā)出的專門用于統(tǒng)計分析的商業(yè)軟件很多，比較著名有SPSS(Statistical

3、 Package for Social Sciences) SAS(Statistical Analysis System)、 BMDP 和 STATISTICA 等。 其中，SPSS是專門為社會科學領(lǐng)域的研究者設(shè)計的(但是，此軟件在自然科學領(lǐng)域也得到廣泛應(yīng) 用)；BMDP是專門為生物學和醫(yī)學領(lǐng)域研究者編制的統(tǒng)計軟件。目前，國際學術(shù)界有一條不成文的 約定：凡是用SPSS和SAS軟件進行統(tǒng)計分析所獲得的結(jié)果，在國際學術(shù)交流中不必說明具體算法。 由此可見，SPSS和SAS軟件已被各領(lǐng)域研究者普遍認可。我們建議環(huán)境科學學報的作者們在 進行統(tǒng)計分析時盡量使用這2個專門的統(tǒng)計軟件。目前，有關(guān)這2個軟件的

4、使用教程在書店中可很 容易地買到。2均值的計算在處理實驗數(shù)據(jù)或采樣數(shù)據(jù)時，經(jīng)常會遇到對相同采樣或相同實驗條件下同一隨機變量的多個 不同取值進行統(tǒng)計處理的問題。此時，多數(shù)作者會不假思索地直接給出算術(shù)平均值和標準差。顯然， 這種做法是不嚴謹?shù)?。在?shù)理統(tǒng)計學中，作為描述隨機變量總體大小特征的統(tǒng)計量有算術(shù)平均值、 幾何平均值和中位數(shù)等。何時用算術(shù)平均值？何時用幾何平均值？以及何時用中位數(shù)？這不能由研 究者根據(jù)主觀意愿隨意確定，而要根據(jù)隨機變量的分布特征確定。反映隨機變量總體大小特征的統(tǒng) 計量是數(shù)學期望，而在隨機變量的分布服從正態(tài)分布時，其數(shù)學期望就是其算術(shù)平均值。此時，可 用算術(shù)平均值描述隨機變量的大

5、小特征。如果所研究的隨機變量不服從正態(tài)分布，則算術(shù)平均值不 能準確反映該變量的大小特征。在這種情況下，可通過假設(shè)檢驗來判斷隨機變量是否服從對數(shù)正態(tài) 分布。如果服從對數(shù)正態(tài)分布，則幾何平均值就是數(shù)學期望的值。此時，就可以計算變量的幾何平 均值。如果隨機變量既不服從正態(tài)分布也不服從對數(shù)正態(tài)分布，則按現(xiàn)有的數(shù)理統(tǒng)計學知識，尚無 合適的統(tǒng)計量描述該變量的大小特征。退而求其次，此時可用中位數(shù)來描述變量的大小特征。3相關(guān)分析中相關(guān)系數(shù)的選擇在相關(guān)分析中，作者們常犯的錯誤是簡單地計算Pearson積矩相關(guān)系數(shù)，而且既不給出正態(tài)分 布檢驗結(jié)果，也往往不明確指出所計算的相關(guān)系數(shù)就是Pearson積矩相關(guān)系數(shù)。常

6、用的相關(guān)系數(shù) 除有Pearson積矩相關(guān)系數(shù)外，還有Spearman秩相關(guān)系數(shù)和Kendall秩相關(guān)系數(shù)等。其中，Pearson 積矩相關(guān)系數(shù)可用于描述2個隨機變量的線性相關(guān)程度（相應(yīng)的相關(guān)分析方法稱為“參數(shù)相關(guān)分 析”，該方法的檢驗功效高，檢驗結(jié)果明確）；Spearman或Kendall秩相關(guān)系數(shù)用來判斷兩個隨機 變量在二維和多維空間中是否具有某種共變趨勢，而不考慮其變化的幅度（相應(yīng)的相關(guān)分析稱為“非 參數(shù)相關(guān)分析”，該方法的檢驗功效較參數(shù)方法稍差，檢驗結(jié)果也不如參數(shù)方法明確）。各種成熟 的統(tǒng)計軟件如SPSS、SAS等均提供了這些相關(guān)系數(shù)的計算模塊。在相關(guān)分析中，計算各種相關(guān)系數(shù) 是有前提的

7、。對于二元相關(guān)分析，如果2個隨機變量服二元正態(tài)分布，或2個隨機變量經(jīng)數(shù)據(jù)變換 后服從二元正態(tài)分布，則可以用Pearson積矩相關(guān)系數(shù)描述這2個隨機變量間的相關(guān)關(guān)系（此時 描述的是線性相關(guān)關(guān)系），而不宜選用功效較低的Spearman或Kendall秩相關(guān)系數(shù)。如果樣本數(shù)據(jù) 或其變換值不服從正態(tài)分布，則計算Pearson積矩相關(guān)系數(shù)就毫無意義。退而求其次，此時只能 計算Spearman或Kendall秩相關(guān)系數(shù)（盡管這樣會導致檢驗功效的降低）。因此，環(huán)境科學學報 編輯部要求作者在報告相關(guān)分析結(jié)果時，還應(yīng)提供正態(tài)分布檢驗結(jié)果，以證明計算所選擇的相關(guān)系 數(shù)是妥當?shù)?。需要指出的是，由于Spearman或

8、Kendall秩相關(guān)系數(shù)是基于順序變量（秩）設(shè)計的 相關(guān)系數(shù)，因此，如果所采集的數(shù)據(jù)不是確定的數(shù)值而僅僅是秩，則使用Spearman或Kendall秩 相關(guān)系數(shù)進行非參數(shù)相關(guān)分析就成為唯一的選擇。4相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別相關(guān)分析和回歸分析是極為常用的2種數(shù)理統(tǒng)計方法，在環(huán)境科學及其它科學研究領(lǐng)域有著廣 泛的用途。然而，由于這2種數(shù)理統(tǒng)計方法在計算方面存在很多相似之處，且在一些數(shù)理統(tǒng)計教科 書中沒有系統(tǒng)闡明這2種數(shù)理統(tǒng)計方法的內(nèi)在差別，從而使一些研究者不能嚴格區(qū)分相關(guān)分析與回 歸分析。最常見的錯誤是，用回歸分析的結(jié)果解釋相關(guān)性問題。例如，作者將“回歸直線（曲線） 圖”稱為“相關(guān)性圖”或“相關(guān)關(guān)

9、系圖”；將回歸直線的R2（擬合度，或稱“可決系數(shù)”）錯誤地稱 為“相關(guān)系數(shù)”或“相關(guān)系數(shù)的平方”；根據(jù)回歸分析的結(jié)果宣稱2個變量之間存在正的或負的相 關(guān)關(guān)系。這些情況在環(huán)境科學學報的來稿中極為普遍。相關(guān)分析與回歸分析均為研究2個或多個變量間關(guān)聯(lián)性的方法，但2種數(shù)理統(tǒng)計方法存在本質(zhì) 的差別，即它們用于不同的研究目的。相關(guān)分析的目的在于檢驗兩個隨機變量的共變趨勢（即共同 變化的程度），回歸分析的目的則在于試圖用自變量來預測因變量的值。在相關(guān)分析中，兩個變量 必須同時都是隨機變量，如果其中的一個變量不是隨機變量，就不能進行相關(guān)分析。這是相關(guān)分析 方法本身所決定的。對于回歸分析，其中的因變量肯定為隨機

10、變量（這是回歸分析方法本身所決定 的），而自變量則可以是普通變量（有確定的取值）也可以是隨機變量。如果自變量是普通變量， 采用的回歸方法就是最為常用的“最小二乘法”，即模型I回歸分析；如果自變量是隨機變量，所 采用的回歸方法與計算者的目的有關(guān)-在以預測為目的的情況下，仍采用“最小二乘法”，在以估 值為目的的情況下須使用相對嚴謹?shù)摹爸鬏S法”、“約化主軸法”或“Bartlett法”，即模型II回歸 分析。顯然，對于回歸分析，如果是模型I回歸分析，就根本不可能回答變量的“相關(guān)性”問題， 因為普通變量與隨機變量之間不存在“相關(guān)性”這一概念（問題在于，大多數(shù)的回歸分析都是模型 I回歸分析！）。此時，即使

11、作者想描述2個變量間的“共變趨勢”而改用相關(guān)分析，也會因相關(guān)分 析的前提不存在而使分析結(jié)果毫無意義。如果是模型II回歸分析，鑒于兩個隨機變量客觀上存在“相 關(guān)性”問題，只是由于回歸分析方法本身不能提供針對自變量和因變量之間相關(guān)關(guān)系的準確的檢驗 手段，因此，若以預測為目的，最好不提“相關(guān)性”問題；若以探索兩者的“共變趨勢”為目的， 應(yīng)該改用相關(guān)分析。需要特別指出的是，回歸分析中的R2在數(shù)學上恰好是Pearson積矩相關(guān)系數(shù)r的平方。因此， 這極易使作者們錯誤地理解R2的含義，認為R2就是“相關(guān)系數(shù)”或“相關(guān)系數(shù)的平方”。問題在 于，對于自變量是普通變量（即其取值具有確定性）、因變量為隨機變量的模

12、型I回歸分析，2個 變量之間的“相關(guān)性”概念根本不存在，又何談“相關(guān)系數(shù)”呢？（說明：二元回歸可決系數(shù)符號 用小寫r2）5顯著性水平相關(guān)分析及正態(tài)分布檢驗等均為基于假設(shè)檢驗的統(tǒng)計分析方法。而顯著性水平的確定是假設(shè)檢 驗中至關(guān)重要的問題。顯著性水平反映了拒絕某一原假設(shè)時所犯錯誤的可能性。通常，拒絕客觀上 正確的原假設(shè)的幾率用a值表示，該值被稱為假設(shè)檢驗的顯著性水平 （Significant level）。a 值一般在進行假設(shè)檢驗前由研究者根據(jù)需要確定，常用的取值是0.05或0.01。對于前者，相當于 在原假設(shè)事實上正確的情況下，研究者接受這一假設(shè)的可能性為95%；對于后者，則研究者接受事 實上正

13、確的原假設(shè)的可能性為99%。顯然，降低a值可以減少拒絕原假設(shè)的可能性。因此，在報 告統(tǒng)計分析結(jié)果時，必須給出a值。在進行統(tǒng)計分析時，各種統(tǒng)計軟件通常在給出檢驗統(tǒng)計量的 同時，也給出該檢驗統(tǒng)計量取值的相伴概率（即某特定取值及更極端可能值出現(xiàn)的準確概率，用p 表示）。p值是否小于事先確定的a值，是接受或拒絕原假設(shè)的依據(jù)。如果p值小于事先已確定的 a值，就意味著原假設(shè)成立的可能性很小，因而可以拒絕原假設(shè)。相反，如果p值大于事先已確 定的a值，就意味著原假設(shè)成立的可能性較大，因而不能拒絕原假設(shè)。在計算機軟件尚不普及的 情況下，計算檢驗統(tǒng)計量并與特定顯著性水平的臨界值比較是簡潔的方法，在計算機軟件普及的

14、今 天，建議直接使用p值，并在結(jié)果中給出p，以表達精確錯誤率。以二元相關(guān)分析為例，相關(guān)分析中的原假設(shè)是“相關(guān)系數(shù)為零”（即2個隨機變量間不存在顯 著的相關(guān)關(guān)系）。如果計算出的檢驗統(tǒng)計量的相伴概率（p值）低于事先給定a值（如0.05），就 可以認為“相關(guān)系數(shù)為零”的可能性很低，2個隨機變量之間存在明顯的相關(guān)關(guān)系。與相關(guān)關(guān)系 不同，在正態(tài)分布檢驗時，原假設(shè)是“樣本數(shù)據(jù)來自服從正態(tài)分布的總體”。此時，如果計算出的 檢驗統(tǒng)計量的相伴概率（p值）低于事先給定a值（如0.05），則表明數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布。在本刊來稿中，作者在描述相關(guān)分析結(jié)果時常有的失誤是僅給出相關(guān)系數(shù)的值，而不給出顯著 性水平。這就無法判

15、斷2個隨機變量間的相關(guān)性是否顯著。此外，作者在論文中常常用“顯著相關(guān)” 和“極顯著相關(guān)”來描述相關(guān)分析結(jié)果，即認為p值小于0.05就是顯著相關(guān)關(guān)系（或顯著相關(guān)）， 小于0.01就是極顯著相關(guān)關(guān)系（或極顯著相關(guān)）。顯然，這也是不規(guī)范的。在假設(shè)檢驗中，只有“顯 著”和“不顯著”，沒有“極顯著”這樣的提法。只要計算出的檢驗統(tǒng)計量的相伴概率（p值）低 于事先確定的a值，就可以認為檢驗結(jié)果“顯著”（相關(guān)分析的原假設(shè)是“相關(guān)系數(shù)為零”，故此 處的“顯著”實際意味著“相關(guān)系數(shù)不為零”，或說“2個隨機變量間有顯著的相關(guān)關(guān)系”）；同樣， 只要計算出的檢驗統(tǒng)計量的相伴概率（p值）高于事先確定的a值，就可以認為檢驗

16、結(jié)果“不顯 著”。因此，不能認為p值小于0.05就是“顯著相關(guān)”，p值小于0.01就是“極顯著相關(guān)”。換言 之，在進行相關(guān)分析時，不能同時使用0.05和0.01這2個顯著性水平來決定是否拒絕原假設(shè)，只 能使用其中的1個。規(guī)范的做法是指出在什么a值（0.01或0.05）下是否顯著相關(guān)并在括號中給 出p值。需要指出的是，有少數(shù)作者在報告二元相關(guān)分析結(jié)果時，針對p值大于0.05的情形宣稱 “2個隨機變量有相關(guān)性但不顯著”。這種說法是自相矛盾的?！坝邢嚓P(guān)性”就意味著“檢驗結(jié)果顯 著”，“檢驗結(jié)果不顯著”就意味著“不存在相關(guān)性”。在二元相關(guān)分析中，如果事先確定的a值 為0.05，則只要p值大于0.05,

17、 2個隨機變量之間就不存在相關(guān)關(guān)系。反之，如果2個隨機變量 間存在相關(guān)關(guān)系，則p值應(yīng)小于0.05。6推薦參考書為了能夠準確、系統(tǒng)地了解常用的數(shù)理統(tǒng)計學概念和方法，適當閱讀一些參考書是十分必要的。 目前，這方面的出版物很多，作者們可很方便地從書店購得。此處我們推薦作者們閱讀以下書籍：1）應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計方法。該書由北京大學環(huán)境學院陶澍教授編著、中國環(huán)境科學出版社1994 年出版。該書以環(huán)境科學及相鄰學科的研究人員為主要對象，以方法應(yīng)用為主軸，具有很好的可讀 性。2）統(tǒng)計學方法與數(shù)據(jù)分析引論（上、下）。該書由科學出版社2003年出版，原著者為美國 學者R.L.奧特和M.朗格內(nèi)克，中譯者為張忠占、王建穩(wěn)、王強和楊中華。本書同樣注重實例分析， 可作為文科各專業(yè)本科生的統(tǒng)計學引論教程，以及理工科各專業(yè)學生應(yīng)用統(tǒng)計學課程的教材或教學 參考書，也可作為無任何統(tǒng)計學基礎(chǔ)的一線科研人員閱讀的統(tǒng)計學入門書籍。3）SPSS統(tǒng)計分析方法及應(yīng)用。該書由北京市高等教育精品教材立項項目資助、中國人民大 學統(tǒng)計學院薛薇教授編著、電子工業(yè)出版社2004年出版。這是一本介紹著名統(tǒng)計軟件SPSS的教程。4）SPSS實用