太原師院附中2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和 棱 上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）ABCD2已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車(chē)一次（假定費(fèi)用只可能為、元）甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、，甲、乙租車(chē)費(fèi)用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為（ ）ABCD3如圖，平面四邊形中，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD4函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD5如圖所示，直三棱柱的高為4，底面邊長(zhǎng)分別是5，12，13，當(dāng)球與上

3、底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8，則球的體積為 ( ) A16053B6423C9633D256236如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（ ）ABCD7函數(shù)的圖象為C，以下結(jié)論中正確的是（ ）圖象C關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；由y =2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.ABCD8某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（ ）ABCD9設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（ ）A1B-1CD10設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，.則這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)和等于（ ）A12B21C24D3611

4、在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿(mǎn)足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為( )A1010.1B10.1Clg10.1D1010.112下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是（ ）A正方體B球體C圓錐D長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，且，則_14若，則_.15若一組樣本數(shù)據(jù)7，9，8，10的平均數(shù)為9，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為_(kāi).16已知定義在的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，則的解集

5、為_(kāi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）設(shè)射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)18（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.19（12分）某網(wǎng)絡(luò)商城在年月日開(kāi)展“慶元旦”活動(dòng)，當(dāng)天各店鋪銷(xiāo)售額破十億，為了提高各店鋪銷(xiāo)售的積極性，采用搖號(hào)抽獎(jiǎng)的方式，抽取了家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的家店鋪元旦當(dāng)天的銷(xiāo)售額（單位：千元）的頻率分布直方

6、圖.（1）求抽取的這家店鋪，元旦當(dāng)天銷(xiāo)售額的平均值；（2）估計(jì)抽取的家店鋪中元旦當(dāng)天銷(xiāo)售額不低于元的有多少家；（3）為了了解抽取的各店鋪的銷(xiāo)售方案，銷(xiāo)售額在和的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷(xiāo)售研究，求抽取的店鋪銷(xiāo)售額在中的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.20（12分）已知圓的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是是參數(shù)），若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值.21（12分）如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為梯形，為中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.22（10分）已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列bn滿(mǎn)足：a1=b1=1,bnN*,a2+a4+

7、a9=3b3,3ab3=b5-30.(I)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(II)求數(shù)列n2anan+1的前n項(xiàng)和Sn.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】取中點(diǎn)，過(guò)作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當(dāng)時(shí)， 最小，由 ，故，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，過(guò)作面，如圖：則，故，而對(duì)固定的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 最小此時(shí)由面，可知為等腰直角三角形，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.2B【解析】甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同即同為1元，或同為2元，或同為3元，由獨(dú)立事件的概率公

8、式計(jì)算即得【詳解】由題意甲、乙租車(chē)費(fèi)用為3元的概率分別是，甲、乙兩人所扣租車(chē)費(fèi)用相同的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性事件的概率掌握獨(dú)立事件的概率乘法公式是解題基礎(chǔ)3A【解析】將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計(jì)算半徑即可.【詳解】由，可知平面將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得又，故在中，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)

9、學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.4A【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，排除C和D.當(dāng)時(shí)，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.5A【解析】設(shè)球心為O，三棱柱的上底面A1B1C1的內(nèi)切圓的圓心為O1，該圓與邊B1C1切于點(diǎn)M，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得OO1M為直角三角形，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出圓O1半徑，進(jìn)而求得球的半徑，最后可求出球的體積【詳解】如圖，設(shè)三棱柱為ABC-A1B1C1，且AB=12,BC=5,AC=13，高A

10、A1=4所以底面A1B1C1為斜邊是A1C1的直角三角形，設(shè)該三角形的內(nèi)切圓為圓O1，圓O1與邊B1C1切于點(diǎn)M，則圓O1的半徑為O1M=12+5-132=2設(shè)球心為O，則由球的幾何知識(shí)得OO1M為直角三角形，且OO1=8-4=4，所以O(shè)M=22+42=25，即球O的半徑為25，所以球O的體積為43(25)3=16053故選A【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)的組合體的問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：（1）構(gòu)造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這是解決與球有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用的方法（2）若直角三角形的兩直角邊為a,b，斜邊為c，則該直角三角形內(nèi)切圓的半

11、徑r=a+b-c2，合理利用中間結(jié)論可提高解題的效率6C【解析】分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7B【解析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心和圖象變換的知識(shí)，判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，又，所以正確.，所以正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，所以錯(cuò)誤.所以

12、正確，錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.8C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應(yīng)選9B【解析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】由.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，需掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.10B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，即，又，所以，故故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，性質(zhì)，等差數(shù)列的和，

13、屬于中檔題.11A【解析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿(mǎn)足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)信息處理能力閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.12C【解析】根據(jù)基本幾何體的三視圖確定【詳解】正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形，球的三個(gè)三視圖都是相等的圓，圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓，另外兩個(gè)是全等的等腰三角形，長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形故選：C【點(diǎn)睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由題意可得，該四面體

14、的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為，由題意可得：，據(jù)此可得：，則球的表面積：，結(jié)合解得：.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.14【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，又，所以，所?151【解析】根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得，解得的值，進(jìn)而由方差公式計(jì)算，可得答案【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)7，9，8，10的平均數(shù)為9，則，解得：，則其方差.

15、故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考平均數(shù)、方差的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意求出的值，屬于基礎(chǔ)題16【解析】由已知得出函數(shù)是偶函數(shù)，再得出函數(shù)的單調(diào)性，得出所解不等式的等價(jià)的不等式，可得解集.【詳解】因?yàn)槎x在的函數(shù)滿(mǎn)足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，得時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式等價(jià)于，即或，解得或，所以不等式的解集為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解，關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）；（2）【解析】曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為再用極直互化公式

16、求解，曲線的極坐標(biāo)方程用極直互化公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出，射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出， 再用 得解【詳解】解：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為把，代入得：曲線的極坐標(biāo)方程為轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為設(shè)射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，所以，解得與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，所以，解得，所以【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)換及極坐標(biāo)下利用和的幾何意義求線段的長(zhǎng).（1）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程只需將直角坐標(biāo)方程中的分別用，代替即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程必須先化成直角坐標(biāo)方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的

17、解題目的；如果幾何關(guān)系不容易通過(guò)極坐標(biāo)表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題加以解決.18（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)得，分類(lèi)討論和，利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中求得的的單調(diào)性，得出在處取得最大值為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，推出，即可證明不等式.【詳解】解：（1）由于，得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得，若，則，若，此時(shí)在遞增，在上遞減.（2）由（1）知在處取得最大值為：，設(shè)，則，令，則，則在單調(diào)遞減，即，則在單調(diào)遞減，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類(lèi)討論和構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算

18、能力.19（1）元；（2）32家；（3）分布列見(jiàn)解析；【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出各組頻率，再由平均數(shù)公式，即可求解；（2）求出的頻率即可；（3）中的個(gè)數(shù)的所有可能取值為，求出可能值的概率，得到分布列，由期望公式即可求解.【詳解】（1）頻率分布直方圖銷(xiāo)售額的平均值為千元，所以銷(xiāo)售額的平均值為元；（2）不低于元的有家（3）銷(xiāo)售額在的店鋪有家，銷(xiāo)售額在的店鋪有家.選取兩家，設(shè)銷(xiāo)售額在的有家.則的所有可能取值為，.，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用頻率分布直方圖求平均數(shù)和頻數(shù)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于基礎(chǔ)題.20【解析】將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線的參數(shù)方程化為普通方程，再根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由，得， 即圓的方程為，又由消，得， 直線與圓相切，【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查方程的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研究直線與圓相切.21（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)取的中點(diǎn)