向量向量叉乘向量點(diǎn)乘

1、向量-向量叉乘向量點(diǎn)乘2010年07月28日星期三14:33向量(Vector)在幾乎所有的幾何問題中，向量(有時也稱矢量)是一個基本點(diǎn)。向量的定義包含方向和一個數(shù)(長度)。在二維空間中，一個向量可以用一對x和y來表示。例如由點(diǎn)(1,3)到(5,1的向量可以用(4,-2)來表示。這里大家要特別注意，我這樣說并不代表向量定義了起點(diǎn)和終點(diǎn)。向量僅僅定義方向和長度。向量加法向量也支持各種數(shù)學(xué)運(yùn)算。最簡單的就是加法。我們可以對兩個向量相加，得到的仍然是一個向量。我們有：V1(x1,y1)+V2(x2,y2)=V3(x1+x2,y1+y2)下圖表示了四個向量相加。注意就像普通的加法一樣，相加的次序?qū)Y(jié)果

2、沒有影響(滿足交換律)，減法也是一樣的。Thesum&.fvectorsA+3+C+D點(diǎn)乘(DotProduct)如果說加法是憑直覺就可以知道的，另外還有一些運(yùn)算就不是那么明顯的，比如點(diǎn)乘和叉乘。點(diǎn)乘比較簡單，是相應(yīng)元素的乘積的和：V1(x1,y1)V2(x2,y2)=x1*x2+y1*y2注意結(jié)果不是一個向量，而是一個標(biāo)量(Scalar)。點(diǎn)乘有什么用呢，我們有：AB=IAIIBIos()是向量A和向量B見的夾角。這里IAI我們稱為向量A的模(norm),也就是A的長度，在二維空間中就是IAI=sqrt(x2+y2)。這樣我們就和容易計(jì)算兩條線的夾角：os()=AB/(IAIIBI)當(dāng)然你知

3、道要用一下反余弦函數(shù)acos()啦。(回憶一下cos(90)=0和cos(0)=1還是有好處的,希望你沒有忘記。)這可以告訴我們?nèi)绻c(diǎn)乘的結(jié)果，簡稱點(diǎn)積，為0的話就表示這兩個向量垂直。當(dāng)兩向量平行時，點(diǎn)積有最大值另外，點(diǎn)乘運(yùn)算不僅限于2維空間，他可以推廣到任意維空間。(譯注：不少人對量子力學(xué)中的高維空間無法理解，其實(shí)如果你不要試圖在視覺上想象高維空間，而僅僅把它看成三維空間在數(shù)學(xué)上的推廣，那么就好理解了)叉乘(crossproduct)相對于點(diǎn)乘，叉乘可能更有用吧。2維空間中的叉乘是：Vl(xl,yl)XV2(x2,y2)=xly2ylx2看起來像個標(biāo)量，事實(shí)上叉乘的結(jié)果是個向量，方向在z軸上

4、。上述結(jié)果是它的模。在二維空間里，讓我們暫時忽略它的方向，將結(jié)果看成一個向量，那么這個結(jié)果類似于上述的點(diǎn)積，我們有：AxB=IAIIBIin()然而角度和上面點(diǎn)乘的角度有一點(diǎn)點(diǎn)不同，他是有正負(fù)的，是指從A到B的角度。下圖中為負(fù)。另外還有一個有用的特征那就是叉積的絕對值就是A和B為兩邊說形成的平行四邊形的面積。也就是AB所包圍三角形面積的兩倍。在計(jì)算面積時，我們要經(jīng)常用到叉積。(譯注：三維及以上的叉乘參看維基：/wiki/Cross_product)點(diǎn)-線距離找出一個點(diǎn)和一條線間的距離是經(jīng)常遇見的幾何問題之一。假設(shè)給出三個點(diǎn)，A，B和C，你想找出點(diǎn)C到點(diǎn)A、B定出的直線間距離。第一步是找出A到B

5、的向量AB和A到C的向量AC，現(xiàn)在我們用該兩向量的叉積除以|ABI,這就是我們要找的的距離了(下圖中的紅線)。d=(ABxAC)/IABI如果你有基礎(chǔ)的高中幾何知識，你就知道原因了。上一節(jié)我們知道(ABXAC)/2是三角形ABC的面積，這個三角形的底是IABI,高就是C到AB的距離。有時叉積得到的是一個負(fù)值，這種情況下距離就是上述結(jié)果的絕對值。當(dāng)我們要找點(diǎn)到線段的距離時，情況變得稍稍復(fù)雜一些。這時線段與點(diǎn)的最短距離可能是點(diǎn)到線段的某一端點(diǎn)，而不是點(diǎn)到直線的垂線。例如上圖中點(diǎn)C到線段AB的最短距離應(yīng)該是線段BC。我們有集中不同的方法來判斷這種特殊情況。第一種情況是計(jì)算點(diǎn)積ABBe來判定兩線段間。

6、如果點(diǎn)積大于等于零，那么表示AB到BC是在-90到90度間，也就是說C到AB的垂線在AB夕卜，那么AB上到C距離最近的點(diǎn)就是B。同樣，如果BAAC大于等于零，那么點(diǎn)A就是距離C最近的點(diǎn)。如果兩者均小于零，那么距離最近的點(diǎn)就在線段AB中的莫一點(diǎn)。源代碼參考如下：/ComputethedotproduetABBCintdot(intA,intB,intC)AB=newint2;BC=newint2;AB0=B0-A0;AB1=B1-A1;BC0=C0-B0;BC1=C1-B1;intdot=AB0*BC0+AB1*BC1;returndot;/ComputetheerossproduetABxAC

7、inteross(intA,intB,intC)AB=newint2;AC=newint2;AB0=B0-A0;AB1=B1-A1;AC0=C0-A0;AC1=C1-A1;inteross=AB0*AC1-AB1*AC0;returneross;/ComputethedistaneefromAtoBdoubledistanee(intA,intB)intd1=A0-B0;intd2=A1-B1;returnsqrt(d1*d1+d2*d2);/ComputethedistaneefromABtoC/ifisSegmentistrue,ABisasegment,notaline.doubleli

8、nePointDist(intA,intB,intC,booleanisSegment)doubledist=cross(A,B,C)/distance(A,B);if(isSegment)intdot1=dot(A,B,C);if(dot10)returndistance(B,C);intdot2=dot(B,A,C);if(dot20)returndistance(A,C);returnabs(dist);上面的代碼看起來似乎是很繁瑣。不過我們可以看看在C+和C#中，采用了運(yùn)算符重載的類point，用我代表點(diǎn)乘，用人代表叉乘(當(dāng)然+-還是你所希望的)，那么看起來就簡單些,代碼如下：/ComputethedistancefromABtoC/ifisSegmentistrue,ABisasegment,notaline.doublelinePointDist(pointA,pointB,pointC,boolisSegment)doubledist=(B-A)人(C-A)/sqrt(B-A)*(B-