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1、第六章有限元法概述第一節(jié)單元分析簡例1、單元分析的主要任務(wù):求出單元節(jié)點位移和節(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在推導(dǎo)此關(guān)系時規(guī) 定:力和位移的方向若和坐標(biāo)軸正方向一致者為正。先舉一個簡單例子,圖1示一拉壓彈簧,彈簧系數(shù)為常量 C,其 軸線和x坐標(biāo)軸重合,令此彈簧為一個單元,則彈簧的兩端點i, j是此單元的兩個節(jié)點。設(shè)在節(jié)點i, j上分別有軸向力U i,U j和軸向位移 Ui,Uj。則當(dāng)節(jié)點對單元有U i,U j的作用力時,單元對節(jié)點有大小相 等、方向相反的反作用力,節(jié)點力:這節(jié)點和單元之間的作用力和反作用力都稱為節(jié)點力,對單元來 講節(jié)點力是作用于單元之力。2、節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系。圖1可分解為兩步1)
2、設(shè)節(jié)點j被固定,節(jié)點i產(chǎn)生正位移ui,則此時節(jié)點i作用在 單元上的力是Ui cuiUj而節(jié)點j作用在單元上的力是Uj = -cui2)是設(shè)節(jié)點i被固定,節(jié)點j產(chǎn)生正位移U1,此節(jié)點j對單元的作 用力是U i = cq節(jié)點i對單元的作用力是J cUi將兩式合并,就得到U廠 UjJCUi - cUjjUj = U j + U j = -eq + CUj由式可以看出一個節(jié)點上的節(jié)點力不僅決定于本節(jié)點的位移,而 且也決定于本單元其他節(jié)點的位移。設(shè)以WF表示單元節(jié)點力向量:1F ?e =UiTUj以技表示節(jié)點位移向量:uiuj則式(1.1)可改寫成:k卜:f式中C Ck= I廠C- 6式中(1.2)就是
3、單元節(jié)點位移衣和節(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 k是轉(zhuǎn)換矩陣,稱為單元剛度矩陣。所以單元分析的任務(wù)就是要求 出本單元的剛度矩陣。 2單元位移模式對于一個復(fù)雜的彈性體,要想用某種函數(shù)來描述整體內(nèi)任一點的 位移是不大可能的。但當(dāng)把彈性體離散化為許多細(xì)小的單元, 則在一 個單元的局部范圍內(nèi)是可以把某一點的位移近似的表達(dá)為其坐標(biāo)的 函數(shù),這表達(dá)式稱為單元位移模式。在單元范圍內(nèi)建立位移模式是有 限元法的特色。一般,位移模式都是用待定系數(shù)法求得。為了說明之,還以上述圖1的拉壓彈簧為例,設(shè)u(x) = a1 a2x式中u(x)單元中任一點的位移X單元中任一點的坐標(biāo)待定系數(shù)ai,a2可由已知的節(jié)點坐標(biāo)及位移來確定,這
4、是因為既 然位移模式代表了單元內(nèi)任一點的位移,那么也應(yīng)包括節(jié)點的位移, 所以每代入一個節(jié)點的坐標(biāo)及位移, 就有一個解待定系數(shù)的方程,單 元上有幾個節(jié)點位移,或者說有幾個自由度,就可以確定幾個系數(shù)。 上述彈簧單元只有兩個自由度,故只能列出具有兩個待定系數(shù)的多項 式令 X= X 時,u(x)二 U|X = Xj 時,u(x)二 U j式中Xj, Xj 節(jié)點i, j的坐標(biāo)ui,uj 節(jié)點i, j的位移 解方程(1.3),得UjXj 一 UjNXj - xia?Xj - Xj將式代入得到(1.6)Xj Xx - Xiu(x)uiu jXj 為xj - xi式(1.6)就是彈簧單元的位移模式:它表明單元
5、中任一點的位 移都是其坐標(biāo)的函數(shù)。同時也表明只要已知單元節(jié)點位移, 就可以通 過位移模式推算出單元內(nèi)任一點的位移。平面問題的單兀形式有很多種,其中最基本的形式是二節(jié)點二角形單元,以下將以這種單元為典型,討論平面問題的單元分析及整體 分析。3、三角形單元的位移模式圖2示一個三角形單元,節(jié)點i,j,m的坐標(biāo)分別是Xj, yj ; x j, y j ; Xm, ym ;其沿x, y坐標(biāo)軸方向的位移分別 為Uj , j ;u j / j, um, m;顯然,此單元共有六個自由度,故其位 移模式可寫成具有六個待定系數(shù)的多項式:u =a2x a3y =ylVjJ1 1Mm iVm.Cxyirvi*! j*
6、Um*Vm設(shè)單元的節(jié)點虛位移及其相應(yīng)的單元內(nèi)虛應(yīng)變分別為:x* *= yI i y i xy則外力虛功W為* * * * *W =比 U jVj VUjU j VjVj umU mU Vi |u j jUm Vm JVjUmVm1-11(a)中的微小矩形作為分析對象。設(shè)* * * *uiviuj vj計算內(nèi)力虛功時,仍以圖單元厚度為t,則此微小矩形的應(yīng)力狀態(tài)如圖 變狀態(tài)如圖1-14(b)所示。功為當(dāng)略去三階微量后,*vmVm *eTFe1-14(a)所示,而其虛應(yīng)此微小矩形的內(nèi)力虛CTX* *CF + Yyy xy1xy )tdxdyxytdxdy=乞t tdxdy整個單元的內(nèi)力虛功為xyTQ
7、 = dQ = tdxdy根據(jù)虛功原理,外力虛功 W應(yīng)等于內(nèi)力虛功Q,得 r*eTFe由式(1.19)可知* T tdxdy* eBe珥*eTBT* - T代入上式,并因虛位移 *e是任意的,可以在等號兩邊同時消:F e 二keL e去,得FJ HBTWtdxdy對于常應(yīng)變?nèi)切螁卧狟和;都是常量,厚度t也是常量,所 以上式又可寫成:F產(chǎn)BTf t dxdy顯然11 dxdy是三角形單元的面積,用二表示之,得F = Bl% t這就是單元應(yīng)力二和單元節(jié)點力Fe的轉(zhuǎn)換式。 8單元剛度矩陣前面所述的多次轉(zhuǎn)換關(guān)系總括起來可用下圖表示:F6iBTt.:J31D3x 3 31B3x 6k 6 6 = BT
8、DBt:圖中注明了各矩陣的階數(shù). 由此圖得出(1)由節(jié)點位移J ?求應(yīng)力上!的公式:& = DF亠DB*e 由節(jié)點位移L?求節(jié)點力T ?的公式:滬飛=btt = BTDt=BTDBp :et或?qū)懹移渲衚e 珥 BtD Btke稱為單元剛度矩陣。它就是由節(jié)點位移求節(jié)點力的轉(zhuǎn)換矩 陣。得到了單元剛度矩陣,單元分析就完成了。二節(jié)點二角形單兀的ke是6X 6階矩陣,式(1.31)的完整形式是11kiik12k13 ki4k15k16”fui 1IIlUi Vi1 r】k21k22k23k24 A A A Ji J A Ak25k26i i|Vi 11- 1Ujk31k32k33k34k35k361 1
9、|Uj 1卜= =1 kji;kjj;kjmw j11-l111I1【Fm ! kmi-kmjkmm式(1.34)中 Fi i節(jié)點上各節(jié)點力分量組成的向量 ii節(jié)點上各位移分量組成的向量Kjj節(jié)點產(chǎn)生單位位移時在i節(jié)點上引起的節(jié)點力對單元剛度矩陣按節(jié)點進(jìn)行分塊將便利于整體剛度矩陣的建立。第二章 平面問題的整體分析 1整體剛度矩陣的集成在建立整體剛度矩陣之前,先得研究單元的節(jié)點力整體結(jié)構(gòu)的節(jié) 點力之差別。從式(1.34)中取出Fj行:Fj =kji i kji j kjm m( 2.1)式(2.1)說明:某一單元中第j個節(jié)點上的節(jié)點力等于該單元三個節(jié)點 i, j, m的節(jié) 點位移在節(jié)點j上引起的
10、節(jié)點力之迭加。這是一個單元對它的一個節(jié) 點的節(jié)點力。而在整體結(jié)構(gòu)中一個節(jié)點往往為幾個單元所共有,則這個節(jié)點上的節(jié)點力就應(yīng)該是:共有這節(jié)點的幾個單元的所有節(jié)點位移 在該節(jié)點上引起的節(jié)點力之迭加。為了敘述方便,以下稱同一單元上的節(jié)點為相關(guān)節(jié)點,該單元為 相關(guān)單元?,F(xiàn)在通過下述例子,說明整體剛度矩陣的建立。圖2-1為一個四單元六節(jié)點的結(jié)構(gòu),節(jié)點及單元都已編號。在節(jié) 點1, 4上有水平支承,在節(jié)點4, 6上有垂直支承,在節(jié)點1, 2, 3 上作用有節(jié)點載荷。若暫不考慮節(jié)點的支承及載荷,則每個節(jié)點應(yīng)有 水平及垂直方向的兩個位移分量和兩個節(jié)點力分量,整個結(jié)構(gòu)共有 12個節(jié)點位移分量及12個節(jié)點力分量,其轉(zhuǎn)
11、換關(guān)系可用下式表示:F1 r nK11K12K13K14K15F2K21K22K23K24K25F3K31 =K32K33K34K35F4K41K42K43K44K45F5K51K52K53K54K55F6-K61K62K63】K64K65Ki6 1K26 2K36 3K46 4K56 5K66 6式中用=I Vi J i= 5IV| JK2i-1,2jK2i,2jSj1Kij KIL K2i,2j -1式(2.2)可簡寫成:F叮K式中F整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點力向量 f整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量 K整體剛度矩陣K23】為例以說整體剛度矩陣是用剛度集成法求得的?,F(xiàn)以子塊明之。從式(2.2)中取出一行:FFH
12、Kdfy%貳 2 + 屜3竹 + 印滬創(chuàng)5+甸6可見子塊K23是節(jié)點3產(chǎn)生單位位移時,在節(jié)點2上產(chǎn)生的節(jié) 點力。由圖2-1可以看出,使節(jié)點2和節(jié)點3相關(guān)聯(lián)的單元有兩個, 即單元和單元,當(dāng)節(jié)點3發(fā)生單位位移時,通過單元和單元 同時在節(jié)點2上引起節(jié)點力,所以應(yīng)將相關(guān)單元作用在節(jié)點2上的節(jié) 點力相迭加,才能得到節(jié)點2上的節(jié)點力。由此可見,整體剛度矩陣中的子塊應(yīng)該是相關(guān)單元的單元剛度矩陣中相應(yīng)子塊的迭加。由此也可以知道,假如兩個節(jié)點并不直接相關(guān),則他們在整體剛度矩陣中的 子塊應(yīng)為零。根據(jù)以上所述,整體剛度矩陣的集成規(guī)則可簡述如下: 先對每個單元求出單元剛度矩陣ke,然后將其中的每個子塊kj 送到整體剛
13、度矩陣中的對應(yīng)位置上去,在同一位置上若有幾個單元的 相應(yīng)子塊送到,則進(jìn)行迭加以得到整體剛度矩陣的子塊從而形成整體 剛度矩陣K?,F(xiàn)在按此方法集成出圖2-1的整體剛度矩陣。圖中四 個單元的節(jié)點號以及其單元剛度矩陣的分塊形式列于表2-1。表2-1單元 號節(jié)點 號1, 2, 32, 4, 52, 5, 33, 5, 6keknk12k13k22k24k25k22k25k23k33k35k36k21k22k23k42k44k45k52k55k53k53k55k56k31k32k33k52k54k55k32k35k33&3k65k66將每個單元剛度矩陣的子塊分別送到整體剛度矩陣的對應(yīng)位置中 去,例如:單元
14、的子塊k23及單元的子塊k23都應(yīng)送到分 塊的整體剛度矩陣的第二行第三列中去,相迭加后得到 k23】。依此 類推,就可形成整體剛度矩陣K。1 234561匕1】%+k22+k23k24+k25k31+k32+k33+k35k36%k44k45十匕十k53k54十+%k56k63k65k6623K二 456為簡潔起見,式(2.5)中相迭加的子塊寫成k23以代替k23 g。在這里應(yīng)該指出,整體剛度矩陣K中每個是2子塊X 2階矩陣, 所以假如整體結(jié)構(gòu)分為N個節(jié)點,則整體剛度矩陣的階數(shù)是2NX 2N。 3載荷向量將式(2.5)代入式(2.2),則式(2.4)可寫成:F2Fk21%十k2d訝+k23|冋
15、十如厲十k25l鈿式(2.7)說明,節(jié)點2在整體結(jié)構(gòu)中為,三個單元所共 有,這三個單元上的1, 2, 3, 4, 5五個節(jié)點的位移都通過其相關(guān)聯(lián) 的單元,分別對節(jié)點2產(chǎn)生作用力,所以整體結(jié)構(gòu)上節(jié)點2的節(jié)點力 FJ就是這些作用力的迭加。根據(jù)靜力平衡原則,假如節(jié)點2上沒有外力載荷時,(2.7)式等號右邊各項迭加之和應(yīng)為零,而當(dāng)節(jié)點2上作用著已知的外加載荷時,則右邊各項之和就應(yīng)等于這外加載荷?,F(xiàn)在根據(jù)這個原則來分析圖2-1中的各個節(jié)點力。按圖2-1上所示,有:fPx2Px3f01F2二帶2 =Y,F(xiàn)3(,F(xiàn)5二 cI 0 ilPy3j10J而節(jié)點4帶有水平和垂直支承,其節(jié)點力為未知量,所以暫設(shè)F4=
16、;Qj,節(jié)點1帶有水平支承,水平節(jié)點力為未知量,而垂直方 向有作用力Py1,故F1=QX1、,節(jié)點6帶有垂直支承,水平方向無約 束,故什6=,這樣方程(2.3)的左邊項節(jié)點力向量就處理成:Qy6Qx1Py1Px20Px3Py3Qx4Qy4000I IQy6此式等號右邊統(tǒng)稱為載荷向量,以P代表之,于是式(2.3)可 改寫成:K、 =P 4支承條件的處理結(jié)構(gòu)的支承條件可分為兩類:、節(jié)點上有支承,使節(jié)點在一定方向上的位移為零二、節(jié)點位移為已知非零值。這兩種支承條件都應(yīng)使整個結(jié)構(gòu)不能有剛體位移。先研究第一種 支承情況。為了便于說明,另舉一最簡單的例子:設(shè)一結(jié)構(gòu)只有一個 單元,如圖2-4所示。在節(jié)點1上
17、作用有水平力Px1和垂直力Py1,而 在節(jié)點2,3上有鉸支承。對于這問題,整體的平衡方程式(2.8),就是單元的平衡式(1考慮到載荷狀況及支承條件,式(1.33)變成k11k12k13k14k15ki6UiPx1k26Vi中Tk21k22k23k24k25k311k32k33k34k35k36 0Qx2k46 0Qy21k41k42k43k44k45k51k52k53k54k55k60 Qx356x3k61k62k63k64k65k66 0Qy3其中需要求的基本未知量是Ui,Ui,為此只需在方程(2.9)中抽出 前兩行:kiiUi ki2Vi = Pxi k2lUik22W = Pyik11
18、k12 1卩加k21 k22 - v廠py或?qū)懗?由式(2.10)可解出ui,vi。將式(2.10)和式(2.9)相比較,可以看出,如果在式(2.9)中將剛度矩陣中和零位移相對應(yīng)的各行和同號的各列都劃去,同時將右邊載荷向量中的相應(yīng)元素,即未知的支承力也都劃去,就可以直接得 到式(2.10)。為了便于編寫計算程序,希望修改后的矩陣仍保留原 剛度矩陣的階數(shù)和排列順序,為此將式(2.10)擴大成如下形式:k11k1200001UPx1III1P 1|k21k220000|V1 ,Pw I1 001000 u20 !1H 1 000100 I 1 v2 丨0 11 0100010訶Il 3t0.000
19、001IV3J.0 節(jié)點號1231-+1000000K22K23K24K25K2620K33K34K35K360K44K45K4630對K55K560K664000000000000500稱60-0000004560000001lrU10、00K29K210K2110V1Py100K39K310K3110U2P200K49K410K4110V2000K59K510K5110U3Px300K69K610K6110*V3卜=陸100000U40010000V40K99K910K9110U50K1010K10110V50K11110U60000001一0顯然式(2.11)完全等效于(1.33)和支承
20、條件U2 =0,V2 =0,出=0,V3 =0。 所以當(dāng)支承條件是使節(jié)點位移為零時,對方程(2.8)進(jìn)行修改的 辦法是:在剛度矩陣K中找出和零位移對應(yīng)的行和列,將其主對角 線元素改為1,其它元素改為0,在載荷向量P中,將和零位移相對 應(yīng)的元素改為0。經(jīng)過這樣修改,式(2.8)就可以解出了。根據(jù)上述方法,圖2-1的平衡方程(2.8)可寫成(2.式。方 程(2.12)是個線性方程,其求解有成熟的方法這里不詳述。顯然, 有支承限制的U1,U4,V4,V6的解將是零。以上解決了有第一種支承條件時方程(2.8)的解法?,F(xiàn)在研究第 二種支承條件。設(shè)節(jié)點n的水平位移un為已知非零值b,則為了滿足Un 的條件
21、, 應(yīng)對式(2.8)中的第2n-1個方程作如下修改:將主對角線元素K2n,2n_4 乘以一個大數(shù)A,(例如A=108),將右邊項換成AK2n4,2njb,其余各項 保持不變,則式(2.8)中的第2n-1個方程改成為:K 2n 4,1 U1 K 2n 4,2 V1AK 2n 4,2n 4U n K 2n J,2nVn_ AK 2n 4,2n 4b式中除包含大數(shù)A的兩項外,其余各項相對都比較小,可以忽略不計, 于是十分近似的滿足了山二b的條件。 5非節(jié)點載荷的移置在方程(2.8)中載荷向量P的每個元素都是作用在節(jié)點上的載 荷,所以,假如結(jié)構(gòu)上受有不直接作用在節(jié)點上的載荷,則應(yīng)向節(jié)點移置,根據(jù)彈性力
22、學(xué)圣維南原理,這種移置若按靜力等效的原則進(jìn)行, 則因移置而引起的應(yīng)力差異只是局部的,不會影響整體的應(yīng)力分布。 所謂靜力等效是指原載荷和移置到節(jié)點的載荷在任何虛位移上所作 的虛功都相等。對于靜力等效原則的普遍應(yīng)用形式將在第四章討論, 而對于現(xiàn)在討論的三角形單元,由于是采用線性位移模式,此原則的 應(yīng)用是比較簡單的。例如有一均質(zhì)等厚度的三角形單元ijm (圖2-5), 其形心C上作用有垂直方向的重力載荷 W,顯然mb二bjbcJbi?,F(xiàn)3在來求出應(yīng)當(dāng)移置到各節(jié)點的載荷。先求應(yīng)當(dāng)移置到i節(jié)點的垂直載荷綣。假如節(jié)點i沿y方向作單位位移,而其余兩節(jié)點都不動,由于 三角形單元是采用線性位移模式,所以當(dāng)m,
23、j兩節(jié)點的位移為零時,b點的位移必然也是零,又由于bcJbi,所以當(dāng)i點的位移為1時,3c點的位移為1/3。按靜力等效原則原載荷 W的虛功應(yīng)當(dāng)?shù)扔赮i的虛 功,從而得到W,用同樣方法可得出Y -W和Yn =W,這333樣,就把不作用在節(jié)點的重力載荷移置到三個節(jié)點上去了。如果ij邊上受有水平方向的均布載荷 q,(圖2-6),ij邊長為s,1則根據(jù)同樣原則,將載荷移置到i, j節(jié)點上去,得Xj = Xj qsi j 2l又例如設(shè)單元ijm的ij邊長為,在ij邊上受有沿x方向的載荷 P ,(圖2-7),其作用點距i, j分別為 及Ij,用和上述相同的方法, ljli可將載荷P移置到節(jié)點i, j上得X P,X i =丄P。i Ij I 7輸入數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備以上介紹了用平面三角形
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