高等動(dòng)力學(xué)課件：lecture4_Angular-Momentum

1、 Lecture 4 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，質(zhì)點(diǎn)的速度為vi，在空間中取一點(diǎn)O，則該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩可表示為。如果質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度vi是在慣性坐標(biāo)系下的速度，慣性系下的動(dòng)量為pi，相對(duì)某一固定點(diǎn)O的位置矢量為ri， 且作用在各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的合力為Fi, 則有動(dòng)量矩定理根據(jù)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的劃分，將作用在質(zhì)點(diǎn)i上的力分解為外力和內(nèi)力，即：對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和，有根據(jù)內(nèi)力的性質(zhì)，和力系主矩的定義，有建立坐標(biāo)系分量形式動(dòng)量矩做平動(dòng)的剛體vO如下說(shuō)法是否正確？動(dòng)量矩是反映質(zhì)點(diǎn)系整體轉(zhuǎn)動(dòng)的特征量，因此，不做轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩一定為零？同時(shí)可以看出，

2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩不僅依賴于質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量（與質(zhì)量、速度、參考系相關(guān)），而且同時(shí)依賴于對(duì)距心O的選擇。顯然，對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩并不為零。關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩。設(shè)在慣性系中存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,在A點(diǎn)上建立一個(gè)平動(dòng)參考系A(chǔ)xyz。速度為vA。質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在慣性參考系中的速度為vi,相對(duì)于A平動(dòng)參考系的相對(duì)速度為vi。分析：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于動(dòng)點(diǎn)A的動(dòng)量矩與相對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩之間的關(guān)系。關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)i在兩個(gè)不同參考系中的速度關(guān)系 質(zhì)點(diǎn)系在平動(dòng)參考系中對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)系在慣性參考系下的動(dòng)量矩為位置矢量關(guān)系關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理利用以上關(guān)系，可得式中， roC為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心到固定點(diǎn)O的向

3、徑。如果動(dòng)點(diǎn)恰好取在質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心上： roA = roC證明：若質(zhì)心不動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)空間中的所有點(diǎn)的動(dòng)量矩均相同。因?yàn)橘|(zhì)心不動(dòng)，故p=0則Gc=Go , O in space.關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理對(duì)以上公式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：由于合并同類項(xiàng)后，有質(zhì)心動(dòng)量矩定理動(dòng)點(diǎn)A所在的參考系也是一個(gè)慣性系A(chǔ)點(diǎn)總是質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)心動(dòng)量矩定理：當(dāng)將質(zhì)點(diǎn)系等效為分析一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩的變化，等于質(zhì)點(diǎn)系的外力相對(duì)于質(zhì)心的力矩。 動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理：動(dòng)量矩守恒：顯然，如果外力對(duì)某一點(diǎn)的主矩為零，則，該質(zhì)點(diǎn)系的對(duì)該點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。例子1：兩人同時(shí)爬繩，A與B相對(duì)于繩子的速率分別為u1,和u2。假設(shè)兩人質(zhì)量相

4、同m1=m2，并且開(kāi)始時(shí)處于同一水平位置上。證明，在任何時(shí)刻兩人離地面的高度都相同，并求繩子移動(dòng)的速率。如果m1m2,且兩人向上爬的運(yùn)動(dòng)都是勻加速運(yùn)動(dòng)，初始位置離滑輪的高度分別為s1和s2。問(wèn)：需要多長(zhǎng)時(shí)間可以同時(shí)到達(dá)滑輪高度？例子1：分析對(duì)象：人，繩，滑輪。由于兩人質(zhì)量相同，外力對(duì)O點(diǎn)力矩為零，動(dòng)量矩守恒。設(shè)A的絕對(duì)速度為V1, B的絕對(duì)速度為V2, 則設(shè)繩的速度為u方向與v2相同如果兩人質(zhì)量不同，對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩為。根據(jù)動(dòng)量矩定理設(shè)同時(shí)到達(dá)的時(shí)間為t例子2：兩小球A與B由長(zhǎng)為l 的剛性直桿連結(jié)，放在沅滑水平面上，兩球質(zhì)量分別為m及2m，直桿的質(zhì)量忽略不計(jì)。開(kāi)始時(shí)，對(duì)A球施以沖擊，使它在水平面

5、內(nèi)具有與直桿垂直的速度u，而B(niǎo)球沖擊后的速度為零。在直桿轉(zhuǎn)過(guò)半圈時(shí)，從空中垂直跌落一質(zhì)量為m的泥塊P，并恰好粘附在小球A上。分析直桿與小球的運(yùn)動(dòng)。 例子2：系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程分為四個(gè)階段： Phase 1 對(duì)A點(diǎn)的沖擊過(guò)程 Phase 2 A點(diǎn)沖擊后的運(yùn)動(dòng)分析對(duì)象A與B兩球：題目給定VA=ui, VB=0動(dòng)量守恒，對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒動(dòng)量守恒 角速度（瞬時(shí)方向）表征兩質(zhì)點(diǎn)的速度變化。例子2：對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩守恒：初始動(dòng)量矩：動(dòng)量矩表示：Phase 3：碰撞階段分析對(duì)象：質(zhì)點(diǎn)系包括A,B和泥塊受力分析：沖擊力為內(nèi)力，無(wú)外部沖擊力力學(xué)特征：沖擊過(guò)程中動(dòng)量守恒碰撞前后的動(dòng)量相同。例子2：Phase 4:

6、碰撞前后的運(yùn)動(dòng)特征； 對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩相同。碰撞后系統(tǒng)初始相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩碰撞后質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量矩小問(wèn)題：如果直接選擇空間固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，確定和。兩式聯(lián)立：例子2：ABOCCxy選擇開(kāi)始時(shí)刻質(zhì)心位置為動(dòng)量矩計(jì)算的距心：在t時(shí)刻A點(diǎn)的位置和速度t時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩B點(diǎn)的位置和速度根據(jù)公式計(jì)算然后，根據(jù)動(dòng)量矩守恒條件，即可進(jìn)行計(jì)算。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是在平均意義上描述復(fù)雜系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)規(guī)律的普遍原理（在牛頓定律的框架下）。如果能夠明確組成質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用規(guī)律，那么，在能夠利用動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理描述質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)宏

7、觀整體行為的同時(shí)，也可以預(yù)測(cè)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)行為。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間的剛性約束，使得各質(zhì)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)作用可以用一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)量（角速度）來(lái)描述，從而大大簡(jiǎn)化了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)方程的描述。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量矩剛體上一點(diǎn)的速度在剛體上取一微小單元體，組成更小的質(zhì)點(diǎn)系。該微小單元體可近似的表示為：具有：質(zhì)量 m 位置矢量 r該微小單元的平均速度： v= r = () k微小單元體對(duì)z軸的動(dòng)量矩為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量矩整個(gè)剛體繞Z軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：引入一個(gè)新的物理量（只與剛體的幾何形狀和質(zhì)量分布有關(guān)）可得到：剛體繞某一軸做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，對(duì)該軸的動(dòng)量矩，可表示為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算半徑

8、為R,質(zhì)量為M的均質(zhì)圓環(huán)，繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為M的均質(zhì)細(xì)桿繞一端轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量z x dm平行移軸定理剛體對(duì)OZ軸的慣量矩C點(diǎn)為質(zhì)心y剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩由于是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故Gz是慣性系下的定向矢量，可直接應(yīng)用動(dòng)量矩定理引入一個(gè)新的物理量：回轉(zhuǎn)半徑剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，等效為質(zhì)量為M的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，繞回轉(zhuǎn)軸z做半徑為k的圓周運(yùn)動(dòng)。例子1：飛輪半徑為R，迥轉(zhuǎn)半徑為k，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為。在制動(dòng)桿上加一力大小為F，飛輪轉(zhuǎn)了n轉(zhuǎn)后停止。設(shè)l與b已知。求制動(dòng)塊B與輪邊之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù) 例子:分析對(duì)象：制動(dòng)桿動(dòng)力學(xué)方程：制動(dòng)桿處于平衡狀態(tài)摩擦力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程最終計(jì)

9、算結(jié)果BAfN例子2：復(fù)擺MgOA設(shè)剛體可繞一水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，C為剛體的質(zhì)心。求此復(fù)擺的微振動(dòng)周期。 例子2：復(fù)擺動(dòng)量矩定理令質(zhì)點(diǎn)單擺的振動(dòng)微分方程復(fù)擺的折合長(zhǎng)度 擺動(dòng)中心的可逆性：沿OC方向取OA=lo, A點(diǎn)為擺動(dòng)中心。如果以A為轉(zhuǎn)動(dòng)中心，則OMg單擺折合長(zhǎng)度loA可見(jiàn)，以A為轉(zhuǎn)動(dòng)中心時(shí)的折合長(zhǎng)度等于以O(shè)為轉(zhuǎn)動(dòng)中心時(shí)的折合長(zhǎng)度。C三線擺三條長(zhǎng)度均為l 的堅(jiān)直繩子，等距離地與圓盤相聯(lián)，將圓盤水平地懸掛起來(lái)。在圓盤上放一質(zhì)量為M1的物體，它繞中心堅(jiān)直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。通過(guò)圓盤的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)周期求出J。已知圓盤的質(zhì)量為M0，它繞中心堅(jiān)直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，它單獨(dú)作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)的周期為T0。 三線擺單根繩作用在z軸上的外力矩：在豎直方向上，力系的主向量為零， 圓盤單獨(dú)作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí) 作用在剛體上繞z軸的合外力矩被測(cè)量物體繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)量矩守恒一薄板放在光滑水平面上，它可繞一固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)。板的質(zhì)