全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽c題

1、全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽c題輸油管的布置模型摘要建造煉油廠時要綜合各方面的情況，對輸油管線作周 密的布置，因?yàn)檩斢凸芫€的不同布置將直接影響總費(fèi)用的 多少。某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，為了方 便運(yùn)送成品油，需在鐵路線上增建一個車站。此種模式具 有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省 的一般數(shù)學(xué)模型與方法。對于問題1,綜合考慮鋪設(shè)時，不同生產(chǎn)能力造成的 輸油管線標(biāo)準(zhǔn)不同和是否有共用管線以及共用管線與非共 用管線費(fèi)用同異等問題，建立模型：min Z . (x a1)2 (b1 y)2 m . (x a2)2 (b1 y)2 p y n結(jié)合模型建立過程的流程圖，用圖形結(jié)合法和比較分

2、析法 來確定可能出現(xiàn)的各種情形，通過賦值，得出不同情況下 的最優(yōu)化模型。對于問題2,考慮到城區(qū)必須的拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，建立優(yōu)化模型：min Z (,x2 (a y)2.(x c)2 (y y。)2) m . (l c)2 (b y。)2 (m k) y m用Lingo軟件求解，得出：車站應(yīng)建在離煉油廠 A所在線 5.45km,且共用管線1.85km時費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為 Zmin 282.70 (萬元)。對于問題3,是在問題2的基礎(chǔ)上，做進(jìn)一步改進(jìn)，將問題2中的特殊模型一般化，建立優(yōu)化模型：.r222222min Z . x (a y)mi( (x c) (yy0)m?. (l c)

3、(by)(m2k) ym3用Lingo軟件求解，得出：車站應(yīng)建在離 A煉油廠所在線6.73km,且共用管線0.14km時費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為：Zmin 252.00 (萬元)。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合Lingo程序 優(yōu)化方案 最小費(fèi)用1、問題的提出基本情況某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠同時在鐵路線上增建一個車站，用來運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省 的一般數(shù)學(xué)模型與方法。相關(guān)信息(1)附圖一：兩煉油廠的具體位置。(2)附表一：不同工程咨詢公司對拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用的估算情況?；疽?1)在兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離確定的情況下，提出的方

4、案要滿足費(fèi)用最省。(2)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形，確定實(shí)際生活中是 否需要共用管線。(3)在考慮城區(qū)附加費(fèi)用的情況下，更好的綜合三家工程咨詢公司的估算結(jié)果，使拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用最合理。(4)根據(jù)煉油廠生產(chǎn)能力的強(qiáng)弱，選用相適應(yīng)的輸油管，進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用。需要解決的問題(1) 一般類型。針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形， 提出你的設(shè)計(jì)方案。在方案設(shè)計(jì)時，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管 線費(fèi)用相同或不同的情形。(2)復(fù)雜情形。在給定兩煉油廠的具體位置由附圖一所示，其中A廠位于郊區(qū)(圖中的I區(qū)域)，B廠位于城區(qū)(圖中的II區(qū)域)，兩個區(qū)域

5、的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離(單位：千米)分別為 a = 5,b = 8,c = 15, l =20o若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米 7.2萬元。鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對此項(xiàng)附加費(fèi)用進(jìn)行估計(jì)，聘請三家工程咨詢公司(其中公 司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì))進(jìn)行了估算，估算結(jié)果見附表 一。要求為設(shè)計(jì)院給出管線布置最優(yōu)方案及相應(yīng)最省的費(fèi)用。(3)具體設(shè)計(jì)。在實(shí)際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費(fèi)用為

6、每千米 7.2萬元，拆遷等 附加費(fèi)用同上。要求給出管線最佳布置方案及相應(yīng)最省的費(fèi)用。2、模型的建立與求解問題1的解答問題的分析已知條件中只告知我們兩煉油廠在鐵路線的同一側(cè)，而其到鐵路線的距離是個未知數(shù)，所以先從距離的不同這方面入手，列出所有可能的情況由于共用管線的輸油量較大，需考慮其與非共用管線費(fèi)用相同、不同的情形，經(jīng)分析得出，先從煉油廠A、B兩輸油管線鋪設(shè)費(fèi)用是否相同入手，冉分別討論是否有共 用管線開始求解。模型假設(shè)和符號說明（1）模型假設(shè)所有結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位。不考慮輸油管的熱脹冷縮。在整個輸油線路均為單管線輸送。A、B兩煉油廠所在地的地質(zhì)結(jié)構(gòu)和施工條件相同煉油廠選址在出油量相對較大的地

7、方。（2）模型的符號說明符號意義aiA煉油廠所在位置的橫坐標(biāo)biA煉油廠所在位置的縱坐標(biāo)a2B煉油廠所在位置的橫坐標(biāo)b2B煉油廠所在位置的縱坐標(biāo)mA煉油廠輸油管線的鋪設(shè)費(fèi)用（萬元/千米）PB煉油廠輸油管線的鋪設(shè)費(fèi)用（萬元/千米）n共用輸油管線的鋪設(shè)費(fèi)用（萬元/千米）x車站所在位置的橫坐標(biāo)y兩煉油廠交匯點(diǎn)的橫坐標(biāo)Z總費(fèi)用(萬元)2.1.3模型建立和討論;流程圖為;、當(dāng)m p時:(1)無共用管線實(shí)際生活中有如下三種情況：(A表示A煉油廠，B表示B煉油廠，C表示車站)現(xiàn)設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)，A(a1，bi),B( a2, b2),C( x,o),由于m p ,所以建立總費(fèi)用最少的優(yōu)化模型可為：min Z (.

8、 (x a1)2 b12. (x a2)2 b；) ms.t.aix a2假定A(5,8) , m p 7.2保持不變，通過改變B點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證上述三個圖形來確 定最優(yōu)模型。對于圖1,令B(7,8),用Lingo軟件1求的Zm. =116.10(萬元)對于圖2,令B(7,5),用Lingo軟件求的Zm. =94.70(萬元)對于圖3,令B(7,10),用Lingo軟件求的Zm. =130.40(萬元)求解程序見附錄1;經(jīng)比較，在相同條件下，圖2所示布置方案最省費(fèi)用，相應(yīng)模型為：min Z ( . (x a)2 b2. (x a?)2 b2) ms.t. a1 x a2有共用管線情形一：當(dāng)共用管線

9、費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用不同(即 n pm)時，實(shí)際生活中有如下四種情 況：現(xiàn)設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)A(ai,bi), B(a2,b2), C(x,o), E ( x ,y)；由于mp所以建立模型可為：min Z ( . (x a)2 (4 y)2, (x a?)2 M y)2) m y na1x a2s.t0 y min(b|,b2)假定A (5, 8) , m p 6, n 7.2保持不變，通過改變B點(diǎn)坐標(biāo)，驗(yàn)證上述四個圖形來確定最優(yōu)模型。對于圖4令B (5, 5)用Lingo軟件求得Zm. =54.00(萬元)；對于圖5令B (7, 8)用Lingo軟件求得Zm. =67.20(萬元)；對于圖6令B (

10、7, 10)用Lingo軟件求得Zm. =74.57(萬元)；對于圖7令B (7, 5)用Lingo軟件求得Zm. =57.63(萬元)；求解程序見附錄1 經(jīng)比較，在相同情況下，圖4所示布置方案最省費(fèi)用相應(yīng)模型為：min Z 出 y b2 y) m y ns.t 0 y min(b1,b2)情形二： 當(dāng)共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同(即m p n)時，在情形一的基礎(chǔ)上，得最優(yōu)模型為： minZ (bi y b2 y y) m 實(shí)際生活中可根據(jù)輸油管線的費(fèi)用確定有共用管線時，情形一、情形二的最優(yōu)解。s.t0 y min(b1,b2)二、當(dāng)m p時(1)無共用管線也有圖1、圖2、圖3三種模型，建

11、立如下優(yōu)化模型：min Z (x a1)2 b2 m . (x a2)2 b2 ps.t. a1 x a2假定A(5,8) , m 6, p 7保持不變，通過改變B點(diǎn)坐標(biāo)，用上述三個非共用管 線圖形來確定最優(yōu)模型：對于圖1令B (7, 8)用Lingo軟件求得Zmin =104.80 (萬元)對于圖2令B (7, 5)用Lingo軟件求得Zm. =83.97 (萬元)對于圖3令B (7, 10)用Lingo軟件求得Zm. =118.72 (萬元)求解程序見附錄2;經(jīng)比較，在相同條件下，圖2所示布置方案最省費(fèi)用，得出費(fèi)用最少的優(yōu)化模型為min Z . (x a)2 b2 m . (x a?)2

12、bf pst a1 x a2(2)有共用管線由于前提已經(jīng)限制了 m p ,故排除共用管道費(fèi)用與非共用管道費(fèi)用相同的情況；得出模型：min Z . (xaI)2(b1y)2m . (xa2)2(b2y)2p y na1 x a2s.t 120 y min(b,b2)假定A(5,8) , m 6 , p 7 , n 7.2保持不變，通過改變B點(diǎn)坐標(biāo)，用上述的四 個共用管線圖形來確定最優(yōu)模型：對于圖4令B (5, 5)用Lingo軟件求得Zm. =54.00 (萬元)對于圖5令B (7, 8)用Lingo軟件求得Zmin =68.32 (萬元)對于圖6令B (7, 10)用Lingo軟件求得Zm.

13、=77.40 (萬元)對于圖7令B (7, 5)用Lingo軟件求得Zm. =57.63 (萬元)比較得出費(fèi)用最少的優(yōu)化模型：在給定條件下，圖4所示布置方案最省費(fèi)用得出費(fèi)用最少的優(yōu)化模型為：min Z (x a1)2匕2 m . (x a?)2 b2 pa1 x a2st 120 y min(b|,b2)2.1.4模型評價優(yōu)點(diǎn)：(1)在不考慮地理位置的情況下，可將管線布置方案的范圍縮小。(2)本文建立的數(shù)學(xué)模型有相應(yīng)的專用 Lingo軟件支持，容易推廣。(3)考慮到了煉油廠的實(shí)際生產(chǎn)能力這一實(shí)際問題。建議：考慮到生活中地理位置的不同，需要對該模型作進(jìn)一步改進(jìn)，為油田設(shè) 計(jì)院提供更精確的方案。2

14、.2 問題2的模型2.2.1問題的分析：題中給定了煉油廠A和煉油廠B的位置，將A B分別布置在郊區(qū)和城區(qū)，而城區(qū)鋪建管線時要考慮拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，從附圖和相關(guān)數(shù)據(jù)的顯示情況可知，郊區(qū)范圍是城區(qū)范圍的3倍。車站若建在城區(qū)內(nèi)，附加費(fèi)用明顯增多，從而確定 車站建在郊區(qū)內(nèi)。然后從有無共用管線兩方面入手建立線性規(guī)劃模型，利用 Lingo軟 件求出符合條件的最優(yōu)解，再結(jié)合實(shí)際情況得出結(jié)論。(1)模型假設(shè)：不考慮輸油管的熱脹冷縮。在整個輸油線路均為單管輸送。甲級資質(zhì)公司估算準(zhǔn)確率占50%乙級資質(zhì)的兩家公司估算準(zhǔn)確率各占 25%.假設(shè)郊區(qū)與城區(qū)均為平坦地帶，不考慮其他地理?xiàng)l件因素。(2)模型符號說明：

15、符號意 義a煉油廠A到鐵路線的距離b煉油廠B到鐵路線的距離cA煉油廠距城區(qū)分界線的距離lA、B兩煉油廠間的距離x車站所在位置的橫坐標(biāo)y兩煉油廠交匯點(diǎn)所在位置的縱坐標(biāo)V。有共用管線時B煉油廠與城區(qū)分界線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)yi無共用管線時B煉油廠與城區(qū)分界線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)m所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用(萬元/km)n拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用(萬元/km)d3A煉油廠到兩煉油廠交匯點(diǎn)的距離di煉油廠B與城區(qū)分界線的交點(diǎn)F到兩煉油廠的交匯點(diǎn)E的距離d2煉油廠B與城區(qū)分界線的交點(diǎn)F到煉油廠B的距離Z總費(fèi)用2.2.3模型建立與求解情形一:有共用管線時以鐵路線所在直線為x軸，過煉油廠A與鐵路線垂直的線為y軸建立如下坐標(biāo)系:：

16、A( 0, a),B( l , b),由題中數(shù)據(jù)確定各點(diǎn)坐標(biāo)D(l , 0), H(c, 0),設(shè)：C(x, 0),E(x, y)F(cV。)，G(c, y)在 CDB 中,依據(jù)相似定理得：黑黑即c x yi l x b整理得:yib (cl xx)di、2/、2x c) (y y。)d2 (l c)2 (b y。)2d322x (a y)目標(biāo)函數(shù)：minZ (d3 d1)m d2 (m k) y m0 xcs.t 0 y ayiy0 b卜面確定附加費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費(fèi)用（萬元/212420估算準(zhǔn)確度50%25%25%綜合各家公司的估算結(jié)果得到附加費(fèi)用k=21.5萬元

17、/千米;將數(shù)值代入模型用Lingo軟件求得Zmin =282.70 萬元情形二：無共用管線這種情形只需令情形一中的y=0;求解的Zmin =284.54萬元求解過程見附錄32.2.4最佳結(jié)論分析比較兩種情形的計(jì)算結(jié)果，得到的最佳結(jié)果為下圖所示:即車站應(yīng)建在離A煉油廠所在線5.45km,距離B煉油廠所在線14.55km,且共用管線1.85km時費(fèi)用最少，Zmin 282.70 （萬元）2.2.5 模型的評價優(yōu)點(diǎn)：（1）本文建立的數(shù)學(xué)模型有相應(yīng)的專用Lingo軟件支持，容易推廣。（2）具有普遍特性，在給定煉油廠的位置后，在綜合考慮輸管線費(fèi)用和附加費(fèi)用的情況下，即可確定最省布置方案。（3）很好的反映

18、了實(shí)際鋪建時是否需要共用管線。建議：結(jié)合實(shí)際生活中的條件，對附加費(fèi)用作更精確的估算。2.3問題三的模型問題的分析題目要求在“該實(shí)際問題中”，則是在問題（2）的模型基礎(chǔ)上作進(jìn)一步改進(jìn)，要求改變各輸油管線的費(fèi)用。模型假設(shè)和符號說明（同問題（2）的模型）對符號說明稍作補(bǔ)充符號意義miA煉油廠輸油管線的費(fèi)用（萬元/千米）m2B煉油廠輸油管線的費(fèi)用（萬元/千米）mh共用輸油管線的費(fèi)用2.3.3模型建立在模型（2）的基礎(chǔ)上稍加改進(jìn)用如下模型：minZ d3 5 d1 m2 d2 （m2 k） y m30 x cs.t 0 y a yiNo b代入數(shù)值用Lingo原件求得Zmin 252.00 （萬元）求解

19、過程見附錄4最佳結(jié)論由結(jié)果數(shù)據(jù)分析如圖布置輸油管線最節(jié)省費(fèi)用：即車站應(yīng)建在離A煉油廠所在線6.73km,距離B煉油廠所在線13.27km,且共用管線0.14km時費(fèi)用最少，Zmin 252.00 （萬元）模型的評價優(yōu)點(diǎn)：(1)該模型綜合考慮了煉油廠的生產(chǎn)能力，選擇了相適應(yīng)的輸油管，使管線鋪設(shè)費(fèi)用在一定程度上有所節(jié)省。(2)很好的反映了實(shí)際鋪建時是否需要共用管線。(3)提出的方案具有一定的實(shí)用價值，可為管線的規(guī)劃設(shè)計(jì)、可行性研究以及 經(jīng)濟(jì)評價提供依據(jù)。建議：結(jié)合實(shí)際生活中的條件，對附加費(fèi)用作更精確的估算。3、參考文獻(xiàn)11謝金星.優(yōu)化建模與LINDO/LINGOB件.北京：清華大學(xué)出版社，2005.7。附表工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費(fèi)用(萬元/千米)212420附錄1:一、當(dāng)m p時:無共用管線圖1model:min=(x-a1)A2+b1A2)A(1/2)+(x-a2)A2+b2A2)A(1/2)*m;x=a1;x=a1;x=a1;x=0;y=a1;x=0;x=0;yy1;y0=0;x=0;yy1;y0=b;a=5;b=8;c=15;l=20;m1=5.6;m2=6.0;m3=7.2;k=21.5;end40251.9685Local optimal solution found at iteration:Objective value:VariableValue