幾種常見的二次曲面解析課件

1、第四節(jié) 幾種常見的二次曲面一、問題的提出二、柱面四、旋轉(zhuǎn)曲面八、一般的二次曲面九、小結(jié)與思考判斷題三、錐面五、橢球面六、雙曲面七、拋物面7/24/20221一、問題的提出 (Introduction)三元二次方程表示的曲面，稱為二次曲面。如球面1）對稱性：關(guān)于坐標(biāo)面，坐標(biāo)軸2）存在范圍3）曲面與坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的關(guān)系 用平行于坐標(biāo)面的平面去截曲面，由所得截痕來勾畫曲面的大體形狀及如下一些特性。二次曲面的研究方法：(不能用描點法，而用截痕法)7/24/20222二、柱面1、柱面的定義： 一般地，平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面。 動直線L叫做柱面的母線，定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線

2、。 LC7/24/202231）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于 z 軸的柱面，其準(zhǔn)線為 xoy 面上的曲線例1、 表示怎樣的曲面？也是圓柱面。是平面，解：也是柱面。母線平行于 z 軸，準(zhǔn)線為 xoy 面上的曲線（圓） 的圓柱面。7/24/202242）一般地，只含 x, z 而缺 y 的方程 G(x, z)=0在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于 y 軸的柱面，其準(zhǔn)線為 xoz 面上的曲線例2、 表示怎樣的曲面？母線平行于 y 軸，準(zhǔn)線為 xoz 面上的曲線（拋物線） 的拋物柱面。解：7/24/202252、練習(xí)題: 下列方程在平面、空

3、間直角坐標(biāo)系中各表示什么圖形，并畫出其草圖。3）一般地，只含 y, z 而缺 x 的方程 H(y, z)=0在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于 x 軸的柱面，其準(zhǔn)線為 yoz 面上的曲線7/24/20226三、錐面橢圓錐面：特殊情形：當(dāng) a = b 時，此時為圓錐面。oxy z 曲面與平面 z = t 相交，得截痕為不同高度、不同大小的橢圓：7/24/202271 、定義：以一條平面曲線繞該平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。這條直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸。旋轉(zhuǎn)的曲線稱為母線。四、旋轉(zhuǎn)曲面7/24/202282、 旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法 ： 把該曲線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周，得一個以 z 軸為軸的旋

4、轉(zhuǎn)曲面。坐標(biāo)平面上有一已知曲線C，1）設(shè)在為曲線C上的任意一點，則有7/24/20229當(dāng)曲線C繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時，點也繞 z 軸轉(zhuǎn)動到點M到 z 軸的距離此即為所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。M7/24/202210注：求旋轉(zhuǎn)曲面的方程的技巧：在曲線C 的方程 的第一個方程中，只要將 y 改成z 不變，便得曲 同理，曲線C繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：線C繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。7/24/2022112）xoy 面上的曲線C ：繞 x 軸繞 y 軸3）zox 面上的曲線C ：繞 x 軸繞 z 軸7/24/202212xyz0直線L解：旋轉(zhuǎn)面為即7/24/202213例4 xoy 面上的

5、橢圓繞 x 軸轉(zhuǎn)得曲面：繞 y 軸轉(zhuǎn)得曲面： zox 面上的雙曲線繞 z 軸轉(zhuǎn)得曲面：繞 x 軸轉(zhuǎn)得曲面：旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面7/24/202214例5思考：方程 表示怎樣的曲面？是怎樣形成的？或 xyz0解：是由1、怎樣形成？2、什么曲面？z7/24/202215xy z五、橢球面 特殊情形： 當(dāng) a=b=c 時，此時為球面7/24/202216 當(dāng) a=b 時，此時為旋轉(zhuǎn)曲面 當(dāng) a=c 時，此時為旋轉(zhuǎn)曲面 當(dāng) c=b 時，此時為旋轉(zhuǎn)曲面7/24/2022171、單葉雙曲面oxyz當(dāng) a=b 時為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。六、雙曲面 7/24/2022187/24/202

6、2192、雙葉雙曲面或者xyz0當(dāng) a=c 時為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面。7/24/2022201、 橢圓拋物面xyz(0,0,0)a=b 時，成為旋轉(zhuǎn)拋物面。七、拋物面7/24/2022212、 雙曲拋物面（馬鞍面）也是雙曲拋物面。 xzyo7/24/202222八、一般的二次曲面 在研究一般的二次曲面時，要利用坐標(biāo)變換將其方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程。1、坐標(biāo)系的平移 坐標(biāo)系的平移只改變原點的位置，不改變坐標(biāo)軸的方向和單位長度。7/24/202223 設(shè) 為原始坐標(biāo)系， 是空間一點，將原坐標(biāo)系原點 平移到 得新坐標(biāo)系 。 若點P在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（x, y, z），在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（X, Y, Z），則或坐標(biāo)系平移時坐標(biāo)變換公式7/24/202224例6 用坐標(biāo)系的平移化去方程的一次項。解：將方程變形為：取平移變換：則方程變?yōu)椋簽樾D(zhuǎn)橢球面7/24/2022252、坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)（略）7/24/202226例7、指出下列方程所表示的曲面。(1)(2)(3)(4)7/24/202227(5)(6)(7)(8)7/24/202228(9)(12)(10)(11)7/24/202229九、小