高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題17《利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值》講義及答案

1、專題17 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值一、多選題 1下列命題正確的有（ ）A已知且，則B，則C的極大值和極小值的和為D過(guò)的直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是2對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A在處取得極大值B有兩個(gè)不同的零點(diǎn)CD若在上恒成立，則3已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中為真命題的是（ ）A的單調(diào)減區(qū)間是B的極小值是6C過(guò)點(diǎn)只能作一條直線與的圖象相切D有且只有一個(gè)零點(diǎn)4材料：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教材中，對(duì)“初等函數(shù)”給出了確切的定義，即由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，且能用一個(gè)式子表示的，如函數(shù)，我們

2、可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù).根據(jù)以上材料，對(duì)于初等函數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）A無(wú)極小值B有極小值C無(wú)極大值D有極大值5設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，則下列結(jié)論不正確的是（ ）A在單調(diào)遞增B在單調(diào)遞增C在上有極大值D在上有極小值6已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中真命題的為（ ）A的單調(diào)減區(qū)間是B的極小值是C當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的且，恒有（a）（a）D函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)二、單選題7設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）A有極大值B有極小值C有極大值D有極小值8下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）的解集是；是極大值，是極小值；沒(méi)有

3、最大值，也沒(méi)有最小值；有最大值，沒(méi)有最小值；有最小值，沒(méi)有最大值.A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)9函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)；y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調(diào)遞增；-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)；y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號(hào)是（ ）ABCD10已知函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D411設(shè)函數(shù)，則（ ）A有極大值且為最大值B有極小值，但無(wú)最小值C若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則D若方程恰有一個(gè)實(shí)根，則三、解答題12已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.13設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)

4、，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.14（1）已知，若，且圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求的值.（2）求函數(shù)在上的極值.15已知函數(shù).(1)若函數(shù)，求函數(shù)的極值；(2)若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.16已知函數(shù)，（其中）.（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.（說(shuō)明：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）17已知函數(shù)，（1）設(shè)，求函數(shù)的極值；（2）若，試研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)18已知函數(shù)，在時(shí)取得極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19已知函數(shù)，是奇函數(shù).（1）求的表達(dá)式；（2）求函數(shù)的極值.20已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）

5、當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（3）當(dāng)時(shí)，若當(dāng)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21已知函數(shù)(aR).（1）討論的極值；（2）若a2，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.23函數(shù).（1）求的極大值和極小值；（2）已知在區(qū)間D上的最大值為20，以下3個(gè)區(qū)間D的備選區(qū)間中，哪些是符合已知條件的？哪些不符合？請(qǐng)說(shuō)明理由.；24已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極小值；（2）關(guān)于的不等式在上存在解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.25已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）設(shè)，若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍26已知函數(shù)的極大值為2.（1）求a的值

6、和的極小值；（2）求在處的切線方程.27已知函數(shù).（1）討論的極值；（2）若方程在上有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.28設(shè)函數(shù)，其中，均為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求，的值；（2）求函數(shù)的極值.29已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若，試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).30如圖，等腰梯形中，BC中點(diǎn)為O，連接DO，已知，設(shè)，梯形的面積為；（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求的極值；（3）若對(duì)定義域內(nèi)的一切都成立，求的取值范圍.專題17 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值一、多選題1下列命題正確的有（ ）A已知且，則B，則C的極大值和極小值的和為D過(guò)的直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是【答案

7、】ACD【分析】由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍；利用指對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法求；利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計(jì)算極值之和即可；由直線與有三個(gè)交點(diǎn)，即可知有兩個(gè)零點(diǎn)且不是其零點(diǎn)即可求斜率范圍.【詳解】A選項(xiàng)，由條件知且，所以，即；B選項(xiàng)，有，而；C選項(xiàng)，中且開(kāi)口向上，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)且、，即為兩個(gè)極值點(diǎn)，所以；D選項(xiàng)，令直線為與有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)即可，解得故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，由函數(shù)交點(diǎn)情況求參數(shù)范圍，屬于難題.2對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A在處取得極大值B有兩個(gè)不同的零點(diǎn)CD若在上恒成立，則【答案

8、】ACD【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，可判定A正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，且時(shí)， ，可判定B不正確；由函數(shù)的單調(diào)性，得到，再結(jié)合作差比較，得到，可判定C正確；分離參數(shù)得到在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，由于，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以C正確

9、；由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問(wèn)題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問(wèn)題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題3已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中為真命題的是（ ）A的單調(diào)減區(qū)間是B的極小值是6C過(guò)點(diǎn)只能作一條直線與的圖象相切D有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】求出函數(shù)

10、的導(dǎo)數(shù)，即可得出其單調(diào)性和極值，從而判斷ABD的真假，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可判斷C的真假【詳解】因?yàn)?，令，得或，則在，上單調(diào)遞增；令，得，則在上單調(diào)遞減所以極小值為，極大值為，而，故存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B、D正確；設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與的圖象相切，切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線方程為將代入，得令，則，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減因?yàn)?，所以方程只有一解，即過(guò)點(diǎn)只能作一條直線與的圖象相切，故C正確故選：BCD【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題4材料：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型

11、，在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教材中，對(duì)“初等函數(shù)”給出了確切的定義，即由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，且能用一個(gè)式子表示的，如函數(shù)，我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù).根據(jù)以上材料，對(duì)于初等函數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）A無(wú)極小值B有極小值C無(wú)極大值D有極大值【答案】AD【分析】將函數(shù)的解析式變形為，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的極值，由此可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)材料知：，所以，令得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以有極大值且為，無(wú)極小值.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，同時(shí)也

12、考查了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，則下列結(jié)論不正確的是（ ）A在單調(diào)遞增B在單調(diào)遞增C在上有極大值D在上有極小值【答案】AC【分析】首先根據(jù)題意設(shè)，得到，再求出的單調(diào)性和極值即可得到答案.【詳解】由得，則即，設(shè)，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值.故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，同時(shí)考查了構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題.6已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中真命題的為（ ）A的單調(diào)減區(qū)間是B的極小值是C當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的且，恒有（a）（a）D函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】由，知，令，得，分別求出函數(shù)的極大值和

13、極小值，知錯(cuò)誤，正確；由，且，令利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，再根據(jù)切割線的定義即可判斷，故正確；【詳解】解：，其導(dǎo)函數(shù)為令，解得，當(dāng)時(shí)，即，或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤，正確；令，則故在上，即在上單調(diào)遞增，根據(jù)切割線的定義可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒有，即對(duì)任意的，恒有，即，故正確；故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，以及不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用二、單選題7設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

14、 ）A有極大值B有極小值C有極大值D有極小值【答案】A【分析】由函數(shù)的圖象，可得時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.由此可得函數(shù)的單調(diào)性，則答案可求.【詳解】解：函數(shù)的圖象如圖所示，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.有極大值.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.8下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）的解集是；是極大值，是極小值；沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值；有最大值，沒(méi)有最小值；有最小值，沒(méi)有最大值.A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B【分析】直接不等式可判斷；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求函數(shù)的極值，可判斷；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值可判斷【詳

15、解】解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以正確；由，得，令，則，解得或，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以是極小值，是極大值，所以錯(cuò)誤；因?yàn)槭菢O小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，而是極大值，所以有最大值，沒(méi)有最小值，所以正確，錯(cuò)誤，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)極值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題9函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)；y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調(diào)遞增；-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)；y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.以上正確命題的序號(hào)是（ ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判定導(dǎo)函數(shù)的

16、符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值點(diǎn)，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的切線斜率【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，在時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故正確；則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故正確；在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故不正確；函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)大于，切線的斜率大于零，故不正確.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其中利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性的步驟為：1. 先求出原函數(shù)的定義域； 2. 對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)；3. 令導(dǎo)數(shù)大于零；解出自變量的范圍；該范圍即為該函數(shù)的增區(qū)間；同理令導(dǎo)數(shù)小于零，得到減區(qū)間；4. 若定義域在增區(qū)間內(nèi)，則

17、函數(shù)單增；若定義域在減區(qū)間內(nèi)則函數(shù)單減，若以上都不滿足，則函數(shù)不單調(diào)10已知函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析】令，討論的取值范圍：當(dāng)時(shí)或當(dāng)時(shí)，可得或，討論的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可求解.【詳解】令，則，（1）當(dāng)時(shí)，即，即.當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解.當(dāng)時(shí)，；，且.當(dāng)時(shí)，而，所以方程無(wú)解.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，即.當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解.當(dāng)時(shí)，所以無(wú)解.綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了計(jì)算求解能力，屬于中檔題.11設(shè)函數(shù)，則（ ）A有極大值且為最大值B有極小值，但無(wú)最小值C若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則D若方程恰有一個(gè)實(shí)

18、根，則【答案】C【分析】求導(dǎo)后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，；、，畫(huà)出函數(shù)圖象草圖后數(shù)形結(jié)合逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，再由，可畫(huà)出函數(shù)圖象草圖，如圖，由圖象可知，為函數(shù)的極大值但不是最大值，故A錯(cuò)誤；為函數(shù)的極小值，且為最小值，故B錯(cuò)誤；若要使有3個(gè)實(shí)根，則要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，故C正確；若要使恰有一個(gè)實(shí)根，則要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象僅有1個(gè)交點(diǎn)，則或，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和推理能力，屬于中檔題.三、解答題12已知函數(shù).（1）若，求在區(qū)間上的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.

19、【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）答案見(jiàn)解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）求得，分和兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以，列表；單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增所以，在區(qū)間上的有極小值，無(wú)極大值；（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，從而；若，則，從而.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通常以下幾個(gè)方面：（1）

20、求導(dǎo)后看函數(shù)的最高次項(xiàng)系數(shù)是否為，需分類討論；（2）若最高次項(xiàng)系數(shù)不為，且最高次項(xiàng)為一次，一般為一次函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)方程的根；（3）對(duì)導(dǎo)數(shù)方程的根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可得出函數(shù)的單調(diào)性.13設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值為；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)判斷單調(diào)性、即可求得極值；（2）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)得符號(hào)判斷出的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，考慮函數(shù)得最小值，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，找到函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）的定義域是，當(dāng)時(shí)，.令，得或（舍）.所以

21、在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得極小值，極小值為.無(wú)極大值（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.令，得，當(dāng)，的最小值為，即有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的最小值為，且，即不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的最小值，又，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，令，則，解得，可知在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的

22、值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.14（1）已知，若，且圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求的值.（2）求函數(shù)在上的極值.【答案】（1），；（2）極大值為，極小值為.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合切點(diǎn)在切線上，列方程即可得解；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間后，結(jié)合極值的概念即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以即，由可得，因?yàn)閳D象在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即，所以，；（2）由可得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上的極大值為，極小值為.15已知函數(shù).(1)若

23、函數(shù)，求函數(shù)的極值；(2)若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】（1）的極大值是，無(wú)極大值；（2）.【分析】（1）先寫(xiě)函數(shù)并求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性和極值即可；（2）先分離參數(shù)，再研究函數(shù)最大值得到的取值范圍，即得結(jié)果.【詳解】解：（1），定義域?yàn)椋? ；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表:1-0+極小值由上表可得的極大值是，無(wú)極大值；（2）由在時(shí)恒成立，即，整理為在時(shí)恒成立. 設(shè)，則， 當(dāng)時(shí)，且，. 當(dāng)時(shí)，設(shè)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，使得 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. . ，當(dāng)時(shí)，的最小值是.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟：寫(xiě)定

24、義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；在定義域內(nèi)，解不等式和寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間，并判斷極值點(diǎn).解決恒成立問(wèn)題的常用方法：數(shù)形結(jié)合法；分離參數(shù)法；構(gòu)造函數(shù)法.16已知函數(shù)，（其中）.（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，.（說(shuō)明：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1），利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，然后可得極值；（2），利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，然后可建立不等式組求解；（3）問(wèn)題等價(jià)于求證；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，然后證明即可.【詳解】（1），由，得，由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.（

25、2）函數(shù)，則，令，解得，或（舍去），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）問(wèn)題等價(jià)于，由（1）知的最小值為.設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，故當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍時(shí)，需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值分析，然后建立不等式組求解.17已知函數(shù)，（1）設(shè)，求函數(shù)的極值；（2）若，試研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）1個(gè)【分析】（1）先求得，然后求，對(duì)分成和兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合單調(diào)性求得的極值.（2）首先判斷在上遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，恒成立

26、，在上是增函數(shù)，無(wú)極值當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，的極小值，無(wú)極大值 （2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，的極小值，結(jié)合的單調(diào)性可知，即恒成立在上是增函數(shù)，在中有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：1.先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出圖像，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想；2.構(gòu)造新函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題；3.分離參變量，即由分離參變量，得，研究直線與的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題.18已知函數(shù)，在時(shí)取得極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案

27、】（1）；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.【分析】（1）利用極值定義，列式，求出值并驗(yàn)證即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】解：（1）函數(shù)，則，函數(shù)在時(shí)取得極值，故，解得，此時(shí)，函數(shù)確實(shí)在時(shí)取得極小值.故的值是；（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.19已知函數(shù)，是奇函數(shù).（1）求的表達(dá)式；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）極大值，極小值.【分析】（1）求導(dǎo)，由得到的表達(dá)式，然后利用是奇函數(shù)求解.（2）由（1）知，求導(dǎo)，再利用極值的定義求解.【詳解】（1）函數(shù)，所以，所以，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，解得，所以的表達(dá)式為.（2）由（1）知

28、，則，當(dāng)或時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，利用奇偶性求函數(shù)解析式以及函數(shù)極值的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（3）當(dāng)時(shí)，若當(dāng)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）有極小值，無(wú)極大值；（2）；（3）.【分析】（1）先代入?yún)?shù)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，列表判斷單調(diào)性，即得極值情況；（2）先代入?yún)?shù)，將不等式移項(xiàng)整理，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式，即得結(jié)果；（3）先代入?yún)?shù)，將恒成立式移項(xiàng)整理，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，討論其單調(diào)性，再利用單調(diào)性判斷其

29、最值滿足題意，即得結(jié)果；【詳解】（1）當(dāng)，定義域令，得列表如下：-0+極小值當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值；（2）當(dāng)令令列表如下：1-0+極小值當(dāng)時(shí)，有極小值，即在單調(diào)遞增，故不等式即，故解集為；（3）當(dāng)，當(dāng)，恒有成立，即，恒有成立.令令，在單調(diào)遞增，若，即，即，即在單調(diào)遞增.成立.即時(shí)，當(dāng)，恒有成立.若，即，取在單調(diào)遞增，使得，當(dāng)，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，不恒成立，即不恒成立.綜上：.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的步驟：寫(xiě)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；在定義域內(nèi)，解不等式和根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)極值點(diǎn).解決恒成立問(wèn)題的常用方法：數(shù)形結(jié)合法；分離參數(shù)法；構(gòu)造函數(shù)法.21已知函數(shù)(aR).（1）討論的極值；（2）若

30、a2，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】(1)先寫(xiě)定義域求導(dǎo)，對(duì)a分類討論研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即確定函數(shù)的單調(diào)性和極值情況；(2) a2時(shí)令化簡(jiǎn)不等式得，討論t進(jìn)行參數(shù)分離，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋遥╥）當(dāng)a=0時(shí)，恒成立，則在定義域上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值；（ii）當(dāng)a0時(shí)，可令，解得，所以當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞增，則的極小值為=，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞減，則的極大值為=，無(wú)極小值；綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)極

31、值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值.（2）若a2，不等式化為則令，則不等式化為，所以當(dāng)時(shí)，參變分離得，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí)，不等式化為0-1，顯然成立.當(dāng)時(shí)，則，可令，解得，且當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，所以，所以.綜上所述，要使不等式恒成立，需實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟：寫(xiě)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；在定義域內(nèi)，解不等式和寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間，并判斷極值點(diǎn).解決恒成立問(wèn)題的常用方法：數(shù)形結(jié)合法；分離參數(shù)法；構(gòu)造函數(shù)法.22已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）極大值為，極小值為；（

32、2）.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的極值；（2）“函數(shù)，在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為“方程有兩個(gè)非零實(shí)根”.構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.【詳解】解：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)镽.（1）因?yàn)?所以，由，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為.（2）因?yàn)椋詾橐粋€(gè)零點(diǎn).所以“函數(shù)，在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為“方程有兩個(gè)非零實(shí)根”.令，則，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有最小值，時(shí)，時(shí)，.若方程有兩個(gè)非零實(shí)根，則，

33、即.若，方程只有一個(gè)非零實(shí)根，所以.綜上，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值的求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考查化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是中檔題.23函數(shù).（1）求的極大值和極小值；（2）已知在區(qū)間D上的最大值為20，以下3個(gè)區(qū)間D的備選區(qū)間中，哪些是符合已知條件的？哪些不符合？請(qǐng)說(shuō)明理由.；【答案】（1）極大值25，極小值-7；（2）區(qū)間不符，區(qū)間符合，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）先求解出，根據(jù)分析得到的單調(diào)性，從而的極值可求；（2）根據(jù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性以及極值，分析得到的最大值，由此判斷所給區(qū)間是否符合條件.【詳解】(1) ，令，或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大

34、值為，極小值為(2)當(dāng)區(qū)間為時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以，不符合；當(dāng)區(qū)間為時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以，符合；當(dāng)區(qū)間為時(shí)，在上遞減，在上遞增，所以，不符合，綜上可知：區(qū)間不符，區(qū)間符合.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值的思路：（1）若所給的閉區(qū)間不含參數(shù)，則只需對(duì)求導(dǎo)，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值；（2）若所給的區(qū)間含有參數(shù)，則需對(duì)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值.24已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極小值；（2）關(guān)于的不等式在上存在解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析

35、】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極小值；（2）由參變量分離法得出在區(qū)間上有解，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為；（2）由得，令，由在有解知，令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，使得，即，且當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則.所以，當(dāng)時(shí)，則.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式在區(qū)間上有解的問(wèn)題，

36、考查參變量分離法的應(yīng)用，屬于中等題.25已知函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（）設(shè)，若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【答案】（）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（）.【分析】（）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的增減區(qū)間.（）分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用求導(dǎo)求函數(shù)的值域，最后得參數(shù)范圍.【詳解】（）當(dāng)時(shí), 則定義域?yàn)闀r(shí)，得，解得的單調(diào)增區(qū)間為時(shí)，得，解得的單調(diào)減區(qū)間為（）因?yàn)楹瘮?shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)所以在有兩個(gè)實(shí)根即在有兩個(gè)實(shí)根所以函數(shù)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)令解得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所以為極大值點(diǎn)，取得極大值，也是最大值又，因?yàn)楹瘮?shù)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)所以所以.【點(diǎn)睛】本題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最

37、值問(wèn)題，都是利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)解決.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值一般步驟為：求函數(shù)的定義域求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)大于0.解得對(duì)應(yīng)x范圍即為增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0.解得對(duì)應(yīng)x范圍即為減區(qū)間最后判斷極值點(diǎn)求出極值求出特定區(qū)間的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，與極值比較得最值.26已知函數(shù)的極大值為2.（1）求a的值和的極小值；（2）求在處的切線方程.【答案】（1），極小值為；（2）.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，解對(duì)應(yīng)的不等式，求出單調(diào)區(qū)間，得出極大值，根據(jù)題中條件，求出，即可得出極小值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，先得到，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可得切線方程.【詳解】（1）由得，令或，令，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故

38、在處取極大值，即.則在處取得極小值；（2）由（1）知，故，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，在處的切線斜率為.故其切線方程為：，即.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)極值的一般有以下幾個(gè)步驟：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；（2）解導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式，得出單調(diào)區(qū)間；（3）由極值的概念，結(jié)合單調(diào)性，即可得出極值.27已知函數(shù).（1）討論的極值；（2）若方程在上有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為和兩種情形討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得極值；（2）題意等價(jià)于在上有實(shí)數(shù)解，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，通過(guò)判斷單調(diào)性及最值可得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，由已知可得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.此時(shí)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以有極小值，無(wú)極大值.綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值.（2）令.方程在上有實(shí)數(shù)解，即在上有零點(diǎn).當(dāng)，時(shí)，所以，