數學第七章課件

1、數 學（第2冊）邏輯代數初步第 七 章邏 輯 變 量第一節(jié)邏輯代數的運算律與邏輯圖第二節(jié)邏輯代數應用舉例第三節(jié)目錄CONTENTS第一節(jié) 邏 輯 變 量 邏輯變量與基本運算 一、觀察兩個開關相串聯的電路，如圖7-1所示.由串聯電路的性質容易知道，只有當開關A與B同時閉合時，電燈S才會亮，只要其中有一只開關沒有閉合，或者兩只開關都沒有閉合，那么電燈S不會亮.圖 7-1第一節(jié) 邏 輯 變 量這樣，開關A,B和電燈S之間狀態(tài)的依賴關系如表7-1所示.第一節(jié) 邏 輯 變 量可以看出，電燈S的狀態(tài)取決于開關A,B的狀態(tài)，它們之間是一種因果邏輯關系.這種描述客觀事物一般邏輯關系的數學方法稱為 邏輯代數 .

2、開關A,B與電燈S的狀態(tài)都只有兩種情況.將這樣的變量稱為 邏輯變量 ，常用大寫字母A,B,S,表示.邏輯變量只有兩種取值0和1.這里的值“0”和“1”不是數學中通常表示數學概念的0和1，而是表示兩種對立的邏輯狀態(tài)，稱為 邏輯常量 .在具體問題中，可以規(guī)定一種狀態(tài)為“0”，與它相反的狀態(tài)為“1”.第一節(jié) 邏 輯 變 量在初等代數中有加、減、乘、除四則運算，即算術運算.邏輯代數中也有三種基本運算，它們不是數值的運算，而是邏輯關系的運算，稱為 邏輯運算 .與三種邏輯運算相對應的是三種邏輯關系.當決定一件事情的各個條件全部具備時，這件事才會發(fā)生，而且一定發(fā)生，這種邏輯關系稱為 “且”邏輯關系 .觀察圖

3、7-1，只有當開關A和B同時閉合時，燈S才會亮，所以燈S與開關A和B之間是一種“且”邏輯關系，記為AB=S，也簡記為AB=S.第一節(jié) 邏 輯 變 量將開關“閉合”取值為“1”，“斷開”取值為“0”；“燈亮”取值為“1”，“燈不亮”取值為“0”，則表7-1可寫成表7-2. 第一節(jié) 邏 輯 變 量在邏輯運算中，與“且”邏輯關系相對應的是邏輯乘法運算（也稱“且”運算），其運算法則為 11=1，10=0，01=0，00=0.在決定一件事情的各個條件中，只要具備一個或一個以上的條件，這件事情就會發(fā)生，這種邏輯關系稱為 “或”邏輯關系 .第一節(jié) 邏 輯 變 量觀察兩個開關相并聯的電路（見圖7-2）.當開關

4、A和B中的任何一個閉合時，燈S都會亮，所以燈S與開關A和B之間是一種“或”邏輯關系，記為A+B=S.圖 7-2第一節(jié) 邏 輯 變 量將開關“閉合”取值為“1”，“斷開”取值為“0”；“燈亮”取值為“1”，“燈不亮”取值為“0”.開關A,B與電燈S的邏輯關系見表7-3.第一節(jié) 邏 輯 變 量在邏輯運算中，與“或”邏輯關系對應的是邏輯加法運算（也稱“或”運算），其運算法則為 1+1=1，1+0=1，0+1=1，0+0=0.“非”就是“反”的意思.一個事件的發(fā)生依賴于一個條件，當這個條件成立時，這個事件不發(fā)生；反之，當這個條件不成立時，這個事件發(fā)生.稱這種邏輯關系為 “非”邏輯關系 .第一節(jié) 邏 輯

5、 變 量觀察電燈和開關相并聯的電路（見圖7-3）.當開關A閉合時，燈S滅；當開關A斷開時，燈S亮.所以開關A與燈S之間是“非”邏輯關系，記為A=S.圖 7-3第一節(jié) 邏 輯 變 量將開關“閉合”取值為“1”，“斷開”取值為“0”；“燈亮”取值為“1”，“燈不亮”取值為“0”.開關A與電燈S的邏輯關系見表7-4.在邏輯運算中，與“非”邏輯關系對應的是邏輯非運算，其運算法則為 1 =0,0 =1.第一節(jié) 邏 輯 變 量學習提示第一節(jié) 邏 輯 變 量【例1】第一節(jié) 邏 輯 變 量第一節(jié) 邏 輯 變 量第一節(jié) 邏 輯 變 量第一節(jié) 邏 輯 變 量邏輯代數式與普通代數式有什么異同？思考與討論第一節(jié) 邏

6、輯 變 量 邏輯式與真值表 二、由常量1和0以及邏輯變量，經邏輯運算所構成的式子稱為 邏輯代數式 ，簡稱 邏輯式 .例如，A+B,AB,A,A,1,0等都是邏輯式.這里，把表示常量的1和0、單個變量都看成邏輯式.在邏輯式中，三種邏輯運算的優(yōu)先順序是“非”“且”“或”.例如，邏輯式AB+A的運算順序是：先計算B，再計算AB，最后計算AB+A.第一節(jié) 邏 輯 變 量學習提示第一節(jié) 邏 輯 變 量當邏輯式中的變量取定一組值后，代入式子經計算，相應地得到邏輯式的一個值（0或1）.例如，邏輯式AB+A.當A=B=0時，有AB+A=00+0=0+1=1；當A=1,B=1時，有AB+A=11+1=1+0=1

7、.如果將A,B的一切可能值與相應的邏輯式AB+A的值都列出來，就是表7-8.表7-8稱為邏輯式AB+A的真值表.第一節(jié) 邏 輯 變 量又如，表7-9是邏輯式(A+B)C和AC+BC的真值表.第一節(jié) 邏 輯 變 量學習提示第一節(jié) 邏 輯 變 量由表7-9可以看出，對于變量A，B，C的任何一組取值，邏輯式(A+B)C與AC+BC的值都相同.這樣的兩個邏輯式稱為 等值邏輯式 .等值邏輯式可用“=”連結，并稱為 等式 .例如，(A+B)C=AC+BC.第一節(jié) 邏 輯 變 量【例2】由表7-10可以看出，對于邏輯變量A和B的任何一組值，AB與A+B的值都相同，所以AB=A +B.第二節(jié) 邏輯代數的運算律

8、與邏輯圖 邏輯代數的運算律 一、 普通代數有加、減、乘、除、乘方、開方等多種運算，邏輯運算只有三種基本運算.與普通代數相類似，邏輯代數也有許多運算律.三種基本邏輯運算的運算律如下. 邏輯乘法運算的運算律：（1）交換律 AB=BA；（2）結合律 A(BC)=(AB)C；（3）冪等律 AA=A；（4） 0-1律 A0=0,A1=A.第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖邏輯加法運算的運算律：（1）交換律 A+B=B+A；（2）結合律 A+(B+C)=(A+B)+C；（3）冪等律 A+A=A；（4） 0-1律 A+0=A,A+1=1.邏輯非運算的運算律：（1）還原律 A=A；（2）互補律 A+A=1,AA

9、=0.第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖其他常用運算律如下：（1）分配律 A(B+C)=AB+AC，A+BC=(A+B)(A+C)； （2）反演律 AB =A +B，A+B=AB； （3）吸收律 A+AB=A，A A+B =A. 上述運算律可通過真值表進行驗證.利用這些運算律可以化簡邏輯式.第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖【例1】第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖 課堂練習第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖 邏輯函數與邏輯圖 二、含有邏輯變量的函數就是邏輯函數.邏輯函數中的自變量是邏輯變量，其取值范圍只有0和1（非0即1）兩個數；邏輯函數的因變量也是邏輯變量，其取值范

10、圍也只有0和1（非0即1）兩個數.與普通代數相類似，邏輯函數可以寫為 Y=f(A,B,C)，其中邏輯變量A,B,C為自變量，邏輯變量Y為因變量，f是邏輯函數的對應法則.第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖邏輯函數與普通代數里的函數有什么異同？ 想一想第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖邏輯函數一般用邏輯式表示，這個邏輯式稱為 邏輯函數的表達式 .例如，Y=f(A,B)=B+AB.能夠實現邏輯運算的電路稱為 邏輯門電路 ，簡稱 門電路 .把能實現邏輯乘法運算的電路稱為 “且”門；把能實現邏輯加法運算的電路稱為“或”門；把能實現邏輯非運算的電路稱為 “非”門 .它們分別如圖7-4中的（a）、（b）、（c）

11、所示.圖 7-4第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖其中A,B稱為輸入變量，Y稱為輸出變量 .用門電路連結邏輯線路的圖稱為 邏輯圖 .邏輯函數也可以用邏輯圖來表示.畫邏輯圖的方法為按照邏輯運算的優(yōu)先次序，順次連接各門電路.第二節(jié) 邏輯代數的運算律與邏輯圖【例2】圖 7-5 課堂練習畫出邏輯函數Y=AC+AB的邏輯圖. 第三節(jié) 邏輯代數應用舉例邏輯代數是分析和設計數字電路的基本數學工具.本節(jié)將舉例說明它在實際生活中的一些簡單應用.學習提示第三節(jié) 邏輯代數應用舉例【例1】第三節(jié) 邏輯代數應用舉例解 設開關A所處的狀態(tài)為A，開關B所處的狀態(tài)為B，電燈的狀態(tài)為Y，列出真值表（見表7-12）.第三節(jié) 邏輯代

12、數應用舉例由表7-12可以看出，電燈只在兩種情況下才能亮：（1）開關A閉合，開關B切斷時；（2）開關A切斷，開關B閉合時.也就是說，僅在兩種情況下Y=1成立：（1）AB =1成立；（2）A B=1成立.由此得到邏輯式 Y=AB+AB.第三節(jié) 邏輯代數應用舉例【例2】第三節(jié) 邏輯代數應用舉例根據題意，列出真值表（見表7-13）.第三節(jié) 邏輯代數應用舉例由真值表可以看出，只在五種情況下輸出報警信號，因此，邏輯式為 Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC.畫出對應的卡諾圖，如圖7-6所示.圖7-6第三節(jié) 邏輯代數應用舉例觀察卡諾圖，函數的最簡表達式為 Y=ABC+BC+AC+AB，由此，可畫出邏

13、輯圖，如圖7-7所示.圖 7-7第三節(jié) 邏輯代數應用舉例由例2可看出，解決這類問題的一般步驟是：（1）搞清楚全部的邏輯關系及設計要求；（2）列出相應的真值表；（3）寫出符合要求的邏輯關系式；（4） 利用邏輯運算的運算律或畫出對應的卡諾圖進行化簡； （5）畫出邏輯關系式的邏輯圖.第三節(jié) 邏輯代數應用舉例【例3】第三節(jié) 邏輯代數應用舉例根據題意，列出真值表（見表7-14）.第三節(jié) 邏輯代數應用舉例由真值表可以看出，只在三種情況下才能通過企劃案，因此，邏輯式為 Y=AB C+ABC+ABC.畫出對應的卡諾圖，如圖7-8所示.圖 7-8第三節(jié) 邏輯代數應用舉例觀察卡諾圖，函數的最簡表達式為 Y=AC+

14、AB,由此，可畫出邏輯圖，如圖7-9所示.圖 7-9閱讀材料 布爾代數的創(chuàng)始人布爾 布爾（George Boole,18151864）是英國數學家及邏輯學家,是布爾代數的創(chuàng)始人.布爾于1815年11月2日生于英格蘭的林肯,1864年12月8日卒于愛爾蘭的科克.布爾的父親是一位鞋匠.布爾青少年時期，在當地上了小學和短時間的商業(yè)學校他自學了希臘語和拉丁語，后來又學會歐洲幾個國家的語言從商業(yè)學校畢業(yè)后，布爾原想做一名牧師，但由于生活所迫，他在16歲那年接受了中學教師的職務.閱讀材料此后，他又先后在一些中學教書.就在這個時期，他對數學產生了深厚的興趣，并決定繼續(xù)自學數學.1835年，20歲的布爾創(chuàng)辦了一所中學，仍是一面教書，一面自修高等數學.布爾閱讀了許多數學論文.在閱讀偉大的法國數學家拉格朗日的論文時，布爾有了變分法方面的新發(fā)現.變分法是數學分析的分支.它處理的是尋求優(yōu)化某些參數的曲線和曲面.閱讀材料1848年，布爾出版了邏輯的數學分析這本他對符號邏輯諸多貢獻中的第一次.1849年，34歲的布爾被聘為愛爾蘭科克皇后學院（今愛爾蘭國立考克大學）的數學教授.1854年，他出版了思維規(guī)律.這是他最著名的著作.在這本書中，布爾介紹了現在以他的名字命名的布爾代數.不過幾乎像所