工程數(shù)學(xué)第3章課件

1、工 程 數(shù) 學(xué) 第3章 向量與線性方程組3.1n維向量3.2向量組的線性相關(guān)性3.3向量組的秩3.4線性方程組的求解3.5非齊次線性方程組3.6盈虧轉(zhuǎn)折分析3.7用MATLAB求方程組的解 3.1 n維向量已知一個(gè)二元有序數(shù)組(x,y)可以確定平面上的一個(gè)向量，一個(gè)三元有序數(shù)組(x,y,z)可以確定空間中的一個(gè)向量。對于n元有序數(shù)組(x1,x2,xn)，我們引入n維向量的概念。 3.1 n維向量n維向量的概念3.1.1定義1 一般地，由n個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組=(a1，a2，an)稱為一個(gè)n維向量，其中a1，a2，an稱為向量的分量(或坐標(biāo))，ai稱為向量的第i個(gè)分量，向量中分量的個(gè)數(shù)n稱為向量

2、的維數(shù)。向量通常用黑體希臘字母 ,來表示。 3.1 n維向量由定義可知，n維向量有兩個(gè)基本條件：第一，由n個(gè)數(shù)組成；第二，這n個(gè)數(shù)具有確定的順序.滿足這樣兩個(gè)條件，其表現(xiàn)形式可以有兩種：由n個(gè)實(shí)數(shù)組成一行 3.1 n維向量此外，規(guī)定分量全為零的向量為零向量，記作0，即0=(0,0,0)。 注意 維數(shù)不同的零向量是不相同的。定義2 向量(a1，a2，an)的各分量取相反數(shù)所得到的向量稱為向量的負(fù)向量，記作-，即-=(-a1，-a2，-an)。 3.1 n維向量n維向量的運(yùn)算 3.1.21.向量的和(差)定義3 如果=(a1，a2，an)，=(b1，b2，bn)，當(dāng)ai=bi(i=1,2,n)時(shí),

3、稱這兩個(gè)向量相等，記作。定義4 若=(a1，a2，an)，=(b1，b2，bn)，則=(a1b1，a2b2，anbn)稱為向量與的和（差）。定義5 若為一實(shí)數(shù)，(a1，a2，an)，則=(a1,a2,an)稱為數(shù)與向量的數(shù)乘。 3.1 n維向量2. 向量的數(shù)乘向量的和(差)及數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，有如下運(yùn)算規(guī)律： （1）+=+； （2）(+)+=+(+)； （3）+0=，+(-) =0； （4）1=； （5）()=()； （6）(+)=+,(+)=+。其中，表示n維向量，表示實(shí)數(shù)。 3.1 n維向量例3.1.1 已知=(-3,3,6,0),=(9,6.-3,18),求滿足+3=的。解

4、因?yàn)?=-=（9，6，-3，18）-（-3，3，6，0）=（12，3，-9，18），所以 = (12，3，-9，18)=（4，1，-3，6） 3.2 向量組的線性相關(guān)性線性組合與線性表示3.2.1定義6 設(shè)有n維向量組,1,2,s,如果存在一組數(shù)k1,k2, ks,使得 =k11+k22+kss成立，則稱向量是向量組1,2,s的線性組合，或稱向量能由向量組1, 2,s線性表示。 3.2 向量組的線性相關(guān)性解 由定義6知，能由1，2，3線性表示存在k1,k2,k3使=k11+k22+k33，則 解得k1=1,k2=2,k3=1。 因此=1+22+3，能由1，2，3線性表示。 例3.2.1 設(shè)1=

5、（1,1,1）， 2=（0,1,1）， 3=（0,0,1），=（1,3,4），那么能否由1，2，3線性表示？ 3.2 向量組的線性相關(guān)性線性相關(guān)與線性無關(guān)3.2.2定義7 設(shè)有m個(gè)n維向量組成的向量組1,2,m，如果存在m個(gè)不全為零的數(shù)k1,k2,km,使得 k11+k22+kmm=0 （3.2.1）成立，則稱向量組1,2,m線性相關(guān)；反之，如果這樣的k1,k2,km不存在，也就是說，只有當(dāng)k1=k2=km=0時(shí),式（3-1）才成立，則稱向量組1,2,m線性無關(guān)。 3.2 向量組的線性相關(guān)性注意 可將式（3-1）看成關(guān)于k1,k2,km的齊次線性方程組，則方程組僅有零解向量組1,2,m線性無關(guān)

6、；方程組有非零解向量組1,2,m線性相關(guān)。 3.2 向量組的線性相關(guān)性 3.2 向量組的線性相關(guān)性向量組線性相(無)關(guān)的矩陣判定法 3.2.3定理1 設(shè)有m(mn)個(gè)n維向量 3.2 向量組的線性相關(guān)性推論1 m個(gè)n維向量組1,2,m線性相關(guān)的充要條件是它們構(gòu)成的矩陣A的秩r(A)n，則m個(gè)n維向量組1,2,m必線性相關(guān)。 推論3 n個(gè)n維向量組1,2,n線性相關(guān)(無關(guān))的充要條件是它們所構(gòu)成的方陣A是降秩(滿秩)矩陣。 3.2 向量組的線性相關(guān)性推論4 設(shè) 若n維向量組1,2,m線性無關(guān)，則n+1維向量組1,2,m也線性無關(guān)。 3.2 向量組的線性相關(guān)性例3.2.5 判斷下列向量組是否線性相

7、關(guān)。 1=（1,0,1,0），2=（0,1,0,1），3=（0,0,1,1），4=（1,1,0,0）。解 因?yàn)樗?，2，3，4線性相關(guān)。 3.2 向量組的線性相關(guān)性 3.3 向量組的秩 一個(gè)向量組所含向量的個(gè)數(shù)可能很多，有時(shí)甚至有無窮多個(gè)，那么如何簡練地研究向量組呢？ 如果一個(gè)向量組中有一部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線性相關(guān)；如果一個(gè)向量組線性無關(guān)，則它的任何部分組也線性無關(guān)。然而線性相關(guān)向量組的部分組卻不總是線性相關(guān)的。 3.3 向量組的秩 極大線性無關(guān)組3.3.1定義8 設(shè)T是n維向量所組成的向量組，在T中選取r個(gè)向量1，2，,r，如果滿足 (1)1，2,r線性無關(guān)； (2)任取T中

8、的一個(gè)向量，則總可由1，2,r線性表示。 則稱向量組1，2,r為向量組T的一個(gè)極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組。 注意 （1）一個(gè)線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是它本身； （2）全部由零向量組成的向量組不存在極大無關(guān)組； （3）只要一個(gè)向量組中含有非零向量就一定存在極大無關(guān)組。 3.3 向量組的秩 根據(jù)定義，可接如下步驟求一個(gè)向量組的極大無關(guān)組。 首先從所給向量組中剔除零向量，然后將第一個(gè)非零向量保留，若第二個(gè)非零向量與第一個(gè)非零向量線性相關(guān)，則剔除，否則就保留（兩個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是它們的分量對應(yīng)成比例），接著考慮下一個(gè)非零向量，若能由前面保留下來的非零向量線性表示，則剔除，否則保留.重復(fù)

9、這個(gè)過程，直到最后一個(gè)向量，所有被保留下來的向量所構(gòu)成的部分組即為一個(gè)極大無關(guān)組。 3.3 向量組的秩 例3.3.1 求向量組的極大無關(guān)組。解 向量組1,2,3線性無關(guān)，并且4=1+2，5=1+2+3，所以1,2,3是已知向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。事實(shí)上，1，2，5也是已知向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。 3.3 向量組的秩 向量組的秩3.3.2定義9 一個(gè)向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩。 如果一個(gè)向量組的秩為r，那么，其中任何r個(gè)線性無關(guān)的部分向量組都是它的極大無關(guān)組，而線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是它自身。 定義10 矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩，矩陣A的列向量組的秩稱為A的

10、列秩。 定理2 矩陣A的行秩等于矩陣A的列秩且均等于矩陣A的秩。 證明略。 3.3 向量組的秩 定理3 一個(gè)向量組線性相(無)關(guān)的充要條件是該向量組的秩小于(等于)向量組中向量的個(gè)數(shù)。 引理 矩陣A的初等行變換不改變A的列向量組的線性相關(guān)性和線性組合關(guān)系。 由此可知，求一個(gè)向量組的極大無關(guān)組與秩時(shí)，可以將這些向量作為列向量構(gòu)造矩陣A，用初等行變換將A化為行最簡形矩陣B，則B非零行的行數(shù)即為向量組的秩，每一行的首非零元所在的列所對應(yīng)的原向量組中的向量即構(gòu)成一個(gè)極大無關(guān)組。 3.3 向量組的秩 例3.3.3 求下列向量組的秩，并求一個(gè)極大無關(guān)組。 1=（1,1,0,0），2=（1,0,1,1），3

11、=（2,-1,3,3）。解 取于是r（）=2。因此r（1,2,3）=2，且1，2是一個(gè)極大無關(guān)組，即 3-32+11=0， 故3=32-1。 3.3 向量組的秩 引例 某配料公司用6種成分來制造多種調(diào)味制品。表3.3.1列出了5種調(diào)味制品A，B，C，D，E每包所需各成分的量。 3.3 向量組的秩 一位顧客為避免購買全部5種調(diào)味品，他可以只購買其中的一部分并用它配制出其余幾種調(diào)味品。問這位顧客必須購買的最少調(diào)味品的種類是多少？寫出所需最少調(diào)味品的集合。 3.3 向量組的秩 解 5種調(diào)味品各自的成分可用向量來表示，即 3.3 向量組的秩 一位顧客只購買其中的一部分，用它們來調(diào)制出其余幾種調(diào)味品，相

12、當(dāng)于是求向量組1，2，3，4，5的一個(gè)極大線性無關(guān)組。由矩陣秩的求法，有 3.3 向量組的秩 故r()=r（B）=3，B中5個(gè)列向量反映了5種調(diào)味品經(jīng)過某種混合后的狀態(tài)，其中兩種調(diào)味品可用其他3種調(diào)味品配制出來，即 因?yàn)榭紤]問題的實(shí)際意義，系數(shù)不可能為負(fù)，則上式可化為 上面的關(guān)系式對原調(diào)味品來說，就是 即A，E兩種調(diào)味品可通過B，C，D調(diào)制得到，所以B，C，D三種調(diào)味品可作為最小調(diào)味品集合。 3.4 線性方程組的求解m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的線性方程組的一般形式為 若常數(shù)項(xiàng)b1，b2，bm不全為零，則方程組為非齊次線性方程組。 3.4 線性方程組的求解在非齊次線性方程組中,將它右端的常數(shù)項(xiàng)全換為零所

13、得到的線性方程組 為齊次線性方程組,也稱為非齊次線性方程組(3-2)的導(dǎo)出方程組。 3.4 線性方程組的求解 3.4 線性方程組的求解若x1=k1,x2=k2，xn=kn滿足AX=B或AX=0,則稱其為方程組AX=B或AX=0的解,由于解可以看成一個(gè)n維向量,故稱這個(gè)向量為方程組AX=B或AX=0的一個(gè)解向量。 因?yàn)榱阆蛄烤褪茿X=0的一個(gè)解向量，因此齊次線性方程組AX=0總有解，而非齊次線性方程組AX=B則不一定有解。若非齊次線性方程組AX=B有解，那么稱該非齊次線性方程組是相容的；否則，稱該非齊次線性方程組是不相容的。 3.4 線性方程組的求解解的判定和解的性質(zhì)3.4.11. 齊次線性方程

14、組AX0的解的性質(zhì)性質(zhì)1 若1和2是AX=0的兩個(gè)解，則12也是AX=0的解。 證 因?yàn)?和2是AX=0的兩個(gè)解,所以A1=0,A2=0，從而 A(1+2)=A1+A2=0+0=0，即1+2是AX=0的解。 性質(zhì)2 如果是AX=0的解，k為任意實(shí)數(shù)，則k也是AX=0的解證 因?yàn)槭茿X=0的解，所以A=0，上式兩邊同乘以k，得kA=A(k)=k0=0，即k是AX=0的解。 3.4 線性方程組的求解定義11 如果1，2，,s是齊次線性方程組AX=0解向量的一個(gè)極大無關(guān)組，則稱1，2，,s是方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。 3.4 線性方程組的求解2. 非齊次線性方程組AX=B的解的性質(zhì)性質(zhì)3 非齊次

15、線性方程組AX=B的兩個(gè)解1與2的差是其導(dǎo)出方程組AX=0的一個(gè)解。 證 由于A1=B,A2=B,從而A(1-2)=A1-A2=B-B=0，即1-2是AX=0的解。 性質(zhì) 非齊次線性方程組AX=B的一個(gè)解與它的導(dǎo)出方程組AX=0的一個(gè)解的和是非齊次線性方程組AX=B的一個(gè)解。 證 由于A=B,A=0,從而A(+)=A+A=B+0=B，即+是AX=B的解。 3.4 線性方程組的求解由此可得如下定理。 定理4 設(shè)0是AX=B的一個(gè)解向量(稱為特解)，則AX=B的任一解都可以表示為=0+，其中是導(dǎo)出方程組AX=0的一個(gè)解向量。 3.4 線性方程組的求解線性方程組的相容性定理3.4.2定理5 若將增廣

16、矩陣(AB)用初等行變換轉(zhuǎn)化為(ST)，則AX=B與SX=T是同解方程組。 證 設(shè)(AB)經(jīng)過一系列初等行變換轉(zhuǎn)化為矩陣(ST)，由于對矩陣施行初等行變換相當(dāng)于在矩陣的左邊乘上相應(yīng)的初等矩陣，不妨設(shè)存在初等矩陣P1,P2,Pk，使得 PkP2P1(AB)=(ST)。 3.4 線性方程組的求解記PkP2P1=P，顯然P可逆。若X1是AX=B的解，即AX1=B，上式兩邊同時(shí)左乘矩陣P，得PAX1=PB，即SX1=T。于是X1也是SX=T的解。 反之，若X2是SX=T的解，即SX2=T，上式兩邊同時(shí)左乘P-1，得P-1SX2=P-1T，即AX2=B，從而X2也是AX=B的解。 3.4 線性方程組的求

17、解定理6 如果導(dǎo)出方程組AX=0的系數(shù)矩陣A的秩r(A)=rn，則該方程組的基礎(chǔ)解系必存在，且基礎(chǔ)解系中含有n-r個(gè)解向量。 證 由于r(A)=rn，則A必可經(jīng)若干次初等行變換轉(zhuǎn)化為如下行最簡形矩陣 3.4 線性方程組的求解得同解方程組 3.4 線性方程組的求解其中，后面n-r個(gè)方程0=0為多余方程，可刪去，從而有效方程組為 3.4 線性方程組的求解注意 AX=0的基礎(chǔ)解系中所含解向量個(gè)數(shù)自由未知量個(gè)數(shù)n-r.其中，n為未知量個(gè)數(shù)，r為系數(shù)矩陣的秩。 推論 齊次線性方程組AX=0，當(dāng)r=n時(shí)，只有零解；當(dāng)rn時(shí)，有無窮多組解。定理7 非齊次線性方程組AX=B有解的充分必要條件是r(A)=r(A

18、)，無解的充分必要條件是r(A)r(A)。 3.4 線性方程組的求解證 設(shè)r(A)=r，則非齊次線性方程組AX=B的增廣矩陣經(jīng)若干次初等行變換必可轉(zhuǎn)化為如下行階梯形矩陣 3.4 線性方程組的求解得同解方程組 3.5 非齊次線性方程組解的判定和解的結(jié)構(gòu)3.5.1非齊次線性方程組解的性質(zhì)： 性質(zhì)1：非齊次線性方程組的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組的解。 性質(zhì)2：非齊次線性方程組的一個(gè)解與其導(dǎo)出組的一個(gè)解的和是該非齊次線性方程組的解。 3.5 非齊次線性方程組 3.5 非齊次線性方程組用初等行變換求線性方程組的通解3.5.2 3.5 非齊次線性方程組 3.5 非齊次線性方程組 3.5 非齊次線性方程組 3.

19、5 非齊次線性方程組 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析投入產(chǎn)出理論是研究一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)各部門在產(chǎn)品的消耗與生產(chǎn)之間的“投入”及 “產(chǎn)出” 之間數(shù)量依存關(guān)系的綜合平衡的數(shù)學(xué)模型。它是由1973年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者列昂惕夫（W.Leontief）在20世紀(jì)30年代創(chuàng)立的。投入是指進(jìn)行一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的各種消耗（如原材料、能源、設(shè)備、人的勞動(dòng)消耗等），而產(chǎn)出是指從事經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的結(jié)果（如生產(chǎn)出的產(chǎn)品等）。投入產(chǎn)出理論就是以線性代數(shù)理論和計(jì)算機(jī)技術(shù)為主要工具，研究各種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的投入與產(chǎn)出之間的數(shù)量規(guī)律性的經(jīng)濟(jì)分析法。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析投入產(chǎn)出平衡表3.6.1考察一個(gè)具有n個(gè)部門的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，各部門分別用1,2,n表示

20、，并做如下基本假設(shè)： （1）部門i僅生產(chǎn)一種產(chǎn)品（稱為部門i的產(chǎn)出），不同部門的產(chǎn)品不能相互替代； （2）部門i在生產(chǎn)過程中至少需要消耗另一部門j的產(chǎn)品（稱為部門j對部門i的投入），并且消耗的各部門產(chǎn)品的投入量與該部門的總產(chǎn)出量成正比。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析根據(jù)上述假設(shè)，每一個(gè)生產(chǎn)部門，一方面，將自己的產(chǎn)品分配給各部門作為生產(chǎn)資料或滿足社會(huì)的非生產(chǎn)性消費(fèi)需要，并提供積累；另一方面，每一個(gè)生產(chǎn)部門在其生產(chǎn)過程中也要消耗各部門的產(chǎn)品，所以該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)各部門之間就形成了一個(gè)錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，這一關(guān)系可用投入產(chǎn)出表來表示。利用某一年的統(tǒng)計(jì)數(shù)字，可先編制出投入產(chǎn)出表，并進(jìn)一步建立相應(yīng)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型。

21、3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析投入產(chǎn)出模型按計(jì)量單位的不同，可分為價(jià)值型和實(shí)物型兩種，在價(jià)值型模型中，各部門的投入、產(chǎn)出均以貨幣單位表示；在實(shí)物型模型中，則按各產(chǎn)品的實(shí)物單位（如米、千克、噸等）表示。本書只討論價(jià)值型的投入產(chǎn)出模型.因此，后面提到的諸如“產(chǎn)品”、“總產(chǎn)品”、“中間產(chǎn)品”、“最終產(chǎn)品”等分別指“產(chǎn)品的價(jià)值”、“總產(chǎn)品的價(jià)值”、“中間產(chǎn)品的價(jià)值”、“最終產(chǎn)品的價(jià)值”等。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析首先，可利用某年的經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)編制投入產(chǎn)出表（見表3.6.1）。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析其中： xI(i=1,2,n)表示部門i的總產(chǎn)品； yI(i=1,2,n)表示部門i的最終產(chǎn)品； xIj(i,j=1,

22、2,n)表示部門i分配給部門j的產(chǎn)品量，或稱部門j在生產(chǎn)過程中需消耗部門i的產(chǎn)品量； vj(j=1,2,n)表示部門j的勞動(dòng)報(bào)酬； mj(j=1,2,n)表示部門j的純收入； zj(j=1,2,n)表示部門j新創(chuàng)造的價(jià)值。它是部門j的勞動(dòng)報(bào)酬vj與純收入mj的總和。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析用雙線把投入產(chǎn)出表分割成四個(gè)部分：左上、右上、左下、右下，分別稱為第、第、第、第象限。 在第象限中，反映了總產(chǎn)品中新創(chuàng)造的價(jià)值情況，從每一行來看，反映了各部門新創(chuàng)造價(jià)值的構(gòu)成情況；從每一列看，反映了該部門新創(chuàng)造的價(jià)值情況。 第象限反映總收入的再分配，由于該部分的經(jīng)濟(jì)內(nèi)容比較復(fù)雜，人們對其研究、利用還很少，因此，

23、投入產(chǎn)出表中一般不編制這部分內(nèi)容。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析平衡方程3.6.2從表3.6.1的第、第象限來看，每一行都存在一個(gè)等式，即每一個(gè)部門作為生產(chǎn)部門分配給各部門用于生產(chǎn)消耗的產(chǎn)品，加上它本部門的最終產(chǎn)品，應(yīng)等于它的總產(chǎn)品，即 這個(gè)方程稱為產(chǎn)品平衡方程組 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析從表3.6.1的第、第象限來看，每一列也存在一個(gè)等式，即每一個(gè)部門作為消耗部門，各部門為它的生產(chǎn)消耗轉(zhuǎn)移的產(chǎn)品價(jià)值，加上它本部門新創(chuàng)造的價(jià)值，應(yīng)等于它的總產(chǎn)值，即 這個(gè)方程稱為產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析根據(jù)前述基本假設(shè)（2），記易見aij表示生產(chǎn)單位產(chǎn)品j所需直接消耗產(chǎn)品i的數(shù)量，一般稱為直接消耗系數(shù)。

24、各部門間的直接消耗系數(shù)構(gòu)成一個(gè)n階矩陣矩陣A稱為直接消耗系數(shù)矩陣。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析直接消耗系數(shù)aij具有下列性質(zhì)：利用直接消耗系數(shù)矩陣，可分別將產(chǎn)品平衡方程組（3-4）和產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組（3-5）表示成矩陣形式。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析將xij=aijxj帶入產(chǎn)品平衡方程組（3-4）,得 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析若記x=(x1,x2,xn)T，y=(y1,y2,yn)T，則產(chǎn)品平衡方程組（3-4）可表示為 x=Ax+y或(E-A)x=y。 (3.6.6) 將xij=aijxj帶入產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組（3-5），得 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析則產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組（3-5）可表示為

25、 x=Dx+z或(E-D)x=z。 （3.6.9） 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析平衡方程組的解3.6.3根據(jù)直接消耗系數(shù)矩陣A的性質(zhì)知，矩陣E-A可逆，且 (E-A)-1=E+A+A2+A3+Ak+，由于A的所有元素非負(fù)（稱為非負(fù)矩陣），由上式可知(E-A)-1（稱為列昂惕夫逆矩陣）的所有元素也非負(fù)。因此，對產(chǎn)品平衡方程組(E-A)x=y，若已知最終需求向量y（非負(fù)），則可求得總產(chǎn)品向量 x=(E-A)-1y， （3.6.10）即x=(x1,x2,xn)T是非負(fù)的，這樣的解在經(jīng)濟(jì)預(yù)測和分析中才具有實(shí)際意義。 3.6 盈虧轉(zhuǎn)折分析而對產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組（3-12），因?qū)蔷仃嘐-D的主對角線元素均為正數(shù)，所以E-D可逆，且(E-D)-1非負(fù)。于是，如果已知總產(chǎn)品向量x，就可得到新創(chuàng)造價(jià)值向量z=(E-D)x；反之，如果已知新創(chuàng)造價(jià)值向量z非負(fù)，則可求出對應(yīng)的總產(chǎn)品向量 x=(E-D)-1z。 （3.6.11） 3.7 用MATLAB求方程組的解任意一個(gè)線性方程組都可以寫成矩陣方程AX=B的形式。其中，A為系數(shù)矩陣，X是由未知數(shù)組成的列矩陣，B是由常數(shù)組成的列矩陣。MATLAB求解矩陣方程AX=B有兩種方