工程數(shù)學(xué)第4章課件

1、工程數(shù)學(xué) 第4章 概率論4.1隨機(jī)事件與事件概率4.2隨機(jī)變量及其概率分布4.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.4MATLAB軟件在概率中的應(yīng)用 4.1 隨機(jī)事件與事件概率隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn)4.1.11.隨機(jī)現(xiàn)象在自然界中，有許多現(xiàn)象都是隨機(jī)的。例如，向上拋一顆石子最后必然下落；同種電荷必然互相排斥；在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100攝氏度時(shí)一定會(huì)沸騰等。這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象，即在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生或不發(fā)生的現(xiàn)象。但是，我們還常常會(huì)遇到另一類現(xiàn)象。這類現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象，即試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象。對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象，從表面上看好像沒有規(guī)律，但在做大量重復(fù)觀察或試驗(yàn)后，它們通常會(huì)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律

2、性，即大量隨機(jī)現(xiàn)象所具有的一種穩(wěn)定性，稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例如，蒲豐等人將一枚硬幣反復(fù)拋擲，觀察正、反面出現(xiàn)的次數(shù)。其試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表4.4.1所示。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率從表中的數(shù)據(jù)可知，隨著拋擲次數(shù)的增多，正面出現(xiàn)次數(shù)占總拋擲次數(shù)的百分比越來越接近0.5。為了更好地對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行研究，下面給出概率論中的一些基本概念。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率2. 概率論的基本概念定義1 為了研究隨機(jī)現(xiàn)象就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察,觀察的過程稱為隨機(jī)試驗(yàn)（簡(jiǎn)稱試驗(yàn)）,它必須同時(shí)滿足下述三個(gè)條件: (1)在相同條件下，可以重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn); (2)每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性； (3)試

3、驗(yàn)前可以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果，但不能準(zhǔn)確預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)哪種結(jié)果。 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件。一般用A,B,C,表示。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.1 某出租車公司電話訂車中心，記錄一天內(nèi)接到訂車電話次數(shù)，可能是0,1，2，B代表“該天內(nèi)訂車電話次數(shù)不超過100次”，則B是隨機(jī)事件。 例4.1.2 從一個(gè)裝有紅、白、黃球各一個(gè)的盒中任取兩個(gè)球，若令A(yù)表示結(jié)果“取到一個(gè)黃球和一個(gè)白球”，B表示“取到一個(gè)黃球和一個(gè)紅球”，C表示“取到一個(gè)白球和一個(gè)紅球”，D表示“取到白球”，則A,B,C,D都為隨機(jī)事件。所謂必然事件是指在試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件，用表示；所謂不可能事

4、件是指在試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，用表示。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率定義2 事件發(fā)生是指該事件中的一個(gè)或多個(gè)基本事件發(fā)生，即如果某事件中的一個(gè)或多個(gè)基本事件發(fā)生，則認(rèn)為該事件發(fā)生。 注意 (1)基本事件相當(dāng)于集合中的“元素”，但需注意基本事件仍是一個(gè)事件； （2）復(fù)合事件由部分基本事件組成，相當(dāng)于集合中的“子集”； （3）樣本空間相當(dāng)于集合中的“全集”； （4）若B=A1,A2,An，則A1,A2,An至少有一個(gè)發(fā)生的充要條件是B發(fā)生。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率3. 事件的關(guān)系與運(yùn)算 4.1 隨機(jī)事件與事件概率（2）和與積。 定義4 A與B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為事件A與B的和，它是由A和

5、B中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合，記為AB或A+B。A與B同時(shí)發(fā)生的事件稱為A與B的積，記為AB或AB,它是由A,B中所有公共樣本點(diǎn)組成的集合。 （3）事件的差。 定義5 A發(fā)生而B不發(fā)生的事件稱為A與B的差，記為A-B它是由屬于A但不屬于B的樣本點(diǎn)組成的集合。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率（4）互不相容(或互斥)。 定義6 若A與B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=，則稱A與B互不相容(或互斥)?；ゲ幌嗳菔录]有公共樣本點(diǎn)。 顯然，基本事件間是互不相容的，如例4.1.2中，A,B,C互不相容。 （5）對(duì)立事件（或互逆事件）。 定義7 若事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件B不發(fā)生，則稱A與B為對(duì)立事件（或互逆事件），記為A=B

6、，B=A. 顯然，AA=，AA=，A是中所有不屬于A的樣本點(diǎn)組成的集合。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率事件間的關(guān)系和運(yùn)算可用圖4.1.1中的韋恩圖形象地表示。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.4 設(shè)A，B，C 是一個(gè)試驗(yàn)的三個(gè)事件，表示下列事件 （1）三個(gè)中至少有一個(gè)發(fā)生； （2）三個(gè)中至少有兩個(gè)發(fā)生； （3）三個(gè)中恰好有兩個(gè)發(fā)生； （4）三個(gè)中至少有一個(gè)不發(fā)生. 解 （1）可以表示為ABC； （2）可以表示為ABACBC； （3）可以表示為ABACBC; （4）可以表示為。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率4. 頻率與概率定義8 若將一個(gè)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次，事件A發(fā)生了nA次， 則稱fn(A)=

7、為事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。注意 fn(A)與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)，具有不確定性。 頻率的性質(zhì)如下： (1)0fn(A)1； (2)fn()=0,fn()=1； (3)若AB=，則fn(AB)=fn(A)+fn(B)= 。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率fn(A)不是一個(gè)固定的常數(shù)，隨著n的變化而變化，但是，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，fn(A)在一個(gè)確定的數(shù)值附近擺動(dòng)，而且隨著n的繼續(xù)增加，擺動(dòng)的幅度越來越小，逐漸穩(wěn)定于一個(gè)確定的數(shù)值。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率定義9 一般地，若試驗(yàn)的條件可以重復(fù)，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件A發(fā)生的頻率在一個(gè)確定的數(shù)值p(0p1)附近擺動(dòng)，則稱p為事件A發(fā)生的概率

8、。 注意 概率是頻率的穩(wěn)定值，是客觀事物規(guī)律性的反映，是事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值量度.也就是說,頻率具有隨機(jī)性，而概率則是確定的。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.6 某城市共有10 000輛自行車，其牌照編號(hào)從00001到10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號(hào)碼中有數(shù)字8”的概率為多大？ 4.1 隨機(jī)事件與事件概率隨機(jī)事件與樣本空間4.1.2本節(jié)討論一種特殊的隨機(jī)試驗(yàn)古典概型，它是概率論中的一種原始模型。 定義10 若試驗(yàn)E滿足：（1）基本事件總數(shù)有限；（2）每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，則稱E為古典概型。 需要指出的是，并不是所有隨機(jī)試驗(yàn)都可以稱為

9、古典概型，關(guān)鍵要看是否具備古典概型的兩個(gè)條件。其中，條件（1）基本事件總數(shù)有限（即有限性）的識(shí)別是容易的，條件（2）每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等（即等可能性）的識(shí)別，則需要依據(jù)某種“勻稱性”或“任意性”來認(rèn)定.為了強(qiáng)調(diào)條件（2），也稱古典概型為等可能概型。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率設(shè)E為古典概型，且其樣本空間為=1,2,n，由于每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，即P(i)=1/n。因此，若A是E的一個(gè)事件，且A中包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則P(A)=k/n。于是得古典概型的計(jì)算公式為： 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.7 從09這10個(gè)數(shù)字中任取4個(gè)數(shù)（允許重復(fù)），求下列事件的概率： （1）能構(gòu)成四位

10、數(shù)； （2）能構(gòu)成四位偶數(shù)； （3）能構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。 解 由于是允許重復(fù)的任取4個(gè)數(shù)，故可看成是每次取一個(gè)數(shù)字，看后放回，混合后再進(jìn)行下一次抽取，于是基本事件總數(shù)為n=104 。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率（1）要構(gòu)成四位數(shù)，首位不能為0，故只能從19中任取一個(gè)，后面三位則沒有任何約束，故若令A(yù)=能構(gòu)成四位數(shù)，則A中的基本事件個(gè)數(shù)為k=9103，則（2）能構(gòu)成四位偶數(shù)，此時(shí)首位不能是0，末位只能從0,2,4,6,8中任取一個(gè)，中間兩位則無約束，若令B=能構(gòu)成四位偶數(shù)，則B中所含基本事件個(gè)數(shù)為k=91025 ，則 4.1 隨機(jī)事件與事件概率（3）能構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則首位不能

11、是0，且首位所選的數(shù)字，后面三位不可再選.若令C=能構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則C中所含基本事件個(gè)數(shù)為 ，則例4.1.8 將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中，求杯子中球數(shù)最大值分別是1,2,3的概率。解 樣本點(diǎn)總數(shù)為43。記Ai=杯子中球數(shù)最大值為i（i=1,2,3）， 則 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.9 投擲兩枚骰子，已知兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一枚為1點(diǎn)的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.10 某人忘記了電話號(hào)碼中的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意撥最后一位號(hào)碼，求撥號(hào)不超過3次而撥通的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.11 在電話號(hào)碼簿中任意取一個(gè)電話號(hào)碼，求它后面的

12、4個(gè)數(shù)字全不相同的概率。 解 可將4個(gè)數(shù)看作4個(gè)人， 09這10個(gè)數(shù)字可看作10間房，則4個(gè)數(shù)字全不相同相當(dāng)于恰有4間房， 每個(gè)房間住一人， 故所求概率為一般情況下，當(dāng)P(A)0.05時(shí)，稱事件A為小概率事件。人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來一條原理實(shí)際不可能原理，即小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率事件間的關(guān)系及其運(yùn)算 4.1.31.條件概率引例 設(shè)100件產(chǎn)品中有 70 件一等品，25 件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品從中任取1 件，求：(1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，它是一等品的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率2. 乘法公式由條件概率公式，

13、易得如下乘法公式： 若P(A)0，則P(AB)=P(A)P(B|A)； （4.1.1） 若P(B)0，則P(AB)=P(B)P(A|B). （4.1.2） 一般地，對(duì)于事件A，B，誰(shuí)先發(fā)生就把誰(shuí)當(dāng)成條件，如果A先發(fā)生，則用式（4.1.1），否則用式（4.1.2）。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.13 一批產(chǎn)品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%。從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率。 解 設(shè)表示取到的產(chǎn)品是一等品，表示取出的產(chǎn)品是合格品，則 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.15 某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7，活到25歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物

14、活到25歲的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率隨機(jī)事件的概率4.1.4如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，即此試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是隨機(jī)事件的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.16 某市統(tǒng)計(jì)近幾年新生兒出生數(shù)及其中男嬰數(shù)（單位：人）如下:(1)試計(jì)算男嬰各年出生的頻率（精確到0.001）； (2)該市男嬰出生的概率是多少？ 4.1 隨機(jī)事件與事件概率解 （1）1999年男嬰出生的頻率為11 453/21 8400.524; 同理可求得2000年、2001年和2002年男嬰出生的頻率分別為0.521，0.512，0.512；

15、(2)各年男嬰出生的頻率范圍為0.510.53，故該市男嬰出生的概率約為0.52。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.17 某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí)，結(jié)果如下：（1）計(jì)算表中進(jìn)球的頻率； （2）這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球概率約是多少？ 4.1 隨機(jī)事件與事件概率解 （1）進(jìn)球的頻率分別為 6/8=0.75，8/10=0.8，12/15=0.8，17/20=0.85，25/30=0.83，32/40=0.8，38/50=0.76。 （2）由于進(jìn)球頻率都在0.8左右擺動(dòng)，故這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約是0.8。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率概率的基本性質(zhì)與事件獨(dú)立性4.1.51. 事

16、件獨(dú)立性的概念一般來說，無條件概率P(B)和條件概率P(B|A)是不相等的，這表明事件A的發(fā)生對(duì)事件B的發(fā)生與否是有影響的。當(dāng)事件A的發(fā)生對(duì)事件B的發(fā)生與否沒有影響時(shí)，我們認(rèn)為事件B與事件A是獨(dú)立的，即事件A與事件B獨(dú)立時(shí)，有P(B|A)=P(B)=P(AB)/P(A)，從而P(AB)=P(A)P(B)。由此，引出獨(dú)立性的定義。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率推廣 A,B,C相互獨(dú)立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)都成立。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率2. 舉例 例4.1.18 若每個(gè)人血清中

17、含有肝炎病毒的概率為0.4%, 假設(shè)每個(gè)人血清中是否含有肝炎病毒相互獨(dú)立，混合100個(gè)人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.19. 一個(gè)工人看管三臺(tái)機(jī)床，其中第一臺(tái)、第二臺(tái)、第三臺(tái)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要看管的概率依次為0.9,0.8,0.7，若三臺(tái)機(jī)床需要看管與否相互獨(dú)立，求在一小時(shí)內(nèi): （1）三臺(tái)機(jī)床中至少有一臺(tái)需要照管的概率； （2）三臺(tái)機(jī)床中最多有一臺(tái)需要照管的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.20 一個(gè)均勻的正四面體, 其第一面染成紅色,第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同時(shí)染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以 A , B, C 分別

18、記投一次四面體出現(xiàn)紅, 白, 黑顏色朝下的事件, 問 A,B,C是否相互獨(dú)立? 4.1 隨機(jī)事件與事件概率解 由于在四面體中紅, 白, 黑分別出現(xiàn)兩面,因此P(A)=P(B)=P(C)=1/2,又由題意知 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4,因此則三事件兩兩獨(dú)立，由于 P(ABC)=1/41/8=P(A)P(B)P(C),因此 A、B、C 不相互獨(dú)立。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率全概率公式與二項(xiàng)概率公式4.1.61.全概率公式定義12 設(shè)隨機(jī)事件的樣本空間是，若事件組A1,A2,An滿足：(1)AiAj=(ij;i,j=1,2,n),即兩兩互不相容； (2)A1A2An=（或 ），即A

19、1,A2,An至少有一個(gè)發(fā)生是必然事件,則稱A1,A2,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組或稱A1,A2,An組成的一個(gè)分割. 若A1,A2,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組，則每次試驗(yàn)A1,A2,An有且僅有一個(gè)發(fā)生。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率使用全概率公式需注意以下三點(diǎn)： （1）問題是否為兩個(gè)步驟； （2）A1,A2,An為第一個(gè)步驟的完備事件組； （3）B發(fā)生在第二個(gè)步驟。定理2 設(shè)A1,A2,An構(gòu)成一個(gè)完備事件組,B為任一事件,則 上式稱為全概率公式。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.21 設(shè)播種用麥種中混有一等、二等、三等、四等四個(gè)等級(jí)的種子，分別各占95.5，2，1.5，1，用一等、二等、三等、

20、四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率解 設(shè)從這批種子中任選一顆是一等、二等、三等、四等種子的事件分別是A1，A2，A3，A4，則它們構(gòu)成完備事件組，又設(shè)表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式得 4.1 隨機(jī)事件與事件概率2. 二項(xiàng)概率公式定義13 在相同條件下，將隨機(jī)試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次，若每次試驗(yàn)結(jié)果互不影響，則稱這n次試驗(yàn)為n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。若每次試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)：A及 ，則稱為n重伯努利試驗(yàn)，所討論的問題稱為伯努利概型。 例如，將一個(gè)骰子連擲n次，

21、則構(gòu)成n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。觀察是否出現(xiàn)3點(diǎn)，令A(yù)出現(xiàn)3點(diǎn)， 不出現(xiàn)3點(diǎn)，則該實(shí)驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率在一個(gè)裝有a個(gè)白球，b個(gè)紅球的口袋中每次取一球，看后放回，共取n次，則構(gòu)成n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).若令A(yù)=取得紅球， =取得白球，則也為n重伯努利試驗(yàn)。將一枚均勻的硬幣連擲n次，令A(yù)=正面向上， =反面向上，則也構(gòu)成n重伯努利試驗(yàn)。 伯努利試驗(yàn)的樣本點(diǎn)設(shè)為1,2,n，其中I 或?yàn)锳或?yàn)?，表示第i次試驗(yàn)A出現(xiàn)或不出現(xiàn)。在n重伯努利試驗(yàn)中，A出現(xiàn)的次數(shù)可以是0,1,2,n中的任意數(shù)，A恰好出現(xiàn)k次的概率即為下面的二項(xiàng)概率公式。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率定理3 在n重伯努利試驗(yàn)中

22、，若事件A每次出現(xiàn)的概率為p(0p1)， 則A恰好出現(xiàn)k次的概率為 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.23 一批產(chǎn)品的次品率為 10%，現(xiàn)進(jìn)行重復(fù)抽樣檢查，共取4件樣品，求這4件樣品中：（1）恰有1件次品;（2）至少有1件次品的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.24 求（1）“一顆骰子連擲4次，至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的概率；（2）“兩顆骰子連擲24次，至少出現(xiàn)一個(gè)雙六”的概率。 4.1 隨機(jī)事件與事件概率例4.1.25 某人對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)射擊4次，至少命中一次的概率為80/81，求此人的命中率. 解 設(shè)此人的命中率為p，據(jù)題意，80/81=1-b(0;4,p)=1-(1-p)4,

23、解得p=2/3。 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量及其概率分布4.2.1定義1 如果隨機(jī)變量X只能取有限個(gè)或可列無窮多個(gè)數(shù)值,則稱X為離散型隨機(jī)變量。 例如，n次射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，任取n件產(chǎn)品中的次品的件數(shù)，一部手機(jī)一天收到呼叫的次數(shù)，某頁(yè)書中印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)等都是離散型隨機(jī)變量。 描述離散型隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的方法是，給出它取每一個(gè)值的概率。 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布定義2 設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，x1,x2,xk,為它所有可能取的值，p1,p2,pk,分別是X取x1,x2,xk,時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率，即 PX=xk=pk(k=1,2,)，稱為X的概率分布（或分布列，分布律）。還可用表

24、格表示為：概率分布的性質(zhì):（1）pk0； （2） 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布例4.2.1 一門大炮對(duì)目標(biāo)進(jìn)行轟擊,假定此目標(biāo)必須被擊中r次才能被摧毀。若每次擊中目標(biāo)的概率為p(0p1),且各次轟擊相互獨(dú)立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止。求所需轟擊次數(shù)X的概率分布。 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布例4.2.3 獨(dú)立射擊5 000次, 命中率為0.001, 求：(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率； (2)命中次數(shù)不少于1 次的概率。 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布例4.2.4 某廠產(chǎn)品不合格率為0.03, 現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱, 若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個(gè)合格品, 則每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)

25、品？ 解 設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+n 個(gè), 每箱的不合格品個(gè)數(shù)為X,則XB(100+n,0.03)。由題意， 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度4.2.21.連續(xù)型隨機(jī)變量的概念定義4 對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f(x)為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布注意 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，其圖形是一條連續(xù)曲線。 概率密度f(wàn)(x)的性質(zhì)如下： 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布例4.2.6 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布2. 幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布（1）均勻分布。 定義5 如果隨機(jī)變量X的概率密度為 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布（2）指數(shù)分布。 定義6 如果隨機(jī)變量X的概率密度為 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布指數(shù)分布在實(shí)際生活中有很廣泛的應(yīng)用，特別是在可靠性及排隊(duì)論中有重要應(yīng)用；其次，電子元件的壽命、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)的時(shí)間、動(dòng)物的壽命、電話的通話時(shí)間等都服從指數(shù)分布。 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布例4.2.9 設(shè)隨機(jī)變量X服從(1,6)上的均勻分布，求一元二次方程t2+xt+1=0有實(shí)根的概率。 4.2 隨機(jī)變量及其概率分布定義7 如果隨機(jī)變量X的概率密度為 4.2 隨