機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)之4——工業(yè)機(jī)器人設(shè)計(jì)-

1、機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）機(jī)器人研究所山東省現(xiàn)代數(shù)字化醫(yī)療裝備高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室黃 博本課程主要講述內(nèi)容機(jī)械制造裝備及制造業(yè)動(dòng)態(tài)機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)方法金屬切削機(jī)床設(shè)計(jì)典型部件設(shè)計(jì)工業(yè)機(jī)器人設(shè)計(jì)機(jī)床夾具設(shè)計(jì)物流系統(tǒng)設(shè)計(jì)機(jī)械加工生產(chǎn)線總體設(shè)計(jì)機(jī)器人技術(shù)Robot歷程及定義 1920年，捷克劇作家卡里洛奇別克在其科幻劇 (Rossums Universal Robots)首次使用ROBOT名詞，意思是“人造的人”。1960年美國AMF公司生產(chǎn)了首臺(tái)工業(yè)生產(chǎn)柱坐標(biāo)型Versatran機(jī)器人，可進(jìn)行點(diǎn)位和軌跡控制。 1979年，Unimation推出PUMA機(jī)器人：多關(guān)節(jié)、全電機(jī)驅(qū)動(dòng)、多CPU二級(jí)

2、控制，采用VAL專用語言，可配視覺、觸覺、力覺傳感器。新世紀(jì)智能機(jī)器人，更完善的環(huán)境感知能力，還具有邏輯思維、判斷和決策能力，可根據(jù)作業(yè)要求與環(huán)境信息自主工作。美國機(jī)器人協(xié)會(huì)(RIA):一種用于移動(dòng)各種材料、零件、工具或?qū)Ｓ醚b置，通過程序動(dòng)作來執(zhí)行各種任務(wù)，并具有編程能力的多功能操作機(jī)。日本工業(yè)機(jī)器人協(xié)會(huì)(JIRA):工業(yè)機(jī)器人是一種裝備有記憶裝置和末端執(zhí)行裝置的、能夠完成各種移動(dòng)來代替人類勞動(dòng)的通用機(jī)器。國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISA):機(jī)器人是一種自動(dòng)的、位置可控的、具有編程能力的多功能操作機(jī)，這種操作機(jī)具有幾個(gè)軸，能夠借助可編程操作來處理各類材料、零件、工具和專用裝置，以執(zhí)行各種任務(wù)。工業(yè)機(jī)器人

3、基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿描述直角坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變化D-H法及PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)述微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制機(jī)器人的主要分支（我的分類法）工業(yè)機(jī)器人（末端執(zhí)行器干活為主，一般機(jī)座不移動(dòng)或規(guī)律移動(dòng)）面向工業(yè)應(yīng)用，含基本應(yīng)用、高速重載、微操作等。注重作業(yè)能力、含：作業(yè)范圍、負(fù)載、精度速度可靠性等指標(biāo)。研究熱點(diǎn)：各種形式的作業(yè)臂、新型驅(qū)動(dòng)、控制方式，宏微結(jié)合等。國際成熟產(chǎn)品多，加強(qiáng)國產(chǎn)化研究及工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)的集成應(yīng)用，醫(yī)療及電子行業(yè)等微的問題有待突破，網(wǎng)絡(luò)遙操作等也是問題。移動(dòng)機(jī)器人（以移動(dòng)能力為主）以移動(dòng)能力和移動(dòng)機(jī)構(gòu)為研究重點(diǎn)；注重地形的適應(yīng)能力及

4、未知環(huán)境的感知能力；多以地形感知、地圖構(gòu)建、移動(dòng)機(jī)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)為研究熱點(diǎn)。當(dāng)前軍事機(jī)器人的研究主要問題也是移動(dòng)的問題！服務(wù)機(jī)器人（既能動(dòng)，又能干活）是移動(dòng)機(jī)器人與工業(yè)機(jī)器人技術(shù)的集成現(xiàn)在多以家用、娛樂、助老助殘等為研究背景；正在拓展：工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)、上天入地下海、輻射環(huán)境等服務(wù)；通用化、系列化及微軟提出的編程模式是發(fā)展方向。機(jī)器人圖例工業(yè)機(jī)器人機(jī)器人焊接機(jī)器人圖例工業(yè)機(jī)器人六自由度機(jī)器人搬運(yùn)（末端夾持器不同）機(jī)器人圖例工業(yè)機(jī)器人電子領(lǐng)域的工業(yè)機(jī)器人機(jī)器人圖例移動(dòng)機(jī)器人輪式（最多，可用于平地及圓面、直立面等）機(jī)器人圖例移動(dòng)機(jī)器人足式（大發(fā)展：2、4、6、8居多）機(jī)器人圖例移動(dòng)機(jī)器人履帶式等機(jī)器人圖

5、例服務(wù)機(jī)器人家政娛樂等機(jī)器人圖例服務(wù)機(jī)器人情感等機(jī)器人圖例服務(wù)機(jī)器人醫(yī)療等機(jī)器人圖例并聯(lián)機(jī)器人比爾蓋茨機(jī)器人預(yù)言及計(jì)劃?rùn)C(jī)器人將會(huì)像個(gè)人電腦一樣走進(jìn)千家萬戶Robotics Studio是面向機(jī)器人的通用開發(fā)平臺(tái)，支持各類用戶，各種硬件和各個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域。（人工智能的問題）支持各種機(jī)器人基本的輸入與輸出自主導(dǎo)航二進(jìn)制代碼與源代碼功能庫： 語音識(shí)別，語音合成，人臉與手勢(shì)檢測(cè)， 顏色跟蹤，雙面定位，GPS等我國機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展戰(zhàn)略工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿描述直角坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變化D-H法及PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)述微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制機(jī)器

6、人系統(tǒng)的構(gòu)成機(jī)械本體：本體機(jī)構(gòu)基本上分為兩大類，一類是操作本體機(jī)構(gòu)，它類似人的手臂和手腕，另一類為移動(dòng)型本體結(jié)構(gòu)，主要實(shí)現(xiàn)移動(dòng)功能。驅(qū)動(dòng)伺服單元：驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)并帶動(dòng)負(fù)載按預(yù)定的軌跡運(yùn)動(dòng)。已廣泛采用的驅(qū)動(dòng)方式有：液壓伺服驅(qū)動(dòng)、電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)，氣動(dòng)伺服驅(qū)動(dòng)。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)：各關(guān)節(jié)伺服驅(qū)動(dòng)的指令值由主計(jì)算機(jī)計(jì)算后，在各采樣周期給出。機(jī)器人通常采用主計(jì)算機(jī)與關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)伺服計(jì)算機(jī)兩級(jí)計(jì)算機(jī)控制。傳感系統(tǒng)：除了關(guān)節(jié)伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的位置傳感器（稱作內(nèi)部傳感器）外，還配備視覺、力覺、觸覺、接近覺等傳感器（稱作外部傳感器）。輸入/輸出系統(tǒng)接口：為了與周邊系統(tǒng)及相應(yīng)操作進(jìn)行聯(lián)系與應(yīng)答，還應(yīng)有各種通訊接口和人機(jī)通信裝置。機(jī)器

7、人系統(tǒng)的主要技術(shù)參數(shù)自由度（機(jī)構(gòu)問題）：獨(dú)立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軸的數(shù)目，還包括末端操作器的開合自由度。三維空間中描述一個(gè)物體的位姿（位置和姿態(tài)）需要6個(gè)自由度。工業(yè)機(jī)器人的自由度是根據(jù)其用途而設(shè)計(jì)的，以6自由度+1為主。精度（機(jī)構(gòu)及控制）：定位精度是指機(jī)器人手部實(shí)際到達(dá)位置與目標(biāo)位置之間的差異。重復(fù)定位精度是指機(jī)器人手部重復(fù)定位于同一目標(biāo)位置的能力。工作空間（運(yùn)動(dòng)學(xué)問題）：手臂末端或手腕中心所能達(dá)到的所有點(diǎn)的集合（含形狀和大小）。最大工作速度：主要自由度上最大的穩(wěn)定速度，或手臂末端的最大合成速度。承載能力（動(dòng)力學(xué)問題）：指機(jī)器人在工作范圍內(nèi)的任何位姿上所能承受的最大重量。承載能力不僅決定于負(fù)載的質(zhì)量，還

8、與機(jī)器人運(yùn)行的速度和加速度有關(guān)。工業(yè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)型式類型關(guān)節(jié)型回轉(zhuǎn)及直線運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)；靈活性好，工作空間大，剛度精度較低球坐標(biāo)型（極坐標(biāo)型）靈活性好，工作空間大，剛度精度較差；圓柱坐標(biāo)型靈活性、工作空間、剛度精度較好；直角坐標(biāo)剛度精度高，靈活性及工作空間差。運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)（純粹描述物體運(yùn)動(dòng)，完全不考慮導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)的因素）從幾何的角度（指不涉及物體本身的物理性質(zhì)和加在物體上的力) 描述和研究物體位置隨時(shí)間的變化規(guī)律的力學(xué)分支；點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、軌跡、位移、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)特征，這些都隨所選參考系的不同而異；剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)：還要研究剛體本身的轉(zhuǎn)動(dòng)過程、角速度、角加速度等更復(fù)雜些的運(yùn)動(dòng)特征機(jī)

9、器人運(yùn)動(dòng)學(xué)：手在空間的運(yùn)動(dòng)與各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)（主要研究運(yùn)動(dòng)的變化與造成這變化的各種因素）以牛頓第二定律為核心（這個(gè)定律指出了力、加速度、質(zhì)量三者間的關(guān)系），研究作用于物體的力與物體運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)系、剛體等）動(dòng)力學(xué)有兩類基本問題：已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，求作用力；求解第一類問題時(shí)只要對(duì)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程取二階導(dǎo)數(shù)，得到質(zhì)點(diǎn)的加速度，代入牛頓第二定律，可求得力；已知作用力，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。求解第二類問題時(shí)需要求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程或求積分。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)問題：手在空間的運(yùn)動(dòng)與各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系正問題：已知關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，求機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)。逆問題：已知機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)，求關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)模型：

10、手的運(yùn)動(dòng)位姿變化位姿矩陣M關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化關(guān)節(jié)變量qi，i=1，n運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： M=f(qi)， i=1，n正問題：已知qi，求M。逆問題：已知M，求qi。工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿描述直角坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變化D-H法及PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)述微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿描述位置位置可以用一個(gè)31的位置矩陣來描述；姿態(tài)剛體的姿態(tài)可以用附著于剛體上的坐標(biāo)系（用B表示）來表示；因此，剛體相對(duì)于坐標(biāo)系A(chǔ)的姿態(tài)等價(jià)于B相對(duì)于A的姿態(tài)。坐標(biāo)系B相對(duì)于A的姿態(tài)表示可以用坐標(biāo)系B的三個(gè)基矢量XB、YB和ZB 在A中的表示給出， 即AXB

11、 AYB AZB ,它是一個(gè)33矩陣，它的每一列為 B的基矢量在A中的分量表示。工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿描述直角坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變化D-H法及PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)述微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)直角坐標(biāo)變換1、平移坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，若用 矢量表示坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j原點(diǎn)之間的矢量，則坐標(biāo)系j就可以看成是由坐標(biāo)系i沿矢量 平移變換而來的，所以稱矢量 為平移變換矩陣，它是一個(gè)31的矩陣，即：若空間有一點(diǎn)在坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j中分別用矢量 和 表示，則它們之間有以下關(guān)系： 坐標(biāo)平移方程iiiij

12、jjj機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)直角坐標(biāo)變換旋轉(zhuǎn)變換設(shè)坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j的原點(diǎn)重合，但它倆的姿態(tài)不同，則坐標(biāo)系j就可以看成是由坐標(biāo)系i旋轉(zhuǎn)變換而來的，旋轉(zhuǎn)變換矩陣比較復(fù)雜，最簡(jiǎn)單的是繞一根坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換如：繞z軸旋轉(zhuǎn)角坐標(biāo)系j的坐標(biāo)軸方向相對(duì)于坐標(biāo)系i繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角。角的正負(fù)一般按右手法則確定，即由z軸的矢端看，逆時(shí)鐘為正。若空間有一點(diǎn)p，則其在坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j中的坐標(biāo)分量之間就有以下關(guān)系：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)直角坐標(biāo)變換繞z軸旋轉(zhuǎn)（續(xù)）若補(bǔ)齊所缺的有些項(xiàng)，再作適當(dāng)變形，則有： 將上式寫成矩陣的形式，則有： 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)直角坐標(biāo)變換繞Z軸旋轉(zhuǎn)（續(xù)）再將其寫成矢量形式，則有坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)方程： p點(diǎn)在坐標(biāo)系i中

13、的坐標(biāo)列陣（矢量）； p點(diǎn)在坐標(biāo)系j中的坐標(biāo)列陣（矢量）； 坐標(biāo)系j變換到i的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，稱方向余弦矩陣。方向余弦矩陣每個(gè)元素是坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j相應(yīng)坐標(biāo)軸夾角的余弦值，它表明坐標(biāo)系j相對(duì)于坐標(biāo)系i的姿態(tài)（方向）。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)直角坐標(biāo)變換繞x軸旋轉(zhuǎn)角、繞y軸旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣?yán)@Z軸旋轉(zhuǎn)- 角機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)直角坐標(biāo)變換聯(lián)合變換設(shè)坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j之間存在先平移變換，后旋轉(zhuǎn)變換，則空間任一點(diǎn)在坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j中的矢量之間就有以下關(guān)系：若坐標(biāo)系i和坐標(biāo)系j之間是先旋轉(zhuǎn)變換，后平移變換，則上述關(guān)系是應(yīng)如何變化？機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)直角坐標(biāo)變換例：已知坐標(biāo)系B的初始位置與坐標(biāo)系A(chǔ)重合，首

14、先坐標(biāo)系B沿坐標(biāo)系A(chǔ)的x軸移動(dòng)12個(gè)單位，并沿坐標(biāo)系A(chǔ)的y軸移動(dòng)6個(gè)單位，再繞坐標(biāo)系A(chǔ)的z軸旋轉(zhuǎn)30，求平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣？假設(shè)某點(diǎn)在坐標(biāo)系B中的矢量為： ，求該點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)中的矢量？工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿描述直角坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變化D-H法及PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)述微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)（目的是合并矩陣變換運(yùn)算中的乘法和加法）空間中任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量用 表示，若有四個(gè)不同時(shí)為零的數(shù) 與三個(gè)直角坐標(biāo)分量之間存在以下關(guān)系：則 就是 的齊次坐標(biāo)若比例坐標(biāo)k=1，則空間任一點(diǎn)(x

15、,y,z)的齊次坐標(biāo)為(x,y,z,1)，以后用到齊次坐標(biāo)時(shí)，一律默認(rèn)k=1 。前面提到的非齊次變換如下：設(shè)坐標(biāo)系j是i先沿矢量平移，再繞z軸旋轉(zhuǎn)角，則變換規(guī)律：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換如何將上頁J到i的坐標(biāo)變換用齊次坐標(biāo)？上式寫成方程：引入齊次坐標(biāo)，補(bǔ)齊所缺各項(xiàng)，再適當(dāng)變形，則有： 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換將上頁坐標(biāo)寫成矩陣形式則有：由此可見，聯(lián)合變換的齊次坐標(biāo)方程為： 是一個(gè)44的齊次坐標(biāo)變換矩陣機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換齊次變換矩陣的寫法和含義（位姿矩陣）將其分塊，可見：左上角的33矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，描述姿態(tài)關(guān)系；右上角的31矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的平移變換矩陣，描述位置關(guān)

16、系；齊次變換矩陣的通式為： j的原點(diǎn)在i中的坐標(biāo)分量； j的x軸對(duì)i的三個(gè)方向余弦； j的y軸對(duì)i的三個(gè)方向余弦； j的z軸對(duì)i的三個(gè)方向余弦。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換聯(lián)合齊次變換矩陣：觀察下述三個(gè)矩陣任何一個(gè)齊次坐標(biāo)變換矩陣均可分解為一個(gè)平移變換矩陣與一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣的乘積機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換聯(lián)合變換與單步齊次矩陣的關(guān)系當(dāng)空間有n個(gè)坐標(biāo)系時(shí)，若已知相鄰坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣，則：由此可知，建立機(jī)器人的坐標(biāo)系，將機(jī)器人手部在空間的位姿用齊次坐標(biāo)變換矩陣描述出來，從而建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。坐標(biāo)系之間多步齊次變換矩陣等于每次單獨(dú)變換的齊次變換矩陣的乘積，而相對(duì)變換則決定這些矩陣相乘的順序，

17、其分為左乘和右乘：.若坐標(biāo)系之間的變換是始終相對(duì)于原來的參考坐標(biāo)系，則齊次坐標(biāo)變換矩陣左乘；.若坐標(biāo)系之間的變換是相對(duì)于當(dāng)前新的坐標(biāo)系，則齊次坐標(biāo)變換矩陣右乘。 0i-1in機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換例：已知坐標(biāo)系B是繞坐標(biāo)系A(chǔ)的zA軸旋轉(zhuǎn)90，再繞A的xA軸旋轉(zhuǎn)90，最后沿矢量： 平移得到的，求坐標(biāo)系A(chǔ)與坐標(biāo)系B之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣。 由題意可知滿足左乘原則，即有： 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換例：已知坐標(biāo)系B是繞坐標(biāo)系A(chǔ)的zA軸旋轉(zhuǎn)90，再繞B的xB軸旋轉(zhuǎn)90，最后沿矢量： 平移得到的，求坐標(biāo)系A(chǔ)與坐標(biāo)系B之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣。 由題意可知滿足右乘原則，即有： 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換逆變換

18、已知i通過先平移，后旋轉(zhuǎn)變成j，則變換矩陣為：逆變換則相當(dāng)于：變換順序顛倒:先平移，后旋轉(zhuǎn)先旋轉(zhuǎn)，后平移。變換參數(shù)取反:旋轉(zhuǎn)-，px,py,pz-px,-py,-pz則j到i的變換矩陣為：iiiijjjjiiiijjjj機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)齊次坐標(biāo)變換逆變換機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程模型： M=f(qi)， i=1，nM機(jī)器人手在空間的位姿qi機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)變量建立坐標(biāo)系機(jī)座坐標(biāo)系0桿件坐標(biāo)系i1，2，n手部坐標(biāo)系h其中機(jī)座坐標(biāo)系0準(zhǔn)則：z軸垂直， x軸水平，方向指向手部所在平面。oh0123關(guān)節(jié)1關(guān)節(jié)2關(guān)節(jié)3x1z1o1Zhxhx0z0o0z3x3o3y2x2o2機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

19、方程桿件坐標(biāo)系i，i=1，2，n建立原則：z軸與關(guān)節(jié)軸線重合，x軸與兩關(guān)節(jié)軸線的距離重合，方向指向下一個(gè)桿件。桿件坐標(biāo)系有兩種：第一種： z軸與i+1關(guān)節(jié)軸重合（如：關(guān)節(jié)1的Z軸與關(guān)節(jié)2的關(guān)節(jié)軸重合）第二種： z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程手部坐標(biāo)系h在第一種桿件坐標(biāo)系下，h與n坐標(biāo)系重合。在第二種桿件坐標(biāo)系下，h與n坐標(biāo)系的方向保持一致。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程確定參數(shù)：桿件幾何參數(shù)（不變，結(jié)構(gòu)特性）I、桿件長(zhǎng)度li：兩關(guān)節(jié)軸線的距離。II、桿件扭角i：兩關(guān)節(jié)軸線的夾角。關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)（可能變量，運(yùn)動(dòng)控制量）I、關(guān)節(jié)平移量di：相鄰桿件的長(zhǎng)度在關(guān)節(jié)軸線上的距離。II、關(guān)

20、節(jié)回轉(zhuǎn)量i：相鄰桿件的長(zhǎng)度在關(guān)節(jié)軸線上的夾角。關(guān)節(jié)變量：di平移關(guān)節(jié)；i回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程第一種坐標(biāo)系變換（ z軸與i+1關(guān)節(jié)軸線重合）1）建立坐標(biāo)系i-1、ii-1i變換過程a、Trans（0，0，di）；b、Rot（z，i）；c、Trans（li，0，0）；d、Rot（x，i）。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程第一種坐標(biāo)系變換（續(xù)）注意如下特例：（因?yàn)槠揭婆c旋轉(zhuǎn)是沿著同一根軸的）機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程第二種坐標(biāo)系（ z軸與i關(guān)節(jié)軸線重合）建立坐標(biāo)系i-1、i；i-1i變換過程a、Trans（li-1，0，0）；b、Rot（x，i-1）；c、Trans（0，0，di）；

21、d、Rot（z，i）。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程第2種坐標(biāo)系變換（續(xù)）機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程例子：已知三自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人如圖所示，設(shè)機(jī)器人桿件1、2、3的長(zhǎng)度為l1，l2，l3。建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。1）建立坐標(biāo)系（第一種）a、機(jī)座坐標(biāo)系0b、桿件坐標(biāo)系ic、手部坐標(biāo)系h（與末端n重合）（2）確定參數(shù) i dii lii qi 1 01 l1 01 2 02 l2 02 3 03 l3 03機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程例子（續(xù)）相鄰桿件位姿矩陣機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有： 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

22、方程例子：已知三自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人如圖所示，設(shè)機(jī)器人桿件1、2、3的長(zhǎng)度為l1，l2，l3。建立機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。1）建立坐標(biāo)系（第二種）a、機(jī)座坐標(biāo)系0b、桿件坐標(biāo)系ic、手部坐標(biāo)系h（與末端n方向一致） （2）確定參數(shù) i li-1i-1 dii qi 1 0 0 011 2 l1 0 022 3 l2 0 033機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程例子（續(xù)）相鄰桿件位姿矩陣機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程將相鄰桿件位姿矩陣依次相乘，則有： 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的模型： M0h=f(qi)， i=1，n正問題：已知關(guān)節(jié)變量qi的值，求手在空間的位姿M0h。用途：檢驗(yàn)、校準(zhǔn)機(jī)器人。逆

23、問題：已知手在空間的位姿M0h，求關(guān)節(jié)變量qi的值。用途：指揮機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制。逆解特征分三種情況：多解、唯一解、無解。多解的選擇原則：最接近原則。計(jì)算方法：遞推逆變換法，即機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解例：已知四軸平面關(guān)節(jié)SCARA機(jī)器人如圖所示，試計(jì)算：（1）機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；（2）當(dāng)關(guān)節(jié)變量取qi=30，-60，120，90T時(shí)，機(jī)器人手部的位置和姿態(tài)；（3）機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解1）建立坐標(biāo)系（第一種）機(jī)座坐標(biāo)系0桿件坐標(biāo)系i手部坐標(biāo)系h2）確定參數(shù) i dii lii qi 1 8001400 01 2 02300 02 3 d3 0 0

24、0 d3 4-2004 0 04機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解各轉(zhuǎn)換矩陣求解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解建立運(yùn)動(dòng)方程：將關(guān)節(jié)變量qi=30，-60，120，90T代入則得：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解（已知末端位姿及桿長(zhǎng)，求d3、i等關(guān)節(jié)變量）：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的表達(dá)通式為：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的解聯(lián)立a)、b）兩式可得：c）、（d）兩式平方再相加可得 ：c） 、d）兩式展開可得：所以：求出2后，再求出1，接著求出4；根據(jù)e）式求出d3.工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿描述直角坐標(biāo)變換齊次坐標(biāo)變化D-H法及PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)述微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)

25、器人運(yùn)動(dòng)控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H法在1955年，Denavit和Hartenberg在“ASME Journal of Applied Mechanics”發(fā)表了一篇論文，后來利用這篇論文來對(duì)機(jī)器人進(jìn)行表示和建模。Denavit-Hartenberg(D-H)模型表示了對(duì)機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)進(jìn)行建模的一種非常簡(jiǎn)單的方法，可用于任何機(jī)器人構(gòu)型，而不管機(jī)器人的結(jié)構(gòu)順序和復(fù)雜程度如何。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H法構(gòu)建基礎(chǔ)：機(jī)器人由一系列具有空間彎曲軸線的桿件（廣義連桿）連接構(gòu)成；對(duì)于一個(gè)n關(guān)節(jié)廣義連桿系統(tǒng)，可取出任意桿件i-1與相鄰桿件i、與其相連的關(guān)節(jié)i-1和i來研究即可（定義連桿i-1的4個(gè)特征參數(shù)）：1）連

26、桿i-1的長(zhǎng)度a(i-1) :關(guān)節(jié)軸線i-1和關(guān)節(jié)軸線i的公法線長(zhǎng)度；2）連桿i-1的扭角(i-1)：關(guān)節(jié)軸線i-1和關(guān)節(jié)軸線i的夾角（垂直于長(zhǎng)度a(i-1) 的平面內(nèi)）；指向?yàn)閺妮S線i-1到軸線i。3）連桿i相對(duì)于連桿i-1的偏置di：關(guān)節(jié)i上的兩條公法線ai與ai-1之間的距離，沿關(guān)節(jié)軸線i測(cè)量，是移動(dòng)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)變量。4）關(guān)節(jié)角i 連桿i 相對(duì)于連桿i-1繞軸線i的旋轉(zhuǎn)角度，繞關(guān)節(jié)軸線i測(cè)量（由a(i-1) 方向繞zi軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)向ai方向），是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的變量。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H法坐標(biāo)系構(gòu)建規(guī)則：每個(gè)連桿固接一個(gè)坐標(biāo)系?；鴺?biāo)系0、坐標(biāo)系n、坐標(biāo)系i。坐標(biāo)軸規(guī)定：Z0軸沿關(guān)節(jié)軸1的方向，關(guān)節(jié)

27、變量1為零時(shí)，坐標(biāo)系0與1重合關(guān)節(jié)1是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)時(shí)，d0=0；關(guān)節(jié)1是移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，0=0 Zn軸沿關(guān)節(jié)軸n-1方向，關(guān)節(jié)變量n-1為零時(shí)，坐標(biāo)系n-1與n重合關(guān)節(jié)n-1是旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)時(shí)，dn=0；關(guān)節(jié)n-1是移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，n=0坐標(biāo)系i的Z軸與關(guān)節(jié)軸i共線，指向不定；X軸與公垂線重合，指向從i到i+1；原點(diǎn)O取為XZ的交點(diǎn)；Zi和Zi+1相交時(shí)，其交點(diǎn)為i原點(diǎn)，Zi和Zi+1平行時(shí)，i原點(diǎn)取偏置為零處。ai1:從 Zi1到 Zi沿 X i1測(cè)量的距離 i1 :從 Zi1到 Zi繞 Xi1旋轉(zhuǎn)的角度 di :從 Xi1XiZi測(cè)量的距離 i :從 Xi1到 Xi繞Zi旋轉(zhuǎn)的角度 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H法構(gòu)建

28、方法及步驟：原則：先建立中間坐標(biāo)系i，后兩端坐標(biāo)系0n1）確定Z軸：找出關(guān)節(jié)軸線及關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)向采用右手定則確定Z；2）確定原點(diǎn)：如果兩相鄰軸線Zi與Zi+1不相交，則公垂線與軸線i的交點(diǎn)為原點(diǎn)，注意平行時(shí)原點(diǎn)的選擇應(yīng)使偏置為零；如果相交則交點(diǎn)為原點(diǎn)，注意:如果重合則原點(diǎn)應(yīng)使偏置為零；3）確定X軸：兩軸線不相交時(shí)，X與公垂線重合，指向從i到i+1；若兩軸線相交，則X是兩軸線所成平面的法線X= Zi Zi+1 ；注意:如果兩軸線重合，則X軸與軸線垂直且使其他連桿參數(shù)為零；4）按右手定則確定Y ；5）當(dāng)?shù)谝粋€(gè)關(guān)節(jié)變量為零時(shí)，規(guī)定0與1重合，對(duì)于末端坐標(biāo)系n，原點(diǎn)與X任選，希望坐標(biāo)系n使桿參數(shù)盡量為零。機(jī)

29、器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H法推導(dǎo)相鄰連桿坐標(biāo)系i與i-1的齊次變換矩陣明確參數(shù)及變換過程：四個(gè)基本子變換（1）繞Xi1 轉(zhuǎn)i-1（2）沿Xi1 移ai-1（3）繞Zi轉(zhuǎn)i（4）沿Zi移di機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H法_范例PUMAPUMA560每個(gè)關(guān)節(jié)均有角度零位與正負(fù)方向限位開關(guān)，機(jī)器人的回轉(zhuǎn)機(jī)體實(shí)現(xiàn)機(jī)器人機(jī)體繞z0軸的回轉(zhuǎn)（角1），它由固定底座和回轉(zhuǎn)工作臺(tái)組成。安裝在軸中心的驅(qū)動(dòng)電機(jī)經(jīng)傳動(dòng)裝置，可以實(shí)現(xiàn)工作臺(tái)的回轉(zhuǎn)。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H法_范例PUMA560機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)D-H法_范例PUMA560前面提到：D-H法矩陣變換通式為： 工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)位姿描述直角坐標(biāo)變

30、換齊次坐標(biāo)變化D-H法及PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)述微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的微分微分運(yùn)動(dòng)研究機(jī)器人關(guān)節(jié)變量微變化與機(jī)器人手部位姿微變化之間關(guān)系。兩類問題：1、已知機(jī)器人各關(guān)節(jié)變量的微小變化，求機(jī)器人手部位姿微小變化。2、已知機(jī)器人手部位姿微小變化，求機(jī)器人各關(guān)節(jié)變量的微小變化。應(yīng)用：機(jī)器人控制、誤差分析、動(dòng)力分析等。微分變換：設(shè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)鏈中某一桿件相對(duì)于機(jī)座坐標(biāo)系的位姿為 ，經(jīng)過微運(yùn)動(dòng)后該桿件的位姿變?yōu)?，若位姿是某個(gè)變量q的函數(shù)，則：若位姿是若干個(gè)變量qi的函數(shù)，則： 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的微分機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的微分由圖可得，機(jī)器人位姿矩陣

31、為：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的微分因：結(jié)合已知條件，可得：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的微分d2微分機(jī)器人手部位姿的總偏差為：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的微分微分變換矩陣微分平移變換矩陣：微分旋轉(zhuǎn)變換矩陣：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的微分三個(gè)微分旋轉(zhuǎn)變換矩陣按任意順序相乘，只要略去高階微量，其結(jié)果均為：總結(jié)：微分變換矩陣為：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的微分兩坐標(biāo)系間微分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系設(shè)任意兩個(gè)坐標(biāo)系i和j 之間的變換關(guān)系為Mij。若相對(duì)于坐標(biāo)系i進(jìn)行的微運(yùn)動(dòng)用微分變換矩陣i表示，相對(duì)于坐標(biāo)系j用j表示，即： 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)微分運(yùn)動(dòng)與雅可比矩陣微分運(yùn)動(dòng)指機(jī)構(gòu)的微小運(yùn)動(dòng)，若在一個(gè)小的時(shí)間內(nèi)測(cè)量或計(jì)算這個(gè)微分運(yùn)動(dòng)，就能得到速

32、度關(guān)系。雅可比雅可比矩陣建立了末端微分運(yùn)動(dòng)與各關(guān)節(jié)微分運(yùn)動(dòng)的聯(lián)系?？蓪⒛┒诉\(yùn)動(dòng)軌跡看做是很多微小運(yùn)動(dòng)的合成；利用雅可比逆陣將末端的微小運(yùn)動(dòng)變換為各關(guān)節(jié)變量相對(duì)于參考坐標(biāo)系的微小運(yùn)動(dòng)，進(jìn)一步將關(guān)節(jié)變量作為關(guān)節(jié)伺服機(jī)構(gòu)的輸入，實(shí)現(xiàn)末端執(zhí)行器的位置控制。表示機(jī)構(gòu)部件隨時(shí)間變化的幾何關(guān)系（速度）可將單個(gè)關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)或速度轉(zhuǎn)換為感興趣的點(diǎn)的微分運(yùn)動(dòng)或速度；也可將單個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)與整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來。知道了雅可比矩陣的逆，就可算出每個(gè)關(guān)節(jié)需要以多快的速度運(yùn)動(dòng)，才能使機(jī)械手產(chǎn)生所期望的微分運(yùn)動(dòng)或達(dá)到期望的速度。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣雅可比矩陣的定義把機(jī)器人關(guān)節(jié)速度向量 定義為： 為連桿i相對(duì)i-1的角速

33、度或線速度。手爪在基坐標(biāo)系中的廣義速度向量為： v為線速度，為角速度分量。從關(guān)節(jié)空間速度向操作空間速度映射的線性關(guān)系稱為雅可比矩陣，記為J，即：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣在數(shù)學(xué)上，機(jī)器人手爪的廣義位置（位姿）矢量P可寫成：對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有：機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣雅可比矩陣的作用？利用雅可比矩陣可以建立機(jī)器人末端執(zhí)行器在笛卡兒坐標(biāo)系中的速度與各關(guān)節(jié)速度間的關(guān)系；外界環(huán)境對(duì)末端執(zhí)行器的作用力/力矩與各關(guān)節(jié)力/力矩間的關(guān)系。雅可比矩陣的應(yīng)用：1）分離速度控制（速度與位置、軌跡控制）當(dāng)要求機(jī)器人沿某軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)：P已知，獲得雅可比矩陣后，即可求出關(guān)節(jié)變量的增量Q，由伺服系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)位置控制。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣

34、雅可比矩陣的應(yīng)用：2）在靜力分析中的應(yīng)用有些機(jī)器人工作需要與環(huán)境接觸，并保持一定的接觸力。接觸力可表示為一個(gè)六維的力向量：機(jī)器人由n個(gè)關(guān)節(jié)組成，則具有n個(gè)驅(qū)動(dòng)力（如果欠驅(qū)動(dòng)就少一些）若用Q表示關(guān)節(jié)位移，則關(guān)節(jié)處的總功為： Wq=TT Q若用P表示末端接觸處做的總功，即有：Wc=FT P當(dāng)處于靜止或低速勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)總功相等FT P =TT Q根據(jù)虛位移原理 ：TT Q=FT P因?yàn)椋?P=JQ，代入上式，得：TT Q=FT JQ所以：TT =FT J 轉(zhuǎn)置后可得：T=JTF因此，在機(jī)器人的外界力與各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力（力矩）矩陣間，存在一個(gè)機(jī)構(gòu)的力雅可比矩陣，所以可利用該矩陣進(jìn)行驅(qū)動(dòng)力分析。機(jī)器人

35、運(yùn)動(dòng)學(xué)雅可比矩陣雅可比矩陣的應(yīng)用：2）在加速度規(guī)劃中的應(yīng)用機(jī)器人手端在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的速度與各關(guān)節(jié)速度存在雅可比矩陣：所以求導(dǎo)后，基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的加速度與各關(guān)節(jié)加速度存在如下關(guān)系：利用上式，已知各關(guān)節(jié)加速度，可求得手端加速度；（正問題）利用上式，已知手端加速度，可求得各關(guān)節(jié)加速度，進(jìn)行加速度控制其中，雅可比矩陣對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：雅可比矩陣的求法雅可比矩陣求法有：矢量積法；構(gòu)造法；超出本課程范疇，所以不深入講解了，有興趣的同學(xué)可以自學(xué)。工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日法牛頓歐拉法機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制機(jī)器人動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)研究的問題：機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)與關(guān)節(jié)需要的

36、驅(qū)動(dòng)力（矩）之間的關(guān)系。正問題：已知關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，求關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力（矩）。逆問題：已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力（矩），求關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)模型：關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)位移、速度、加速度變化關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力（矩）驅(qū)動(dòng)力或驅(qū)動(dòng)力矩i動(dòng)力學(xué)方程： ，i=1，n正問題：已知 ，求i。逆問題：已知i ，求 。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)研究方法1拉格朗日方程法：通過動(dòng)、勢(shì)能變化與廣義力的關(guān)系，建立機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程。代表人物 R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。2牛頓歐拉方程法：用構(gòu)件質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)表示機(jī)器人構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)，利用動(dòng)靜法建立基于牛頓歐拉方程的動(dòng)力學(xué)方程。代表人物Orin, Luh(陸?zhàn)B生)等。3高斯原

37、理法: 利用力學(xué)中的高斯最小約束原理，把機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問題化成極值問題求解。代表人物波波夫(蘇)。用以解決第二類問題。4凱恩方程法：引入偏速度概念，應(yīng)用矢量分析建立動(dòng)力學(xué)方程。該方法在求構(gòu)件的速度、加速度及關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力時(shí)，只進(jìn)行一次由基礎(chǔ)（0）到末桿（n）的推導(dǎo)，即可求出關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力，其間不必求關(guān)節(jié)的約束力，具有完整的結(jié)構(gòu)，也適用于閉鏈機(jī)器人。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)靜力學(xué)分析示意靜力學(xué)分析1）機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)處于靜止?fàn)顟B(tài)，負(fù)載一重物，且忽略自重時(shí)：2）機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)處于靜止?fàn)顟B(tài)，負(fù)載一重物，且考慮自重時(shí)：關(guān)節(jié)承受的力和力矩：關(guān)節(jié)需要的驅(qū)動(dòng)力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=m

38、g(l1+l2)1=02=mgl23=mgmgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)1=02=mgl23=mgm3gm2gm1g機(jī)器人動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)分析示意動(dòng)力學(xué)分析機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)負(fù)載為一重物時(shí)：關(guān)節(jié)承受的力和力矩：關(guān)節(jié)需要的驅(qū)動(dòng)力（矩）：f3f2f1m2l2l1m1123m3機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日方程應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的拉格朗日方程來處理?xiàng)U系的問題。 定義：L=K-P LLagrange函數(shù)；K系統(tǒng)動(dòng)能之和；P系統(tǒng)勢(shì)能之和。動(dòng)力學(xué)方程為： 廣義力 廣義速度 廣義坐標(biāo) （力或力矩）（ 或 ） （ 或 ） 以二桿機(jī)器人為例，看拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程：設(shè)二桿機(jī)

39、器人臂桿長(zhǎng)度分別為d1與d2，質(zhì)量分別集中在端點(diǎn)為m1與m2，坐標(biāo)系選取如圖。動(dòng)能K和勢(shì)能P為：對(duì)質(zhì)點(diǎn)m1：對(duì)質(zhì)點(diǎn)m2：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日方程機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日方程對(duì)質(zhì)點(diǎn)m2的坐標(biāo)求導(dǎo)：所以，m2的動(dòng)能與勢(shì)能為：所以，拉格朗日函數(shù)為：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日方程基于拉格朗日函數(shù)，可列拉格朗日（動(dòng)力學(xué)）方程第一個(gè)關(guān)節(jié)上的力矩：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日方程同理：第二個(gè)關(guān)節(jié)上的力矩：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日方程將上述動(dòng)力學(xué)方程整理后：各系數(shù) 的物理意義： 關(guān)節(jié) 的有效慣量（等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念）。由關(guān)節(jié) 處的加速度 引起的關(guān)節(jié) 處的力矩為 （ ） 關(guān)節(jié) 和 之間的耦合慣量 。由關(guān)節(jié) 或 的加速度 （ 或 ）所

40、引起的關(guān)節(jié) 和 處的力矩為 或 向心力項(xiàng)系數(shù)。表示關(guān)節(jié) 處的速度作用在關(guān)節(jié) 處的 向心力（ ）向心力項(xiàng)系數(shù)。表示關(guān)節(jié) 處的速度作用在本身關(guān)節(jié)處 的向心力（ ）機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日方程各系數(shù)的物理意義：（續(xù)） 哥氏力項(xiàng)系數(shù)， 兩項(xiàng)組合為關(guān)節(jié)i與j處的速度作用在關(guān)節(jié)k處的哥氏力，由于牽連運(yùn)動(dòng)是轉(zhuǎn)動(dòng)造成的。 關(guān)節(jié)處的重力項(xiàng)，與m，長(zhǎng)度d及機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖形 有關(guān)剖析：可看出Lagrange方程是一個(gè)二階耦合、非線性的微分方程，為簡(jiǎn)化計(jì)算，未慮及傳動(dòng)鏈中的摩擦。推導(dǎo)分為五步：一、計(jì)算任意任意桿件上任意點(diǎn)的速度；二、計(jì)算動(dòng)能 ；三、計(jì)算勢(shì)能 ；四、形成Lagrange函數(shù)；五、建立動(dòng)力學(xué)方程 。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉

41、格朗日方程可見，拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程是較為復(fù)雜的。動(dòng)力學(xué)方程中的慣量項(xiàng)和重力項(xiàng)在機(jī)器人控制中特別重要，將直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和定位精度。只有當(dāng)機(jī)器人高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心力項(xiàng)和哥氏力項(xiàng)才是重要的。傳動(dòng)裝置的慣量值往往較大，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響也不可忽略。拉格朗日動(dòng)力學(xué)模型為非線性二階常微分方程，可計(jì)算各關(guān)節(jié)的標(biāo)稱力矩，但拉格朗日方程利用44齊次變換矩陣，使得計(jì)算效率太低。乘法次數(shù)：加法次數(shù)：為了實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制，曾用過略去哥氏力和向心力的簡(jiǎn)化模型，但當(dāng)操作機(jī)快速運(yùn)動(dòng)時(shí)，哥氏力和向心力在計(jì)算關(guān)節(jié)力矩中是相當(dāng)重要的。因而這種簡(jiǎn)化只能用于機(jī)器人的低速運(yùn)動(dòng)，不合乎要求。牛頓歐位法采用迭代形式方程，計(jì)算速度快，可用

42、于實(shí)時(shí)控制，因而成為一種常用的建模方法。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)桿件靜力學(xué)分析機(jī)器人靜止或者緩慢運(yùn)動(dòng)時(shí)作用在手臂上的力和力矩問題作用在機(jī)器人手臂桿件i上的力和力矩。其i-1fi為桿件i-1對(duì)桿i的作用力，-ifi+1為桿i+1對(duì)桿i的作用力，i-1Ni為桿件i-1對(duì)桿i的作用力矩，-iNi+1為桿i+1對(duì)桿i的作用力矩，ci為桿i質(zhì)心。根據(jù)力（矩）平衡原理，在質(zhì)心處有：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)牛頓歐拉牛頓歐拉方程法原理：剛體的運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心的移動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)：牛頓定理：歐拉定理：其中，牛頓定理描述隨質(zhì)心的平動(dòng)；歐拉定理描述繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)式中： 桿i 質(zhì)量； 桿i上所有外力合力； 桿i上所有外力對(duì)質(zhì)心的合力矩； 桿

43、i 繞其質(zhì)心慣性矩陣。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)牛頓歐拉由靜力學(xué)的桿件受力分析已獲得：由牛頓歐拉定理已知：所以，機(jī)器人的牛頓-歐拉定理描述為：機(jī)器人動(dòng)力學(xué)牛頓歐拉上面推導(dǎo)的牛頓歐拉法（也簡(jiǎn)稱N-E法）方程式含關(guān)節(jié)聯(lián)接的約束力（矩），沒有顯示地表示輸入輸出關(guān)系，不適合進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析和控制器設(shè)計(jì)。若變換成由一組完備且獨(dú)立的位置變量（質(zhì)心位置變量通常不是相互獨(dú)立的）和輸入力來描述，這些變量都顯式地出現(xiàn)在動(dòng)力學(xué)方程中，即得到顯式的輸入輸出形式表示的動(dòng)力學(xué)方程，稱為封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程（拉格朗日方程即是封閉的）。 關(guān)節(jié)變量 q 是一組完備且獨(dú)立的變量，關(guān)節(jié)力（矩） 是一組從約束力（矩）中分解出來的獨(dú)立的輸入，所以用

44、q 和 來描述方程，可以得到封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程。利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)變量與關(guān)節(jié)變量及關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變量之間的關(guān)系以及約束力與關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系，消去中間變量，可以得到封閉形式的動(dòng)力學(xué)方程。但不如用拉格朗日法簡(jiǎn)單，特別是當(dāng)機(jī)器人自由度較多時(shí)，更是如此。N-E法，常用的不是它的封閉形式方程，而是它的遞推形式方程機(jī)器人動(dòng)力學(xué)牛頓歐拉牛頓歐拉定理為：將其寫為遞推形式：關(guān)節(jié)力（力矩）可寫為： 為沿關(guān)節(jié)軸線 的單位矢量， 為關(guān)節(jié)的粘滯阻尼系數(shù)。 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)牛頓歐拉遞推形式的N-E法方程與封閉形式方程比較，計(jì)算量減少：乘法次數(shù)：117n 24，加法次數(shù)：103n 21。大大加快了計(jì)算速度。自由度越多，遞推形式的優(yōu)勢(shì)越

45、明顯。對(duì)于典型 n=6 的情形，遞推形式的計(jì)算效率幾乎提高10倍。因此，常用于實(shí)時(shí)計(jì)算。遞推形式方程的特點(diǎn)是：其計(jì)算從機(jī)器人操作機(jī)的一個(gè)桿到另一桿逐個(gè)順序進(jìn)行的，它充分利用了操作機(jī)的串聯(lián)鏈特性，常用于求解動(dòng)力學(xué)逆問題（即已知 ，求 ）大致過程為：根據(jù)運(yùn)動(dòng)和力的不同傳遞方向，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)量的向前迭代和力學(xué)量的向后迭代。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)牛頓歐拉牛頓歐拉的大致過程：確定計(jì)算N-E方程所需的所有運(yùn)動(dòng)量，包括每個(gè)桿件的由桿1桿n：將上述運(yùn)動(dòng)量代入N-E方程，確定關(guān)節(jié)力（矩）。計(jì)算順序與運(yùn)動(dòng)量計(jì)算相反，由桿n 桿1： 工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日法牛頓歐拉法機(jī)器

46、人運(yùn)動(dòng)控制工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)控制工業(yè)機(jī)器人控制的特點(diǎn)：大量的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)運(yùn)算，涉及矢量、矩陣、坐標(biāo)變換和微積分等運(yùn)算。機(jī)器人的控制不僅是非線性的，而且是多變量耦合的。機(jī)器人的控制還必須解決優(yōu)化、決策的問題。位置控制是機(jī)器人最基本的控制任務(wù)：許多機(jī)器人要完成的作業(yè)要求是控制末端工具的位姿，以實(shí)現(xiàn)：點(diǎn)位控制（如電焊機(jī)器人、搬運(yùn)機(jī)器人）；連續(xù)路徑控制（如弧焊機(jī)器人、噴漆機(jī)器人）對(duì)于裝配、研磨等作業(yè)工具與操作對(duì)象之間有直接接觸的作業(yè)，光有位置控制是不夠的，還需要有力的控制。工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)控制控制系統(tǒng)的構(gòu)成用p（t）表示末端執(zhí)行器在空間中的實(shí)時(shí)位姿；若機(jī)器人由多個(gè)關(guān)節(jié)組成，則只有各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)，p（t）才變

47、化；用q（t）表示各關(guān)節(jié)變量（位移或角度）；各關(guān)節(jié)是在關(guān)節(jié)力（力矩）（t）的作用下才運(yùn)動(dòng)的；（t）是由各驅(qū)動(dòng)器的力矩T（t）經(jīng)過減速器后送至各關(guān)節(jié)。各驅(qū)動(dòng)器的力矩（如電動(dòng)機(jī)）是在電流或電壓矢量V（t）動(dòng)力作用下，經(jīng)計(jì)算機(jī)控制，產(chǎn)生的T（t）。所以，機(jī)器人的控制，本質(zhì)上是對(duì)下列雙向方程式的控制。V（t） T（t） （t） q（t） p（t）向右的箭頭是任務(wù)執(zhí)行的流程；向左的箭頭是任務(wù)描述的流程正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題：q(t) p(t)；逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題： q(t) p(t)正動(dòng)力學(xué)問題：q(t) (t)；逆動(dòng)力學(xué)問題： q(t) (t)傳動(dòng)裝置問題： (t) T(t)工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)控制的類型點(diǎn)位控制方式PTP

48、只控制機(jī)器人手部在作業(yè)空間中某些規(guī)定的離散點(diǎn)上的位姿。主要技術(shù)指標(biāo)是定位精度和運(yùn)動(dòng)所需的時(shí)間。常應(yīng)用于上下料、搬運(yùn)、點(diǎn)焊等定位精度不高，且要求目標(biāo)點(diǎn)位姿的作業(yè)中。連續(xù)軌跡控制方式CP連續(xù)控制機(jī)器人手部位姿，以預(yù)定路徑和速度在一定的精度范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)。主要技術(shù)指標(biāo)機(jī)器人手部位姿的軌跡跟蹤精度及平穩(wěn)性。通常弧焊、噴漆、去毛邊和檢測(cè)作業(yè)的機(jī)器人都采用這種控制方式。非伺服型控制方式未采用反饋環(huán)節(jié)的開環(huán)控制方式。機(jī)器人作業(yè)時(shí)嚴(yán)格按照在進(jìn)行作業(yè)之前預(yù)先編制的控制程序來控制機(jī)器人的動(dòng)作順序，在控制過程中沒有反饋信號(hào)，不能對(duì)機(jī)器人的作業(yè)進(jìn)展及作業(yè)的質(zhì)量好壞進(jìn)行監(jiān)測(cè)。只適用于作業(yè)相對(duì)固定、作業(yè)程序簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)精度要求

49、不高的場(chǎng)合。伺服型控制方式采用了反饋環(huán)節(jié)的閉環(huán)控制方式，在控制過程中采用內(nèi)部傳感器連續(xù)測(cè)量機(jī)器人的關(guān)節(jié)位移、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)參數(shù)，并反饋到驅(qū)動(dòng)單元構(gòu)成閉環(huán)伺服控制。工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)控制的類型示教再現(xiàn)功能示教人員預(yù)先將機(jī)器人作業(yè)的各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)教給機(jī)器人在示教的過程中，機(jī)器人控制系統(tǒng)的記憶裝置就將所教的操作過程自動(dòng)地記錄在存儲(chǔ)器中。當(dāng)需要機(jī)器人工作時(shí)，機(jī)器人的控制系統(tǒng)就調(diào)用存儲(chǔ)器中存儲(chǔ)的各項(xiàng)數(shù)據(jù)，使機(jī)器人再現(xiàn)示教過的操作過程，完成要求的作業(yè)任務(wù)。示教再現(xiàn)功能易于實(shí)現(xiàn)，編程方便，在機(jī)器人的初期得到了較多的應(yīng)用。 其精度取決于示教人員的熟練程度。作業(yè)任務(wù)手的運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)控制系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)裝置

50、關(guān)節(jié)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)示教記憶再現(xiàn)驅(qū)動(dòng)反饋工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)控制系統(tǒng)組成兩級(jí)控制體系機(jī)器人的控制過程中涉及大量的坐標(biāo)變換和插補(bǔ)運(yùn)算以及較低層的實(shí)時(shí)控制，所以，目前的機(jī)器人控制系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上大多數(shù)采用分層結(jié)構(gòu)的微型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，通常采用兩級(jí)計(jì)算機(jī)伺服控制。主控計(jì)算機(jī)接到工作人員輸入的作業(yè)指令后，首先分析解釋指令，確定手的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，然后進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)和插補(bǔ)運(yùn)算，最后得出機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。這些參數(shù)經(jīng)過通信線路輸出到伺服控制級(jí)作為各個(gè)關(guān)節(jié)伺服控制系統(tǒng)的給定信號(hào)。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)器將此信號(hào)D/A轉(zhuǎn)換后驅(qū)動(dòng)各個(gè)關(guān)節(jié)產(chǎn)生協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)，并通過傳感器將各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)輸出信號(hào)反饋回伺服控制級(jí)計(jì)算機(jī)形成局部閉環(huán)控制，從而更精

51、確的控制機(jī)器人手部在空間的運(yùn)動(dòng)。伺服驅(qū)動(dòng)人機(jī)對(duì)話內(nèi)部傳感器通信一級(jí)（上位機(jī)）微型計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)存儲(chǔ)二級(jí)（下位機(jī)）單片機(jī)運(yùn)動(dòng)控制器驅(qū)動(dòng)裝置關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)手的運(yùn)動(dòng)外部傳感器局部反饋全局反饋工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)簡(jiǎn)單控制結(jié)構(gòu)通用機(jī)器人是一個(gè)半閉環(huán)控制機(jī)構(gòu)由光電碼盤提供各關(guān)節(jié)角位移實(shí)際值的反饋信號(hào)bi。直角坐標(biāo)采用開環(huán)控制方式，由直角坐標(biāo)期望值Xd解逆運(yùn)動(dòng)方程，獲得各關(guān)節(jié)位移的期望值di，作為各關(guān)節(jié)控制器的參考輸入，它與光電碼盤檢測(cè)的關(guān)節(jié)角位移bi比較后獲得關(guān)節(jié)角位移的偏差ei，由偏差控制機(jī)器人操作手各關(guān)節(jié)伺服機(jī)構(gòu)（通常采用PID），使機(jī)械手末端到達(dá)預(yù)定的位置和姿態(tài)。采用開環(huán)控制的主要原因是目前尚無有效準(zhǔn)確獲取

52、（ 檢測(cè) ）末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)的手段。但由于目前采用計(jì)算機(jī)求解逆運(yùn)動(dòng)方程的方法比較成熟，所以控制精度高。如美國Unimation PUMA系列，其直角坐標(biāo)位置重復(fù)定位精度達(dá)到0.1mm 。坐標(biāo)型高精度機(jī)器人Delta和Adapt機(jī)器人重復(fù)定位精度甚至達(dá)到0.01mm 。（注意：重復(fù)定位精度不是軌跡控制精度，后者精度要低得多）。對(duì)于快速運(yùn)動(dòng)，負(fù)載變化大和要求力控的機(jī)器人，必須考慮動(dòng)力學(xué)行為。 通用機(jī)器人位姿控制結(jié)構(gòu)解逆運(yùn)動(dòng)程Xd d關(guān)節(jié)位控制PID光電碼盤機(jī)器人操作手XddibieiX 工業(yè)機(jī)器人基礎(chǔ)機(jī)器人技術(shù)入門級(jí)展示機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)拉格朗日法牛頓歐拉法機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制機(jī)器人的機(jī)構(gòu)部分節(jié)選工業(yè)機(jī)器人機(jī)構(gòu)之諧波減速器機(jī)器人常用的機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)有：齒輪傳動(dòng)、蝸桿傳動(dòng)、滾珠絲杠傳動(dòng)、同步帶、鏈傳動(dòng)、行星齒輪傳動(dòng)（擺線針輪）、諧波齒輪、鋼帶等。諧波齒輪傳動(dòng)是諧波齒輪行星傳動(dòng)的簡(jiǎn)稱。是一種少齒差行星傳動(dòng)。通常由剛性圓柱齒輪G、柔性圓柱齒輪R、波發(fā)生器H和柔性軸承等零部件構(gòu)成。 柔輪和剛輪齒形有直線三角齒形和漸開線齒形兩種，漸開線較多；既可用做減速器，也可用做增速器。柔輪、剛輪、波發(fā)生器三者任何一個(gè)均可固定，其余二個(gè)一為主動(dòng)，另一個(gè)為從動(dòng)。傳動(dòng)比大，且外形輪廓小，零件數(shù)目少，傳動(dòng)效率高。效率高達(dá)9296，單級(jí)