信號(hào)與系統(tǒng)-第二章-線性時(shí)不變系統(tǒng)-課件-優(yōu)質(zhì)課件

1、信號(hào)與系統(tǒng)第二章 線性時(shí)不變系統(tǒng) LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。本章主要內(nèi)容： LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析卷積積分與卷積和。 LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。 奇異函數(shù)。（不再介紹） 信號(hào)的時(shí)域分解用 表示離散時(shí)間信號(hào)；用 表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)。2.0 引言 ( Introduction )基本思想： 由于LTI系統(tǒng)滿足線性（齊次性和可加性），并且具有時(shí)不變性的特點(diǎn)，因而為建立信號(hào)與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。如果系統(tǒng)輸入則系統(tǒng)響應(yīng)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：1. 信號(hào)的分解：即選擇什么樣的信號(hào)作為基本信號(hào)單元,如何用基本信號(hào)單元的線性組合來(lái)構(gòu)成任意信號(hào)；2. 如何得到LTI系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)。 作為基本單元

2、的信號(hào)應(yīng)滿足以下要求：1. 本身盡可能簡(jiǎn)單，并且用它的線性組合能夠表示任意信號(hào)；2. LTI系統(tǒng)對(duì)這種基本單元信號(hào)的響應(yīng)容易求得。 將信號(hào)分解可以在時(shí)域進(jìn)行，也可以在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對(duì)LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法。分析方法：2.1 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和 離散時(shí)間信號(hào)中,最簡(jiǎn)單的是一. 離散時(shí)間信號(hào)的單位脈沖展開（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）二. LTI系統(tǒng)響應(yīng)的卷積和表示 對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)： 輸入 輸出因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)( impulse response

3、)，就可以得到LTI系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào) 的響應(yīng)：上式運(yùn)算就稱為卷積和（The convolution sum）。記作 表明:離散LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng) 來(lái)表征。即三. 卷積和的計(jì)算 圖解法 定義性質(zhì)求 列表法(適用于兩個(gè)有限長(zhǎng)序列)例1. 列表法分析卷積和的過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn)：為總變量之和為n 的各項(xiàng)相加 優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：計(jì)算非常簡(jiǎn)單。只適用于兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的卷積和；一般情況下，無(wú)法寫出 的封閉表達(dá)式。卷積和的圖解法步驟：換元：將x(n) ,h(n)變?yōu)閤(k)， h(k) ，以 k為求和變量 ；反轉(zhuǎn)：將h(k)變?yōu)閔(- k)；平移：將h(- k)平移n，變?yōu)閔-(k-n)；

4、相乘： 將x(k)和h(n-k)相乘；求和：對(duì)乘積x(k)h(n-k)求和。例2：求 通過(guò)圖形來(lái)確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。 y(n)=x(n)*h(n)n-6n這里僅畫出函數(shù)區(qū)間0k4換元，反轉(zhuǎn)，移位，相乘，求和 n0時(shí)）根據(jù)自由項(xiàng)形式與特征根情況設(shè)特解 , 如下頁(yè)表格所示 自由項(xiàng)形式 E(常數(shù)) (m次多項(xiàng)式)特征根情況 特解形式 0不是 0是k重根 B(常數(shù)) 0不是 0是k重根 a不是 a是k重根a不是 a是k重根 不是 是k重根Ee0t1,2,34確定特解：代入微分方程確定特解系數(shù)。與初始條件無(wú)關(guān)i)；ii)；iii)iv)例：

5、求下列微分方程的特解解：i)自由項(xiàng):，0不是特征根，故可設(shè)代入左端得令對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得：ii)自由項(xiàng)：；為齊次方程，故iii) 代入右端 可得自由項(xiàng):t0時(shí)為，但-2與特征根重1次，故應(yīng)設(shè)代入左端令對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得：B=-1，即： iv) 代入右端得t0時(shí)自由項(xiàng)=1不是特征根，故設(shè)代入左端令對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得B=1/3 ，即3完全解寫出完全解： ,其中 有n個(gè)待定系數(shù)待定系數(shù)由初始條件確定。 要確定解的待定系數(shù)，需要有一組附加條件。 當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)，必須滿足系統(tǒng)零輸入零輸出的特性。也就是系統(tǒng)在沒(méi)有輸入，即 時(shí)， 。對(duì)于一個(gè)因果LTI系統(tǒng)，設(shè)輸入在t=0時(shí)刻加入，則因此可設(shè)嚴(yán)格來(lái)

6、說(shuō)應(yīng)為因?yàn)?auxiliary conditions) 從以上討論可以看出，當(dāng)這組零附加條件在信號(hào)加入的時(shí)刻給出時(shí)，LCCDE描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時(shí)不變的。 這樣一組值全部為零的附加條件可以用來(lái)確定待定系數(shù)。 這種在信號(hào)加入的時(shí)刻給出的零附加條件稱為零初始條件。結(jié)論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個(gè)因果的LTI系統(tǒng)。這組條件是：如果一個(gè)因果的LTI系統(tǒng)由LCCDE描述，且方程具有零初始條件，就稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的。如果LCCDE具有一組不全為零的初始條件，則它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。二. 線性常系數(shù)差分方程:(Linear Constant-Co

7、efficient Difference Equation) 一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為： 與微分方程一樣，它的解法也可以通過(guò)求出一個(gè)特解 和通解，即齊次解 來(lái)進(jìn)行，其過(guò)程與解微分方程類似。可參看吳大正所編教材p87 要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加條件。同樣地，當(dāng)LCCDE具有一組全部為零的初始條件時(shí)，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時(shí)不變的。對(duì)于差分方程，還可以將其改寫為： 可以看出：要求出 ，不僅要知道所有的 ，還要知道 ，這就是一組初始條件，由此可以得出 。進(jìn)一步，又可以通過(guò) 和 求得 ,依次類推可求出所有 時(shí)的解。 由于這種差分方程可以通過(guò)遞推求解，因而稱為遞歸方程（rec

8、ursive equation）。當(dāng) 時(shí)，差分方程變?yōu)椋?此時(shí),解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非遞歸方程。顯然，此時(shí)方程就是一個(gè)卷積和的形式，其中 是有限長(zhǎng)的,因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為FIR（Finite Impulse Response）系統(tǒng)。 又如也是一個(gè) FIR 系統(tǒng)，它的單位脈沖響應(yīng)為nonrecursive equation 無(wú)論微分方程還是差分方程的特解都具有與輸入信號(hào)相同的函數(shù)形式，即特解完全是由輸入信號(hào)決定的，因而特解所對(duì)應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為受迫響應(yīng)或強(qiáng)迫響應(yīng)（forced response）。齊次解所對(duì)應(yīng)的部分由于與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)（natura

9、l response）。 將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIR（Infinite Impulse Response）系統(tǒng),此時(shí)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列。 增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng) 與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，因此它屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng) 既與輸入信號(hào)有關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。受迫響應(yīng)完全取決于輸入信號(hào)。全響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)全響應(yīng)受迫響應(yīng)自然響應(yīng)Incrementally linear system: zero state response + zero input response 由LCCDE 描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模

10、型是由一些基本運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運(yùn)算關(guān)系，就會(huì)更加形象直觀；另一方面, 分析系統(tǒng)很重要的目的是為了設(shè)計(jì)或?qū)崿F(xiàn)一個(gè)系統(tǒng), 用圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 將對(duì)系統(tǒng)仿真、實(shí)現(xiàn)具有重要意義。三.由微分和差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示（Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE）1. 由差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示： 由 可看出：方程中包括三種基本運(yùn)算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲） 。這些基本運(yùn)算可用以下符號(hào)表示：D若令 ,則數(shù)乘器multiplication加法器adder延遲單元

11、Unit delayDDDDDD直接型據(jù)此可得方框圖：DDDDDD顯然, 它可以看成是兩個(gè)可逆級(jí)聯(lián)的系統(tǒng)，可以調(diào)換其級(jí)聯(lián)的次序, 并將移位單元合并，于是得到：直接型DDDDCase: N=M-1 2. 由微分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示： 由 看出它也包括三種基本運(yùn)算：微分、相加、乘系數(shù)。 但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有困難，而且對(duì)誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。 將微分方程兩邊同時(shí)積分 N 次，即可得到一個(gè)積分方程：上標(biāo)-N+k代表 N-k 次積分直接型對(duì)此積分方程完全按照差分方程的辦法有：上標(biāo)-N+k代表 N-k 次積分Case: M=N直接型通過(guò)交換級(jí)聯(lián)次序，合并積分器可得直接型： Case: M=N例：積分三次得直接 型直接 型Homework2.21(a) 2.22(c) 2.24 2.28 (a) (c) (e) (g) 2.29 (a) (c) (e) (g) 2.40Exercise Class時(shí)間：2013年10月14日（周一）第8-9節(jié)：1201、1202、1203、1204、121