概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-課件2

1、第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其概率分布第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布第二章隨機(jī)變量及其分布CONTENTS 為了深入研究和全面掌握隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，即將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，為此引入隨機(jī)變量的概念，隨機(jī)變量是概率論中最基本的概念之一，用它描述隨機(jī)現(xiàn)象是近代概率論中最重要的方法，它使概率論從事件及其概率的研究擴(kuò)大到隨機(jī)變量及其概率分布的研究，這樣就可以應(yīng)用微積分等近代數(shù)學(xué)工具，使概率論成為真正的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、隨機(jī)變量 在許多隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果可以直接用一個(gè)數(shù)值來表示，不同的結(jié)果

2、對(duì)應(yīng)著不同的數(shù)值。例如，投擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，可能的結(jié)果分別是 1，2，3，4，5，6 這六個(gè)數(shù)值。如果用一個(gè)變量 T 表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都可以用 T 的取值來表示，如“出現(xiàn) 2 點(diǎn)”可以表示成 ，“出現(xiàn) 6 點(diǎn)”可以表示成 。這個(gè)變量 T 隨著試驗(yàn)的不同結(jié)果而取不同的數(shù)值。 而在有些隨機(jī)現(xiàn)象中，隨機(jī)事件與實(shí)數(shù)之間雖然沒有上述那種數(shù)字聯(lián)系，但常?？梢匀藶橐M(jìn)變量給它建立起一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，拋擲一枚硬幣，它的可能結(jié)果為“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”。我們引進(jìn)變量 W，用 表示“出現(xiàn)正面”，用 表示“出現(xiàn)反面”。一般地，有下面的定義。定義1 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間為

3、，如果對(duì)于每一個(gè) ，都有唯一的實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，則稱 為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量通常用大寫字母 X，Y，Z 或希臘字母 ， 等表示；而其所對(duì)應(yīng)的小寫字母 x，y，z 等則表示為隨機(jī)變量所取的值。由定義1可知，前面所說的 T 和 W 都是隨機(jī)變量。下面再舉幾個(gè)隨機(jī)變量的例子。（1）將一枚硬幣拋擲 4 次，用 X 表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，則 X 是一個(gè)隨機(jī)變量，它的所有可能取值為0，1，2，3，4。（2）某籃球隊(duì)員投籃，投中記 2 分，未投中記 0 分。用 Y 表示籃球隊(duì)員一次投籃的得分，則 Y 是一個(gè)隨機(jī)變量，它的所有可能取值為 0 ，2 。（3）一個(gè)在數(shù)軸上的閉區(qū)間 上作隨機(jī)游動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，用 Z 表示它在數(shù)

4、軸上的坐標(biāo)，則Z 是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取 a 和 b 之間（包括 a 和 b ）的任何實(shí)數(shù)。 由于隨機(jī)變量的取值依賴于隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，因此，在試驗(yàn)之前只能知道它的所有可能取值的范圍，而不能預(yù)先知道它究竟取哪個(gè)值。因?yàn)樵囼?yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都有一定的概率，所以隨機(jī)變量取相應(yīng)的值也有確定的概率。例如，在上面的（1）中， ； 。 引入隨機(jī)變量以后，就可以用隨機(jī)變量來表示隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件。例如在上面的（1）中，事件“四次均未出現(xiàn)正面”可以用 來表示，事件“正面至少出現(xiàn)兩次”可以用 來表示，事件“正面最多出現(xiàn)三次”可以用 來表示?？梢?，隨機(jī)變量是一個(gè)比隨機(jī)事件更寬泛的概念。 隨機(jī)變量依其取值的特點(diǎn)通

5、常分為離散型和非離散型兩類：如果隨機(jī)變量 X 具有有限個(gè)值或無限多個(gè)可數(shù)值，則稱 X 為離散型隨機(jī)變量，如“取到次品的個(gè)數(shù)”“收到的呼叫個(gè)數(shù)”等；另一類是非離散型隨機(jī)變量，它包含的范圍很廣，情況比較復(fù)雜，我們只關(guān)注其中最重要也是實(shí)際中常遇到的連續(xù)型隨機(jī)變量，如“電燈泡的壽命”，實(shí)際生活中常遇到的“測(cè)量誤差”等。 研究隨機(jī)變量，不僅要知道它能夠取得哪些值，更重要的是要知道它的取值規(guī)律，即取到相應(yīng)值的概率。隨機(jī)變量的取值及其取值規(guī)律之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為隨機(jī)變量的概率分布。 概率論的歷史表明，引入隨機(jī)變量的概念以后，概率論的研究中心就從隨機(jī)事件轉(zhuǎn)移到隨機(jī)變量上來，概率論的發(fā)展也從古典概率時(shí)期跨越到分析

6、概率時(shí)期。二、隨機(jī)變量的分布函數(shù) 隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的單值實(shí)函數(shù)，它的取值是有確定的概率的，這是它與普通函數(shù)的本質(zhì)差異。下面引進(jìn)分布函數(shù)的概念，它是普通的一元函數(shù)，通過它可以利用數(shù)學(xué)分析的方法來研究隨機(jī)變量。定義2 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，x 為任意實(shí)數(shù)，函數(shù) ( ) （2-1）稱為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)。 顯然，隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) 是定義在 上的一元函數(shù)。如果將 X 看成是數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù) 在 x 處的函數(shù)值等于事件“隨機(jī)點(diǎn) X 落在區(qū)間 上”的概率。 由定義可知，對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，由于 ，所以隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間 的概率為 。 （2-2） 可見，若已知隨機(jī)變量 X 的

7、分布函數(shù)，就可以求出 X 落在任一區(qū)間 上的概率，這表明分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。分布函數(shù) 具有下列性質(zhì)。（1）單調(diào)性 為 x 的單調(diào)不減函數(shù)，即當(dāng) 時(shí)，有 。 （2-3）事實(shí)上，若 ，則 ，所以 。（2）有界性 對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，有 ，且 ， ，或者 ， 。 （2-4） 由 以及概率的性質(zhì)知, 。而從幾何圖形上看，當(dāng) 時(shí)，“隨機(jī)點(diǎn) X 落在區(qū)間 上”這一事件趨近于不可能事件，因此 ；當(dāng) 時(shí)，“隨機(jī)點(diǎn) X 落在區(qū)間 上”這一事件趨近于必然事件，因此 。（3）右連續(xù)性 對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，有 （證明從略）。 需要指出的是，如果一個(gè)函數(shù)滿足上述三條性質(zhì)，則該函數(shù)一定可以作為某一隨機(jī)變

8、量 X 的分布函數(shù)。因此，通常將滿足上述三條性質(zhì)的函數(shù)都稱為分布函數(shù)。也就是說，上述三條性質(zhì)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否為某一隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的充分必要條件。 例1 拋擲一枚硬幣，設(shè)隨機(jī)變量 求：（1）隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)；（2）隨機(jī)變量 X 在區(qū)間 上取值的概率。解 （1）設(shè) x 是任意實(shí)數(shù)。當(dāng) 時(shí)，事件 ，因此 ；當(dāng) 時(shí)，事件 。因此 。 當(dāng) 時(shí)，事件 ，因此 。綜上所述，X 的分布函數(shù)為 （2）隨機(jī)變量 X 在區(qū)間 上取值的概率為 。 例2 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 求常數(shù) A 以及概率 。解 由于分布函數(shù) 是右連續(xù)的，所以 。又 ， ，因此 。于是 進(jìn)而 。 例3 向數(shù)軸上的閉區(qū)

9、間 上投擲隨機(jī)點(diǎn)，假設(shè)隨機(jī)點(diǎn)落在 區(qū)間上任意一點(diǎn)的可能性相等，用 X 表示隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，求 X 的分布函數(shù)。解 這是直線上的幾何概型問題，隨機(jī)點(diǎn)落在 的任一子區(qū)間 上的概率為 。對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，當(dāng) 時(shí)，分布函數(shù) ；當(dāng) 時(shí)，事件 ，所以 ； 當(dāng) 時(shí)， 。所以 。綜上所述，隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 對(duì)于離散型隨機(jī)變量 X 而言，知道 X 的所有可能取值以及 X 取每一個(gè)可能值的概率，也就掌握了隨機(jī)變量 X 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律一、離散型隨機(jī)變量及其分布律定義1 如果離散型隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 ，并且 X 取到各個(gè)可能值的概率為 ， （2-5）則稱式（2-5）

10、為離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布律，簡(jiǎn)稱為分布律。分布律也可以用表格來表示（見表2-1），并稱之為 X 的概率分布表。表 2-1容易驗(yàn)證，離散型隨機(jī)變量的分布律滿足下列性質(zhì)。性質(zhì)1 ； （2-6）性質(zhì)2 。 （2-7）例1 設(shè)隨機(jī)變量的分布律如表 2-2 所示。求：（1）a 的值；（2） ， ， 。表2-2解 根據(jù)性質(zhì) 1 和性質(zhì) 2 可知 ，解得 。以下計(jì)算欲求的概率分別為 ； ； 。例2 甲、乙、丙三人獨(dú)立射擊同一目標(biāo)。已知三人擊中目標(biāo)的概率依次為 0.8，0.6，0.5，用 X 表示擊中目標(biāo)的人數(shù)，求 X 的分布律以及分布函數(shù)。解 X 的所有可能取值為 0，1，2，3。設(shè) ， ， 分別表

11、示事件“甲擊中目標(biāo)”，“乙擊中目標(biāo)”，“丙擊中目標(biāo)”，則依題意 ， ， 相互獨(dú)立，且 ， ， ，所以 ； ； ； 。X 的分布律如表 2-3 所示。從而得出 X 的分布函數(shù)為 表 2-3其圖形如圖 2-1 所示。圖 2-1 由圖 2-1 可以看出，分布函數(shù) 是一個(gè)階梯函數(shù)，它在 X 的可能取值點(diǎn) 0，1，2，3 處發(fā)生跳躍，跳躍的高度等于相應(yīng)點(diǎn)處的概率。這一特征是所有離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的共同特征。反過來，如果一個(gè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) 為階梯函數(shù)，那么 X 一定是離散型隨機(jī)變量。對(duì)于任意實(shí)數(shù) x ，隨機(jī)事件 可以表示成 ，由于 互不相同，根據(jù)概率的可加性可知，離散型隨機(jī)變量 X 的分布函

12、數(shù)為 。 （2-8） 由式（2-8）可見， 是隨機(jī)變量 X 取小于或等于 x 的所有可能值的概率之和。通常，該分布函數(shù)也可寫成分段函數(shù)的形式： 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的分布律，便可知道它在任意范圍內(nèi)的概率，同時(shí)也唯一決定了它的分布函數(shù)。事實(shí)上，對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言，分布律與分布函數(shù)具有相同的作用，但分布律比分布函數(shù)更直觀、更簡(jiǎn)便。因此常常通過分布律來掌握離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 接下來介紹幾種常見的離散型隨機(jī)變量及其分布。二、幾種重要的離散型隨機(jī)變量及其分布律1（0-1）分布 如果隨機(jī)變量 X 只可能取 0 和 1 兩個(gè)值，其分布律為 ， ，或?qū)懗?， （2-9）則稱隨機(jī)變量

13、X 服從參數(shù)為 P 的（0-1）分布（或兩點(diǎn)分布）。它的分布律也可以寫成如表 2-4 所示的形式。表2-4 （0-1）分布是一種常見的分布，如果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)對(duì)立結(jié)果 A 和 ，或者一個(gè)試驗(yàn)雖然有很多個(gè)結(jié)果，但我們只關(guān)心事件 A 發(fā)生與否，那么就可以定義一個(gè)服從（0-1）分布的隨機(jī)變量，如對(duì)產(chǎn)品合格率的抽樣檢測(cè)、新生兒性別的調(diào)查等。2二項(xiàng)分布 在 n 重伯努利試驗(yàn)中，設(shè) ，用 X 表示 n 次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)，則 X 的所有可能取值為 。由第一章中的二項(xiàng)概率公式知 X 的分布律為 。 （2-10）顯然 ( )； ，即式（2-10）滿足分布律的性質(zhì)。 一般地，如果隨機(jī)變量 X 的分布

14、律由式（2-10）給出，則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 n ，p 的二項(xiàng)分布（或伯努利分布），記作 。 特別地，當(dāng) 時(shí)，二項(xiàng)分布 的分布律為 。 這就是（0-1）分布。這也說明了（0-1）分布是二項(xiàng)分布在 時(shí)的特例。例3 某射手射擊的命中率為 0.6，在相同的條件下獨(dú)立射擊 7 次，用 X 表示命中的次數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布律。解 每次射擊命中的概率都是 0.6，獨(dú)立射擊 7 次是 7 重伯努利概型，因此，隨機(jī)變量 ，于是 ， 。計(jì)算可知 X 的分布律如表 2-5 和圖 2-2 所示。表 2-5圖 2-2 隨機(jī)變量X的分布律圖 從圖 2-2 中可以看到，當(dāng) k 增加時(shí)，概率 先是隨之單調(diào)增加

15、，直到達(dá)到最大值 ，然后單調(diào)減少。 一般地，對(duì)于固定的 n 及 p ，當(dāng) k 增加時(shí)，概率 先是隨著 k 的增加而增加，直至某點(diǎn)（ ）時(shí)達(dá)到最大值，然后再隨著 k 的增加而減少。事實(shí)上，若隨機(jī)變量 X 在 點(diǎn)處的概率最大，必須滿足不等式 ，由解這個(gè)不等式可得 （2-11）圖2-3 達(dá)到最大值的 值就是隨機(jī)變量 X 最可能出現(xiàn)的數(shù)。圖 2-3 是試驗(yàn)次數(shù)均為 20 ，但試驗(yàn)成功概率不同的三種二項(xiàng)分布的概率分布圖，由此圖可以看出三種二項(xiàng)分布最可能發(fā)生的次數(shù) 的值。例4 某人進(jìn)行射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為 0.01，問：獨(dú)立射擊 400 發(fā)時(shí)，擊中目標(biāo)的最可能成功次數(shù)是多少？并求該次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率。解

16、 顯然，獨(dú)立射擊 400 發(fā)中擊中目標(biāo)的次數(shù) X 服從參數(shù) ， 的二項(xiàng)分布。 根據(jù)式（2-11）的結(jié)論，擊中目標(biāo)的最可能成功次數(shù) ，而相應(yīng)發(fā)生的概率為 。 二項(xiàng)分布的計(jì)算公式雖然很簡(jiǎn)單，但當(dāng) n 較大且沒有計(jì)算機(jī)等工具時(shí)， 的計(jì)算卻不容易。為了尋找快速且較準(zhǔn)確的計(jì)算方法，人們進(jìn)行了不懈努力，而泊松（Poisson）最早做到了這一點(diǎn)。3泊松（Poisson）分布 如果隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為 ，并且 ， （2-12）其中 為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 的泊松分布，記作 。 容易驗(yàn)證， ( )； 。圖2-4 在實(shí)際問題中經(jīng)常會(huì)遇到服從泊松分布的隨機(jī)變量。例如，某急救中心一天內(nèi)收到的呼

17、救次數(shù)，某印刷品一頁上出現(xiàn)的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)，某地區(qū)一段時(shí)間內(nèi)遷入的昆蟲數(shù)目等都服從泊松分布。 對(duì)于固定的 ，當(dāng) k 增加時(shí)，概率 先是隨之增加，當(dāng) k 增大到一定范圍之外時(shí)，相應(yīng)的概率便急劇下降，如圖2-4所示。書后附表給出了泊松分布表，以便查閱。例5 設(shè)每分鐘通過某交叉路口的汽車流量 X 服從泊松分布，且已知在一分鐘內(nèi)恰有一輛車通過的概率和恰有兩輛車通過的概率相等，求在一分鐘內(nèi)至少有三輛車通過的概率。解 設(shè) X 服從參數(shù)為 的泊松分布，則 X 的分布律為 。又 ，即 ，解得 ，所以在一分鐘內(nèi)至少有三輛車通過的概率為 。 查泊松分布表，當(dāng) 時(shí)， ， ， ，從而 。 在概率論的發(fā)展史上，泊松分布是

18、作為二項(xiàng)分布的近似而引入的，下面給出二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系定理。泊松定理 設(shè) 為隨機(jī)變量序列，并且 。如果 ( 為常數(shù))，則有 。證明 設(shè) ，則 ，從而對(duì)任意固定的非負(fù)整數(shù) k ，有 對(duì)于固定的 k ，當(dāng) 時(shí)： ； ； ； ；所以 。定理得證。 由泊松定理知道，當(dāng) n 很大（由于 ，所以 必定較小）時(shí)，有下面的近似公式 ， （2-13） 即二項(xiàng)分布可以用泊松分布近似表達(dá)。 在實(shí)際計(jì)算時(shí)，當(dāng) n 較大 p 相對(duì)較小時(shí)（通常 ， ），二項(xiàng)分布 就可以用泊松分布 來近似代替，近似效果不錯(cuò)。例6 設(shè)一批產(chǎn)品共 2 000 個(gè)，其中有 40 個(gè)次品，每次任取 1 個(gè)產(chǎn)品做放回抽樣檢查，求抽檢的 100

19、 個(gè)產(chǎn)品中次品數(shù) X 的分布律。解 由題意，產(chǎn)品的次品率為 ，從而 ，即 。 由于 較大而 相對(duì)較小，由泊松定理，X 近似服從泊松分布 ，其中 ，所以 。從表 2-6 中可以看出二項(xiàng)分布用泊松分布表達(dá)的近似程度。次品數(shù)X二項(xiàng)分布B(100，0.02)泊松分布P(2) 00.132 60.135 310.270 70.270 720.273 40.270 730.182 30.180 440.090 20.090 250.035 30.036 160.011 40.012 070.003 10.003 480.000 70.000 990.000 20.000 2表 2-6例7 在 400 毫升

20、的水中隨機(jī)游動(dòng)著 200 個(gè)菌團(tuán)，從中任取 1 毫升水，求其中所含菌團(tuán)的個(gè)數(shù)不少于 3 的概率。解 觀察 1 個(gè)菌團(tuán)，它落在取出的 1 毫升水中的概率為 ，對(duì) 200 個(gè)菌團(tuán)逐個(gè)進(jìn)行類似的觀察，相當(dāng)于做 200 次伯努利試驗(yàn)。設(shè)任取的1毫升水中所含菌團(tuán)的個(gè)數(shù)為 X，則 ，即 X 的分布律為 。 從而，任取的 1 毫升水中所含菌團(tuán)的個(gè)數(shù)不少于 3 的概率為 。由于 較大， 相對(duì)較小，由泊松定理，有 ，其中 。查泊松分布表知， ， ， 。所以 。例8 若一年中某類保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率為 0.002，現(xiàn)有 2 000 個(gè)這類人參加人壽保險(xiǎn)參加者交納 24 元保險(xiǎn)金，而死亡時(shí)保險(xiǎn)公司付給其家屬

21、5 000 元賠償費(fèi)計(jì)算“保險(xiǎn)公司虧本”和“保險(xiǎn)公司盈利不少于10 000 元”的概率解 X 表示一年內(nèi)的死亡人數(shù)，則 ，“保險(xiǎn)公司虧本”表示收入小于支出，即 ，即 ； 。這里要直接計(jì)算 是比較麻煩的，可用近似公式泊松定理計(jì)算。因?yàn)?，所以 。同理 ， 。4幾何分布 設(shè)試驗(yàn) E 只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果 A 與 ，并且 ， ，其中 。將試驗(yàn) E 獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行下去，直到 A 發(fā)生為止，用 X 表示所需要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，則 X 的所有可能取值為 。由于事件 表示在前 次試驗(yàn)中 A 都不發(fā)生，而在第 k 次試驗(yàn)中 A 發(fā)生，所以 （ ） 。 （2-14）顯然 （ ） ， ， 即式（2-14）滿足分布律的

22、性質(zhì)。 一般地，如果隨機(jī)變量 X 的分布律由式（2-14）給出，則稱 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布，記作 。例9 一段防洪大堤按照抗百年一遇洪水的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，求在建成后的第 5 年，首次發(fā)生百年一遇大洪水的概率。解 任何一年中發(fā)生百年一遇大洪水的概率都是 。設(shè)在大堤建成后的第 X 年發(fā)生百年一遇大洪水，則 ，從而 。5超幾何分布 口袋中有 N 個(gè)產(chǎn)品，其中 M 個(gè)為次品，從中不放回地抽取 個(gè)產(chǎn)品（或一次取出 n 個(gè)產(chǎn)品），用 X 表示取到的次品數(shù)，則由古典概型可得 X 的分布律為 。 （2-15） 可以驗(yàn)證，式（2-15）滿足分布律的兩條性質(zhì)。 一般地，如果隨機(jī)變量 X 的分布律由式（2-15

23、）給出，則稱 X 服從超幾何分布，記作 。 從直觀上容易理解，當(dāng)產(chǎn)品總數(shù) N 很大而抽取個(gè)數(shù) n 相對(duì)較小時(shí)，不放回抽樣和有放回抽樣差異很小，而在有放回抽樣時(shí)，抽到的次品數(shù) X 是服從二項(xiàng)分布 的，所以可以用二項(xiàng)分布近似表達(dá)超幾何分布，即 。 （2-16） 事實(shí)上，在一定條件下，上述近似關(guān)系可以得到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。例10 某班有 20 名同學(xué)，其中有 5 名女生，現(xiàn)在從班上任選 4 名去參加講座，求被選到的女同學(xué)人數(shù) X 的分布律。解 被選到的女同學(xué)人數(shù) X 可能取 0，1，2，3，4 這五個(gè)值，相應(yīng)的概率應(yīng)按下列式子來計(jì)算： 。具體計(jì)算結(jié)果如表2-7所示。表 2-7X01234P0.281

24、70.469 60.216 70.031 00.001 0第三節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布 對(duì)離散型隨機(jī)變量，可用分布律 來刻畫其概率分布情況；而對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，考慮對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，事件 的概率 沒有多大意義。例如，等公共汽車的時(shí)間 X ，考慮它取某特定常數(shù)的概率，如 。事實(shí)上，“等待公共汽車時(shí)間嚴(yán)格等于 3 分鐘”這一事件幾乎不可能發(fā)生，其概率為 0 。于是需要尋求另外的方法來刻畫非離散型隨機(jī)變量的概率分布，下面將通過引入概率密度函數(shù)的概念來介紹其中的連續(xù)型隨機(jī)變量。定義1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 ，如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù) ，使得對(duì)任意實(shí)數(shù) x ，都有 ， （2-17） 則

25、稱 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱函數(shù) 為 X 的概率密度函數(shù)（或分布密度函數(shù)），簡(jiǎn)稱為概率密度（或分布密度），常記作 。一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 由定義 1 以及微積分理論知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，并且概率密度 具有下列性質(zhì)：（1） 。 （2-18）（2） 。 （2-19）（3）對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，有 。 （2-20）（4）對(duì)任意實(shí)數(shù) 。（5）如果 在點(diǎn) x 處連續(xù)，則有 。 （2-21） 需要指出的是，滿足性質(zhì)（1）和性質(zhì)（2）的函數(shù)一定可以作為某一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。 在幾何圖形上，概率密度曲線總是位于 x 軸上方，并且介于它和 x 軸之間的面積為 1，隨機(jī)變量落在

26、區(qū)間 的概率 等于區(qū)間 上曲線 以下曲邊梯形的面積，如圖2-5所示。（a）（b）圖2-5 概率密度曲線 最后，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 X，它取任一實(shí)數(shù) x 的概率都是 0 ，即 。 事實(shí)上，設(shè) ，由于事件 ，所以 。 令 ，由 的連續(xù)性，有 。 連續(xù)型隨機(jī)變量的這一特性是它與離散型隨機(jī)變量的最大差異。這一特性也表明，概率為 0 的事件未必是不可能事件，同樣概率為 1 的事件并不一定是必然事件。 根據(jù)這一特性，在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間、閉區(qū)間，還是半開半閉區(qū)間，即 。 根據(jù)定義，性質(zhì) 5 是顯然成立的，則 。 因此當(dāng) 很小時(shí)，有 。 上式說明密度函數(shù)在 x

27、 處的函數(shù)值 越大，則 X 取 x 附近值的概率就越大。因此密度函數(shù) 并不是隨機(jī)變量 X 取值 x 時(shí)的概率，而是隨機(jī)變量 X 集中在該點(diǎn)附近的密集程度。這也意味著 確實(shí)有“密度”的性質(zhì)，所以稱它為概率密度。例1 已知隨機(jī)變量 X 的概率密度為 （1）求常數(shù) a ；（2）求分布函數(shù) ；（3）求概率 。解 （1）由于 ，即 ，所以有 ， 。（2）因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。綜上所述，X 的分布函數(shù)為 （3） 。二、幾種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布1.均勻分布定義2 如果連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 （2-22）則稱 X 在區(qū)間 上服從均勻分布，記作 。X 的分布函數(shù)為 （2

28、-23）X 的概率密度和分布函數(shù)的圖形如圖 2-6 所示。（a）（b）圖2-6 均勻分布的概率密度和分布函數(shù) 如果 ，那么對(duì)于滿足 的任意實(shí)數(shù) c，d，都有 。 （2-24） 此時(shí)表明隨機(jī)變量 X 落在區(qū)間 的任一子區(qū)間 內(nèi)的概率，只依賴于子區(qū)間 的 長(zhǎng)度，且與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與子區(qū)間的位置無關(guān)，這說明 X 落在內(nèi)任意等長(zhǎng)的子區(qū)間內(nèi)的概率是相等的，所以均勻分布也稱為等概率分布。例2 某機(jī)場(chǎng)每隔 20 分鐘向市區(qū)發(fā)一輛班車，假設(shè)乘客在相鄰兩輛班車間的 20 分鐘內(nèi)的任一時(shí)刻到達(dá)候車處的可能性相等，求乘客候車時(shí)間在 510 分鐘之內(nèi)的概率。解 設(shè)乘客候車時(shí)間為X（單位：分鐘），由題意，X

29、在 上等可能取值，即 X 服從 上的均勻分布，X 的概率密度為 于是乘客等車的時(shí)間在 510 分鐘之內(nèi)的概率為 。例3 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 上服從均勻分布，求關(guān)于 t 的方程 有實(shí)根的概率。解 由題意，X 的概率密度為 設(shè) A 表示事件“關(guān)于 t 的方程有實(shí)根”，則 A 發(fā)生意味著方程的判別式 ，即 。 所以關(guān)于 t 的方程有實(shí)根的概率為 2. 指數(shù)分布定義3 如果連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 （2-25） 其中， 為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記作 。X 的分布函數(shù)為 （2-26）X 的概率密度和分布函數(shù)的圖形如圖 2-7 所示。（a）（b）圖2-7 指數(shù)分布的密度函數(shù)和分布

30、函數(shù) 指數(shù)分布通常用作各種“壽命”分布，如無線電元件的壽命、動(dòng)物的壽命等；另外，電話問題中的通話時(shí)間、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都可認(rèn)為服從指數(shù)分布，因此它在排隊(duì)論和可靠性理論等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。例4 某電子元件的壽命 X 是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 （1）確定常數(shù) C ；（2）求壽命超過 100小時(shí)的概率；（3）已知該元件已正常使用 200 小時(shí)，求它至少還能正常使用 100 小時(shí)的概率。解 （1）由概率密度函數(shù)性質(zhì) 2 知 。由此得 ，所以 。（2）壽命超過 100 小時(shí)的概率為 。（3）已知該元件已正常使用 200 小時(shí)，求它至少還能正常使用 100 小時(shí)的概率，即求條件概率

31、。從（2）、（3）可知，該元件壽命超過 100 小時(shí)的概率等于已使用 200 小時(shí)的條件下至少還能使用 100 小時(shí)的概率，這種性質(zhì)稱為指數(shù)分布的“無記憶性”。定義4 若隨機(jī)變量 X 對(duì)任意的 ， ，有 ， （2-27） 則稱 X 的分布具有無記憶性。 因此指數(shù)分布具有無記憶性。若某元件或動(dòng)物壽命服從指數(shù)分布，則式（2-27）表明，如果已知壽命長(zhǎng)于 s 年，則再“活”t 年的概率與 s 無關(guān)，即對(duì)過去的 s 時(shí)間沒有記憶，也就是說只要在某時(shí)刻 s 仍“活”著，它的剩余壽命的分布于原來的壽命分布相同。所以也戲稱指數(shù)分布是“永遠(yuǎn)年輕的”。例5 某城市飲用水的日消耗量 X（單位：百萬升）是一個(gè)連續(xù)型

32、隨機(jī)變量，其概率密度為 （1）確定常數(shù) C ；（2）求飲用水的日消耗量不超過 9 百萬升的概率 ；（3）求該城市在夏季的 100 天中飲用水的日消耗量至少有 3 天突破 9 百萬升的概率 。解 （1）由概率密度函數(shù)性質(zhì) 2 知 。由此得 ，所以 。隨機(jī)變量 X 的概率密度為 （2） 。（3）顯然，飲用水的日消耗量突破 9 百萬升的概率為 。設(shè) Y 表示“夏季的 100 天中飲用水的日消耗量突破 9 百萬升的天數(shù)”，則 。由于 較大而 相對(duì)較小，由泊松定理，Y 近似服從的泊松分布。查泊松分布表，有 。3正態(tài)分布（1）正態(tài)分布定義5 如果連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為 ， （2-28）其中 為常

33、數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記作 。X 的分布函數(shù)為 。 （2-29） 正態(tài)分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的分布，一方面它是自然界中十分常見的一種分布，例如測(cè)量的誤差、人的身高和體重、農(nóng)作物的產(chǎn)量、產(chǎn)品的尺寸和質(zhì)量以及炮彈落地點(diǎn)等都可以服從正態(tài)分布。另一方面，正態(tài)分布又具有許多良好的性質(zhì)，可用它作為一些其他不易處理的分布的近似，因此在理論和工程技術(shù)等領(lǐng)域，正態(tài)分布都有著不可替代的重要意義。X 的概率密度和分布函數(shù)的圖形如圖 2-8 所示。（a）（b）圖2-8 正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)（a）（b）圖 2-9 正態(tài)分布的概率密度 f (x) 從圖2-9可以看到

34、，正態(tài)分布的概率密度 的圖形呈鐘形，“中間大，兩頭小”。從而得出 有以下的性質(zhì)：性質(zhì)1 的圖形關(guān)于 對(duì)稱。性質(zhì)2 在 處達(dá)到最大，最大值為 。性質(zhì)3 在 處有拐點(diǎn)。性質(zhì)4 x 離 越遠(yuǎn)，x 值越小，當(dāng) x 趨向無窮大時(shí)， 趨于 0 ，即 以 x 軸為漸近線。性質(zhì)5 當(dāng) 固定， 愈大，則 最大值愈小，即曲線愈平坦； 愈小，則 最大值愈大，即曲線愈尖。性質(zhì)6 當(dāng) 固定而改變 時(shí)，就是將 圖形沿 x 軸平移。（2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布定義6 設(shè) 。如果 ，則稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 ，它的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為 。 （2-30） 。 （2-31）它們的圖形如圖 2-10 所示。（a）（b）圖2-

35、10 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù) 只要令 （稱為標(biāo)準(zhǔn)化），就可把正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)式（2-29）化為用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù) 表示的形式，即 。 書后附表給出了 時(shí)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) 的函數(shù)值，以便查閱。例如 。 在附表中，只對(duì) 給出 的函數(shù)值。事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) 是偶函數(shù)，所以當(dāng) 時(shí)，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度 圖形的對(duì)稱性易知 。 （2-32） 據(jù)此可得 ， 。例6 設(shè) ，計(jì)算下列概率：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。解 （1） 。（2） 。（3） 。（4） 。（3）一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系 若 ，則當(dāng) 時(shí)， 若 ，則 ， （2-33）即

36、 ，有 。事實(shí)上，U 的分布函數(shù)為 ，令 ，得 ?？梢?， 。于是，若 ，則它的分布函數(shù) 可以寫成 ，從而對(duì)于任意實(shí)數(shù) ，X 落在區(qū)間 的概率為 ，即對(duì)一般的正態(tài)分布概率的計(jì)算，也可以通過查表解決。例7 設(shè)隨機(jī)變量 ，計(jì)算下列概率：（1） ；（2） 。解 （1） ；（2） 。例8 設(shè) ，求 。解 把正態(tài)隨機(jī)變量 X 標(biāo)準(zhǔn)化為 ，得 。所以 。 。 。 上式表明，正態(tài)隨機(jī)變量 X 落在區(qū)間 內(nèi)的概率已高達(dá) 99.73% ，因此可認(rèn)為 X 的值幾乎不落在區(qū)間 之外。這就是著名的“ 準(zhǔn)則”，它在工業(yè)生產(chǎn)中常用來作為質(zhì)量控制的依據(jù)。例9 某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的數(shù)學(xué)成績(jī)（百分制）X 服從正態(tài)分布 ，

37、且 96 分以上的考生占考生總數(shù)的 2.3% 。求考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?60 至 84 分之間的概率。解 由于 ，且 ，所以 ，從而 。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，知 ，于是 ， ， ，進(jìn)而考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?60 至 84 分之間的概率為 。定義7 設(shè) ，對(duì)于給定的 ，存在 滿足 ，即 ，則稱 為 X 關(guān)于 的上側(cè)分位點(diǎn)，如圖 2-11 所示。例如，當(dāng)給定 時(shí)，有 。查附表 2 得 X 關(guān)于 的上側(cè)分位點(diǎn) ，即 。上側(cè)分位點(diǎn)是一個(gè)臨界值，這個(gè)概念也適用于其他分布函數(shù)的情況。圖 2-11例10 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在 0.01 以下來設(shè)計(jì)的。設(shè)男子身高 （單位：cm），問車門高度應(yīng)如何

38、確定？解 設(shè)車門高度為 ，按設(shè)計(jì)要求 ，即 ， 。而 。查表得 ，所以 。因此要使男子與車門碰頭機(jī)會(huì)在 0.01 以下，車門高度至少為 184 cm。定義8 設(shè) ，對(duì)于給定的 ，存在 滿足 ，則稱 為 X 關(guān)于 的雙側(cè)分位點(diǎn)，如圖 2-12 所示。第四節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 在許多實(shí)際問題中，所考慮的隨機(jī)變量常常依賴于另一個(gè)隨機(jī)變量。例如，有一批球，其直徑 X 和體積 Y 都是隨機(jī)變量，其中球的直徑可以較方便地測(cè)量出來，而體積不易直接測(cè)量，但可由公式 計(jì)算得到，那么，若已知這批球直徑 X 的概率分布，能否得到其體積的 Y 的概率分布呢？ 一般地，設(shè) X 為隨機(jī)變量， 為一元函數(shù)，且 X 的

39、所有可能取值都落在 的定義域內(nèi)，則 也是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)變量 X 的函數(shù)。本節(jié)將討論如何由隨機(jī)變量 X 的概率分布求得 的概率分布。下面分別就離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布進(jìn)行討論。一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律引例 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律如表 2-8 所示。X-1012P0.20.30.10.4表2-8求 的分布律。解 隨機(jī)變量 Y 的所有可能取值為 0，1，4，且 Y 取每個(gè)值的概率分別為 ， ， ，所以隨機(jī)變量 Y 的分布律如表 2-9 所示。 所以說，對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的分布列，也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律。在這個(gè)意義上，離散型隨機(jī)變量由它的分布列唯一確定。表2-9Y014P0.10.70.2 定義1 一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 。 記 。如果函數(shù)值 互不相等， 的分布律為 。 如果函數(shù)值 中有相等的情形，把 Y 取這些相等的數(shù)值的概率相加，作為 Y 取該值的概率，便可得到 的分布律。例1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律如表 2-10 所示：求：（1） 的分布律；（2） 的分布律。表 2-10解 （1）當(dāng) X 取 -2，-1，0，1，2 時(shí)， 分別為 -3，-1，1，3，5，其中沒有相同的數(shù)值，故 的分布律如表 2-11 所示。（2）當(dāng) X 取 -2，-1，0，1，2 時(shí)， 分別為 4，1，0，