一章節(jié)實數(shù)集與函數(shù)課件

1、第一章 實數(shù)集與函數(shù)1 實數(shù)2 數(shù)集 確界原理3 函數(shù)的概念4 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù) 1.1 實數(shù)一 .實數(shù)及其性質(zhì)二. 絕對值與不等式 一 . 實數(shù)及其性質(zhì)：1.回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)的定義. 若規(guī)定： 1.1 實數(shù)則有限十進(jìn)小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù)。實數(shù)對正整數(shù)對負(fù)有限小數(shù)（包括負(fù)整數(shù)）y,先將- y表示成無限小數(shù)，再在無限小數(shù)前加負(fù)號如: -8=-7.999說明: 對于負(fù)實數(shù)x,y,若有-x = -y與-x -y, 則分別稱x = y與x x)2.兩個實數(shù)的大小關(guān)系 .)2,1(,2,1,.90,90),2,1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay

2、；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn=+或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負(fù)整數(shù)若記為相等與則稱若有為整數(shù)為非負(fù)整數(shù)其中 給定兩個非負(fù)實數(shù)LLLLLLL 1)定義1 說明: 自然規(guī)定任何非負(fù)實數(shù)大于任何負(fù)實數(shù).定義2 設(shè) 為實數(shù)x的n位不足近似，而有理數(shù) 稱為x的n位過剩近似，n=0, 1, 2, .為非負(fù)實數(shù).稱有理數(shù)2) 通過有限小數(shù)比較大小的等價條件 對于負(fù)實數(shù)其n位不足近似和n位過剩近似分別規(guī)定為 和 注意：對任何實數(shù)x, 有, 命題1 設(shè)實數(shù)的性質(zhì) 1.實數(shù)集R對加,減,乘,除(除數(shù)不為0)四則運算是封閉的.即任意兩個實數(shù)和,差,積,商(

3、除數(shù)不為0)仍然是實數(shù). 2.實數(shù)集是有序的.即任意兩個實數(shù)a, b必滿足下述三個關(guān)系之一: a b .為兩個實數(shù)，則實數(shù)的性質(zhì) 3.實數(shù)集的大小關(guān)系具有傳遞性.即若a b, b c,則有ac.5.實數(shù)集R具有稠密性.即任何兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù),且既有有理數(shù),也有無理數(shù).6.實數(shù)集R與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)關(guān)系.即任一實數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上唯一的一點,反之,數(shù)軸上的每一點也都唯一的代表一個實數(shù). , 0 , , . 4 b na n a b R b a , 使得 則存在正整數(shù) 若 即對任何 實數(shù)具有阿基米德性 例1 證明 例2 證明 .:,yrxr，yx滿足存在有理數(shù)證明為實數(shù)設(shè).,)

4、(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn+=即得且有為有理數(shù)則令使得故存在非負(fù)整數(shù)由于.,:,babaRba+則有若對任何正數(shù)證明設(shè)ee.,.bababababa,+從而必有矛盾這與假設(shè)為正數(shù)且則令有則根據(jù)實數(shù)的有序性假若結(jié)論不成立用反證法eeeea0-a二. 絕對值與不等式從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點的距離： 絕對值定義：絕對值的一些主要性質(zhì)性質(zhì)4（三角不等式）的證明： 幾個重要不等式: 均值不等式: 對 記 (算術(shù)平均值) (幾何平均值) (調(diào)和平均值)有平均值不等式:等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立. Bernoulli 不等式: (在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過) 有不等式當(dāng) 且,

5、 且 時, 有嚴(yán)格不等式 證 由 且 利用二項展開式得到的不等式: 對 由二項展開式 有 上式右端任何一項.作業(yè)p4 ,3, 4, 6, 71.2 數(shù)集確界原理 一、區(qū)間與鄰域 二、上確界、下確界一、區(qū)間與鄰域1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集數(shù)集分類:N-自然數(shù)集Z-整數(shù)集Q-有理數(shù)集R-實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.2.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(

6、線段的長度)稱為區(qū)間的長度.3.鄰域:二 有界集確界原理1 有（無）界數(shù)集:定義(上、下有界, 有界)數(shù)集S有上界數(shù)集S無上界數(shù)集S有下界數(shù)集S無下界數(shù)集S有界數(shù)集S無界閉區(qū)間 、開區(qū)間 為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集， 集合 也是有界數(shù)集. , 等都是無界數(shù)集, 集合 也是無界數(shù)集.例1 證明集合 是無界數(shù)集., 存在 由無界集定義，E 為無界集。證明：對任意2 確界:例2 則 則例3 設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有 則有 .例4 設(shè)A和B是非空數(shù)集. 若對 和 都有 則有 證 y 是A的上界, 是B的下界, 例4 設(shè) A, B為非空數(shù)集,滿足:證明數(shù)集 A有上確界, 數(shù)集B有下確界,且證: 故有

7、確界原理知,數(shù)集A有上確界,數(shù)集B有下確界. 是數(shù)集A的一個上界,而由上確界的定義知由假設(shè),數(shù)集B中任一數(shù) 都是數(shù)集A的上界, A中任一數(shù) 都是B的下界, 是數(shù)集A的最小上界, 故有 而此式又表明數(shù) 是數(shù)集B的一個下界, 故由下確界的定義證得 例5 為非空數(shù)集, 試證明: 證 有或 由和分別是的下界,有或即 是數(shù)集的下界, .和 又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界, 同理有.于是有綜上, 有例5 為非空數(shù)集, 試證明: 證 有或 由和分別是的下界,有或即 是數(shù)集的下界, .和命題3：設(shè)數(shù)集有上（下）確界，則這上，且，則不妨設(shè)有對，使，矛盾。（下）確界必是唯一的。證：設(shè) 3.數(shù)集與確界的

8、關(guān)系: 確界不一定屬于原集合. 以例1為例做解釋. 4.確界與最值的關(guān)系: 設(shè) E為數(shù)集. E 的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點. 非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值. 若 存在, 必有 對下確界有類似的結(jié)論. 5 確界原理 定理1 (確界原理). 設(shè) E 為非空數(shù)集，若E有上界，則E必有上確界；若E有下界，則E必有下確界。非空，有上界： ，(1).若中有最大數(shù)，則即為上確界；中無最大數(shù)，用下述方法產(chǎn)生實數(shù)的一個分劃；，其余的實數(shù)歸入下類，則是實數(shù)的一個分劃。證明 設(shè).(2).若的一切上界歸入上類 。其次，由于不是的最大數(shù)，所以它不是的上界，即。這說明中任

9、一元素都屬于下類；A,B不空.首先取 A、B不漏性由A、B定義即可看出； A、B不亂.設(shè) ，因a不是E的上界， ，使得 ，而E內(nèi)每一元素屬于A，所以 . 由的證明可見無最大數(shù). 所以 是實數(shù)的一個分劃.由戴德金定理， 知上類B必有最小數(shù)，記作c. 由 知 ，即得 .這表明c是的一個上界. 若b是E的一個上界，則 ，由此得 ，所以c是上界中最小的， 由上確界定義， 為集合的上確界，記作 下證:非空的有下界的集合必有下確界。事實上，設(shè)集合 有下界b， 則非空集合 有上界-b， 利用集合 上確界的存在性， 即可得出集合E的下確界存在。 定理1解決了非空有上(下)界集合的上(下)確界存在性問題，我們可

10、以利用上確界的存在性，得出我們所研究的某一類量（如弧長）的存在性。 若全序集中任一非空有上界的集合必有上確界，我們稱該全序集是完備的。定理1刻劃了實數(shù)集是完備的。設(shè)A,B為非空有限數(shù)集, . 證明: 例6 證: 故得 所以 綜上,即證得例7 證明實數(shù)空間滿足阿基米德原理.證明 假設(shè)結(jié)論不成立，即 4.小結(jié) P9: 1, 2, 3, 4, 5.(1) 區(qū)間和鄰域的概念;(2) 確界原理.1.3 函數(shù)的一般概念映射函數(shù)的概念幾個特殊的函數(shù)舉例復(fù)合函數(shù)反函數(shù)初等函數(shù)一 映射 1 映射 定義 設(shè)X,Y是兩個給定的集合，若按照某種規(guī)則f,使得集合X中的每一個元素x，都可以找到集合Y中唯一確定的元素y與之

11、對應(yīng)，則這個對應(yīng)規(guī)則f是集合X到集合Y的一個映射，記為 f : X Y X y=f(x).其中y稱為在映射f之下x的象，x稱為在映射f之下y的一個原象集合X稱為映射的定義域，記為 而在映射之下， X中元素的象的全體稱為映射的值域，記為 概括起來，構(gòu)成一個映射必須具備下列三個基本要素： (1)集合X，即定義域 ； (2)集合Y，即限制值域的范圍： （3）對應(yīng)規(guī)則，使每一個 有唯一確定的y=f(x)與之對應(yīng) 需要指出兩點： (1) 映射要求元素的象必須是唯一的 (2 ) 映射并不要求逆象也具有唯一性 2 一一對應(yīng) 定義 設(shè)f是集合X到集合Y的一個映射，若f的逆象也具有唯一性，即對X中的任意兩個不同

12、元素 ，它們的象 與 也滿足 ，則稱f為單射；如果映射滿足 ，則稱f為滿射；如果映射f既是單射，又是滿射，則稱f為雙射（又稱 一一對應(yīng)）逆映射設(shè)是單射，則對任意它的逆象（即滿足方程)是唯一確定的.對應(yīng)關(guān)系構(gòu)成了的一個映射,把它稱為的逆映射，記為其定義域為現(xiàn)設(shè)有如下兩個映射和復(fù)合映射 二 函數(shù)概念 函數(shù)是整個高等數(shù)學(xué)中最基本的研究對象, 可以說數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的.因此我們對函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應(yīng)有一個清楚的認(rèn)識. 例 圓內(nèi)接正多邊形的周長圓內(nèi)接正n 邊形Or) 定義 給定 R，如果存在某種對應(yīng)法則 ，使得對于X中任一元素 ，都有唯一確定的數(shù) R與之對應(yīng)，則稱 是從 到R的一個函數(shù)，記

13、作 R。函數(shù)在 點 的值記作 ， 稱為函數(shù) 的定義域， 稱為自變量， 稱為因變量。 從概念上講， （即對應(yīng)法則）是函數(shù)， 是函數(shù)值，兩者是不同的。 但它們是相互決定的，今后在大部分場合，不加區(qū)分。 但有些場合，如微分和微分形式概念中，必需加以區(qū)分。對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.自變量因變量約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù) 表示函數(shù)的主要方法有三種: 表格法、圖形法、解析法(公式法). 用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念, 坐標(biāo)平面上的 函數(shù)的表示法單值

14、函數(shù)與多值函數(shù) 在函數(shù)的定義中,對每個xD, 對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的, 這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù). 如果給定一個對應(yīng)法則, 按這個法則, 對每個xD, 總有確定的y值與之對應(yīng), 但這個y不總是唯一的, 我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù). 例如, 由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個多值函數(shù): 此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個單值分支 此函數(shù)稱為絕對值函數(shù), 其定義域為D=(-, +),其值域為Rf =0, + ). (2) (1)常值函數(shù) y=c.其定義域為D=(-, +),其值域為Rf =c.三幾個特殊的函數(shù)舉例 (3) 符號函數(shù) 其定義域為D=(-, +) ,其值域為Rf =-1,

15、 0, 1.(4) 取整函數(shù) y=xx表示不超過 的最大整數(shù)階梯曲線其定義域為D=(-, +),其值域為 =Z. （5）“非負(fù)小數(shù)部分”函數(shù)它的定義域是有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(6) 狄利克雷函數(shù)其定義域為D=(-, +) ,其值域為 =0, 1.(7) 取最值函數(shù)yxoxo在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).分段函數(shù)例1解故函數(shù)的四則運算 在函數(shù)的共同定義域內(nèi)可以實行函數(shù)的加減法運算和乘法運算，, 也可以實行除法運算 這時要特別小心，要除去的點。四、復(fù)合函數(shù) 在實際問題中，有很多比較復(fù)雜的函數(shù)是由幾個比較 簡單的函數(shù)“疊置”而成的，如在簡諧振動中位移y與

16、時間 t 的函數(shù)關(guān)系就是由三角函數(shù)和線性函數(shù)“疊置”而成的， 定義 設(shè)函數(shù) 定義域包含函數(shù) 的值域，則在 的定義域上可以用以下法則確定一個函數(shù) ，稱之為f與g的復(fù)合函數(shù)，記作 。我們總有 。 這里“ ”運算是非交換的，一般的沒有 。但它是結(jié)合的： ，故可定義 。定義:注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;復(fù)合條件復(fù)合函數(shù)的定義域復(fù)合條件在實際應(yīng)用時常取形式內(nèi)層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內(nèi)2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.例1求并求定義域。例2（1）（2） A. B. C. D. 五 反函數(shù) 定義 設(shè)R是一函數(shù)，如果(或由)，則稱f在上X是 1-1的。若若，則稱

17、f為滿的。是滿的 1-1 的，則稱f為1-1對應(yīng)。R是1-1 的意味著對固定y至多有一個解x，是1-1 的意味著對，有且僅有一個解x。定義 設(shè)是1-1對應(yīng)。, 由唯一確定一個的反函數(shù)，記為 反函數(shù)的定義域和值域恰為原函數(shù)的值域和定義域 顯然有 (恒等變換） (恒等變換) 由這種對應(yīng)法則所確定的函數(shù)稱為DWDW 從方程角度看，函數(shù)和反函數(shù)沒什么區(qū)別，作為函數(shù)，習(xí)慣上我們還是把反函數(shù)記為 , 這樣它的圖形與 的圖形是關(guān)于對角線Y=x對稱的。 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)是1-1對應(yīng)的，所以嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)。 但 1-1 對應(yīng)的函數(shù)（有反函數(shù)）不一定是嚴(yán)格單調(diào)的，看下面例子它的反函數(shù)即為它自己。 實際求反函數(shù)問

18、題可分為二步進(jìn)行： (1). 確定 的定義域和值域，考慮 1-1對應(yīng)條件。固定 ，解方程 得出 。(2). 按習(xí)慣，自變量、因變量互換，得 .六 初等函數(shù)、基本初等函數(shù)（1）.冪函數(shù)冪函數(shù)（2）.指數(shù)函數(shù)（3）.對數(shù)函數(shù)(4)三角函數(shù)周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù) |sin x|1特殊值：三角函數(shù)周期為2p的周期函數(shù)有界函數(shù) |cos x|1特殊值：三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無界函數(shù)：漸進(jìn)線：特殊值：三角函數(shù)周期為p的周期函數(shù)無界函數(shù)：漸進(jìn)線：特殊值：正割函數(shù)余割函數(shù)(5)反三角函數(shù)的圖象 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).2.初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例1解綜上所述四、小結(jié)函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))小結(jié) P9: 1, 2, 4, 5, 7, 8 .(2) 反函數(shù);(1) 復(fù)合函數(shù);(3) 函數(shù)的運算;(4) 初等函數(shù).思考題思考題解答不能1.4具有某些特性的函數(shù)二 單調(diào)函數(shù)三. 奇