高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 34基本不等式及其應(yīng)用課件 （文） 新人教A版

1、第三十四講 根本不等式及其應(yīng)用1回歸課本1.算術(shù)平均數(shù)如果a,bR+,那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù).2.幾何平均數(shù)如果a,bR+,那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù).23.重要不等式如果a,bR,那么a2+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=);均值定理:如果a,bR+,那么 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=).均值定理可以表達(dá)為:兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù).345.x、y都是正數(shù),那么(1)假設(shè)x+y=S(和為定值),那么當(dāng)x=y時(shí),積xy取最大值(2)假設(shè)xy=P(積為定值),那么當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值即兩個(gè)正數(shù)的和為定值,那么可求其積的最大值;積為定值,那么可求

2、其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論要注意三個(gè)條件;“一正二定三相等,即:各項(xiàng)或各因式為正;和或積為定值;各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值.5考點(diǎn)陪練1.函數(shù)y=log2x+logx2的值域是( )A.(-,-2B.2,+)C.-2,2D.(-,-22,+)答案:D62.x+3y=2,那么3x+27y的最小值為( )答案:A7答案:C答案:B8答案:D9類型一證明不等式解題準(zhǔn)備:證明不等式是均值不等式的一個(gè)根本應(yīng)用,注意分析不等式的左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征,通過拆(添)項(xiàng)創(chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用均值不等式的條件.在解決本類問題時(shí)注意以下幾點(diǎn):(1)均值不等式成立的前提條件;(2)通過加減項(xiàng)的方法配湊成算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的形

3、式;(3)注意“1的代換;(4)靈活變換根本不等式的形式并注意其變形式的運(yùn)用.10【典例1】證明:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).分析利用a2+b22ab(a,bR)求證即可.證明a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2,2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2,11又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,c2a2+a2b22a2bc,2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2

4、+a2bc=abc(a+b+c).即原命題可得證.1213類型二 求最值解題準(zhǔn)備:1.利用根本不等式可以求一些函數(shù)或代數(shù)式的最值.2.應(yīng)用重要不等式和根本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有:14151617181920類型三利用均值不等式解應(yīng)用題解題準(zhǔn)備:均值不等式作為求最值的常用工具,經(jīng)常在有關(guān)最優(yōu)解的實(shí)際問題中應(yīng)用.應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題的根本步驟是:仔細(xì)閱讀題目,透徹理解題意;分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系,引入未知數(shù),并用它表示其它的變量,把要求最值的變量設(shè)為函數(shù);應(yīng)用均值不等式求出函數(shù)的最值;復(fù)原實(shí)際問題,作出解答.21【典例3】某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 m2的三級(jí)

5、污水處理池(平面圖如下圖).如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/m,中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/m,池底建造單價(jià)為80元/m2,水池所有墻的厚度忽略不計(jì).(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低,并求出最低總造價(jià);(2)假設(shè)由于地形限制,該池的長(zhǎng)和寬都不能超過16 m,試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低,并求出最低總造價(jià).22232425 反思感悟不等式應(yīng)用的特點(diǎn)是:(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問題,如“物價(jià)稅收銷售市場(chǎng)信息等,題目往往篇幅較長(zhǎng).(2)建立函數(shù)模型常見的有“正(反)比例函數(shù)一次函數(shù)二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù),以及 等形式.解函數(shù)應(yīng)用題中的最值問題一般利用二次

6、函數(shù)的性質(zhì)或根本不等式來解決.26錯(cuò)源一 無(wú)視等號(hào)成立的條件2728 剖析解法一和解法二的錯(cuò)誤原因是等號(hào)同時(shí)成立的條件不具備,因此使用根本不等式一定要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,只有等號(hào)成立時(shí),所求出的最值才是正確的.293031錯(cuò)源二 無(wú)視均值不等式應(yīng)用條件致誤32答案(-,-13,+) 3334技法一 快速解題(三角換元)【典例1】a、b、c、dR,x、yR+,且x2=a2+b2,y2=c2+d2.求證:xyac+bd.快解聯(lián)想到圓的參數(shù)方程,設(shè)a=xcos,b=xsin,c=ycos,d=ysin,那么ac+bd=xycoscos+xysinsin=xycos(-)xy.另解切入點(diǎn)有a2+b2、

7、c2+d2的形式出現(xiàn),就可以用a2+b22ab.由于a、b、c、dR,故ac+bd可能為正,也可能為負(fù).當(dāng)ac+bd0的情況.35 證明證法一:當(dāng)ac+bd0時(shí),顯然有xyac+bd成立.當(dāng)ac+bd0時(shí),x2y2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd=(ac+bd)2,即xyac+bd.36證法二:當(dāng)ac+bd0、-1cos(-)1就行了.得分主要步驟此題證明步驟簡(jiǎn)單,但需考慮ac+bd或正或負(fù)的兩種情況.假設(shè)ac+bd0,那么(ac+bd)2與x2y2的大小不能確定,證題時(shí)需注意此處.易丟分原因沒有考慮到ac+bd0還是ac+bc0.38技法二 如何解決含有多個(gè)變量的條件最值問題求解含有多個(gè)變量的條件最值問題,一般方法是利用給出的條件,通過代換減少變量的個(gè)數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)的最值問題進(jìn)行解決.如果條件等式中含有兩個(gè)變量的和與積的形式,可以直接利用均值不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后通過解不等式進(jìn)行求解,