《線性代數(shù)及其應(yīng)用》-第三章----行列式課件

1、 第三章 行列式3.1 行列式介紹 定義 設(shè)并稱之為 矩陣A的行列式，它等于一個(gè)數(shù) ，即引入記號(hào) det A 或 注：橫行豎列、元素、行標(biāo)、列標(biāo)； 一階方陣二階行列式的計(jì)算 主對(duì)角線 副對(duì)角線 即：主對(duì)角線上兩元素之積副對(duì)角線上兩元素之積 對(duì)角線法則 例 1 計(jì)算解： 原式 對(duì)角線法則三階行列式的計(jì)算 對(duì)角線法則 注意：對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式. 例2 計(jì)算行列式 解按對(duì)角線法則，有例3 計(jì)算行列式 解： 原式 結(jié)論 三階行列式可以用二階行列式表示.思考 任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示？引例例如 稱為元素 的余因子 在n 階矩陣中，把元素 所在的第 行和第 列劃后，令

2、表示留下來的n1階子矩陣，把結(jié)論 因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識(shí)矩陣的元素，所以矩陣中每一個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余因子.定義把上面的式子稱之為按矩陣的第一行的余因子展開式。引例定理1 矩陣 A 的行列式可按任意行或列的余因子展開式來計(jì)算。按第 i 行展開可寫成按第 j 列展開可寫成注 余因子 的符號(hào)取決于元素 所在矩陣 A 中的位置。例4 利用第一行的余因子展開式計(jì)算下列行列式 解： 原式 例5 利用第一列的余因子展開式計(jì)算例4中的行列式。 解： 原式 注 定理1有助于計(jì)算包含很多零的行列式. 例6 計(jì)算行列式 解： 原式 例7 計(jì)算解： 原式 定理2 若A 為三角陣，則 det A 等于主對(duì)角線上

3、元素的乘積。例如 3.2 行列式的性質(zhì)定理 3 （行變換） 令A(yù) 是一個(gè)方陣，則a.若A 的某一行的倍數(shù)加到另一行得矩陣B，則 det B = det A.b.若A 的兩行互換得矩陣B, 則 det B = - det A.c.若A 的某行乘以數(shù) k 得到矩陣B, 則 det B = k det A.例如 例1 習(xí)題3.2（P175）的 14 題 。 例2 計(jì)算 det A，其中注 一般是利用行變換將A化成階梯形，然后利用上節(jié)定理2求值。例2 解：例3 計(jì)算解：原式 結(jié)論 若 ，且經(jīng)過了 r 次行交換，則進(jìn)一步，還可得到定理 4 方陣 A 可逆 推論 若矩陣A的行（列）線性相關(guān)，則det A=

4、0。 特別的，若A的兩行（列）對(duì)應(yīng)相同或者有一行（列）全為零，則肯定是線性相關(guān)的。例如例4 判斷矩陣 是否可逆。例5 判斷向量組 是否線性無關(guān)。解：原式 因此A不可逆。解：因此向量組線性無關(guān)。 結(jié)合使用行變換及余因子展開式計(jì)算行列式。例6 計(jì)算解：原式 列變換 定理 5 若A 為方陣，則 注 定理3中的“行”換成“列”，即可得到對(duì)應(yīng)的3中列變換。但是在數(shù)值計(jì)算中只適用行變換。行列式與矩陣乘積 定理 6 （乘法的性質(zhì)） 若A 和 B 均為nn方陣，則 det AB = (det A)(det B)注例7 證明：如果A可逆，則證：即于是例8 證明：如果A，P均為方陣，P可逆，則例9 證明：如果U為

5、方陣，滿足 ，則證：又于是得證。證：又行列式函數(shù)的一個(gè)線性性質(zhì) 設(shè)定義則有則例如 例10 若A, B均為33矩陣，且det A = -1，det B = 2，計(jì)算解：3.3 克拉默法則、體積和線性變換克拉默法則 對(duì)任意 nn 矩陣A 和 ，令定理 7 （克拉默法則） 設(shè)A 是一個(gè)可逆的nn矩陣，對(duì) ，方程 A x = b的惟一解可由下式給出注 克拉默法則成立的條件：b. 系數(shù)行列式a. 只應(yīng)用于 階線性方程組例1 利用克拉默法則求下列方程組的解解：于是在工程上的應(yīng)用：拉普拉斯變換定義（拉普拉斯變換）：由積分所定義的確定于復(fù)平面 上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù)F(s)，稱為函數(shù) 的拉普拉斯變換，其中 于 有

6、定義，且滿足不等式這里 為某兩個(gè)正常數(shù)，將稱 為原函數(shù)，而稱F(s)為象函數(shù)。拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程（組）。通過一些代數(shù)運(yùn)算，一般地利用拉普拉斯變換表，很容易求出微分方程（組）的解。例 求方程 滿足初始條件 的解。解：對(duì)方程兩端施行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數(shù)所滿足的方程：所以，利用初始條件有：直接利用拉普拉斯變換表，可得 的原函數(shù)分別是 。因此，利用拉普拉斯變換的線性性質(zhì)得 的原函數(shù)為即為原方程的解。例2 確定參數(shù)s的值，使下列方程組有惟一解，并求出該解。解：故當(dāng) 時(shí)，方程組有唯一解。一個(gè)求 A-1 的公式 其中 (余 因

7、子) 于是伴隨矩陣 adj A 定理 8 （逆矩陣公式） 設(shè)A 是一個(gè)可逆的nn矩陣，則例3 利用定理8求矩陣 的逆矩陣。解：二階行列式的幾何意義平行四邊形的面積三階行列式的幾何意義從原點(diǎn)O出發(fā)作有向線段OA，OB，OC使其中， 三點(diǎn)坐標(biāo)為則以O(shè)A,OB,OC為棱的平行六面體的體積，就是如下三階行列式的絕對(duì)值 三階行列式的幾何意義用行列式表示面積或體積 定理 9 設(shè)A 是一個(gè)22矩陣，則由A的列確定的平行四邊形的面積例4 求下列給定定點(diǎn)的平行四邊形的面積：（0，0），（5，2），（6，4），（11，6）。為det A，若A 是一個(gè)33矩陣，則由A的列確定的平行六面體的體積為det A。解：例5 求下列給定定點(diǎn)的平行四邊形的面積：（-2，2），（0，3），（4，-1），（6，4）.解：先將（-2，2）移到原點(diǎn)，即每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)都減去（-2，2），得平移后的四頂點(diǎn)為（0，0），（2，5）