2.3.1變量之間的相關(guān)關(guān)系 (3)

1、2.3.2兩個變量的線性相關(guān)必修3 第二章 統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)引入： 1、前面我們學(xué)習(xí)了現(xiàn)實(shí)生活中存在許多相關(guān)關(guān)系：商品銷售與廣告、糧食生產(chǎn)與施肥量、人體的脂肪量與年齡等等的相關(guān)關(guān)系.2、通過收集大量的數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對數(shù)據(jù)分析，找出其中的規(guī)律，對其相關(guān)關(guān)系作出一定判斷. 3、由于變量之間相關(guān)關(guān)系的廣泛性和不確定性，所以樣本數(shù)據(jù)應(yīng)較大，和有代表性.才能對它們之間的關(guān)系作出正確的判斷. 【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)： 其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.32

2、8.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6探究： 思考1：對某一個人來說，他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少，但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù)，大體上看，隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6 思考2：為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系，我們需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀

3、的印象.以x軸表示年齡，y軸表示脂肪含量，你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎？ 年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6 思考3：上圖叫做散點(diǎn)圖，你能描述一下散點(diǎn)圖的含義嗎？ 在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點(diǎn)圖. 思考4：觀察散點(diǎn)圖的大致趨勢，人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系？ 思考5：在上面的散點(diǎn)圖中，這些點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).一般地，如果兩

4、個變量成正相關(guān)，那么這兩個變量的變化趨勢如何？ 思考6：如果兩個變量成負(fù)相關(guān)，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何？其散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？ 一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域. 思考7：你能列舉一些生活中的變量成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的實(shí)例嗎? 例1 在下列兩個變量的關(guān)系中，哪些是相關(guān)關(guān)系？正方形邊長與面積之間的關(guān)系；作文水平與課外閱讀量之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系.理論遷移 1. 兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的含義如何？成正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的兩個相關(guān)變量的散點(diǎn)圖分別有什么特點(diǎn)？ 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變

5、量之間的關(guān)系. 正相關(guān)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，負(fù)相關(guān)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域 問題提出 2.觀察人體的脂肪含量百分比和年齡的樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，這兩個相關(guān)變量成正相關(guān).我們需要進(jìn)一步考慮的問題是，當(dāng)人的年齡增加時，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加呢？對此，我們從理論上作些研究. 思考1：一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心，那么散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的中心如何確定？它一定是散點(diǎn)圖中的點(diǎn)嗎？ 知識探究（一）：回歸直線 思考2：在各種各樣的散點(diǎn)圖中，有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)是雜亂分布的，有些散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有一定的規(guī)律性，年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布有什么

6、特點(diǎn)？ 這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近. 思考3：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布，從整體上看大致在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量，其回歸直線一定通過樣本點(diǎn)的中心嗎？ 思考4：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，你認(rèn)為其回歸直線是一條還是幾條？ 思考5：在樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫出回歸直線？借助計(jì)算機(jī)怎樣畫出回歸直線？ 在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體

7、進(jìn)行估計(jì). 知識探究（二）：回歸方程 思考1：回歸直線與散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系？ 整體上最接近 思考2：對于求回歸直線方程，你有哪些想法？ . 方案1、先畫出一條直線，測量出各點(diǎn)與它的距離，再移動直線，到達(dá)一個使距離的和最小時，測出它的斜率和截距，得回歸方程。20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540如圖 ：. 方案2、在圖中選兩點(diǎn)作直線，使直線兩側(cè) 的點(diǎn)的個數(shù)基本相同。 20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540 方案3、如果多取幾對點(diǎn)，確定多條直線，再求出這些直線的斜率和截距的平均值作為回歸直線

8、的斜率和截距。而得回歸方程。 如圖: 我們還可以找到 更多的方法，但 這些方法都可行 嗎?科學(xué)嗎？ 準(zhǔn)確嗎？怎樣的 方法是最好的？20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540我們把由一個變量的變化去推測另一個變量的方法稱為回歸方法。(x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn)可以用 或 ， 其中 . 思考3：對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，設(shè)其回歸方程為 可以用哪些數(shù)量關(guān)系來刻畫各樣本點(diǎn)與回歸直線的接近程度？ 思考4：為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認(rèn)為選用哪個數(shù)量關(guān)系來

9、刻畫比較合適？ (x1， y1)(x2，y2)(xi，yi)(xn，yn) 思考5：根據(jù)有關(guān)數(shù)學(xué)原理分析，當(dāng) 時，總體偏差 為最小，這樣就得到了回歸方程，這種求回歸方程的方法叫做最小二乘法.回歸方程 中，a，b的幾何意義分別是什么？ 思考6：利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)可求得年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的回歸方程為 ，由此我們可以根據(jù)一個人個年齡預(yù)測其體內(nèi)脂肪含量的百分比的回歸值.若某人37歲，則其體內(nèi)脂肪含量的百分比約為多少？20.9% 例 有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個賣出的飲料杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表： 攝氏溫度(） -504712熱飲杯數(shù) 15615013212813015192327313611610489937654理論遷移（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲杯數(shù)之 間關(guān)系的一般規(guī)律；（3）求回歸方程；（4）如果某天的氣溫是2，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù).攝氏溫度(） -504712熱飲杯數(shù) 15615013212813015192327313611610489937654當(dāng)x=2時，y=143.063.第二步，求和 , 1.求樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程，可按下列步驟進(jìn)行：第一步，計(jì)算平均數(shù) , 第三步，計(jì)算 第四步，寫出回歸方程 小結(jié)作業(yè) 2.回歸方程被樣本數(shù)據(jù)惟一確定，各樣本點(diǎn)大致分布在回歸直線附近.對同一個總體