理論力學(xué)(第三版)第5章第2節(jié)虛功原理-PPT精選課件

1、第五章分析力學(xué)拉格朗日哈密頓5.2 虛功原理本節(jié)導(dǎo)讀 實(shí)位移 虛位移 實(shí)功 虛功 虛功(虛位移)原理 拉格朗日乘子與約束力1 實(shí)位移和虛位移質(zhì)點(diǎn)由于運(yùn)動(dòng)實(shí)際發(fā)生的位移, 叫做實(shí)位移. 用dr表示. 想象的質(zhì)點(diǎn)在約束許可情況下發(fā)生的位移, 叫做虛位移. 用 r表示. 虛位移只決定于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)的位置和加在它上面的約束, 而不是由于時(shí)間變化所引起的. 虛位移和實(shí)位移的區(qū)別是實(shí)位移要滿(mǎn)足運(yùn)動(dòng)方程,而虛位移只需要滿(mǎn)足約束. 在穩(wěn)定約束下,實(shí)位移是無(wú)限多虛位移中的一個(gè). 而在不穩(wěn)定約束時(shí), 可能二者不一致.設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng), 存在m個(gè)完整約束, 其約束方程設(shè) 是滿(mǎn)足約束條件的虛位移, 則對(duì)ri 作多元函

2、數(shù)的泰勒展開(kāi)(t 被“凍結(jié)”), 略去二次以上的項(xiàng),滿(mǎn)足上式的一組ri 就是虛位移. 而真實(shí)位移dri是一個(gè)在時(shí)間dt間隔中完成的位移, 為使其滿(mǎn)足約束條件, 必須于是得是約束對(duì)真實(shí)位移的限制條件, 即時(shí)間不被“凍結(jié)”的可能位移應(yīng)滿(mǎn)足的條件. 如約束是穩(wěn)定的, 虛、實(shí)位移相同.虛位移與實(shí)位移比較表虛位移實(shí)位移共同點(diǎn)為約束所允許為約束所允許不同點(diǎn)1）與主動(dòng)力、作用時(shí)間、初始條件無(wú)關(guān)2）是可能位移，可有多個(gè)或無(wú)窮多個(gè)3）無(wú)限微量與左邊三個(gè)因素有關(guān)唯一的，方向確定有限量表示方法用變分符號(hào)表示。如 等用微分符號(hào)表示。如 等相互關(guān)系在定常約束情況下，實(shí)位移是虛位移中的一個(gè).2 虛功 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在任

3、意虛位移r中所作的功, 叫做虛功. 如果作用在一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)上所有作用反力在任意虛位移中所作的虛功之和為零,即那么系統(tǒng)受到的約束叫做理想約束. 一切光滑接觸以及剛體等都是理想約束. 例1 質(zhì)點(diǎn)沿固定的光滑曲面運(yùn)動(dòng), 約束方程為質(zhì)點(diǎn)的虛位移應(yīng)滿(mǎn)足即虛位移垂直于曲面的法向( ). 由于約束面是光滑的, 約束力沿曲面的法向, 即因此虛功為例2 質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)的光滑曲面運(yùn)動(dòng), 約束方程為質(zhì)點(diǎn)的虛位移應(yīng)滿(mǎn)足即虛位移仍垂直于曲面的法向. 而 約束力沿曲面的法向, 所以虛功也仍為零.注意, 這里約束力所作的真實(shí)的功并不為零, 因?yàn)檎鎸?shí)位移dr滿(mǎn)足它并不垂直于曲面的法向. 約束力的虛功為零, 這完全是因?yàn)樘撐灰圃凇?/p>

4、凍結(jié)”了的(t0)曲面的切平面上.例3 質(zhì)點(diǎn)約束在光滑曲線上運(yùn)動(dòng). 這種情形可以看成質(zhì)點(diǎn)約束在兩個(gè)光滑曲面上的運(yùn)動(dòng), 其約束方程為質(zhì)點(diǎn)的虛位移應(yīng)滿(mǎn)足這也是約束力和虛位移垂直的情況. 故虛功為零.因此約束力的虛功因約束力是一對(duì)內(nèi)力, 大小相等方向相反,即 . 由約束方程可知, 虛位移滿(mǎn)足例4 剛性約束. 剛體中兩質(zhì)點(diǎn)的徑矢分別為 , 則約束方程為3 虛功原理于是, 作用于第i質(zhì)點(diǎn)所有各力的虛功之和為零 當(dāng)系統(tǒng)處于平衡時(shí), 系統(tǒng)每一質(zhì)點(diǎn)都是處于平衡. 這樣, 作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的 的合力應(yīng)為零, 即在理想約束條件下, 如果系統(tǒng)處于平衡狀態(tài), 則其平衡條件為這稱(chēng)為虛功原理. 顯然, 當(dāng)一個(gè)只有理想約束

5、的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí), 作用于該系統(tǒng)的所有主動(dòng)力的虛功之總和為零.其實(shí), 即使是非理想的約束, 仍然可以使用虛功原理. 只要把 理解為既包括主動(dòng)力又包括非理想約束反力即可.4 廣義坐標(biāo)下的虛功原理質(zhì)點(diǎn)虛位移也可用廣義坐標(biāo)的虛位移(廣義虛位移)表示, 由于虛位移不獨(dú)立, 因而上述虛功原理不能消除虛位移來(lái)得出平衡時(shí)系統(tǒng)的受力. 為解決這個(gè)困難, 采用廣義坐標(biāo). 任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑 都可用s個(gè)廣義坐標(biāo)表示, 這樣在廣義坐標(biāo)中得到平衡方程為:Q是q的函數(shù). 由于廣義虛位移是相互獨(dú)立的, 所以Q叫做廣義力. 它的數(shù)目和力學(xué)體系的自由度數(shù)相等.5 主動(dòng)力為保守力的情況 在主動(dòng)力是保守力的情況下, 廣義力Q

6、的表達(dá)式很容易求得. 并且此時(shí)平衡方程為上式具有鮮明的物理意義: 保守力作用下的力學(xué)系統(tǒng), 如處于平衡, 則勢(shì)能取極值. 例1 兩剛性桿用光滑鉸鏈連接如圖. 上桿長(zhǎng)l1, 質(zhì)量為m1, 下桿長(zhǎng)l2, 質(zhì)量為m2, 在下桿的下端施加不變的水平力F, 試求平衡時(shí)兩桿各自同豎直線的夾角1和2.解: 光滑鉸鏈?zhǔn)抢硐爰s束. 所需考慮的主動(dòng)力有水平力F, 重力m1g和重力m2g. 系統(tǒng)兩個(gè)自由度, 1和2為廣義坐標(biāo)按照虛功原理21m2gm1gF(x2,y2)(x1,y1)(x3,y3)xyO因?yàn)樽杂啥?1和2為獨(dú)立的由此解得因?yàn)? 約束力的求解拉格朗日乘子法 利用虛功原理可以方便地求出在廣義坐標(biāo)下的平衡條

7、件,但是不能求出約束力.為了解決這個(gè)問(wèn)題,引入拉格朗日乘子法. n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng), 有k個(gè)完整約束x,y,z個(gè)是所有系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的縮寫(xiě). 這時(shí)系統(tǒng)的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)為3nk, 顯然我們可以直接利用3n個(gè)坐標(biāo)求解, 也可以利用3nk廣義坐標(biāo)求解. (i)如直接利用3n個(gè)坐標(biāo)求解, 則力學(xué)系統(tǒng)的平衡條件為虛位移應(yīng)滿(mǎn)足把上式對(duì)應(yīng)乘以, 然后和(5.15)相加, 得總可以得到聯(lián)立約束方程, 共有3n+k個(gè)方程, 可以確定坐標(biāo)和不定乘子.不定乘子的物理意義:即不定乘子和約束方程的散度乘積是對(duì)應(yīng)的約束反力. (ii)利用廣義坐標(biāo)求解約束反力.先將坐標(biāo)用廣義坐標(biāo)表示, 約束方程變?yōu)槎撐灰茲M(mǎn)足類(lèi)比與直接求解的

8、方式, 得也總能得到不定乘子仍和約束反力成比例, 而Q是廣義坐標(biāo)表示的主動(dòng)力.例2 如圖所示機(jī)構(gòu)中, OA=r, h2r,彈簧的勁度系數(shù)為k, 當(dāng)OA桿在力偶矩M1作用下于圖示位置(OA平行于水平桿BC)平衡時(shí), 試求作用在AD桿上的力偶矩M2的大小及彈簧的形變量.本題可根據(jù)廣義力表示的平衡條件求解. 但必須先求出廣義力, 下面用虛元功法求廣義力.解: 系統(tǒng)具有兩個(gè)由由度, 選OA桿的轉(zhuǎn)角1和AD桿的轉(zhuǎn)角2為獨(dú)立的虛位移, 其轉(zhuǎn)向如圖所示. 先令1=0, 對(duì)應(yīng)于虛位移2的虛功為再令2=0, 對(duì)應(yīng)于虛位移1的虛功為根據(jù)平衡條件, 有Q20, Q10, 這樣可得對(duì)應(yīng)的廣義力為例3 試求例1兩桿鉸接處的相互作用力.解: 本題所求為兩桿鉸接處的約束力, 所以選取廣義坐標(biāo)時(shí)不考慮約束條件. 按照質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,下桿所受的各個(gè)力, 包括鉸接處的約束力可以看做作用于桿的質(zhì)心, 因此我們選下桿質(zhì)心的坐標(biāo)x2, y2作為特定的廣義坐標(biāo). 另選確定上桿位置的1 和下桿位置的2作廣義坐標(biāo). 按照虛功原理用廣義坐標(biāo)表示由此看出, 對(duì)應(yīng)于 x2和 y2的主動(dòng)力分別是m2g和F. 由于廣義坐標(biāo)不獨(dú)立, 受到約束于是用1遍乘(b)的各項(xiàng), 2遍乘(c)的各項(xiàng), 并與(a)相加,令各個(gè)系數(shù)分別為零, 即得平衡方程, 其中對(duì)應(yīng)于 x2和 y2的兩個(gè)平衡方程是這樣, 下桿所受的x方向的力為m2g, y方向?yàn)?F.因