統(tǒng)計學基礎第九章課件

1、第九章假設檢驗第一節(jié) 假設檢驗的一般問題第二節(jié) 單總體參數(shù)的假設檢驗本章內(nèi)容第一節(jié)假設檢驗的一般問題 假設檢驗（hypothesis text）是先對總體參數(shù)提出某種假設，然后進行隨機抽樣，并根據(jù)樣本的信息來驗證該假設是否成立。 假設檢驗可分為參數(shù)檢驗和非參數(shù)檢驗兩種。參數(shù)檢驗是對總體的參數(shù)進行檢驗，可進一步區(qū)分為單總體參數(shù)檢驗和多總體參數(shù)檢驗。而非參數(shù)檢驗是對總體的分布形式、隨機變量獨立性等方面進行檢驗。 本章只討論單總體均值、比例、方差等參數(shù)的檢驗。一、假設檢驗的一般原理 假設檢驗的依據(jù)是小概率原理：在一個已知假設下，如果某個事件發(fā)生的概率非常小，我們通常認為，這個假設可能是不成立的。 小

2、概率原理是對人們?nèi)粘Ｋ季S習慣的抽象概括。在日常生活中，人們習慣于把概率非常小的事件，當作在一次觀察中是不可能出現(xiàn)的事件。當然，如果我們認為某個事件是小概率事件，但在一次觀察中卻發(fā)生了，合理的解釋自然是我們原來的看法有問題，也就是說，我們原來認定的事件可能并不是小概率事件。例1：ProCare Industries，Ltd.曾經(jīng)提供了一種稱為“性別選擇”的產(chǎn)品，根據(jù)廣告上的說法，這種產(chǎn)品可以使夫婦“將生一個男孩的概率增加到85，生一個女孩的概率增加到80?！睂τ谙胍泻⒌姆驄D，“性別選擇”就裝在一個藍色的包裝里，對于想要女孩的夫婦，“性別選擇”就裝在一個粉色的包裝里。假設我們對100對想要女孩的

3、夫婦進行了一項實驗，他們都遵照了在“性別選擇”粉色包裝上描述的“戶內(nèi)方便使用說明”。使用常識和非正規(guī)統(tǒng)計學方法來判斷，如果100個嬰兒中包含以下數(shù)量的女孩，我們應該對“性別選擇”的有效性得出什么結(jié)論？ 52個女孩 97個女孩答：在100個嬰兒中，正常情況下會有大約50個女孩。52個女孩的結(jié)果接近于50，因此我們不應該認為“性別選擇”產(chǎn)品是有效的。即使100對夫婦沒有使用任何特殊的性別選擇方法，52個女孩這個結(jié)果也可能很容易地發(fā)生。 在100個新生兒中有97個是女孩這個結(jié)果在偶然的情況下是非常不可能發(fā)生的。我們可以用兩種方式來解釋出現(xiàn)97個女孩這一現(xiàn)象：要么是極其罕見的事件偶然出現(xiàn)了，要么是“性

4、別選擇”產(chǎn)品是有效的。因為出現(xiàn)97個女孩的概率極低，所以更有可能的解釋就是這種產(chǎn)品是有效的。 理解了小概率原理，就理解了假設檢驗的思想：首先對總體參數(shù)建立某種假設（稱為原假設）H0，然后經(jīng)過隨機抽樣取得一組樣本數(shù)據(jù)，如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的某個統(tǒng)計量（或多個統(tǒng)計量）在原假設H0成立的條件下發(fā)生的概率很小，就拒絕或否定這個原假設并繼而接受其對立面?zhèn)鋼窦僭O。反之，如果該統(tǒng)計量在原假設H0成立的條件下發(fā)生的可能性不是很小，那么就接受原假設。 例2：假設某種飲料的商標上標明的容量為250毫升，標準差為4毫升。如果你從市場上隨機抽取50瓶，發(fā)現(xiàn)其平均含量為248毫升。據(jù)此，可否斷定飲料廠商欺騙了消費者？

5、分析：樣本平均含量低于廠商聲稱的平均含量，其原因不外乎有兩種：一是由抽樣誤差引起的。如果樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差不大，未超出抽樣誤差范圍，則可認為兩者之差就是由抽樣誤差引起的，飲料廠商不存在欺詐行為。二是由飲料廠商短斤少兩引起的，即飲料廠商存在欺詐行為。在這種情況下，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差就會超出抽樣誤差范圍，因為其差異是廠商的有意行為。 抽樣誤差范圍是與概率保證程度相聯(lián)系的。對于正態(tài)分布總體，若取概率保證程度為99%，則樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差大于抽樣平均誤差的2.33倍，即，也就是說，或發(fā)生的概率只有1%（見圖9-1）。因此，是一個小概率事件，這一事件在100次抽樣中只發(fā)生一次，而

6、對于一次抽樣而言，可認為小概率事件實際上不會發(fā)生。圖9-1 1%概率示意圖（=0.01） 解:在本例中， =248，=4，n=50，假設=250也就是說，對于一次抽樣的結(jié)果，小概率事件發(fā)生了，這是不合常理的，所以可認為總體平均數(shù)250這一假設不成立，即該包裝飲料的容量不足250毫升，廠商有欺詐故意。 二、假設檢驗的步驟 1建立假設 2選擇檢驗統(tǒng)計量及其分布 3確定顯著性水平、臨界值、接受域、拒絕域，計算檢驗統(tǒng)計量的值，檢驗原假設是否成立。建立假設應注意的問題檢驗統(tǒng)計量的選擇檢驗原假設是否成立三、兩類錯誤 假設檢驗容易犯兩類錯誤： 第一類錯誤（tape error ），即“棄真的錯誤”，是指根據(jù)

7、小概率原理，當原假設真時拒絕原假設而犯的錯誤。犯第一類錯誤的概率為，即顯著性水平。 第二類錯誤（tape error ），即“納偽的錯誤”，是指原假設假時沒有拒絕原假設所犯的錯誤 。犯第二類錯誤的概率記為。 應當注意：只有當原假設被拒絕時，才會犯第一類錯誤；只有當原假設未被拒絕時，才會犯第二類錯誤。 決策結(jié)果實際情況原假設H0真原假設H0假未拒絕H0正確決策第二類錯誤拒絕H0第一類錯誤正確決策 兩類錯誤的概率和存在著一定的關系：增大，則減?。粶p小，則增大。我們當然希望犯這兩類錯誤的概率都盡可能的小，但實際上很難做到，唯一的辦法是擴大樣本容量，但擴大樣本容量又受到各種因素的限制，因此我們往往是在

8、兩類錯誤之間進行平衡，以使和控制在能夠接受的范圍內(nèi)。 例3：某研究機構(gòu)估計，某地大學生中手機保有率（大學生中擁有手機的比率）超過80。為驗證這一估計是否正確，該機構(gòu)擬在該地大學生中抽取樣本進行檢驗。 建立的假設為： 原假設H0：80 備擇假設H1：80 試描述第一類錯誤和第二類錯誤的含義。 解：第一類錯誤意味著：該地大學生中手機實際保有率不到80，但樣本結(jié)果卻拒絕了原假設，認為大學生手機保有率超過了80。 第二類錯誤意味著：該地大學生手機實際保有率超過了80，但樣本結(jié)果卻接受了原假設，認為大學生手機保有率不到80。四、利用P值進行假設檢驗 在原假設成立的條件下，檢驗統(tǒng)計量在某樣本中至少達到相應

9、值的概率稱為P值（P-value）。雙側(cè)檢驗：H0：0H1：0P值 左側(cè)檢驗：H0：0H1：0 P值=右側(cè)檢驗：H0：0H1：0 P值=根據(jù)P值進行假設檢驗： 通過樣本觀察數(shù)據(jù)計算檢驗統(tǒng)計量的值，查表得到該統(tǒng)計量值的概率即P值，然后將P值與所給的顯著性水平對比，如果P值小于，則拒絕原假設；如果P值大于，則接受原假設。第二節(jié)單總體參數(shù)的假設檢驗一、單總體均值的檢驗 （一）總體滿足正態(tài)分布N（，2），且方差2已知， 小樣本（n30）時，統(tǒng)計量于是，總體均值的檢驗方法可 采取Z檢驗法。原假設：H0：0備擇假設：H1：0檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：雙側(cè)檢驗例4：根據(jù)長期經(jīng)驗，某廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的抗折能力服從正態(tài)

10、分布N（，64 kg2）。現(xiàn)從該廠所生產(chǎn)的一大批產(chǎn)品中隨機地抽取10個樣品，測得其抗折能力（單位：kg）分別為578，572，570，568，570，572，570，572，596，584。請問：這一批產(chǎn)品的平均抗折能力能否被認為是570kg（0.05）？解：根據(jù)題意，可建立假設如下： H0：570 kg H1：570 kg 查標準正態(tài)分布表可知，當顯著性水平0.05時，雙側(cè)檢驗的臨界值為1.96，則拒絕域為（，1.96）（1.96，）。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)可知，樣本均值 ，故檢驗統(tǒng)計量的值 即檢驗統(tǒng)計量的值落入拒絕域之內(nèi)，所以要拒絕原假設H0：570 kg，接受備擇假設，也就是說，不能認為這一批產(chǎn)

11、品的平均抗折能力是570 kg。原假設：H0：0備擇假設：H1：0檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：ZZ 右側(cè)檢驗例5：能否認為這批產(chǎn)品的平均抗折能力超過570 kg （0.05）？ 解：根據(jù)題意可建立假設如下： H0：570 kg H1：570 kg 顯然這是一個右側(cè)檢驗問題，拒絕域應在抽樣分布的右端。查標準正態(tài)分布表可知，在顯著性水平0.05下，臨界值為Z1.65，即拒絕域為（1.65，）。 由于檢驗統(tǒng)計量的值Z2.0561.65，即落入拒絕域之內(nèi)，故要拒絕原假設H0：570 kg，接受備擇假設H1：570 kg，也就是說，可以認為這一批產(chǎn)品的平均抗折能力超過570 kg。原假設：H0：0備擇假設：H1

12、：0檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：ZZ 左側(cè)檢驗 例6：某食品加工企業(yè)的質(zhì)檢部門規(guī)定，某種食品每包凈重不得少于20 kg。經(jīng)驗表明，該食品的凈重近似服從標準差為1.5 kg的正態(tài)分布。假定從一個由50 包食品構(gòu)成的隨機樣本中得到的平均重量為19.5 kg，問：有無充分證據(jù)說明這些食品的平均重量減少了（0.05）？ 解：根據(jù)題意可建立假設如下： H0：20 kg H1：20 kg 這是一個左側(cè)檢驗問題，拒絕域應在抽樣分布的左端。查標準正態(tài)分布表可知，在顯著性水平0.05下，臨界值為Z1.65，即拒絕域為（，1.65）。 由于樣本均值 kg，總體方差2(1.5 kg)2，故檢驗統(tǒng)計量的值為 即檢驗統(tǒng)計量落入

13、了拒絕域，所以要拒絕原假設H0：20 kg，轉(zhuǎn)而接受備擇假設H1：20 kg，即檢驗結(jié)果充分說明這些食品的平均凈重減少了。 Z檢驗可借助于Excel中的ZTEST函數(shù)來進行。步驟是： 打開Excel表，錄入樣本數(shù)據(jù)； 點擊插入函數(shù)按鈕“fx”，在出現(xiàn)的函數(shù)分類對話框中選擇“統(tǒng)計”，并在函數(shù)名菜單中選擇函數(shù)“ZTEST”，然后確定。 在所出現(xiàn)的對話框中，Array一欄輸入樣本數(shù)據(jù)所在區(qū)域；X一欄輸入待檢驗參數(shù)0；Sigma一欄輸入已知的總體標準差（若未知，則該欄可不填，系統(tǒng)自動以樣本標準差S代替。 對話框中自動顯示“計算結(jié)果”（或點擊對話框中的“確定”按鈕，在工作表會顯示出計算結(jié)果）。 根據(jù)“計

14、算結(jié)果”計算P值，并與顯著性水平比較。如果P值大于，則接受原假設；如果P值小于，則拒絕原假設，選擇備擇假設。前面雙側(cè)檢驗例子的Excel操作過程： P值=20.019916310.0398小于顯著性水平0.05，故拒絕原假設而選擇備擇假設。 （二）總體滿足正態(tài)分布N（，2），且方差2未知，小樣本（n30）時，統(tǒng)計量于是，對總體均值的檢驗應采取t檢驗法。其中，S為樣本標準差原假設：H0：0備擇假設：H1：0檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：雙側(cè)檢驗 例7：某種板材的厚度要求為5 mm，為了解板材生產(chǎn)設備的狀況，隨機抽取了18 塊板材進行檢查，測得其厚度資料如下： 已知板材厚度服從正態(tài)分布，試以0.05的顯著性

15、水平檢驗生產(chǎn)設備性能是否良好。4.604.914.894.914.874.915.025.034.994.804.695.034.964.934.865.015.115.05 解：這是一個雙側(cè)檢驗的問題，可建立假設如下： H0：5 mm H1：5 mm 根據(jù)已知條件，選擇檢驗統(tǒng)計量 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可計算出樣本均值 =4.92 mm，樣本標準差S=0.128 mm，則檢驗統(tǒng)計量的值為t=-2.632。 當顯著性水平0.05，自由度n117時，查t分布表可知雙側(cè)檢驗臨界值為t/2（17）2.1098。顯然檢驗統(tǒng)計量的值落入拒絕域之內(nèi)，因此要拒絕原假設，接受備擇假設，說明該生產(chǎn)設備的性能不好。原假設

16、：H0：0備擇假設：H1：0檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：tt（n1） 右側(cè)檢驗 例8：從某種蔬菜中隨機抽取9件樣品檢測其農(nóng)藥含量，測得某種農(nóng)藥成分的平均值為0.325 mg/kg，標準差為0.068 mg/kg，國家衛(wèi)生標準規(guī)定，蔬菜中農(nóng)藥殘留量應0.3 mg/kg。假定蔬菜中該種農(nóng)藥殘留量服從正態(tài)分布，問該種蔬菜中農(nóng)藥殘留量是否超標（0.05）？解：根據(jù)題意可建立假設如下： H0：0.3 mg/kg H1：0.3 mg/kg 由已知條件可知，應進行右側(cè)t檢驗，檢驗統(tǒng)計量 根據(jù)t分布表可知，當顯著性水平0.05時，右側(cè)檢驗臨界值為t（8）1.86，即拒絕域為（1.86，）。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得檢驗統(tǒng)計

17、量的值為1.10291.86，即落入接受域內(nèi)，故要接受原假設H0：0.3 mg/kg ，即沒有充分的證據(jù)證明這種蔬菜中農(nóng)藥殘留量超標。原假設：H0：0備擇假設：H1：0檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：t-t（n1） 左側(cè)檢驗t檢驗也可借助于Excel中的TDIST函數(shù)計算出P值進行檢驗： 打開Excel表格，點擊“f（x）”命令。 在函數(shù)分類中點擊“統(tǒng)計”，并在函數(shù)名菜單下選擇“TDIST”，然后確定。 在出現(xiàn)的對話框中，X一欄填入檢驗統(tǒng)計量t的絕對值，Deg-freedom一欄填入t分布的自由度，Tails一欄填入“1”或“2”（如果是單側(cè)檢驗填入“1”，如果是雙側(cè)檢驗則填入“2”）。 在對話框填入相應

18、數(shù)據(jù)后，在下方會自動顯示“計算結(jié)果”，此即P值。 將P值與顯著性水平對比，如果大于則接受原假設，如果小于則拒絕原假設而選擇備擇假設。前面例子中對板材厚度進行的t檢驗借助于TDIST函數(shù)計算的結(jié)果見上圖，P值=0.0174819650.05，故要拒絕原假設。 （三）任意總體，大樣本（n30） 此時，根據(jù)中心極限定理可知（總體標準差已知）（總體標準差未知，以樣本標準差S代替）或這時，均值的檢驗仍采取Z檢驗法。二、單總體成數(shù)的檢驗 在二項分布中，當n很大，np和n（1p）都大于5時，可用正態(tài)分布來逼近。也就是說，當n充分大時，樣本成數(shù)p近似服從正態(tài)分布?；诖?，當n充分大時，總體成數(shù)的假設檢驗可采取

19、Z檢驗法。 原假設：H0：0備擇假設：H1：0檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：雙側(cè)檢驗重復抽樣條件下 例9：某雜志聲稱其讀者群中有80%為女性。為驗證這一說法是否屬實，某研究部門抽取了由200人組成的一個隨機樣本，發(fā)現(xiàn)有146個女性經(jīng)常閱讀該雜志。分別取顯著性水平=0.05和=0.01，檢驗該雜志讀者群中女性的比例是否為80%？解：根據(jù)題意和已知條件，可建立假設如下： H0：80 H1：80 樣本容量n200，其中女性讀者n0146，故樣本成數(shù)p146/20073 于是檢驗統(tǒng)計量的值為 當顯著性水平0.05時，查標準正態(tài)分布表可知雙側(cè)檢驗臨界值為，即拒絕域為（，1.96）（1.96，）。此時檢驗統(tǒng)計量的值

20、落入拒絕域，要拒絕原假設而選擇備擇假設，即認為該雜志的讀者中女性比例不是80，該雜志的說法不實。原假設：H0：0備擇假設：H1：0檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：ZZ 左側(cè)檢驗重復抽樣條件下 例10：某地環(huán)保部門聲稱該地符合廢氣排放標準的工業(yè)企業(yè)至少達 60。但一個關心環(huán)境保護的社會團體不相信這個結(jié)論。于是從該地工業(yè) 企業(yè)中隨機抽出了60家進行檢測，發(fā)現(xiàn)有33家企業(yè)符合廢氣排放標準。試 以顯著性水平0.05檢驗環(huán)保部門的結(jié)論是否屬實？ 解：根據(jù)題意可建立假設如下： H0：60 H1：60 n60，n033，則樣本成數(shù)p33/6055 計算檢驗統(tǒng)計量的值Z=0.791 當顯著性水平0.05時，查標準正態(tài)分布

21、表，可知左側(cè)檢驗的臨界值為Z1.65，即拒絕域為（，1.65）。由于檢驗統(tǒng)計量的值落入了接受域，所以沒有充分的理由拒絕原假設，即必須接受原假設成立，可以認為該地符合廢氣排放標準的工業(yè)企業(yè)至少有60，環(huán)保部門的結(jié)論是可信的。原假設：H0：0備擇假設：H1：0檢驗統(tǒng)計量：拒絕域：ZZ 右側(cè)檢驗重復抽樣條件下在非重復抽樣條件下，樣本成數(shù)p的抽樣分布為：這時檢驗統(tǒng)計量可選擇仍然采取Z檢驗法進行檢驗。其中N為總體容量。如果滿足條件Nn，此時非重復抽樣可近似地視作重復抽樣，假設檢驗按重復抽樣條件下的方法進行。三、單總體方差的檢驗（總體服從正態(tài)分布）原假設：H0：202 備擇假設：H1：202 檢驗統(tǒng)計量：拒絕域： 或雙側(cè)檢驗 例11：啤酒生產(chǎn)企業(yè)采用自動生產(chǎn)線灌裝啤酒，每瓶的裝填量為640 ml，但由于受某些不可控因素的影響，每瓶的裝填量會有差異。此時，不僅每瓶的平均裝填量很重要，裝填量的方差同樣