第7章：方差分析課件

1、 第七章 方 差 分 析統(tǒng)計學(xué)原理（第3版）第七章 方差分析第一節(jié) 方差分析的基本問題第二節(jié) 單因素方差分析學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)第三節(jié) 雙因素方差分析 學(xué)習(xí)要點(diǎn)第一節(jié) 方差分析的基本問題 1. 方差分析的產(chǎn)生背景與基本概念 2. 方差分析的基本原理1. 方差分析的產(chǎn)生背景與基本概念方差分析是通過檢驗多個總體的均值是否相等來判斷分類型自變量對數(shù)值型因變量是否有顯著影響的一種統(tǒng)計分析方法。（1） 方差分析的產(chǎn)生背景從形式上來看，方差分析是檢驗多個總體均值是否存在顯著差異，但本質(zhì)上它是從數(shù)據(jù)間的差異入手研究變量之間關(guān)系的重要方法。基于方差分析與假設(shè)檢驗的相關(guān)性，尤其是與兩獨(dú)立總體均值之差假設(shè)檢驗的密切關(guān)系

2、，因此可將其視為兩獨(dú)立總體均值之差假設(shè)檢驗的深化或延續(xù)。方差分析與兩獨(dú)立總體均值分析的假設(shè)檢驗的優(yōu)點(diǎn)采取了對所有總體均值綜合考量的思想；效率更高；也排除了錯誤概率累計的后果；提高了分析的可靠性。1. 方差分析的產(chǎn)生背景與基本概念觀測變量（2）方差分析基本概念觀測變量為數(shù)值型變量，可以計算均值與方差指待檢驗其均值的變量，也稱為因變量或者目標(biāo)變量該變量的樣本數(shù)據(jù)稱為觀測值因素與處理因素也被稱為因子，是指可能對觀測變量產(chǎn)生影響的自變量，因素一般為定性變量或分類型變量，取有限個離散值。因素的各個取值（類別）稱為處理或水平1. 方差分析的產(chǎn)生背景與基本概念單元單元也被稱為水平組合，或者單元格，指各因素各

3、個水平的組合因素與處理因素也被稱為因子，指可能對觀測變量產(chǎn)生影響的自變量；因素一般為定性變量或分類型變量，取有限個離散值；因素的各個取值（類別）稱為處理或水平均衡如果在試驗中任一因素各水平在所有單元格中出現(xiàn)的次數(shù)相同，且每個單元格內(nèi)的元素數(shù)均相同，則該試驗是均衡的；否則，就是不均衡的。1. 方差分析的產(chǎn)生背景與基本概念如果一個因素的效應(yīng)大小在另一個因素不同水平下明顯不同，則稱為兩因素間存在交互作用因為影響因變量的各因素是同時其作用的，各因素的作用交織在一起，單純研究某個因素的作用是沒有意義的，針對其他因素的各個水平來研究該因素的作用大小才有意義。交互作用1. 方差分析的產(chǎn)生背景與基本概念2.

4、方差分析的基本原理方差分析的概念方差分析就是通過檢驗多個總體均值是否相等來判斷分類型自變量對數(shù)值型因變量是否有顯著影響的統(tǒng)計方法。方差分析的基本假定每個水平下總體均服從正態(tài)分布；每個總體的方差都相同；各水平下的觀測值相互獨(dú)立。目標(biāo)因素,該因素取不同水平值會影響觀測變量的取值其他因素，其他因素又可以分為兩部分，一部分是除目標(biāo)因素之外其他因素，這些因素可稱為控制因素或控制變量，另一部分是隨機(jī)因素影響觀測變量的因素要檢測目標(biāo)因素對觀測變量的影響顯著性，首先需要將控制因素固定下來，即將這些因素對觀測變量的影響剔除.如果其他因素中已經(jīng)不存在對觀測變量影響特別明顯的因素變量，則影響因素只分為目標(biāo)因素和隨機(jī)

5、因素2. 方差分析的基本原理控制因素的剔除一是確定總體時直接將各個單位在這些因素上的取值固定，二是目標(biāo)因素各個水平值確定的子總體中，控制因素的的取值力求隨機(jī)化，最大限度降低這些因素對觀測變量的影響。剔除了控制因素的影響之后，觀測變量的方差目標(biāo)因素隨機(jī)因素系統(tǒng)性方差隨機(jī)方差SSASSESSE2. 方差分析的基本原理總離差平方和=組間離差平方和+組內(nèi)離差平方和 方差：總方差=系統(tǒng)方差+隨機(jī)方差總離差平方和SST用來度量觀測變量的總變異程度;組間離差平方和SSA用來度量目標(biāo)因素不同水平各子總體觀測變量均值的差異程度;組內(nèi)離差平方和SSE是度量目標(biāo)因素取同一水平值時觀測變量取值的差異2. 方差分析的基

6、本原理目標(biāo)因素對觀測變量影響的顯著性(組間均方與組內(nèi)均方比值統(tǒng)計量的分布理論)當(dāng)SSA和SSE經(jīng)過平均后的數(shù)值（稱為均方）很接近時，其比值應(yīng)該會很接近1，則目標(biāo)因素對觀測變量的影響不大，；當(dāng)SSA和SSE經(jīng)過平均后的數(shù)值（稱為均方）差異明顯時，其比值應(yīng)該明顯大于1，則目標(biāo)因素對觀測變量的影響較大。因此，可以通過對比一次抽樣得到的檢驗統(tǒng)計量的取值與給定顯著性水平下的臨界值或者P值規(guī)則，來對目標(biāo)因素不同水平下觀測變量的均值是否存在顯著性差異這一問題進(jìn)行決策。2. 方差分析的基本原理第二節(jié) 單因素方差分析學(xué)習(xí)要點(diǎn) 1. 單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 2. 單因素方差分析的步驟 3. 單因素方差分析中的多

7、重比較 4. Excel操作 1. 單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)觀測值總個數(shù)n可表示為：列均 值表示第i個總體的樣本均值：不同水平下觀測變量的觀測次數(shù)相同則稱為均衡數(shù)據(jù)，否則稱為非均衡數(shù)據(jù) 是全部觀測值的總均值，它等于全部觀測值之和除以觀測值的總數(shù)，計算公式為： 1. 單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)2. 單因素方差分析的步驟提出假設(shè)：原假設(shè)和備擇假設(shè)；確定并計算檢驗統(tǒng)計量；給定顯著性水平，進(jìn)行統(tǒng)計決策從樣本數(shù)據(jù)出發(fā)來對總體進(jìn)行決策本質(zhì)上還是一個假設(shè)檢驗問題，因此，進(jìn)行方差分析的三個步驟為（1）提出假設(shè)（自變量對因變量沒有顯著影響）（自變量對因變量有顯著影響）2. 單因素方差分析的

8、步驟（2）確定并計算檢驗統(tǒng)計量離差平方和組內(nèi)離差平方和SSE是每個水平的各觀測值與其組均值的離差平方和，其計算公式為：組間離差平方和SSA是各組均值 （i=1,2,.,m）與總均值 之間的離差平方和，其計算公式為：2. 單因素方差分析的步驟總離差平方和SST是所有觀測值xij與總均值 的離差平方和，其計算公式為：三則之間：2. 單因素方差分析的步驟三個離差平方和之間存在以下等式關(guān)系：在總離差平方和SST中，如果組間離差平方和SSA所占比例較大，則說明觀測變量的變差是由目標(biāo)因素引起的，目標(biāo)因素對觀測變量的影響顯著；如果組間離差平方和SSA所占比例較小，則說明觀測變量的差異不是由目標(biāo)因素引起的，目

9、標(biāo)因素對觀測變量的影響不顯著。2. 單因素方差分析的步驟自由度與均方離差平方和的大小除了與影響因素的影響程度有關(guān)，還與各自的自由度（變量可以自由取值的數(shù)量）有關(guān)SST:SSA:SSE;自由度：2. 單因素方差分析的步驟均方也（均方差）:消除自由度對各離差平方和的影響組間均方MSA:組內(nèi)均方MSE:檢驗統(tǒng)計量當(dāng)H0為真時:2. 單因素方差分析的步驟（3） 給定顯著性水平，進(jìn)行統(tǒng)計決策在給定著性水平下，通過查表可以得到F（m-1,n-m）的臨界值給出拒絕域（小概率原理）:當(dāng)落入拒絕域說明小概率事件一次抽樣發(fā)生了，則有理由拒絕原假設(shè)H0當(dāng)沒有落入拒絕域說明小概率事件沒有發(fā)生，則不拒絕原假設(shè)H0P值檢

10、驗規(guī)則，對于給定的顯著性水平，當(dāng)P時，不拒絕原假設(shè)H0。 2. 單因素方差分析的步驟 第七章方差分析單因素方差分析表：方差來源離差平方和SS自由度df均方MS檢驗統(tǒng)計量FP值F臨界值組間SSAm-1 組內(nèi)SSEn-m 合計SSTn-1 2. 單因素方差分析的步驟 第七章方差分析例7-2 （1）提出假設(shè)：（2）計算均值：（3）計算SSA和SSE：2. 單因素方差分析的步驟 第七章方差分析（4）計算檢驗統(tǒng)計量：即可得到單因素方差分析表：方差來源離差平方和SS自由度df均方MS檢驗統(tǒng)計量FP值F臨界值組間29.61214.80 11.7560.000849 3.682組內(nèi)18.89151.259 合

11、計48.517 2. 單因素方差分析的步驟 第七章方差分析（5）統(tǒng)計決策:臨界值規(guī)則，由顯著性水平=0.05，通過F分布表可以查到 ，,所以應(yīng)該拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為不同層次的管理者滿意度評分之間是存在顯著差異的。P值規(guī)則，由于P=0.000849，同樣拒絕不同層次的管理者滿意度評分都相等的原假設(shè)。2. 單因素方差分析的步驟 第七章方差分析3. 單因素方差分析中的多重比較統(tǒng)計上把通過對總體均值之間的配對比較來進(jìn)一步檢驗?zāi)男┚甸g存在差異的方法稱為多重比較多重比較的方法有許多種，它們的核心問題是如何控制犯類錯誤的大小我們這里介紹由費(fèi)爾希提出的最小顯著差異方法LSD統(tǒng)計決策中拒絕原假設(shè)時，只能得出各總

12、體均值之間不完全相等的結(jié)論，但這并不意味著所有總體的均值均不相等，接下來往往還需要對各總體的均值進(jìn)行兩兩比較，回答多個總體均值中究竟哪些存在顯著差異。 第七章方差分析LSD法操作的步驟：第1步：提出假設(shè)：第2步：計算檢驗統(tǒng)計量：第3步：計算最小顯著差數(shù)LSD，計算公式為：式中為 分布的臨界值，可以由t分布表得到，其自由度為組內(nèi)平方和的自由度n-m；MSE為組內(nèi)方差； 、 分別是第i個和第j個水平觀測值的數(shù)量。3. 單因素方差分析中的多重比較 第七章方差分析第4步：根據(jù)顯著性水平做出統(tǒng)計決策：如果 ，則拒絕H0；如果 ，則不拒絕H0。由以上可知，LSD法實(shí)質(zhì)上只是檢驗的一個簡單變形，它是將t檢驗

13、中所求得的t的絕對值與臨界值值 的比較轉(zhuǎn)為將各對均數(shù)差值的絕對值 與最小顯著差數(shù)LSD的比較做出統(tǒng)計推斷的，但是它用了全部觀測值，而非僅使用某兩組的數(shù)據(jù)。3. 單因素方差分析中的多重比較 第七章方差分析例7-4 （1）提出假設(shè):檢驗1：檢驗2：檢驗3：檢驗4：檢驗5：檢驗6：3. 單因素方差分析中的多重比較 第七章方差分析（2）計算檢驗統(tǒng)計量:3. 單因素方差分析中的多重比較 第七章方差分析（3）計算LSD：根據(jù)單因素方差分析表，MSE=0.0667。四種儲存方法的樣本量相同，則6個檢驗的LSD相等。根據(jù)自由度n-m=20,查t分布表得 。所以可得：4.統(tǒng)計決策： 此時應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為第一種

14、儲存方法和第二種儲存方法的含水率有顯著差異。3. 單因素方差分析中的多重比較 第七章方差分析 此時應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為第一種儲存方法和第三種儲存方法的含水率有顯著差異。 此時不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為第一種儲存方法和第四種儲存方法的含水率沒有顯著差異。 此時不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為第二種儲存方法和第三種儲存方法的含水率沒有顯著差異。 此時應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為第二種儲存方法和第四種儲存方法的含水率有顯著差異。 此時應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為第三種儲存方法和第四種儲存方法的含水率有顯著差異。3. 單因素方差分析中的多重比較 第七章方差分析4. Excel操作 Excel操作在Excel中進(jìn)行單因素方差分析的方法 第七章

15、方差分析第三節(jié)雙因素方差分析學(xué)習(xí)要點(diǎn) 1. 雙因素方差分析應(yīng)用的背景及類型 2. 無交互作用的雙因素方差分析 3. Excel操作 第七章方差分析如果兩個目標(biāo)因素對觀測變量的影響是獨(dú)立的，此類的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析，或無重復(fù)因素的方差分析；如果兩個目標(biāo)因素不同水平的搭配對觀測變量的影響顯著不同，則說明兩目標(biāo)因素是不獨(dú)立的，兩者會彼此影響從而對觀測變量產(chǎn)生交互作用，此類雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析，或可重復(fù)雙因素方差分析.1. 雙因素方差分析應(yīng)用的背景及類型38/65 第七章方差分析2. 無交互作用的雙因素方差分析（1）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)雙因素方差分析有兩個目標(biāo)因素

16、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)需要將一個因素安排在行的位置，稱為行因素;另一個安排在列的位置，稱為列因素。 第七章方差分析無交互作用雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)這n個總體中的每一個總體均服從正態(tài)分布，且具有相同的方差，這是進(jìn)行雙因素方差分析的基本假定樣本容量n=mk行平均值 表示行因素的第i個水平下各觀測值的平均值：列平均值 表示列因素的第j個水平下各觀測值的平均值： 是全部樣本數(shù)據(jù)的總均值：2. 無交互作用的雙因素方差分析（2）分析步驟提出假設(shè)對行因素提出假設(shè)：對列因素提出假設(shè)： 第7章 方差檢驗2. 無交互作用的雙因素方差分析 第七章方差分析計算檢驗統(tǒng)計量離差平方和列因素A產(chǎn)生的：行因素B產(chǎn)生的：自由度均方2. 無

17、交互作用的雙因素方差分析隨機(jī)因數(shù)產(chǎn)生的：總離差平方和SST：2. 無交互作用的雙因素方差分析檢驗統(tǒng)計量無交互作用雙因素方差分析對應(yīng)兩個F檢驗統(tǒng)計量。A因素對觀測變量影響顯著性的檢驗統(tǒng)計量為：B因素對觀測變量影響顯著性的檢驗統(tǒng)計量為：2. 無交互作用的雙因素方差分析統(tǒng)計決策當(dāng) 落入拒絕域，拒絕原假設(shè)H0說明A因素對觀變量有顯著影響。否則，不拒絕原假設(shè)，認(rèn)為A因素對觀測變量沒有顯著影響。當(dāng) 落入拒絕域，拒絕原假設(shè)H0說明A因素對觀變量有顯著影響。否則，不拒絕原假設(shè)，認(rèn)為A因素對觀測變量沒有顯著影響。利用P值進(jìn)行決策時，如果FA的概率P值小于顯著性水平，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為A因素對觀測變量具有顯著影響

18、，反之拒絕。B因數(shù)同理。 第7章 方差分析2. 無交互作用的雙因素方差分析 第七章方差分析 第7章 方差分析誤差來源離差平方和SS自由度df均方MSFP值F臨界值因素ASSAm-1 因素BSSBk-1 隨機(jī)因素SSEn-m-k-1 合計SSTn-1 無交互作用的雙因素方差分析表2. 無交互作用的雙因素方差分析 第七章方差分析例7-6 提出假設(shè)因素A：因素B：計算檢驗統(tǒng)計量因素A： 第7章 方差分析2. 無交互作用的雙因素方差分析 第七章方差分析因素B：總離差平方和SST：隨機(jī)因數(shù)：2. 無交互作用的雙因素方差分析 第七章方差分析檢驗統(tǒng)計量誤差來源離差平方和SS自由度df均方MSFP值F臨界值因素A298.8474.4 3.83070 0.0313243.259167 因素B111337 1.89742