2022年內(nèi)蒙古科技大學(xué)線性代數(shù)考試標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、內(nèi)蒙古科技大學(xué)考試標(biāo)準(zhǔn)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)蒙古科技大學(xué) 2006 /2007 學(xué)年第二學(xué)期課程名稱：線性代數(shù) B 卷 考試班級(jí)： 06 級(jí)( 本科 ) 工科各專業(yè)課程號(hào)： 10132105 月日時(shí)考試方式：閉卷考試時(shí)間： 20XX 年分至?xí)r分標(biāo)準(zhǔn)制訂人:何林山一 填空（每空 3 分共 24 分）3 2 3 21 若 A 0 0 3 2，則行列式 |A|=12 ，| A A|=144；T0 2 1 00 1 2 1T T T2 向量組：e 1 ( 1,1,1 ), e 2 ( )1,1,0，e 3 ( ,0 )1,0 是線性 無 關(guān)的，而向量組：e 1 T ( 1,1,1 ), e T2 ( 0 )

2、1,1,，e 3 T ( ,0 )1,0，T ( b 1 , b 2 , b 3 ) 是線性 相關(guān)的。a 11 . a 1 n x 1 b 13 設(shè) A= . . .，x，ba n 1 . a nn x n nb如果行列式 |A| 0，則秩 R（A，b）=n，并且非齊次線性方程組 Ax b 有 唯一解（填唯一或無窮多） 。4.設(shè)兩向量：T2,1( ,x ),T(,2 4 ,1 ),如果T，T線性相關(guān)，則x1，2如果T，T正交，則x10 。二 選擇題（共 4 題，每題 4 分，共 16 分）1 設(shè) A 是可逆 n 階方陣， 下面結(jié)論不正確的是：B。A.行列式A0B. A相似于對(duì)角矩陣D. A 的

3、 n 個(gè)列向量線性無關(guān)C.存在B使BAE2 設(shè) A、B 是已知的 n 階方矩陣， X 是未知矩陣，且 |A| 中的未知矩陣 X=B 。0 ，則矩陣方程 AX=BA.BA1B.A1BOC.B1AD.A13 設(shè)齊次線性方程組A 5x的基礎(chǔ)解系含有 2 個(gè)向量，則秩 R（A）=D。A.0 B. 1C.2 D .3 . O只有零解的充要條件是A 4 設(shè) A 是mn 的矩陣，齊次線性方程組AxA A 的 n 個(gè)列向量線性無關(guān)B. A 的 n 個(gè)列向量線性相關(guān)C. A 的 m 個(gè)行向量線性無關(guān)D. A 的 m 個(gè)行向量線性相關(guān)三 計(jì)算題（共 2 題，每題 10 分,共 20 分）1 設(shè) A001求A+AT

4、, A1。021321解AT A001003r1r 1，120040015 分20101021022043321111432r 1r 2r 3r 33001100321A ,E021010r 3021010020110r 1r 2321001110011000011001 31 201 300300011000r 20 11 21020110301所 以 A001100001 31 201 3015 分1 21002 設(shè)P14,D10,矩陣 A 由方程P1APD確定，求3 A。1102解由P1APD兩邊左乘P右乘P1，得APDP103 A（PDP1）（PDP1）（PDP1）PD3P101其中D

5、3101010101020202040208P1141114111132143于是A314101141111081118113313336111210分912343四 解答題（共 2 題，每題 10 分,共 20 分）1 設(shè)向量組T( ,121,，0),T(0,1,2，1 ),T( ,1,0 3，)1,T(,04 , 1,6 )10123問T能否由T，T，T線性表示？若能，求出表示式。123解設(shè)1x 12x23x3，則增廣矩陣12101210B2104r r22 r 1r 10324310360226120111011112101210r 2r 10111r 3r 42 3r r2011101

6、112022600440011032400110000因?yàn)镽（1,2,3)R（1,2,3,),3可以線性表示。123102r 1r 2r 3r 31x 12x 2010r 12 210030111010201020011300110011000000000000所以210 分123x 32為何值時(shí)齊次線性方程組2x 1x 2x 30有非零解，并且求全部解。3x 1x 2x30312312312解系數(shù)陣A21r056r05631105100044 時(shí)R（A）2 齊次線性組有非零解。得上面代入4 為1231010510r012c,其中 c 為任意常數(shù)。 .10 分000000 x1x 31x 22

7、x3取基礎(chǔ)解為2，全部解x3x31五（本題（ 1）4 分，（2）10 分，共 14 分）200 x 1x3）200 x12x 1，x22x 3，2 x2x 3x 1，設(shè) A=012，xx2021x3（1）解xTAx（x 1，x2，012x2x22x22 x 2x24x2x 3021x3x 34 分13(2) 解 求 A 的特征值200p21AE012(2)( 1)24021(2)223(1 )(3 )(2)0得特征值1，2，31時(shí)對(duì)應(yīng)的齊次方程（AE）x0 的系數(shù)陣3001000AE022r011，得基礎(chǔ)解110220001也是1 的特征向量，全部特征向量為k（1k0）。2時(shí)對(duì)應(yīng)的齊次方程（A

8、E）x0 的系數(shù)陣000000000A2E012r012r010，得基礎(chǔ)解200210030010也是2 的特征向量，全部特征向量為k（2k0），3時(shí)對(duì)應(yīng)的齊次方程（AE）x0 的系數(shù)陣1001000A3 E022r011，得基礎(chǔ)解310220001也是3 的特征向量，全部特征向量為k（3k0）。10 分六（ 本題 6 分） n 階方陣 A 的特征值, 對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量是p 、證明k 1p 1k2p 2(k 1,k2是不同時(shí)為零的任意常數(shù)）也是對(duì)應(yīng)的特征向量。解由題意知Ap1p 1，Ap2p2那么A（k 1p 1k2p 1）A（k 1p 1）A（k2p 1）k1Ap1k2Ap 1k1

9、p1k2p1（k 1p1k2p 1）所以k1p1k2p也是對(duì)應(yīng)的特征向量。6分內(nèi)蒙古科技大學(xué) 2007/2008 學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)考試試題課程號(hào)： 10132105 考試方式：閉卷使用專業(yè)、年級(jí)： 20XX級(jí)工科各專業(yè)任課教師：石萍，丁小麗，田紅曉，張敏，張景，何莉敏，侯玉雙 , 趙利云一、單項(xiàng)選擇題（共 5 題，每題 4 分，共 20 分）1. 排列 a a a 12 23 34 a n 1, n a n 1 的符號(hào)為（）n n 1（A）1（B）1（C）1（D）12. 如果已知矩陣 A m n , B n m ( m n ，則下列（）運(yùn)算結(jié)果不是 n 階矩陣 . （A）BA（B） AB（

10、C） ( BA ) T（D）A B T T3. 向量組 A : 1 , 2 . r ( r 2) 線性相關(guān)的充要條件是 ( ) （A） A 中至少有一個(gè)零向量（B） A 中至少有兩個(gè)向量成比例（C） A 中至少有一個(gè)向量可用其余向量線性表示（D） A 中至少有一部分線性相關(guān)4. n階方陣 A 可逆的充分必要條件是（）（A）A0（B）A0（C） AO（D） AO5. 設(shè)1，2是對(duì)稱陣 A 的兩個(gè)特征值，p ，p 是對(duì)應(yīng)的特征向量，若（時(shí)，則p 與p 正交（A）12（B）12（C）為任意實(shí)數(shù)（D）122二、填空題（共 5 題，每題 4 分，共 20 分）1. 設(shè) A 為 33 矩陣， B 為 44

11、 矩陣，且A1,B2,則B A_ 2. 設(shè)A1202，則A1_ 0110,1，他們的代數(shù)余子式依次20013. 已知四階行列式 D 中第三列元素依次為,12,為,53 ,7,4，則 D = Ax=0的基礎(chǔ)解系含 _個(gè)線4. 已知 4 階矩陣 A 的秩 r(A)=3 , 則齊次線性方程組性無關(guān)的解向量；5. 二次型f x x x 1 2 3)2 2 x 12 3 x 22 3 x 34 x x 的矩陣是 _ 2 3三、計(jì)算題（共 2 題，每題 6 分，共 12 分）ab0D050. 8. 計(jì)算：A 41A 42A 43A 的值 440ab001.000ab7b000a12. 已知行列式11112

12、0361234四、計(jì)算題（共 2 題，每題 6 分，共 12 分）1. 已知A310,B110，求（ 1）T TB A（2）A2B21212300420012. 求解矩陣方程14X2031121101五、計(jì)算題（ 8 分）求下面向量組的秩及一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余向量用最大無關(guān)組線性表示1=1,2 =4,3=1, 213154367六、計(jì)算題（ 14 分）x 12x2x 3x40的通解x51a有解？對(duì)于有1求齊次線性方程組3x 16x2x 33x 405x 110 x 2x35x 40 x2x 4x1x22a、b 取什么值時(shí)，線性方程組3x 12x2x3x43x 53x22x32x 46x55

13、x 14x23x 33x4x5b解的情形，求出它的全部解。七、計(jì)算題（ 10 分）設(shè)A400, 求正交矩陣 P,使得P1AP031013八、證明題（ 4 分）證明：若 A 為非奇異對(duì)稱矩陣，則A ,T AA也為對(duì)稱矩陣 . 內(nèi)蒙古科技大學(xué)考試參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 課程名稱：線性代數(shù) (A 卷) 使用專業(yè)、年級(jí)：工科各專業(yè)，20XX 級(jí) 考試時(shí)間： 20XX 年 7 月 11 日標(biāo)準(zhǔn)制訂人：公共數(shù)學(xué)教學(xué)部一、單項(xiàng)選擇題（共5 題，每題 4 分，共 20 分）1. 下面結(jié)論一定正確的是 ( C ) （A）若方陣 A 的行列式 A 0，則 A O（B）若 A 20，則 A O（C）若 A 為對(duì)稱陣，則

14、 A 也是對(duì)稱陣 2（D）對(duì)于任意的同階方陣 A B 有 A B A B A 2 B 22. 有矩陣 A 3 2 , B 2 3 , C 3 3 , 則下列運(yùn)算可行的是（ D ）（A）AC（B）AB BC（C） CB（ D）BC3. 設(shè)有 r 個(gè) n 維向量構(gòu)成向量組 A a a 1 2 , , a ，下列敘述正確的是（r B ）（A）若 k a 1 k a 2 k a r 0，則向量組 A 線性相關(guān)；（B）若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù) k k 2 , , k ，都有 k a 1 k a 2 k a r 0，則向量組 A 線性無關(guān)；（ C）若向量組 A 線性無關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù) k

15、k 2 , , k r，都有k a 1 k a 2 k a r 0；（D）若 0 a 1 0 a 2 0 a r 0，則向量組 A 線性無關(guān)4. n 階矩陣 A 與實(shí)對(duì)角陣相似的充要條件是（ B ）（A） A 為實(shí)對(duì)稱矩陣（C） A 有 n 個(gè)特征值（B） A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量（D） A 為零矩陣5. 二次型f22 x 128x x 252 x 的矩陣是（ C ）4（D）1 171（B）1 62（C）1 4（A）250555200二、填空題（共5 題，每題 4 分，共 20 分）1. 已知a a a a a 51是五階行列式中帶正號(hào)的項(xiàng)，則i 3 ， k 5 2. 設(shè) A 為三階行

16、列式且A2，則其伴隨矩陣A 4 . 3. 已知3, 5, 7,9 ,0,1,2, 0 ，且 x 滿足 223x，則 x2,3,4,64. 若 AB 且R A3，則 R B 3 . n5. 設(shè)1,2,n是 n 階矩陣 A 的特征值，則A1三、計(jì)算題（共2 題，每題 6 分，共 12 分）abab2ab的值分1.babaabababab2ab2ab解：babababaabababab1111112abbaba2ab0aababab0ba2abaab2aba2ab2 bbaA 43A 442a3b3 610122. 已知行列式D1103. 計(jì)算：A 41A 42111012541012解：A 41A

17、 42A 43A 4411031110121111101210121001150115011501020017001701010016000116 分四、計(jì)算題（共2 題，每題 6 分，共 12 分）0分分 6分1031001. 已知A021,B021001301求（ 1）T TB A（2）A2B21031001033解： (1)T TB A020020040011311331 3103103100100(2)A2B2021021021021001001301301106100006043343300 30016016001202. 已知 ABBA ，其中B210，求 A002解：由 ABBA

18、 知： A BEB020020又BE200且BE200400010010102所以BE1且BE11002001故AB BE1120010=112211210001022002010200五、計(jì)算題（ 8 分）求下面向量組的秩及其一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組 線性表示 . 11,511,5312分a 11,a 21a 32,a 4331811397115111解：令a a2,a3,a4112302743181027411511397041480274從行階梯形中知向量組的秩R aa2,a,a400000000a a2（答案不唯一） 5且其一個(gè)最大無關(guān)組為把行階梯形進(jìn)一步

19、化為行最簡(jiǎn)形得10312a （不唯一） 3 分20172由行最簡(jiǎn)形知a33a 17a2,a4a1222000020000六、計(jì)算題（共2 題，每題 7 分，共 14 分）x 18x 210 x 32x 401求齊次線性方程組2x 14x 25x 3x 40的通解3x 18x 26x 32x 40181021810解： 1. 由系數(shù)矩陣A24510201553862032248181021040 7x x 4310431014400000000知R A24，所以齊次線性方程組有無窮多解。選擇自由未知量x 14x 3得同解方程組x 23x 31x 4令x 3c x 4c 244分得通解：x 1c

20、14c 20(c c 1 2R )（答案不唯一）31x 244x 310 x 40113252已知向量組A a 11 ,a21 ,a31，及向量b00237問向量 b 能否由向量組A a a a 線性表示？若能，求出其表達(dá)式132513251325解：a1,a2,a b111004350237023702370039由于R a a2,a3R a a2,a3,b3分所以，向量 b 能否由向量組A a a a 線性表示；1 2 3假設(shè)存在一組數(shù)1,2,3使得x a 1x a2x a3b由于R a a2,a3R a a2,a3,b3，從而此方程組有唯一解12,21,33 ；即b2a 1a23 a 7

21、七、計(jì)算題 （10 分）設(shè)矩陣A100，求：252241（1） A 的特征值及特征向量；（2）求相似變換矩陣P ，使得P1AP1230（3）求Ak100解：（1）令A(yù)E252241分得特征值為13,231 3當(dāng)13 時(shí)，解齊次線性方程A3 E x0，由200100A3 E222r0112440000得對(duì)應(yīng)13的特征向量p 11（答案不唯一）1當(dāng)231時(shí)，解齊次線性方程AE x0，由1（答案不唯一）3 分0001211AE242r0002420002得對(duì)應(yīng)231特征向量p 21 ,p300102（2）構(gòu)造相似變換矩陣Pp 1,p2,p3110使得300101（答案不唯一） 2 分P1AP0100

22、0100且P1213（3）由（ 2）的結(jié)果知：P1AP0101111所以，AP P1,2 AP2P00111221,k APkP故k APkP1021k 30012131120101110010111k3kk 31010011223k123k1k 32 2分八、證明題（ 4 分）設(shè)方陣 A 滿足A2A2E0，證明 A 可逆并求A1. 證明：A2A2E10A2EAA2EE從而 A 可逆且A內(nèi)蒙古科技大學(xué) 2007/2008 學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù)考試試題 課程號(hào)： 10132105 考試方式：閉卷 使用專業(yè)、年級(jí)： 20XX級(jí)工科各專業(yè)任課教師：石萍，丁小麗，田紅曉，張敏，何莉敏，侯玉雙 一、單項(xiàng)

23、選擇題（共 5 題，每題 4 分，共 20 分）1. 下面結(jié)論一定正確的是 ( ) （A）若方陣 A 的行列式A0，則AO（B）若A20，則AO2（C）若 A 為對(duì)稱陣，則2 A 也是對(duì)稱陣B（D）對(duì)于任意的同階方陣A B 有ABABA22. 有矩陣A 3 2,B 2 3,C 3 3, 則下列運(yùn)算可行的是（）（A）AC（B）ABBC）0，（C） CB（D）BC3. 設(shè)有 r 個(gè) n 維向量構(gòu)成向量組A a a 2,a ，下列敘述正確的是（A）若k a 1 1k a 2 2k a r r0，則向量組 A線性相關(guān)；k a r（B）若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)k k 2,k ，都有k a 1k a 2

24、則向量組 A 線性無關(guān)；（C）若向量組A 線性無關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)k k 2,k ，都有k a 1 1k a 22k a r r0；（D）若0 a 10a 20 a r0，則向量組 A 線性無關(guān)4. n 階矩陣 A與實(shí)對(duì)角陣相似的充要條件是（）（A） A 為實(shí)對(duì)稱矩陣（B） A 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量（C） A 有 n 個(gè)特征值（D） A 為零矩陣4（D）1 175. 二次型f2 x 18x x 22 5 x 的矩陣是（）（A）122（B）1 62（C）1 4250555200二、填空題（共 5 題，每題 4 分，共 20 分）1. 已知a a a a a 是五階行列式中帶正

25、號(hào)的項(xiàng)，則i， k. . 2. 設(shè) A 為三階行列式且A2，則其伴隨矩陣A，則 x3. 已知3, 5, 7,9 ,0,1,2, 0 ，且 x 滿足 23x4. 若 A,B 且R A3，則 R B. A. 5. 設(shè)12,n是 n 階矩陣 A 的特征值，則三、計(jì)算題（共 2 題，每題 6 分，共 12 分）abDaab. 012. 計(jì)算：A 41A 42A 43A 的值1.bababab12. 已知行列式110311101254四、計(jì)算題（共 2 題，每題 6 分，共 12 分）1. 已知A1B03B100，求（ 1）T TB A（2）2 AB2021,B02100013012. 已知 AB12A

26、 ，其中210，求 A002五、計(jì)算題（ 8 分）求下面向量組的秩及其一個(gè)最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的向量用最大無關(guān)組線性表示 . a 11,a 21,a 35,a 41112331811397六、計(jì)算題（共 2 題，每題 7 分，共 14 分） 1 求齊次線性方程組x 18x 210 x 32x 40的通解2x 14x 25x 3x 403x 18x 26x 32x 40132b5，問向量 b 能否由2已知向量組A a 11 ,a21 ,a31，及向量00237向量組A a a a 線性表示？若能，求出其表達(dá)式七、計(jì)算題（ 10 分）1100，求：（1） A 的特征值及特征向量；（2）

27、求相似變換設(shè)矩陣A252241，（3）求Ak矩陣 P ，使得PAP八、證明題（ 4 分）設(shè)方陣 A 滿足A2A2E0，證明 A 可逆并求A1. 內(nèi)蒙古科技大學(xué)考試參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)課程名稱：線性代數(shù) (B 卷) 使用專業(yè)、年級(jí)：工科各專業(yè)，20XX 級(jí) 考試時(shí)間： 20XX 年月日 標(biāo)準(zhǔn)制訂人：公共數(shù)學(xué)教學(xué)部一、單項(xiàng)選擇題（共5 題，每題 4 分，共 20 分）1. 排列a a a 34a n1, na n1的符號(hào)為（D ）n 階矩陣 . （A）（B）（C）1n（D）1n12. 如果已知矩陣A m n,B n m(mn ，則下列（ B ）運(yùn)算結(jié)果不是（A） BA （B） AB （C） (BA

28、)T（D）T A BT3. 向量組A : 1,2.r(r2)線性相關(guān)的充要條件是( C ) （A） A 中至少有一個(gè)零向量（B） A 中至少有兩個(gè)向量成比例（C） A 中至少有一個(gè)向量可用其余向量線性表示（D） A 中至少有一部分線性相關(guān) 4. n階方陣 A 可逆的充分必要條件是（A ）（A）A0（B）A0（ C） AO（D） AO2 25. 設(shè)1，2是對(duì)稱陣 A 的兩個(gè)特征值，p，p是對(duì)應(yīng)的特征向量，若（ A ）時(shí)，則1p 與p正交（A）12（B）12（C）為任意實(shí)數(shù)（ D）1二、填空題（共5 題，每題 4 分，共 20 分）1. 設(shè) A 為 3 3 矩陣， B 為 44 矩陣，且A1,B2

29、,則 B A_8_ 2. 設(shè)A1202，則A1102011022,2,01，他們的代數(shù)余子式依次為20010023. 已知四階行列式D 中第三列元素依次為,15 ,3 ,7,4，則 D = -15 Ax=0的基礎(chǔ)解系含 _1_個(gè)線性無關(guān)4. 已知 4階矩陣 A 的秩 r(A)=3 ,則齊次線性方程組的解向量；5. 二次型f x x x 3)22 x 132 x 232 x 34x x 的矩陣是200032023三、計(jì)算題（共2 題，每題 6 分，共 12 分）ab0b00. n ( 1)1b000anbn 6分0ab001.0ab00b000aa0解：原式bab00a0a000a00b000a

30、b15780分分2. 已知行列式D1111. 計(jì)算：A 41A 42A 43A 的值203612341578解：A 41A 42A 43A 4411110 620361111四、計(jì)算題（共2 題，每題 6 分，共 12 分）3101101. 已知A121,B230042001求（ 1）T TB A（2）A2B2120310538解： (1)T B AT1301240712001012012 331031011011(2)A2B2121121230230042042001001分8511409915748701304 3416800141672. 求解矩陣方程14X2031121101分分解：1

31、460,2020,1211X14131201 4120111124311011 211101120124五、計(jì)算題（ 8 分）求下面向量組的秩及一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余向量用最大無關(guān)組線性表示1 =141, 12,1411412,2 =1,3 =315436741解：令1,2,321309509515409500036701810000從行階梯形中知向量組的秩R1,32 5分且其一個(gè)最大無關(guān)組為1,2（答案不唯一）把行階梯形進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形得1011 3,分9015由行最簡(jiǎn)形知311152（答案不唯一）999000 x 2x 4000六、計(jì)算題（共2 題，每題 7 分，共 14 分）x 12

32、x 2x 3x 401 求齊次線性方程組3x 16x 2x 33x 40的通解5x 110 x 2x35x 4012111211解：由系數(shù)矩陣A36130040510150040121112010040001000000000知R A24，所以齊次線性方程組有無窮多解。選擇自由未知量得同解方程組x 12x 2x 4令x 2c x 4c 2x 30 x 121(c c 2R)（答案不唯一）51 7分得通解：x 2c 11c 20 x 300 x 401x1x2x2x4x52a、b 取什么值時(shí)，線性方程組3x 12x2x3x43x 53a有解？對(duì)于有解x22x32x46x 55x 14x23 x3

33、3x4xb的情形，求出它的全部解。111111111111a0,b分2此時(shí)解：A b32113a01226301226300000a54331b00000b2由于線性方程組有解的充要條件為R AR A b ，所以，必有111111111111A b321130012263012263000000c 3543312000000101152012263000000000000知R AR A b25，所以齊次線性方程組有無窮多解。選擇x 3,x x 作為自由未知量得同解方程組x 1x 3x 425x 5623令x 3c x 4c 2,x 5x 22 x 3x 4x 5x 11152 7x 22263

34、得通解：x 3c 11c 20c 300(c c2,c 3R)x 40100 x 50010七、計(jì)算題 （10 分）40020分設(shè)A031,求正交矩陣P,使得P1AP013解：令A(yù)E4030042101310得特征值為12,234 4當(dāng)12時(shí)，解齊次線性方程A2E x0，由200100A2E0110110110000得對(duì)應(yīng)13的特征向量p 11單位化得q 11211（答案不唯一）當(dāng)234時(shí)，解齊次線性方程A4 E x0，由p 2,p 3正交， 將其單位化得000011顯然A4E01100001100010得對(duì)應(yīng)234特征向量p20 ,p3101q 21q 310（答案不唯一）0 ,1 4P分2

35、01020001構(gòu)造正交變換矩陣Pq q 12,q3101 2使得1AP04020041 2012（答案不唯一） 2 分八、證明題（ 4 分）T證明：若 A 為非奇異對(duì)稱矩陣，則 A , AA 也為對(duì)稱矩陣 . 證明：A TA ( A 1 ) T ( A T ) 1 A 1.故 A 1 為對(duì)稱矩陣 .T T T T T T T( AA ) ( A ) A AA .故 AA 為對(duì)稱矩陣 . 4 分內(nèi)蒙古科技大學(xué) 2008/2009 學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù) ( 工科) 考試試題課程號(hào)： 68132105 考試方式：閉卷(AB)1A1B1使用專業(yè)、年級(jí)：工科08 各專業(yè)任課教師：考試時(shí)間：備注：一、選

36、擇題，每題5 分，共 6 題， 30 分。(1) 、設(shè)A B 為 n 階方陣，下面結(jié)論正確的是：( ) A、ABBA B、如果A B均可逆 , 則C 、若AO, 則A0 D、若AB0則必有A0或B0(2) 、若A B C 均為方陣， ABCE 則必有（）A、 ACBE B、 CBAE C 、 BACE D、 BCAE(3) 、n 階矩陣 A可逆的充分必要條件是（）A、A0 B、A0 C、r(A) n D 、A0(4) 、n 階方陣 A不可逆，則下列結(jié)果正確的是 ( ) A、A的特征值全不為0 B、A1|1|* AAC、R A ) n D、A為非奇異矩陣。(5) 、A n m 的列向量組線性無關(guān)

37、，且 n m 則下面結(jié)果不正確的是 ( ) A、行向量組的秩為 m B、矩陣 A的秩為 m C、線性方程組 AX 0 有非零解；D、行向量組線性相關(guān)(6) 、向量組 1 , 2 , , s ( s 2 ) 線性相關(guān)的充分必要條件是 ( ) A、1 , 2 , , s ( s 2 ) 中至少有一個(gè)零向量B、其中至少有一個(gè)向量是其余 s 1 個(gè)向量的線性組合C、1 , 2 , , s ( s 2 ) 中至少有兩個(gè)向量成比例D、1 , 2 , , s ( s 2 ) 都不是零向量二、填空題，每空 3 分，共 10 空， 30 分。(1) 、設(shè)A21, 則|A|(), A的逆矩陣為（）。B 中的未知矩

38、陣 X32(2) 、設(shè)A B 是已知的 n 階方陣，且 |A|0, 則矩陣方程AX為（）。(3) 寫出二維單位向量 e e （） ; 二維向量 a 1 (1,1) , Ta 2 (1,0) T 將 b ( 2 , )3 T表示為 a a 的線性組合（）。(4) 、m n 階線性方程組 Ax b, R A ( ), R A b 分別為系數(shù)矩陣的秩及增廣矩陣的秩，則當(dāng)（）無解，當(dāng)（）有唯一解，當(dāng)（）有無窮多解(5) 、已知 ( ,1 ,1 ,2 0 ) T, ( ,1,2 ,2 )1 T，則 T（）。(6) 、三階方陣 A 的特征值為 1, 1 1,，則 A 1 為（）。2 3三、計(jì)算題（每題 1

39、0 分，共 40 分）1 3 2(1) 、設(shè)矩陣 A 0 2 1 , 求（ 1）、A A ; （2）、TA 10 0 3( 1 ) x 1 x 2 x 3 0 ,（2）線性方程組： , x 1 ( 1 ) x 2 x 3 3 ,x 1 x 2 ( 1 ) x 3 ,取 取何值時(shí)方程組（ 1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多解？并在有無窮多解時(shí)求其通解。（3）設(shè)a 1T (1, 2,1,0) ,a 2T (3, 6,3,0) ,a 3T (1,0,3, 1) ,a 4(1, 4, 1,1)T證明（ 1）證明此向量組線性相關(guān)； （2）、求其秩，并找出一個(gè)最大線性無關(guān)組，把其余向量用此最大線性無

40、關(guān)組表示。（4）設(shè)A324, 求正交陣 P ， 使 A對(duì)角化。202423線性代數(shù) B 卷參考答案一、選擇題（每題5 分，共 30 分）6、B1,0,b,3 a1na2,1、C 2、D 3、A 4、C 5、C (3) 二、填空題（每題3 分，共 30 分）（1）1，21；（2）A1B; 3201（4）RARA,b，RARA,bn,RARAb；（5）-3；（6）6. 二、計(jì)算題（共 3 題，共 40 分，前兩題各 10 分，最后一題 20 分而1、解：AAT021320341003213216A , E132100100131, 則A1131. 2 16 12 16 1

41、021010001002 06 126 1003001001000332、解： 因系數(shù)矩陣 A 為方陣，故方程有唯一解的充分必要條件是A111111111A111(3)111(3)00( 3)2,11111100因此，當(dāng)0 且3時(shí)，方程組有唯一解。當(dāng)0時(shí)11101110B11130001,知RA,1RB2，故方程組無解11100000，故方當(dāng)3時(shí)21101011B1121233010102,知RARB100程組有無窮多個(gè)解，且通解為x1c121x212cRx3a101, a3、 解：由于成比例，則此向量組必線性相關(guān)。將向量組所對(duì)應(yīng)矩陣，經(jīng)過初等行變換化為行最簡(jiǎn)行a 1,a2,a3131a111311130000260010,a42604004200011331則a1,a3,00113a00110000a4線性無關(guān)，且