矩形菱形的性質(zhì)與判定(附加答案)

1、 矩形菱形的性質(zhì)與判定（附加答案）一解答題（共30小題）1（2012婁底）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)（1）求證：MBANDC；（2）四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由2（2010泰州）如圖，四邊形ABCD是矩形，EDC=CAB，DEC=90（1）求證：ACDE；（2）過(guò)點(diǎn)B作BFAC于點(diǎn)F，連接EF，試判別四邊形BCEF的形狀，并說(shuō)明理由3（2010肇慶）如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點(diǎn)O，1=2（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若BOC=120，AB=4cm，求四邊形ABCD的面積4（2010常州

2、）如圖，在ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，四邊形ABDE是平行四邊形求證：四邊形ADCE是矩形5（2008南京）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)為BC上兩點(diǎn)，且BE=CF，AF=DE求證：（1）ABFDCE；（2）四邊形ABCD是矩形6（2010崇左）如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，且DGAC，OF=2cm，求矩形ABCD的面積7如圖所示，BD，BE分別是ABC與它的鄰補(bǔ)角ABP的平分線AEBE，ADBD，E，D為垂

3、足，求證：四邊形AEBD是矩形8如圖，O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，把AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFG（1）四邊形DEFG是什么四邊形，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若四邊形DEFG是矩形，點(diǎn)0所在位置應(yīng)滿足什么條件？說(shuō)明理由9如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG，AH=CF（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求證：四邊形EFGH是矩形10如圖，已知ABC中，AB=AC，BAD=CAD，F(xiàn)為BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE平分FAC，DEAB交AE于E（1）求證：AEBC（2）求證：四邊形AECD是

4、矩形；（3）BC=6cm，求AB的長(zhǎng)11（2012西藏）如圖，四邊形ABCD是菱形，AEBC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AFCD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F求證：AE=AF12（2012重慶）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過(guò)M作MECD于點(diǎn)E，1=2（1）若CE=1，求BC的長(zhǎng)；（2）求證：AM=DF+ME13（2012嘉興）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=AB，連接CE（1）求證：BD=EC；（2）若E=50，求BAO的大小14（2012溫州）如圖，ABC中，B=90，AB=6cm，BC=8cm將ABC沿射線BC方向平移10cm

5、，得到DEF，A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D，E，F(xiàn)，連接AD求證：四邊形ACFD是菱形15（2012聊城）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DEAC，CEBD求證：四邊形OCED是菱形16（2012恩施州）如圖，在ABC中，ADBC于D，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC的中點(diǎn)求證：四邊形AEDF是菱形17（2011寧波）如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)A作AGDB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G（1）求證：DEBF；（2）若G=90，求證：四邊形DEBF是菱形18（2011臨沂）如圖，ABC中，AB=AC，AD、CD分別是ABC兩個(gè)外角的平分線（1）求證：AC=A

6、D；（2）若B=60，求證：四邊形ABCD是菱形19（2011濟(jì)寧）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，過(guò)點(diǎn)O作直線EFBD，分別交AD、BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F，求證：四邊形BEDF是菱形20（2011恩施州）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，銳角BAC的角平分線AE交BC于點(diǎn)E，AF是CD邊上的中線，且PCCD與AE交于點(diǎn)P，QCBC與AF交于點(diǎn)Q求證：四邊形APCQ是菱形21（2011常州）已知：如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BC=CD，ADBD，E為AB中點(diǎn)，求證：四邊形BCDE是菱形22（2011安順）如圖，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分

7、線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE（1）說(shuō)明四邊形ACEF是平行四邊形；（2）當(dāng)B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形，并說(shuō)明理由23（2010岳陽(yáng)）如圖，在RtABC中，ABC=90，BAC=60，D為AC的中點(diǎn)，以BD為折痕，將BCD折疊，使得C點(diǎn)到達(dá)C1點(diǎn)的位置，連接AC1求證：四邊形ABDC1是菱形24（2010徐州）如圖，在ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別在AD及其延長(zhǎng)線上，CEBF，連接BE、CF（1）求證：BDFCDE；（2）若AB=AC，求證：四邊形BFCE是菱形25（2010溫州）如圖，在ABCD中，EFBD，分別交BC，CD于點(diǎn)P，Q，交AB

8、，AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F已知BE=BP求證：（1）E=F；（2）ABCD是菱形26（2011西寧）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DECA，AEBD（1）求證：四邊形AODE是菱形；（2）若將題設(shè)中“矩形ABCD”這一條件改為“菱形ABCD”，其余條件不變，則四邊形AODE是_27（2002廣西）如圖所示，DE是ABCD的ADC的平分線，EFAD，交DC于F（1）求證：四邊形AEFD是菱形；（2）如果A=60，AD=5，求菱形AEFD的面積28如圖所示，O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，DEAC，CEBD，求證：OEDC29如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，若AB=5，A

9、C=8，BD=6（1）求證：ACBD（2）求證：平行四邊形ABCD是菱形（3）四邊形ABCD的面積30已知：如圖，在RtABC中，ACB=90，A=30，CDAB交AB于點(diǎn)E，且CD=AC，DFBC分別與AB、AC交于點(diǎn)G、F，連接CG（1）求證：四邊形BCGD是菱形；（2）若BC=1，求DF的長(zhǎng)參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1證明：（1）四邊形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=C=90，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，AM=AD，CN=BC，AM=CN，在MAB和NDC中，MBANDC；（2）四邊形MPNQ是菱形理由如下：連接AN，易證：ABNBAM，AN

10、=BM，MABNDC，BM=DN，P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)，PM=NQ，DM=BN，DQ=BP，MDQ=NBP，MQDNPB四邊形MPNQ是平行四邊形，M是AD中點(diǎn)，Q是DN中點(diǎn)，MQ=AN，MQ=BM，MP=BM，MP=MQ，平行四邊形MQNP是菱形2（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ABCD，ACD=CAB，EDC=CAB，EDC=ACD，ACDE；（2）解：四邊形BCEF是平行四邊形理由如下：BFAC，四邊形ABCD是矩形，DEC=AFB=90，DC=AB在CDE和BAF中，CDEBAF（AAS），CE=BF，DE=AF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），ACDE，即DE=AF，DEAF，四

11、邊形ADEF是平行四邊形，AD=EF，AD=BC，EF=BC，CE=BF，四邊形BCEF是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）3（1）證明：1=2，BO=CO，即2BO=2CO四邊形ABCD是平行四邊形，AO=CO，BO=OD，AC=2CO，BD=2BO，AC=BD四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形；（2）解：在BOC中，BOC=120，1=2=（180120）2=30，在RtABC中，AC=2AB=24=8（cm），BC=（cm）四邊形ABCD的面積=4證明：四邊形ABDE是平行四邊形，AEBC，AB=DE，AE=BDD為BC中點(diǎn)，CD=BDCDAE，CD=AE四

12、邊形ADCE是平行四邊形AB=AC，D為BC中點(diǎn)，ADBC，即ADC=90，平行四邊形ADCE是矩形5證明：（1）BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，BF=CE四邊形ABCD是平行四邊形，AB=DC在ABF和DCE中，AB=DC，BF=CE，AF=DE，ABFDCE（2）ABFDCE，B=C四邊形ABCD是平行四邊形，ABCDB+C=180B=C=90四邊形ABCD是矩形6（1）證明：四邊形ABCD是矩形，OA=0B=OC=OD，AE=BF=CG=DH，AOAE=OBBF=COCG=DODH，即：OE=OF=OG=OH，四邊形EFGH是矩形；（2）解：G是OC的中點(diǎn)，GO=GC，D

13、GAC，DGO=DGC=90，又DG=DG，DGCDGO，CD=OD，F(xiàn)是BO中點(diǎn)，OF=2cm，BO=4cm，四邊形ABCD是矩形，DO=BO=4cm，DC=4cm，DB=8cm，CB=4，矩形ABCD的面積=44=16cm27證明：BD，BE分別是ABC，ABP的平分線，ABD+ABE=（ABC+ABP）=90即EBD=90又AEBE，ADBD，AEB=ADB=90，四邊形AEBD是矩形8解：（1）四邊形DEFG是平行四邊形理由如下：D、G分別是AB、AC的中點(diǎn)，DG是ABC的中位線；DGBC，且DG=BC；同理可證：EFBC，且EF=BC；DGEF，且DG=EF；故四邊形DEFG是平行四

14、邊形；（2）O在BC邊的高上且A和垂足除外理由如下：連接OA；把AB、OB、OC、AC的中點(diǎn)D、E、F、G依次連接形成四邊形DEFGDEOAGF，EFBC，四邊形DEFG是矩形，DEEF，OAEF，OABC，即O點(diǎn)在BC邊的高上且A和垂足除外9證明：（1）在平行四邊形ABCD中，A=C，（1分）又AE=CG，AH=CF，AEHCGF（2分）EH=GF（1分）在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，ABAE=CDCG，ADAH=BCCF，即BE=DG，DH=BF又在平行四邊形ABCD中，B=D，BEFDGH（1分）GH=EF（1分）四邊形EFGH是平行四邊形（1分）（2）解法一：在平行四

15、邊形ABCD中，ABCD，AB=CD設(shè)A=，則D=180AE=AH，AHE=AEH=（1分）AD=AB=CD，AH=AE=CG，ADAH=CDCG，即DH=DG（1分）DHG=DGH=（1分）EHG=180DHGAHE=90（1分）又四邊形EFGH是平行四邊形，四邊形EFGH是矩形（1分）解法二：連接BD，ACAH=AE，AD=AB，HEBD，（1分）同理可證，GHAC，（1分）四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD，平行四邊形ABCD是菱形，（1分）ACBD，EHG=90（1分）又四邊形EFGH是平行四邊形，四邊形EFGH是矩形（1分）10解：（1）AB=AC，BAD=CAD，ADBC，AD

16、B=90，AE平分FAC，EAD=90，AEBC；（2）DEAB，AEBC，四邊形ABDE是平行四邊形，AE=BD，BD=CD，AE=CD，四邊形AECD是平行四邊形，ADC=90，四邊形AECD是矩形；（3）BC=6cm，CD=3cm，AD=4，AB=AC=5，AB的長(zhǎng)是5cm11證明：方法一：四邊形ABCD是菱形，AB=AD，ABC=ADC，180ABC=180ADC，即ABE=ADF，AEBC，AFCD，AEB=AFD=90，在ABE和ADF中，ABEADF（AAS），AE=AF方法二：四邊形ABCD是菱形，BC=CD，AEBC，AFCD，菱形ABCD的面積=BCAE=CDAF，AE=A

17、F12（1）解：四邊形ABCD是菱形，ABCD，1=ACD，1=2，ACD=2，MC=MD，MECD，CD=2CE，CE=1，CD=2，BC=CD=2；（2）證明：如圖，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，BF=CF=BC，CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分BCD，ACB=ACD，在CEM和CFM中，CEMCFM（SAS），ME=MF，延長(zhǎng)AB交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，ABCD，G=2，1=2，1=G，AM=MG，在CDF和BGF中，CDFBGF（AAS），GF=DF，由圖形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME13（1）證明：菱形ABCD，AB=CD，ABCD，又BE=AB，BE=CD，BECD，四邊形BE

18、CD是平行四邊形，BD=EC；（2）解：平行四邊形BECD，BDCE，ABO=E=50，又菱形ABCD，AC丄BD，BAO=90ABO=4014證明：由平移變換的性質(zhì)得：CF=AD=10cm，DF=AC，B=90，AB=6cm，BC=8cm，AC=10，AC=DF=AD=CF=10cm，四邊形ACFD是菱形15證明：DEAC，CEBD，四邊形OCED是平行四邊形，四邊形ABCD是矩形，OC=OD，四邊形OCED是菱形16證明：點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC的中點(diǎn)，DEAC，DFAB，四邊形AEDF是平行四邊形，又ADBC，BD=CD，AB=AC，AE=AF，平行四邊形AEDF是菱形17證明

19、：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，AB=CD點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，BE=AB，DF=CDBE=DF，BEDF，四邊形DFBE是平行四邊形，DEBF；（2）G=90，AGBD，ADBG，四邊形AGBD是矩形，ADB=90，在RtADB中E為AB的中點(diǎn)，DE=BE，四邊形DFBE是平行四邊形，四邊形DEBF是菱形18證明：（1）AB=AC，B=BCA，AD平分FAC，F(xiàn)AD=DAC=FAC，B+BCA=FAC，B=FAC，B=FAD，ADBC，D=DCE，CD平分ACE，ACD=DCE，D=ACD，AC=AD；（2）B=60，AB=AC，ABC為等邊三角形，AB=BC，ACB

20、=60，F(xiàn)AC=ACE=120，BAD=BCD=120，B=D=60，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC，平行四邊形ABCD是菱形19證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，OB=OD，EDO=FBO，OED=OFB，OEDOFB（AAS），DE=BF，又EDBF，四邊形BEDF是平行四邊形，EFBD，BEDF是菱形20證明：AC=AD，AF是CD邊上的中線，AFC=90，ACF+CAF=90，ACF+PCA=90，PCA=CAF，PCAQ，同理：APQC，四邊形APCQ是平行四邊形AFCP，AECQ，EPC=PAF=FQC，AB=AC，AE平分BAC，CE=BE=CB（等腰三角三線合

21、一），AF是CD邊上的中線，CF=CD，CB=DC，CE=CF，PCCD，QCBC，ECP+PCQ=QCF+PCQ=90，PCE=QCF，PECQFC（AAS），PC=QC，四邊形APCQ是菱形21證明：ADBD，ABD是RtE是AB的中點(diǎn)，BE=AB，DE=AB （直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），BE=DE，EDB=EBD，CB=CD，CDB=CBD，ABCD，EBD=CDB，EDB=EBD=CDB=CBD，BD=BD，EBDCBD （ASA ），BE=BC，CB=CD=BE=DE，菱形BCDE（四邊相等的四邊形是菱形）22（1）證明：由題意知FDC=DCA=90，EFCA，F(xiàn)EA=

22、CAE，AF=CE=AE，F(xiàn)=FEA=CAE=ECA在AEC和EAF中，AECEAF（AAS），EF=CA，四邊形ACEF是平行四邊形（2）解：當(dāng)B=30時(shí)，四邊形ACEF是菱形證明：B=30，ACB=90，AC=AB，DE垂直平分BC，BDE=90BDE=ACBEDAC又BD=DCDE是ABC的中位線，E是AB的中點(diǎn)，BE=CE=AE，又AE=CE，AE=CE=AB，又AC=AB，AC=CE，四邊形ACEF是菱形23證明：ABC=90，BAC=60，C=30BA=AC又BD是斜邊AC的中線，BD=AD=AC=CDBD=AB=CD，C=DBC=30，將BCD沿BD折疊得BC1D，CBDC1BD，CD=DC1，AB=BD=DC1，C1BA=BC1D=30，BADC1，DC1=AB，四邊形ABDC1為平行四邊形，又AB=BD，平行四邊形ABDC1為菱形24證明：（1）CEBF，ECD=FBD，DEC=DFB；又D是BC的中點(diǎn)，即BD=DC，BDFEDC；（AAS）（2）AB=AC，ABC是等腰三角形；又BD=DC，ADBC（三線合一），由（1）知：BDFEDC，則DE=DF，DB=DC；四邊形BFCE是菱形（對(duì)角線互相平分且互相垂直的四邊形為菱形）25證明：（1）在ABCD中，BCAF，1=F，BE=BP，E=1，E=F；（2）BDEF，2=