高考數(shù)學(xué)壓軸專題最新備戰(zhàn)高考《空間向量與立體幾何》難題匯編及答案

1、30 ,新數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題空間向量與立體幾何專題解析一、選擇題1 .如圖，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為，2a，則ACi與側(cè)面ABBA所成的角是（）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】A【解析】【分析】 以C為原點，在平面 ABC中，過點C作BC的垂線為x軸，CB為y軸，CG為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出ACi與側(cè)面ABB1A1所成的角.【詳解】 解：以C為原點，在平面 ABC中，過點C作BC的垂線為x軸，CB為y軸，CC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,0),則 A嚴(yán),亍，0），C1（0，0，2a），人掙，I，2a），B（0，a，

2、niuurAC1（學(xué)，I，2a），設(shè)平面ABB1A的法向量n3aax y 22v UULVn AA - 2az 0v AB 則壯，3aAB (aiuur0) , AA (0 , 0, . 2a),22,y, z),，取 x 1 ,得n(1 ,3 , 0),(x設(shè)AG與側(cè)面ABB1A1所成的角為貝y sin I cosr uuuur UUUU . | ngAG |n, AC1 | r tutu1|n AC1 |.3a2 3aAC1與側(cè)面ABBA所成的角為30 .故選：A.【點睛】本題考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運 算求解能力，屬于中檔題.2.魯班鎖（也

3、稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu)這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝如圖1這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長均為2，則該魯班鎖的表面積為（）A. 8(6 6 & ,3) B. 6(8 8、2C. 8(6 6 3.2) D. 6(8 8門 .2)【答案】A【解析】【分析】該魯班鎖玩具可以看成是一個正方體截去了8個正三棱錐所余下來的幾何體，然后按照表面積公式計算即可.【詳解】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個棱長為2 2. 2的正方體截去了 8個正三棱錐所

4、余下來的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長為,2，則該幾何體的表面積為S 6（2 2 2）24 12 28238（6 6、2 込）.故選：A.【點睛】2 ,2本題考查數(shù)學(xué)文化與簡單幾何體的表面積，考查空間想象能力和運算求解能力3.正方體ABCD aibici Di的棱長為1,動點M在線段CCi上，動點P在平面ABiCQi上，且AP平面MBDi.線段AP長度的取值范圍為（）a. i,、2B. i,.3D.【答案】D【解析】【分析】以DA, DC,DDi分別為x, y,z建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P x,y,i ,0,1,t，由 APx平面MBD1，可得yt+1，然后用空間兩點間的距離公

5、式求解即可 t【詳解】以DA, DC, DDi分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系,則 A i,0,0 ,B i,i,0 ,M ujuAPuuunx i,y,i ,BDi由AP平面MBDi，則0,1,t ,Di 0,0,1 , P x,y,1 .ujun1,1 ,BM 1,0,t , tuuuuuuuAP0 且 BDii, uuuu BM0,1所以i0得x t+i, y所以所以uuuAPy2 iuuuAP12時_62uuuAPuuuAPmin6，當(dāng)t 0或t2i時,uuuAPmax故選：D尸【點睛】B. 78立方尺92立方尺()如圖，在DC ,EF上取G , H，使得DGAB ,連接BG ,BH

6、 ,GH ,本題考查空間動線段的長度的求法，考查線面垂直的應(yīng)用，對于動點問題的處理用向量方 法要簡單些，屬于中檔題4.九章算術(shù)是中國古代的數(shù)學(xué)瑰寶，其第五卷商功中有如下問題：今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺，問積幾何？”翻譯成現(xiàn)代漢語就是：今有三面皆為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體的隧道，前端下寬6尺，上寬一丈，深3尺，末端寬8尺，無深，長7尺(注：一丈 十尺).則該五面體的體積為C. 84立方尺A. 66立方尺【答案】C【解析】【分析】CH ,BGHVb CGHF , 計算得到答案【詳解】如圖，在DC ,EF上取G ,H，使得DGAB ,連接BG ,BH

7、 ,GH ,CH ,故多面體的體積VVADE BGHVb CGHFS直截面1(CG HF) 77 3 62故選：C.AB【點睛】本題考查了幾何體體積的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力dVBCD外接圓直徑CDsin CBD故球的直徑平方D232.3_3，2AB2 d2 22 （2、3）2 16 ,故外接球表面積 SD2 165.四面體ABCD的四個頂點都在球0的表面上，AB平面BCD , VBCD是邊長為3的等邊三角形，若AB 2，則球0的表面積為（）A. 1632B.3C.12D. 32【答案】A【解析】【分析】，再求球的直徑D2求解即可先求底面外接圓直徑，再利用表面積S【詳解】故選

8、：A【點睛】本題主要考查側(cè)棱垂直底面的錐體外接球表面積問題，先利用正弦定理求得底面直徑d，再利用錐體高h,根據(jù)球直徑D d h2求解即可屬于中等題型meng,底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸滓阎撈c甍的三視圖如6.九章算術(shù)卷五商功中有如下問題：今有芻甍（音 何體），下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何 圖所示，則此芻甍的體積等于 （）B. 5C. 6D. 12【答案】B【解析】【分析】首先由三視圖還原幾何體，再將芻甍分為三部分求解體積，最后計算求得芻甍的體積【詳解】由三視圖換元為如圖所示的幾何體，該幾何體分為三部分，中間一部分是直棱柱，兩側(cè)是 相同的三棱錐，1并且三棱錐的體積- 13 11

9、，31中間棱柱的體積V 3 1 23 ,2所以該芻甍的體積是1 2 3 5.故選：B【點睛】本題考查組合體的體積，重點考查空間想象能力和計算能力，屬于中檔題型7. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A. 8心3【答案】A【解析】【分析】2的正方體與三棱錐的組合體，根據(jù)根據(jù)三視圖可知該幾何體為一組合體，是一個棱長為 體積公式分別計算即可【詳解】5 /4幾何體為正方體與三棱錐的組合體，由正視圖、俯視圖可得該幾何體的體積為V 23 + 1 1 23 28 乙23故選A.【點睛】本題主要考查了三視圖，正方體與三棱錐的體積公式，屬于中檔題8.在正方體ABCD ABGD!中，點E 平面AA1

10、BiB，點F是線段AA的中點，若DiE CF ,則當(dāng)VEBC的面積取得最小值時,Sa ebcSabcdA. 士5【答案】D1B.2C.D.10【解析】【分析】 根據(jù)DiE CF分析出點E在直線BiG上，當(dāng)VEBC的面積取得最小值時，線段 EB的長 度為點B到直線BiG的距離，即可求得面積關(guān)系.【詳解】先證明一個結(jié)論 P：若平面外的一條直線 I在該平面內(nèi)的射影垂直于面內(nèi)的直線m,則I丄0A丄0B,求證:I 丄 0B.證明：直線I在平面內(nèi)的射影為直線 0A,不妨在直線I上取點P,使得PA丄OB, 0A丄OB, OA, PA是平面PAO內(nèi)兩條相交直線, 所以0B丄平面PAO, P0 平面PAO, 所

11、以P0丄0B,即I丄0B以上這就叫做三垂線定理 如圖所示，取AB的中點G ,正方體中：A|Ci Di Bi, CF在平面A|B|CiDi內(nèi)的射影為AiCi ,由三垂線定理可得： CF D1B1,CF在平面Ai Bi BA內(nèi)的射影為FB， FB由三垂線定理可得：CFBiG ,BiG與Di 3是平面BiDiG內(nèi)兩條相交直線,所以CF 平面Bi DiG ,當(dāng)點E在直線BiG上時，DiECF ,1設(shè) BC a，則 Sa ebc -2EB1BCEB a ,2當(dāng)VEBC的面積取最小值時,線段EB的長度為點B到直線BiG的距離, 線段EB長度的最小值為aSa ebcSabcd：5 * 匹. a2 i0故選：

12、D.【點睛】 此題考查立體幾何中的軌跡問題，通過位置關(guān)系討論面積關(guān)系，關(guān)鍵在于熟練掌握線面垂 直關(guān)系的判定和平面圖形面積的計算設(shè)m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，給出下列四個命題:若m, n ，貝V m n;若，m ，則m ；若 m，n/ ，則 m/n ；若m,，則 m.其中真命題的序號為（)A.和B.和C.和D.和【答案】A【解析】【分析】逐一分析命題的正誤，可得出合適的選項【詳解】對于命題，若n，過直線n作平面，使得a，貝U a/n, Q ma, m a,m n，命題正確；對于命題，對于命題，若 ，m，則m，命題正確；對于命題，若m ，n ，則m與n相交、平行或異面，命題 錯誤;

13、對于命題，若m ,，則m 或m ，命題錯誤.故選：A.【點睛】本題考查有關(guān)線面、面面位置關(guān)系的判斷，考查推理能力，屬于中等題2、4、6, A點為長方體的一個頂 A點到B點的最短距離為()C.41D. 2.13如圖長方體中，過同一個頂點的三條棱的長分別為 點，B點為其所在棱的中點，則沿著長方體的表面從【答案】C【解析】當(dāng)B點所在的棱長為2;當(dāng)B點所在【分析】由長方體的側(cè)面展開圖可得有 3種情況如下： 的棱長為4;當(dāng)B點所在的棱長為6，分別再求出展開圖 AB的距離即可得最短距離.【詳解】 由長方體的側(cè)面展開圖可得：(1 )當(dāng)B點所在的棱長為2,則沿著長方體的表面從 A到B的距離可能為6 2 121

14、01 ; - 4 1 2 6261 ;42 6 1 265. 當(dāng)B點所在的棱長為4,則沿著長方體的表面從 A到B的距離可能為2 2 62 2 .13;2 6 2 22 2,17; 226 2 2 2,17. 當(dāng)B點所在的棱長為6,則沿著長方體的表面從 A到B的距離可能為綜上所述，沿著長方體的表面從A點到B點的最短距離為、41 .故選：C【點睛】本題考查長方體的展開圖，考查空間想象與推理能力，屬于中等題如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(A.B. 168亠C. 2833【答案】B【解析】【分析】即可.結(jié)合三視圖，還原直觀圖，得到一個圓錐和一個圓柱，計算體積,【詳解】故

15、體積Vr2 h 1322 4-22 2.3163呼，故選B.結(jié)合三視圖，還原直觀圖，得到【點睛】本道題考查了三視圖還原直觀圖，考查了組合體體積計算方法，難度中等.設(shè)，是兩個不同的平面， m是直線且m . m P ”是“ P ”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：二-,-得不到二-,因為二-可能相交，只要 和二-的交線平行即可得到 淤“揮；：匚軋?zhí)m，二二， :和沒有公共點，曲X煮，即卩 能得到二宀：;“”是“”的必要不充分條件.故選B.考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷【方法點晴】考查線面平行的定義，線面平行的判

16、定定理，面面平行的定義，面面平行的 判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題;得不到二-,根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于 一，而.-,并且 二.,顯然能得到一，這樣即可找出正確選項13.如圖，平面四邊形 ABCD中，AB AD CD 1, BD . 2，BD CD，將其 沿對角線BD折成四面體 A BCD，使平面A BD 平面BCD，若四面體 A BCD的 頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. 3B.C. 4D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)BC的中點是E,連接DE,由四面體A -BC的特征可知，DE即為球體的半徑【詳解】設(shè)BC的中點是E,

17、連接DE, A ,因為 AB= AD= 1, BD=、2由勾股定理得：BA丄AD又因為BD丄CD,即三角形BCD為直角三角形所以DE為球體的半徑DES4 (=)23故選A【點睛】求解球體的表面積、體積的問題，其實質(zhì)是求球體的半徑，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于球體半R的方徑R的方程式，構(gòu)造常用的方法是構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理建立關(guān)于半徑程14設(shè)A , B , C , D是同一個球面上四點，ABC是斜邊長為6的等腰直角三角形,若三棱錐D ABC體積的最大值為27,則該球的表面積為()A. 36B. 64 nC. 100D. 144【答案】C【解析】【分析】由題意畫出圖形，求出三棱錐D ABC的外接球

18、的半徑，代入表面積公式求解.【詳解】 解：如圖,ABC是斜邊BC長為6的等腰直角三角形，則當(dāng) D位于直徑的端點時，三棱錐D ABC體積取最大值為27,由 AB AC , AB AC , BC 6，可得斜邊 BC 上的高 AE 3, AB AC 3、2 ,AA由一3& 3.2 DE 27，解得 DE 9,2ae2則EF 壬1 .DE球O的直徑為DE EF 10,1則球o的半徑為105 .2該球的表面積為 S 452100.故選C.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.15.如圖，在正方體ABCD AB1C1D1，點P在線段BG上運動，則下列判斷正確的是(

19、)D平面PB1D 平面ACD1A1P/平面ACDi異面直線A1P與ADi所成角的取值范圍是0,n3三棱錐Di APC的體積不變A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由面面垂直的判定定理判斷 ，由面面平行的性質(zhì)定理判斷 ，求出P在特殊位置處時 異面直線所成的角，判斷 ，由換底求體積法判斷 .【詳解】正方體中易證直線 AC 平面BDD1B1，從而有 AC B1D，同理有B1D A AD1，證得BiD 平面ACDi，由面面垂直判定定理得平面PBiD 平面ACDi ,正確；正方體中A1B/CD1, BCJ/ADi，從而可得線面平行，然后可得面面平行，即平面ABG /平面ACDi，而AP平面ABG，

20、從而得AP/平面ACDi ,正確；當(dāng)P是BCi中點時，AiP在平面AiBiCD內(nèi)，正方體中仿照上面可證 ADi 平面A BiCD，從而ADi AiP , A|P與ADi所成角為90 .錯； Vdi apc Vp ADiC，由BCi /平面ACDi，知P在線段BCi上移動時，P到平面ACDi 距離相等，因此 Vp ADiC不變，正確.故選：B.【點睛】本題考查面面垂直的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理、異面直線所成的角、棱錐的體積等知識，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.16.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖是全等的直角三角形，則該幾 何體的各個面中，最大面的面積為（）A. 2B.

21、 5C. ,13D. , 22【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原出幾何體，找到最大面，再求面積【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱錐，如圖所示，將其放在一個長方體中，并記為三棱錐 P ABC . S PAC Spab 13 , Spac 22 ,S ABC 2，故最大面的面積為.22 . 選D.【點睛】本題主要考查三視圖的識別，復(fù)雜的三視圖還原為幾何體時，一般借助長方體來實現(xiàn)17.如圖1，已知正方體 ABCD-AiBiCiDi的棱長為2, M , N , Q分別是線段 ADi, BiC,C1D1上的動點，當(dāng)三棱錐 Q-BMN的正視圖如圖2所示時，三棱錐俯視圖的面積為A. 2B. 1 TOC o 1-5 h z 5C.D.- HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 22【答案】C【解析】【分析】判斷俯視圖的形狀，利用三視圖數(shù)據(jù)求解俯視圖的面積即可.【詳解】由正視圖可知:M是ADi的中點,N在Bi處，Q在Ci Di的中點,俯視圖如圖所示:【點睛】本題主要考查三視圖求解幾何體的面積與體積，判斷它的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題由兩個1圓柱組合而成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）4正視囹嘶視囹俯視囹nnA.B.C. nD. 2