－復(fù)域根軌跡法

1、自動控制原理 根軌跡法1第五章根軌跡法5.1 根軌跡的定義與幅相條件 系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的基本特征是由閉環(huán)極點(diǎn)（即閉環(huán)特征方程的根）在s平面上的位置決定的。根軌跡法的基本思想是：在已知開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點(diǎn)分布基礎(chǔ)上，通過圖解法研究系統(tǒng)某一個或多個參數(shù)變化時，對控制系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響。5.1.1 根軌跡的定義例 設(shè)一系統(tǒng) 閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程特征方程的根：2第五章根軌跡法若K1從零到無窮大變化時，特征方程根的變化情況如表所謂根軌跡圖，即以系統(tǒng)增益K1為參變量，當(dāng)K1由0時，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上變化的軌跡。根據(jù)此圖可以分析參數(shù)變化對系統(tǒng)特性的影響。 K10 0.125 0.25 0.5 s1 0

2、-0.146 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+js2 -1 -0.854 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j3第五章根軌跡法穩(wěn)定性 當(dāng)增益K1由0 ，根軌跡不會越過虛軸進(jìn)入s平面右半邊，因此系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的，穩(wěn)態(tài)特性 開環(huán)傳遞函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個極點(diǎn)，所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上的值就是Kv。如果已知ess，則在根軌跡圖上可以確定閉環(huán)極點(diǎn)取值的容許范圍。動態(tài)特性 當(dāng)0 K1 0.5時，閉環(huán)系統(tǒng)是復(fù)極點(diǎn)，為欠阻尼狀態(tài)，單位 階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。 4第五章根軌跡法 分析表明，根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著較密切的聯(lián)系。然而，對于高階系統(tǒng)，用解析的方法繪制系統(tǒng)根軌跡圖，顯然是不適用

3、的。我們希望能有簡便的圖解方法，根據(jù)已知的開環(huán)傳遞函數(shù)迅速繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。為此，需要：研究開環(huán)零、極點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡之間的關(guān)系。5第五章根軌跡法5.1.2 根軌跡的幅相條件閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)特征方程： 或由于 是復(fù)數(shù)，可以用向量表示，將其分成兩個方程。幅角條件：幅值條件： 6設(shè) 幅角條件：幅值條件 或第五章根軌跡法7第五章根軌跡法 凡滿足幅值和幅角條件的s值，都是閉環(huán)的極點(diǎn)，即特征方程的根。這些s值構(gòu)成系統(tǒng)的根軌跡。關(guān)鍵在于找出這些s點(diǎn)。 實(shí)際中，通常在復(fù)平面中尋找滿足幅角條件的s值來繪制根軌跡曲線，用幅值條件確定根軌跡曲線上各點(diǎn)所對應(yīng)的K1值。 工程上定義： （1）當(dāng) 0 K1 +

4、時的根軌跡稱之為主要根軌跡，簡稱根軌跡。 （2）當(dāng) K1 0時的根軌跡稱之為輔助根軌跡或補(bǔ)根軌跡。 （3）當(dāng) K1 +時的根軌跡稱為完全根軌跡，簡稱全根軌跡。 5.1.3 繪制根軌跡的步驟： （1）尋找滿足幅角條件所有的s點(diǎn)，由這些點(diǎn)構(gòu)成根軌跡； （2）根據(jù)幅值條件確定對應(yīng)點(diǎn)(即特征方程根)處的K1值。8第五章根軌跡法5.2 繪制根軌跡圖的基本規(guī)則 以開環(huán)根跡增益K1為參變量繪制根軌跡的一些基本規(guī)則。1. 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 起點(diǎn)（ ）： 起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)； 終點(diǎn)（ ）：終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。包括m個 有限遠(yuǎn)的零點(diǎn)（簡稱有限零點(diǎn)）和(n-m) 個無限遠(yuǎn)的零點(diǎn)(簡稱無限零點(diǎn))。當(dāng) 變

5、化時，整個根軌跡的趨向由起點(diǎn)移向終 點(diǎn)，即由開環(huán)的極點(diǎn)移向開環(huán)的零點(diǎn)。9起點(diǎn)： 因?yàn)楫?dāng) 時， 說明根軌跡起始于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，n階系統(tǒng)共有n個開環(huán)極點(diǎn)，每個開環(huán)極點(diǎn)都對應(yīng)根軌跡的一個起點(diǎn)，所以共有n個起點(diǎn)。-第五章根軌跡法10終點(diǎn)：（1）有m條根軌跡終止于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的m個有限零點(diǎn)。當(dāng) 時， 我們把這m個零點(diǎn)稱之為系統(tǒng)的有限零點(diǎn)。（2）有（n-m）條根軌跡終止于開環(huán)傳遞函數(shù)的（n-m）個無限零點(diǎn)。當(dāng) 時，上式表明：有n-m條根軌跡的終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處。我們把無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)稱之為無限零點(diǎn)。 第五章根軌跡法11 綜上所述：系統(tǒng)共有n個開環(huán)零點(diǎn)，其中m個為有限零點(diǎn)，（n-m）個為無限零點(diǎn)。每個開

6、環(huán)零點(diǎn)都對應(yīng)根軌跡的一個終點(diǎn)，所以共有n個終點(diǎn)。2、根軌跡的分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)的極點(diǎn)數(shù)。 我們把一條完整的根軌跡稱之為根軌跡的一個分支，由前面 的分析可知，n階系統(tǒng)有n個根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)。所有的根軌跡都是有頭有尾 、有始有終。所以其分支數(shù)必等于開環(huán)的極點(diǎn)數(shù)或系統(tǒng)的階數(shù)。第五章根軌跡法123、根軌跡的對稱性 根軌跡對稱于實(shí)軸。 特征方程的根或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)閺?fù)數(shù)。必對稱于實(shí)軸。4、根軌跡的漸近線（s=處的根軌跡特征） 漸近線共有(n-m)條，且相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)。 漸近線于實(shí)軸的夾角： (k=0,1,2) 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：第五章根軌跡法13（1）根軌跡漸近線的傾角根據(jù)幅角條件：當(dāng)

7、 時，零點(diǎn) 、極點(diǎn) 與 矢量復(fù)角可近似看成相等得到所以漸近線的傾角： 因共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個不同的傾角即可。第五章根軌跡法14（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)幅值條件：當(dāng) ，則對應(yīng)于 ，此時 ，上式可寫成：上式左邊展開： 上式右邊展開比較對應(yīng)s冪項(xiàng)系數(shù)相等，求得：所以漸近線相交于同一點(diǎn)第五章根軌跡法15第五章根軌跡法五、根軌跡在實(shí)軸上的分布 實(shí)軸上凡有根軌跡的線段，其右側(cè)的開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)之和必為奇數(shù)。在s=0與s=-z1之間的實(shí)軸上任取一個試驗(yàn)點(diǎn)s1加以説明。 16例： 已知：試畫出根軌跡的大致圖形。解：按根軌跡繪制的規(guī)則：（1）起點(diǎn)：0，-1，-2； 終點(diǎn)：，。（2）分支數(shù)： n=3（3