相關(guān)與一元回歸分析及估計(jì)測(cè)量

1、相關(guān)與一元回歸分析及估計(jì)測(cè)量128.1 變量間關(guān)系的度量 8.2 一元線性回歸8.3 利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)3學(xué)習(xí)內(nèi)容1.相關(guān)系數(shù)的分析方法線性回歸的基本原理和參數(shù)的最小二乘估計(jì)回歸直線的擬合優(yōu)度回歸方程的顯著性檢驗(yàn)利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)48.1 變量間關(guān)系的度量變量間的關(guān)系相關(guān)關(guān)系的描述與測(cè)度5一. 變量間的關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y 隨變量x一起變化，并完全依賴于x，當(dāng)變量x 取某個(gè)數(shù)值時(shí)，y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是 x的函數(shù)，記為y =f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量各觀測(cè)點(diǎn)落在一條線上 xy6函數(shù)關(guān)系(幾個(gè)例子) 函數(shù)關(guān)系的例子某

2、種商品的銷售額(y)與銷售量(x)之間的關(guān)系可表示為 y = px (p 為單價(jià))圓的面積(S)與半徑之間的關(guān)系可表示為S=R2 企業(yè)的原材料消耗額(y)與產(chǎn)量(x1)、單位產(chǎn)量消耗(x2)、原材料價(jià)格(x3)之間的關(guān)系可表示為y = x1 x2 x3 7相關(guān)關(guān)系(correlation)變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達(dá)一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定當(dāng)變量 x 取某個(gè)值時(shí)，變量 y 的取值可能有幾個(gè)各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線周圍 xy8相關(guān)關(guān)系(幾個(gè)例子) 相關(guān)關(guān)系的例子父親身高(y)與子女身高(x)之間的關(guān)系收入水平(y)與受教育程度(x)之間的關(guān)系糧食畝產(chǎn)量(y)與施肥量(x1)、降雨量(

3、x2)、溫度(x3)之間的關(guān)系商品的消費(fèi)量(y)與居民收入(x)之間的關(guān)系商品銷售額(y)與廣告費(fèi)支出(x)之間的關(guān)系9相關(guān)關(guān)系(類型)10散點(diǎn)圖(scatter diagram)不相關(guān)負(fù)線性相關(guān)正線性相關(guān)非線性相關(guān)完全負(fù)線性相關(guān)完全正線性相關(guān)11散點(diǎn)圖(例題分析) 【例】一家大型商業(yè)銀行在多個(gè)地區(qū)設(shè)有分行，其業(yè)務(wù)主要是進(jìn)行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、國(guó)家重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)、固定資產(chǎn)投資等項(xiàng)目的貸款。近年來(lái)，該銀行的貸款額平穩(wěn)增長(zhǎng)，但不良貸款額也有較大比例的增加，這給銀行業(yè)務(wù)的發(fā)展帶來(lái)較大壓力。為弄清楚不良貸款形成的原因，希望利用銀行業(yè)務(wù)的有關(guān)數(shù)據(jù)做些定量分析，以便找出控制不良貸款的辦法。下面是該銀行所屬的25家

4、分行2002年的有關(guān)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù) 12散點(diǎn)圖(例題分析)13散點(diǎn)圖(例題分析)14相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient)對(duì)變量之間關(guān)系密切程度的度量對(duì)兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度的度量稱為簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，記為 r15相關(guān)系數(shù) (計(jì)算公式) 樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式16相關(guān)系數(shù)協(xié)方差為正為負(fù)為正為負(fù)協(xié)方差為正值時(shí)，表示正線性相關(guān)關(guān)系。17協(xié)方差為負(fù)值時(shí)，表示負(fù)線性相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)協(xié)方差18協(xié)方差接近于零時(shí)，表示很小，沒有線性相關(guān)關(guān)系。相關(guān)系數(shù)協(xié)方差19協(xié)方差(covariance)：兩個(gè)

5、變量與其均值離差乘積的平均數(shù)，是相互關(guān)系的一種度量?？傮w協(xié)方差：樣本協(xié)方差：相關(guān)系數(shù)協(xié)方差20協(xié)方差為大的正值時(shí)，表示強(qiáng)的正線性相關(guān)關(guān)系。協(xié)方差接近于零時(shí)，表示很小，沒有線性相關(guān)關(guān)系。協(xié)方差為大的負(fù)值時(shí)，表示強(qiáng)的負(fù)線性相關(guān)關(guān)系。協(xié)方差相關(guān)系數(shù)協(xié)方差21cmkgmmkg大于基本結(jié)論：協(xié)方差受計(jì)量單位影響，從而不能真實(shí)反映相關(guān)的程度。相關(guān)系數(shù)協(xié)方差22相關(guān)系數(shù)（correlation coefficient）:協(xié)方差與兩變量標(biāo)準(zhǔn)差乘積的比值，是沒有量綱的、標(biāo)準(zhǔn)化的協(xié)方差?？傮w相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)協(xié)方差23相關(guān)系數(shù) (計(jì)算公式) 樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式24相關(guān)系數(shù)(取值及其意義) r 的取值

6、范圍是 -1,1 |r|=1，為完全相關(guān)r =1，為完全正相關(guān)r = -1，為完全負(fù)相關(guān) r = 0，不存在線性相關(guān)關(guān)系相關(guān) -1r0，為負(fù)相關(guān) 0F ,拒絕H0；若FF ,拒絕H0，線性關(guān)系顯著55線性關(guān)系檢驗(yàn) (方差分析表) 56回歸系數(shù)檢驗(yàn)在一元線性回歸中，等價(jià)于線性關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn) x 與 y 之間是否具有線性關(guān)系，或者說(shuō)，檢驗(yàn)自變量 x 對(duì)因變量 y 的影響是否顯著理論基礎(chǔ)是回歸系數(shù) 的抽樣分布57回歸系數(shù)檢驗(yàn)(檢驗(yàn)步驟) 提出假設(shè)H0: b1 = 0 (沒有線性關(guān)系) H1: b1 0 (有線性關(guān)系) 計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量確定顯著性水平，并進(jìn)行決策 tt，拒絕H0； tt，拒絕H0

7、，表明不良貸款與貸款余額之間有線性關(guān)系59回歸系數(shù)檢驗(yàn) (例題分析)P 值的應(yīng)用P=0.000000，拒絕原假設(shè)，不良貸款與貸款余額之間有線性關(guān)系608.3 利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)61利用回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)根據(jù)自變量 x 的取值估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量 y的取值估計(jì)或預(yù)測(cè)的類型點(diǎn)估計(jì)y 的平均值的點(diǎn)估計(jì)y 的個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)y 的平均值的置信區(qū)間估計(jì)y 的個(gè)別值的預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)62點(diǎn)估計(jì) 2. 點(diǎn)估計(jì)值有y 的平均值的點(diǎn)估計(jì)y 的個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)在點(diǎn)估計(jì)條件下，平均值的點(diǎn)估計(jì)和個(gè)別值的的點(diǎn)估計(jì)是一樣的，但在區(qū)間估計(jì)中則不同對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值x0 ，根據(jù)回歸方程得到因變

8、量 y 的一個(gè)估計(jì)值63 y 的平均值的點(diǎn)估計(jì)利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量x 的一個(gè)給定值x0，求出因變量y的平均值的一個(gè)估計(jì)值E(y0)，就是平均值的點(diǎn)估計(jì)在前面的例子中，假如我們要估計(jì)貸款余額為100億元時(shí)，所有分行不良貸款的平均值，就是平均值的點(diǎn)估計(jì) 。根據(jù)估計(jì)的回歸方程得64y 的個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0，求出因變量y 的一個(gè)個(gè)別值的估計(jì)值 ，就是個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)比如，如果我們只是想知道貸款余額為億元的那個(gè)分行(這里是編號(hào)為10的那個(gè)分行)的不良貸款是多少，則屬于個(gè)別值的點(diǎn)估計(jì)。根據(jù)估計(jì)的回歸方程得65區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)不能給出估計(jì)的精度，點(diǎn)估計(jì)

9、值與實(shí)際值之間是有誤差的，因此需要進(jìn)行區(qū)間估計(jì)對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0，根據(jù)回歸方程得到因變量 y 的一個(gè)估計(jì)區(qū)間區(qū)間估計(jì)有兩種類型置信區(qū)間估計(jì)(confidence interval estimate)預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)(prediction interval estimate)66置信區(qū)間估計(jì)利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的平均值的估計(jì)區(qū)間 ，這一估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間 E(y0) 在1-置信水平下的置信區(qū)間為式中：sy為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差67置信區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】求出貸款余額為100億元時(shí)，不良貸款95% 的置信區(qū)間. 解：根據(jù)前面的計(jì)算結(jié)果，已知n=25， sy=，t 置信區(qū)間為:當(dāng)貸款余額為100億元時(shí)，不良貸款的平均值在億元到億元之間 68預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量 x 的一個(gè)給定值 x0 ，求出因變量 y 的一個(gè)個(gè)別值的估計(jì)區(qū)間，這一區(qū)間稱為預(yù)測(cè)區(qū)間 y0在1-置信水平下的預(yù)測(cè)區(qū)間為注意！69預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】求出貸款余額為億元時(shí)，不良貸款 95% 的置信區(qū)間. 解：根據(jù)前面的計(jì)算結(jié)果，已知n=25， sy=，t 置信區(qū)間為:貸款余額為億元的那個(gè)分行，其不良貸款的預(yù)測(cè)區(qū)間在億元到億元之間