拋物線的定義及應(yīng)用

1、高中數(shù)學(xué)：拋物線的定義及應(yīng)用角度1利用拋物線的定義求解距離問題(2016 浙江卷)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是9.解析：設(shè)M(x0，y0)，由拋物線方程知焦點歹(1,0).根據(jù)拋物線的 定義得|MF|=x0 + 1 = 10,.x0 = 9,即點M到y(tǒng)軸的距離為9.【條件探究1】將本典例條件變?yōu)椤霸趻佄锞€上找一點M,使|M| + |MF|最小，其中A(3,2)” .求M點坐標及此時的最小值.解：如圖，點A在拋物線y2=4x的內(nèi)部，由拋物線的定義可知，|MA| + |MF| = |MA| + |MH|,其中|MH為點M到拋物線的準線的距離.過A作拋物線準線的垂

2、線交拋物線于M垂足為B,貝 |M4| + |MF| = |M4| + |MH|N|AB| = 4,當且僅當點M在昭的位置時等號成立.此時M1點的坐標為(1,2).【條件探究2】將本典例條件變?yōu)椤霸趻佄锞€上有一動點M到 y軸的距離為q,到直線l： x-y+5 = 0的距離為q”，求d+d2的 最小值.解：由題意知，拋物線的焦點為F(1,0).點M到y(tǒng)軸的距離d1 = |MF|-1,所以 d1+d2=d2 + |MF-1.易知d2 + MF的最小值為點F到直線I的距離，故d2 + MF的最小值為1+512 + (1)2=3所以d1+d2的最小值為3氣吃一1.典例角度2焦點弦問題已知拋物線y2 =

3、2px(p0)的焦點為F,過F的直線l與拋物線交于A, B兩點，且AF = 4FB, O為坐標原點，若 AOB的面積為8，則p=1.解析：易知拋物線y2=2px的焦點F的坐標為, o,準線為xP2，不妨設(shè)點A在x軸上方，如圖，過A、B作準線的垂線AA, BB,垂足分別為A, B,過點B作BHLAA，交AA于H,A1則BB = A H,設(shè)FB = t,則AF = AA =4t,.AH = AA A H = 3t,3又AB = 5t,.在 RtABH 中，cosZHAB=5,4.tan/HAB=3,則可得直線AB的方程為y=-7 由y=3一,ly2=2px,得 8x2 17px+2p2 = 0,設(shè)

4、 A(x1，y1), B(x2, y2)，m125則 |AB| =x1+x2+ p=p + p=p，p42 易知點O到直線AB的距離為d=|QF|sin/A刀8=3乂5=乎.1 2525p2 5SA4OB=2X 8p X5p=T=8，p2 = 1 , 又 p0,.p=1.方法技巧1.拋物線定義的應(yīng)用策略利用拋物線的定義解決問題時，應(yīng)靈活地進行拋物線上的點到焦 點距離與其到準線距離間的等價轉(zhuǎn)化.“看到準線應(yīng)該想到焦點，看 到焦點應(yīng)該想到準線”，這是解決拋物線距離有關(guān)問題的有效途徑.2 ,焦點弦問題的求解策略解決焦點弦問題的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”方法的應(yīng)用，解題時，設(shè) 出直線與拋物線兩交點的坐標，根據(jù)

5、拋物線的方程正確表示出焦點弦 長，再利用已知條件求解./跟蹤訓(xùn)練1(1)已知F是拋物線y2=x的焦點，A,B是該拋物線上的兩點，|AF|+ |B曰=3，則線段AB的中點D到y(tǒng)軸的距離為(C )A.C.B. 1D.2解析：因為拋物線2=X的準線方程為X=-；.如圖所示，過點A, B, D分別作直線x=一；的垂線，垂足分別 為 G, E, M,因為 |AF| + |BF|=3,根據(jù)拋物線的定義，|AG| = |AF|, |BE| = |BF|,所以 |AG| + |BE| = 3,所以|MD| =|BE| + |AG|232,315所以線段AB的中點到 軸的距離為24=4.(2)已知M是拋物線x2=4y上一點，F(xiàn)為其焦點，點A在圓C： (x+1)2 + (y5)2=1 上，則|M + MF|的最小值是 5 .解析：依題意，由點M向拋物線x2=4y的準線l： y= 1引垂 線，垂足為叫(圖略)，則有|M4| + |MF| = |MA| + |