專題03一元一次方程全章復習(知識點串講)(解析版)

1、 /17專題03一元一次方程全章復習知識框架方程豆一元_;朋理有矢磁預一號程及期註_命的性質弊一元一；戀施一8票一元一次啟程全章負習和.豆伯、分問範行程間貶工隹可覷重難突破一、一元一次方程及其解法（一）、方程及一元一次方程有關概念方程概念：含有未知數(shù)的等式叫做方程.備注：判斷式子是否為方程，兩點缺一不可：是等式；是含有未知數(shù).方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.備注：判斷一個數(shù)（或一組數(shù)）是否是某方程的解，只需看兩點：它（或它們）是方程中未知數(shù)的值；將它（或它們）分別代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，否則不是.一元一次方程概念：只含有一個未知數(shù)（元

2、），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程.備注：（1）“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)，一元一次方程滿足條件：首先是一個方程;其次是必須只含有一個未知數(shù);未知數(shù)的指數(shù)是1;分母中不含有未知數(shù).（2）兀一次方程的標準形式是：ax+b=0（其中aMO,a,b是已知數(shù)）.（3）兀一次方程的最簡形式是：ax=b（其中aMO，a,b是已知數(shù)）.（二）、等式的性質等式的概念：用符號“=”來表示相等關系的式子叫做等式.等式的性質：等式的性質1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結果仍相等.即：r如果a=，那么區(qū)0=3士匕（C為一個數(shù)或一個式子）.等式的性質2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或

3、除以同一個不為0的數(shù)，結果仍相等即：如果a=b，那么ac=bc；如果蟲，那么-.cc備注：（1）根據(jù)等式的兩條性質，對等式進行變形，等式兩邊必須同時進行完全相同的變形；（2）等式性質1中，強調的是整式，如果在等式兩邊同加的不是整式，那么變形后的等式不一定成立,1_1如x=0中，兩邊加上一得x+，這個等式不成立；(3)等式的性質2中等式兩邊都除以同一個數(shù)時，這個除數(shù)不能為零.三)、解一元一次方程的一般步驟變形名稱具體做法注意事項去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)不要漏乘不含分母的項分子是一個整體的，去分母后應加上括號去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號不要漏乘括號里的項不要弄錯符號移

4、項把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊(記住移項要變號)(1)移項要變號(2)不要丟項合并同類項把方程化成ax=b(aMO)的形式字母及其指數(shù)不變系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,得b到方程的解x.a不要把分子、分母寫顛倒備注：解方程時，表中有些變形步驟可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的順序，有些步驟可以合并簡化去括號一般按由內向外的順序進行，也可以根據(jù)方程的特點按由外向內的順序進行.當方程中含有小數(shù)或分數(shù)形式的分母時，一般先利用分數(shù)的性質將分母變?yōu)檎麛?shù)后再去分母，注意去分母的依據(jù)是等式的性質，而分母化整的依據(jù)是分數(shù)的性質，兩者不要混淆二、一元一次方程實際問

5、題(一)、一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應用題的基本思路為：問題抽析方程檢解解答.由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答備注：“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關系，尋找等量關系；“設”就是設未知數(shù)，一般求什么就設什么為x,但有時也可以間接設未知數(shù)；“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚(二)、常見列方程解應用題

6、的幾種類型1和、差、倍、分問題基本量及關系：增長量=原有量X增長率，現(xiàn)有量=原有量+增長量，現(xiàn)有量=原有量-降低量.尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等2行程問題三個基本量間的關系：路程=速度X時間基本類型有：相遇問題(或相向問題)：I.基本量及關系：相遇路程=速度和X相遇時間II.尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程=兩地距離.追及問題：I.基本量及關系：追及路程=速度差X追及時間II.尋找相等關系：第一，同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；第二，第二，同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離=追者走的路程.航行問題：I.基本量

7、及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度水流速度，順水速度一逆水速度=2X水速；II.尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮.解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析.工程問題如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1.基本關系式：總工作量=工作效率X工作時間；總工作量=各單位工作量之和.調配問題尋找相等關系的方法：抓住調配后甲處的數(shù)量與乙處的數(shù)量間的關系去考慮.利潤問題(1)利潤率=利潤100%進價(2)標價=成本(或進價)X(1+利潤率)實際售價=標價X打折率利潤=售價一成本(或進價

8、)=成本X利潤率注意：“商品利潤=售價一成本”中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售6存貸款問題利息=本金X利率X期數(shù)本息和(本利和)=本金+利息=本金+本金X利率X期數(shù)=本金X(1+利率X期數(shù))實得利息=利息-利息稅利息稅二利息X利息稅率年利率=月利率X121月利率=年利率X127.數(shù)字問題已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a.8方案選擇問題選擇設計方案的一般步驟：運用一元一次方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況.用特殊值試探法

9、選擇方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結論.例1.(2018河南洛陽市七年級期中)下列各式中，是方程的是()A.4x-1=2x+2B.x-2C.1+2=3D.0 x+1【答案】A解：4x-1=2x+2符合方程的定義，故A符合題意，x-2是代數(shù)式，不是等式，不符合方程的定義，所以B不符合題意，1+2=3不含有未知數(shù)，不符合方程的含義，所以C不符合題意，0 x+1不是等式，不符合方程的含義，所以D不符合題意，故選A.練習1.(2018衡陽市逸夫中學七年級期中)下列各式中m=1，x+3x=4，6x-70，2x+y，1一+2=5，x3y+2x=6其中是方程的有()aA.

10、B.C.D.【答案】D【解析】1m=1是方程；x+3x4是方程；6x-70不是方程；2x+y不是方程；+25是方程;ax3y+2x6是方程，故選D.TOC o 1-5 h z例2.（2020成都市泡桐樹中學七年級期中）下列等式變形正確的是（）1s1A.如果sab，那么bB.如果牙x2，那么x42a2C.如果x-1y-1，那么x-y2D.如果mx=砒，那么x=y【答案】B12sA選項：s=ab，則b=，故A錯誤；2a1B選項：x=2，則x=4，故B正確；c選項：x1=y1，則xy=0，故c錯誤；d選項：mx=my，當m豐0時，有x=y,故d錯誤.故選B.練習1.（2020四川成都市雙楠實驗學校七

11、年級期中）下列運用等式的性質，變形不正確的是（）A、若x=y，貝yx+5y+5B.若ab，貝yacbeabxyC.若_=_，則abD.若x=y，則一=_ccaa【答案】D解：A、若x=y，則x+5=y+5，等式基本性質1,正確；B、若a=b，則ae=be，等式基本性質2,正確；abC、若=，則a=b，等式基本性質2,正確；eexyD、若x=y，則=,a#0,等式基本性質2,原題考慮不周全，故此選項錯誤.aa故選：D.例3.（2020克山縣第二中學校七年級期中）已知x的一半與x的3倍的和比x的2倍少6,列出方程為 /17 /17【答案】2x+3x=2x-6解：由題意得-x+3x=2x-6厶故答案

12、為：x+3x=2x6練習1.（2019大慶市第六十五中學七年級期中）根據(jù)題意列出方程：（1）設某數(shù)為x某數(shù)的3倍與4的差等于10：。（2）x的平方與3的差等于-2：?！敬鸢浮?x-4=10 x2-3=-2解：（1）根據(jù)題意得，3x-4=10;（2）根據(jù)題意得，x-3=-2.故答案為：（1）3x-4=10;（2）x2-3=-2.例4.（2020四川省內江市第六中學七年級期中）x=1是下列哪個方程的解（）1A.24x=1B.x=2C.3x+2=5D.4x2=6x32【答案】C解:當x=1,A.24x1=2豐1,故錯誤;B.豐2，故錯誤;C.3x1+2=5,故正確;D.4x1-2=2豐6x1-3=3

13、,故錯誤.故選:C.練習1.（2019四川巴中市七年級期中）方程3x+1=m+4的解是x=2,則m值是（）A2B5C3D1【答案】C把x=2代入3x+1=m+4得：6+1=m+4，解得：m=3，故選：C例5.（2020成都市泡桐樹中學七年級期中）解方程:（1）3x2=82x【答案】(1)x=2；(2)x=-3(1)由原方程得：x+2x8+25x10 x2(2)由原方程得：2(2x+1)-(5x-1)6x+25x+164x-5x6-1-2x3x3練習1.(2019達州市第一中學校七年級期中)解下列方程：x+22x-3(1)5(x+8)=6(2x-7)+5；(2)-=1.46【答案】(1)x=11

14、；(2)x=0.解：(1)去括號得：5x+40=12x-42+5,移項合并同類項得：7x=77,系數(shù)化為1得：x=11；(2)去分母得：3x+6-4x+6=12,移項合并同類項得：x=0；xmx6例6.(2019四川遂寧市遂寧中學外國語實驗學校七年級期中)方程q+亍x4與方程-6的解一樣，則m.答案】-21x-6解方程-6得x-6xmx-6因為方程q+x-4與方程-6的解一樣,xm所以把x-6代入方程2+yx-4得:-6m+23-6-4化簡整理后可得m=-21故答案為-21.練習。妙四川資陽市七年級期中）已知關于x的方程2x=8與x+2i的解相同，則代數(shù)式守的值是（）9444A.B.-C.-D

15、.+4999【答案】C【解析】解方程2x=8可得x=4,關于x的方程2x=8與x+2=-k的解相同,.4+2=-k,解得k=-6,TOC o 1-5 h z.2-3|k|2-3x|-6|=2-18=_4k2(-6)2369故選C.例7.（2020四川宜賓市敘州區(qū)東辰初級中學七年級期中）若關于x的方程2ax=（a+1）x+6的解為正整數(shù),求整數(shù)a的值.【答案】2,3,4,7方程整理得：（a-1）x=6,6解得：x=,a-1_6_由方程的解為正整數(shù)，即為正整數(shù)，得到整數(shù)a=2,3,4,7,a一1故答案為：2，3，4，7練習1.（2020四川成都市雙楠實驗學校七年級期中）已知關于x的方程9x-3=k

16、x+11有正整數(shù)解，那么滿足條件的所有整數(shù)k的和為.【答案】12.14根據(jù)方程：9x-3=kx+11,解得:x=9-k因為x為正整數(shù)解，所以能被14整數(shù)的正整數(shù)有:1,2,7,14.k有:8,7,2,-5.整數(shù)k的和為:8+7+2+（-5）=12.故答案為:12.例8.(2019四川綿陽市東辰國際學校七年級期中)某車間有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)800個螺栓或1000個螺母，1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，設安排x名工人生產(chǎn)螺母,則下面所列方程正確的是()A.2x800(26-x)=1000 xB.800(13-x)=1000 xC.800(26-x)=2x1000

17、 xD.800(26-x)=1000 x【答案】A設安排x名工人生產(chǎn)螺母，根據(jù)“1個螺栓需要配2個螺母”可得2x800(26-x)=1000 x故選：A練習1.(2020四川成都市雙楠實驗學校七年級期中)某車間有62個工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個或乙種零件23個.已知每3個甲種零件和2個乙種零件配成一套，問應分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？【答案】46人生產(chǎn)甲種零件，16人生產(chǎn)乙種零件.解：設應分配x人生產(chǎn)甲種零件，12xx2=23(62-x)x3，解得x=46,62-46=16（人）.故應分配46人生產(chǎn)甲種零件，1

18、6人生產(chǎn)乙種零件才能使每天生產(chǎn)的甲種零件和乙種零件剛好配套.例9.(2016四川眉山市七年級期中)某項工作甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此項工作，若甲一共做了x天，則所列方程為()C.XX一1+二146X+1XrXX+1rAT+6二1B.4P二1答案】C設甲一共做了x天,則乙一共做了(x-1)天.1可設工程總量為則甲的工作效率為4，乙的工作效率為6.XX一1r那么根據(jù)題意可得出方程4+二1故選C.練習1.(2020成都市泡桐樹中學七年級期中)有一批共享單車需要維修，維修后繼續(xù)投放騎用，現(xiàn)有甲、乙兩人做維修，甲每天維修16輛，乙每天維修的車輛比甲多8輛，甲單

19、獨維修完成這批共享單車比乙單獨維修完多用20天，公司每天付甲80元維修費，付乙120元維修費（1）問需要維修的這批共享單車共有多少輛？（2）在維修過程中，公司要派一名人員進行質量監(jiān)督，公司負擔他每天10元補助費，現(xiàn)有三種維修方案：由甲單獨維修；由乙單獨維修；甲、乙合作同時維修，你認為哪種方案最省錢，為什么？【答案】（1）960輛；（2）方案三最省錢，理由見詳解.解：（1）設乙單獨做需要X天完成，則甲單獨做需要（X+20）天，由題意可得：16（x+20）=（16+8）x，解得：x=40，總數(shù)：（16+8）x40=960（輛）,這批共享單車一共有960輛；（2）方案一：甲單獨完成：60 x80+6

20、0 x10=5400（元）,方案二：乙單獨完成：40 x120+40 x10=5200（元），方案三：甲、乙合作完成：960-（16+24）=24（天），則一共需要：24x（120+80）+24x10=5040（元）,540052005040方案三最省錢例10.（2019四川資陽市七年級期中）某商店有兩個進價不同的計算器都賣了80元，其中一個贏利60%,另一個虧本20%，在這次買賣中，這家商店（）A.賺了10元B.賠了10元C.賺了50元D.不賠不賺【答案】A【解析】試題分析：第一個的進價為：80三（1+60%）=50元，第二個的進價為：80=（120%）=100元，則80 x2-（50+10

21、0）=10元，即盈利10元.練習1.（2019四川內江市七年級期中）世界讀書日，某書店舉辦“書香”圖書展，已知漢語成語大詞典和中華上下五千年兩本書的標價總和為150元，漢語成語大詞典按標價的50%出售，中華上下五千年按標價的60%出售，小明花80元買了這兩本書，求這兩本書的標價各多少元.【答案】漢語成語大詞典的標價為100元，中華上下五千年的標價為50元.【解析】解得：x=4，試題解析：設漢語成語大詞典的標價為X元，則中華上下五千年的標價為（150-X）元,根據(jù)題意得：50%x+60%（150-x）=80，解得:x=100,150-100=50（元）.答：漢語成語大詞典的標價為100元，中華上

22、下五千年的標價為50元例11.（2020四川德陽市七年級期中）一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流而行，全程需7個小時，逆流航行全程需要9小時，已知水流速度為每小時3千米.若設兩個碼頭間的路程為x千米，則所列方程為（）xxB.+3=-79xxD.=+979xxA.3=+379xxC.+3=-379【答案】Axx解：設兩個碼頭間的路程為x千米，則逆流的速度為每小時：9千米，順流的速度為每小時：7千米,xx所以：73=9+3故選A.練習1.（2020奈曼旗新鎮(zhèn)中學七年級期中）A、B兩地相距120千米，甲車的速度為每小時55千米，乙車的速度為每小時45千米.（1）兩車分別從A、B兩地同時同向而行（甲在乙后），

23、經(jīng)過多長時間甲車追上乙車.（2）兩車同時從A、B兩地相向而行，經(jīng)過多長時間兩車相距10千米.【答案】（1）12小時；（2）1.1小時或者1.3小時（1）設經(jīng)過x小時甲追上乙，則55x45x二120.解得x=12答：兩車同時從A、B兩地同向而行（甲在乙后），經(jīng)過12小時甲車追上乙車.（2）兩車同時從A、B兩地相向而行，設經(jīng)過x小時兩車相距10千米，分相遇之前、相遇之后兩種情況討論：在相遇之前，有55x+45x=12010.10 x=11，x=1.1在相遇之后，有55x+45x=120+10.10 x=13，x=1.3答：兩車同時從A、B兩地相向而行，經(jīng)過1.1小時或者1.3小時兩車相距10千米.

24、例12.（2020江西宜春市宜春九中七年級期中）某課外活動小組計劃做一批“中國結”，如果每人做6個,那么比計劃多了1個，如果每人做5個，那么比計劃少了3個，該小組計劃做多少個“中國結”？【答案】計劃做23個中國結解：設小組成員共有x名，則計劃做的中國結個數(shù)為：（6x-1）或（5x+3）個由題意得：6x-1=5x+311/17 /17.6x-l=23.答：計劃做23個中國結練習1.（2020安徽七年級期中）李老師在課外活動中做了一個有趣的游戲小明背對小亮，讓小亮按下列四個步驟操作：第一步：分發(fā)左、中、右三堆牌，每堆牌都為m張，且m10；第二步：從右邊一堆拿出五張,放入中間一堆；第三步：從左邊一堆

25、拿出7張，放人中間一堆；第四步：右邊一堆有幾張牌，就從中間一堆拿幾張牌放入右邊一堆.（1）填寫下表中的空格：步驟左邊一堆牌的張數(shù)中間一堆牌的張數(shù)右邊一堆牌的張數(shù)第一步后mmm第二步后mm-5第三步后m-7m-5第四步后m一7（2）如若第四步完成后，右邊一堆牌的張數(shù)恰好是左邊一堆牌的張數(shù)的3倍，試求第一步后，每堆牌各有多少張?【答案】（1）m+5；m+12；17；2m-10；見解析；（2）每堆牌分別是11張、16張、6張解：（】）第二步后中間牌的張數(shù)為：m+5第三步后中間牌的張數(shù)為：m+5+7=m+12第四步后中間的張數(shù)為：（m+12）-（m5）=17右邊的牌數(shù)為：（m-5）+（m-5）-2m-

26、10步驟左邊一堆牌的張數(shù)中間一堆牌的張數(shù)右邊一堆牌的張數(shù)第一步后mmm第二步后mm+5m一5第三步后m7m+12m5第四步后m一7172m10（2）由題意可知：2m-10二3（m-7）解得：m=11第二步后左邊的牌數(shù)為：m=11中間的牌數(shù)為：m+5=11+5=16右邊的牌數(shù)為：m-5=11-5=6答：第一步后每堆牌分別是11張、16張、6張例13.（2020南昌市心遠中學七年級期中）觀察下列按一定規(guī)律排列的n個數(shù)：1,4,7,10,13,16，,若最后三個數(shù)之和是3000,則n等于（）A.333B.334C.335D.336【答案】C解：每個數(shù)是前一個數(shù)加上3,則第n個數(shù)應該是1+3（n-1）

27、=3n-2列式：3n8+3n5+3n2=3000，解得n=335故選：C.練習1.（2020遼寧大連市七年級期中）觀察下列三行數(shù)：2,4,8,16,32,64,；1,5,7,17,31,65,；1,2,4,8,16,32；（1）第三行的第n個數(shù)為;（2）如圖1,在上面的數(shù)據(jù)中，用一個矩形方框框住同一列的三個數(shù)，設a=x,則a+b+c=（用含x的式子表示）；（3）如圖2,在上面的數(shù)據(jù)中，用一個矩形方框框住兩列共六個數(shù)，數(shù)a,b,c為第n列的三個數(shù)，若方框中的六個數(shù)之和為158，求n的值.圖1圖2abecf（_2）n【答案】（1）、-22x+1；(3)6解：（1）由題意可知，第三行的第n個數(shù)為2故

28、答案為：（_P2x5(2)依題意有a+b+c=x+x+1+=x+1.1f=x(-2)xx=158.故答案為：x+1；(3)設a=x,則b=x+1,c=x,d=-2x,e=-2x+1,211+1+-x+(-2x)+(-2x)+i+2x(-2)5一xi解得x=64.(-2)n=64,解得n=6故n的值為6例14.(2019福建廈門市廈門一中七年級期中)某班將舉行知識競賽活動，班長安排小明購買獎品.小明去文化用品店買了兩種大小不同的筆記本一共本，其中大筆記本單價8元，小筆記本單價5元.若設買單價5元小筆記本買了x本.(1)填寫下表：單價(元/本)數(shù)量(本)金額(元)小筆記本5x5x大筆記本8列式表示

29、：小明買大小筆記本共花元.若小明從班長那里拿了300元，買了40本大小不同的兩種筆記本(a=40)，還找回55元給班長，那么小明買了大小筆記本各多少本？若這個班下次活動中，讓小明剛好花400元購買這兩種大小筆記本，并且購買的小筆記本數(shù)量x要小于60本，但還要超過30本(30VxV60)，請列舉小明有可能購買的方案，并說明理由.【答案】(1)ax,8(ax)；(2)(8a3x)；(3)小明買了小筆記本25本，大筆記本15本；(4)方案是小筆記32本，大筆記本30本；方案是小筆記本40本，大筆記本25本；方案是小筆記本48本，大筆記本20本；方案是小筆記本56本，大筆記本15本，理由見解析解：(1)由題意列表如下：單價(元/本)數(shù)量(本)金額(元)小筆記本5x5x大筆記本8ax8(ax)故答案為：ax，8(ax)；由(1)中的表格知，5x+8(a-x)二8a-3x小明買大小筆記本共花(8a3x)元，故答案為：(8a3x)；由題意得,