點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)子空間

1、第3章子空間（有限）,積空間，商空間在這一章中我們介紹通過(guò)已知的拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g的三種慣用的辦法為了避免過(guò)早涉及某些邏輯上的難點(diǎn)，在3.2中我們只討論有限個(gè)拓?fù)淇臻g的積空間，而將一般情形的研究留待以后去做13.1 子空間3.2 （有限）積空間3.3 商空間23.1子空間定義3.1.1設(shè)（X，）是一個(gè)度量空間，Y是X的一個(gè)子集.因此，YY 顯然 ：YYR是Y的一個(gè)度量（請(qǐng)自行驗(yàn)證）我們稱Y的度量 ，是由X的度量誘導(dǎo)出來(lái)的度量.度量空間（Y，）稱為度量空間（X，）的一個(gè)度量子空間 XX3定理3.1.1設(shè)Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間則Y的子集U是Y中的一個(gè)開集當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)X中的開集V使

2、得UVY 定義3.1.2設(shè)A是一個(gè)集族，Y是一個(gè)集合集族AY|AA稱為集族A在集合Y上的限制，記作 . 4引理3.1.2設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，T）的一個(gè)子集則集族 是Y的一個(gè)拓?fù)涠x3.1.3設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，T）的一個(gè)子集Y的拓?fù)?稱為（相對(duì)于X的拓?fù)銽而言的）相對(duì)拓?fù)?；拓?fù)淇臻g（Y， ）稱為拓?fù)淇臻g的一個(gè)（拓?fù)洌┳涌臻g 5定理3.1.3設(shè)Y是度量空間X的一個(gè)度量子空間則X與Y都考慮作為拓?fù)淇臻g時(shí)Y是X的一個(gè)（拓?fù)洌┳涌臻g定理3.1.4設(shè)X，Y，Z都是拓?fù)淇臻g如果Y是X的一個(gè)子空間，Z是Y的一個(gè)子空間，則Z是X的一個(gè)子空間6定理 3.1.5設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子空間，yY則（l）分別記T和

3、 為X和Y的拓?fù)?，則 = ；（2）分別記F 和 為X和Y的全體閉集構(gòu)成的族，則 = ；（3）分別記 和 為點(diǎn)y在X和Y中的鄰域系 ，則 = 7定理3.1.6設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子空間，A是Y的一個(gè)子集則（1）A在y中的導(dǎo)集是A在X中的導(dǎo)集與Y的交；（2）A在Y中的閉包是A在X中的閉包與Y的交定理3.1.7設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子空間，yY則（1）如果 是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基，則 是子空間Y的一個(gè)基；（2）如果 是點(diǎn)y在拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)鄰域基，則 是點(diǎn)y在子空間Y中的一個(gè)鄰域基8定義3.1.4設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:XY映射f稱為一個(gè)嵌入，如果它是一個(gè)單射，并且是從X到它的象集f(X)的一個(gè)同胚如果存在一個(gè)嵌入f: XY，我們說(shuō)拓?fù)淇臻gX可嵌入拓?fù)淇臻gY 本節(jié)關(guān)鍵:掌握拓?fù)淇臻g