復變函數(shù)級數(shù)(2)

1、復變函數(shù)的級數(shù) (2)第一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月主 要 內(nèi) 容 本章介紹復變函數(shù)級數(shù)的概念,重點是Taylor級數(shù)、Laurent級數(shù)及其展開.第二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1 復數(shù)列的極限 2 復數(shù)項級數(shù)概念 4.1 復數(shù)項級數(shù)第三張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1 復數(shù)列的極限稱 為復數(shù)列, 簡稱 為數(shù)列, 記為 定義4.1設 是數(shù)列， 是常數(shù). 如果e 0, 存在正整數(shù)N, 使得當nN 時, 不等式 成立, 則稱當n時, 收斂于 或稱 是 的極限, 記作第四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月復數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關系

2、定理一 的充分必要條件是 此定理說明: 判別復數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性.第五張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月即同理證明 如果 則 存在正整數(shù)N,從而有使得當nN 時, 第六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月從而有反之, 如果 那么存在正整數(shù)N, 使得當nN 時, 所以第七張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2 復數(shù)項級數(shù)的概念為無窮級數(shù).稱為該級數(shù)的部分和.設 是復數(shù)列, 則稱 第八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月級數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義4.2如果級數(shù) 的部分和數(shù)列 收斂于復數(shù) S, 則稱級數(shù)收斂, 這時稱S為級數(shù)的和, 并記

3、做 如果 不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散. 第九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月復數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關系定理二 級數(shù) 收斂的充要條件是 都收斂, 并且 說明 復數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題 推 論如果級數(shù) 收斂, 則 第十張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月證明由記 于是由定理一知 收斂的充要條件是 與 皆收斂, 此時顯然有第十一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解 因為級數(shù)收斂, 所以原復數(shù)項級數(shù)發(fā)散. 練習 級數(shù) 是否收斂?發(fā)散, 而級數(shù)第十二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月證明由定理二知，再由實數(shù)項級數(shù)收斂的級數(shù) 收斂的充要條

4、件是 都收斂必要條件知第十三張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù). 定義4.3設 是復數(shù)項級數(shù), 如果正項級數(shù) 收斂, 則稱級數(shù) 絕對收斂. 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)并且 定理三若級數(shù) 絕對收斂, 則 也收斂, 收斂 第十四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月證明 由于 而級數(shù) 收斂, 由正項級數(shù)收斂的比較判別法,知 和 收斂. 從而 和 絕對 收斂, 故收斂. 因此級數(shù) 收斂.因為 所以第十五張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月補充 因為 所以綜上可得:因此, 如果 和 都絕對收斂時, 也 絕對收斂. 絕對收斂 和 都絕對收斂. 第

5、十六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例 1 下列數(shù)列是否收斂? 如果收斂,求出其極限. 第十七張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例 2 下列級數(shù)是否收斂? 是否絕對收斂. 第十八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定理4.4設 是收斂數(shù)列，則其有界, 即 存在M0, 使得 第十九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1 冪級數(shù)的概念2 收斂圓與收斂半徑 3 收斂半徑的求法 4.2 冪 級 數(shù)4 冪級數(shù)的運算和性質(zhì) 第二十張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月為復變函數(shù)項級數(shù). 為該級數(shù)的部分和.設 是定義在區(qū)域D上的復變函數(shù)列,稱1 冪級數(shù)的

6、概念第二十一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果對 下述極限存在則稱級數(shù) 在 點收斂, 且 是級數(shù)和. 如果級數(shù) 在D內(nèi)處處收斂, 則稱其在 區(qū)域D內(nèi)收斂. 此時級數(shù)的和是函數(shù)第二十二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月這類函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù).當 或 時,或 的特殊情形函數(shù)項級數(shù)的形式為第二十三張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定理一 (Abel定理)若級數(shù) 在 處收斂，則當 時, 級數(shù) 絕對收斂; 若級數(shù) 在 處發(fā)散，則當 時, 級數(shù) 發(fā)散. 第二十四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月因而存在正數(shù)M, 使得當 時

7、, 記 于是,由正項級數(shù)的比較判別法知, 收斂, 因此證明 若級數(shù) 收斂, 則 級數(shù) 絕對收斂. 其余的結(jié)論用反證法易得.第二十五張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2 收斂圓與收斂半徑 (1) 對所有的正實數(shù)都收斂.級數(shù)在復平面內(nèi)絕對收斂.(2) 對所有的正實數(shù)都發(fā)散.級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.(3) 既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù), 也存在使級數(shù)收 斂的正實數(shù).設 時, 級數(shù)收斂; 時, 級數(shù)發(fā)散. 如圖:由 , 冪級數(shù) 收斂情況有三種:第二十六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月.收斂圓 收斂半徑 冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.第二十七張，PPT共一百一十二頁

8、，創(chuàng)作于2022年6月 冪級數(shù)的收斂范圍是因此，事實上, 冪級數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問題：冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以 為中心的圓域.收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形, 分別規(guī)定為論比較復雜, 沒有一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進行具體分析.第二十八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月解級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.絕對收斂, 且有在 內(nèi), 級數(shù) 例 1 求級數(shù) 的收斂半徑與和函數(shù).所以收斂半徑第二十九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3 收斂半徑的求法 (3) 當 時, 收斂半徑 (1) 當 時, 收斂半徑 (2) 當 時, 收斂半徑 定理二 (比值法)設級數(shù) 如果則形式上可以

9、記為第三十張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：由于故知當 時， 收斂。根據(jù)上節(jié)的定理三，級數(shù) 在圓 內(nèi)收斂。正項級數(shù)達朗貝爾判別法第三十一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月當 時。 假設在圓 外有一點z0, 使級數(shù) 收斂。反證法 在圓外再取一點z1，使 ，那么根據(jù)Abel 定理，級數(shù) 必收斂。然而所以這與 收斂相矛盾。在圓 外發(fā)散。由z0的任意性知級數(shù)第三十二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(3) 當 時, 收斂半徑 (1) 當 時, 收斂半徑 (2) 當 時, 收斂半徑 定理三 (根值法)設級數(shù) 如果 則形式上可以記為第三十三張，PPT共一百一十二頁

10、，創(chuàng)作于2022年6月例 2 求下列冪級數(shù)的收斂半徑（并且討論在收斂圓周上的情形）；(并討論z=0,2時的情形)第三十四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月由于冪級數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對收斂，因此 可得出下面幾個定理. 定 理(1) 設級數(shù) 和 的收斂 半徑分別為 和 則在 內(nèi), 4 冪級數(shù)的運算和性質(zhì)第三十五張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 3 設有冪級數(shù) 與求 的收斂半徑第三十六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(2) 設級數(shù) 的收斂半徑為 r.如果在 內(nèi), 函數(shù) 解析, 并且則當 時,前面關于級數(shù) 的性質(zhì), 如果將 換成之后, 對于級數(shù) 當然也成立.

11、 說明: 上述運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).第三十七張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例 4 把函數(shù) 表示成形如的冪級數(shù), 其中a與b是不相等的復常數(shù) .代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn) 湊出 把函數(shù) 寫成如下的形式:第三十八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月當 即 時,所以第三十九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月補 例 把函數(shù) 在 的 范圍表示成形如 的冪級數(shù)。 第四十張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月定理四 設冪級數(shù) 的收斂半徑為R，那么是收斂圓： 內(nèi)的解析函數(shù)。 在收斂圓內(nèi)的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到，即1）它的和函數(shù)f (z), 即第四

12、十一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月補 例 把函數(shù) 在 的 范圍表示成形如 的冪級數(shù)。 第四十二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月3）f (z)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分，即或第四十三張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月4.3 泰勒級數(shù)第四十四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù)。 函數(shù)是否能夠展開成冪級數(shù)。 解析能第四十五張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 R為 到D邊界的最短距離 定 理 (Taylor展開定理) 設 在區(qū)域D內(nèi)解析,為D內(nèi)的一點,.R(D是全平面時, R=+), 則 在 內(nèi)可展開為冪級

13、數(shù) 其中系數(shù)cn按上述表示的冪級數(shù)稱為在 點的Taylor級數(shù). 第四十六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月.C.R證明 對 內(nèi)任意一點z,存在 r0, 使得 并且 以z0為圓心, r為半徑作正向圓周由 第四十七張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月因為當 時,.C.R第四十八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月從而實際上積分號下的級數(shù)可在C上逐項積分. 第四十九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月50第五十張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 R為 到D邊界的最短距離 定 理 (Taylor展開定理) 設 在區(qū)域D內(nèi)解析,為D內(nèi)的一點,.R(

14、D是全平面時, R=+), 則 在 內(nèi)可展開為冪級數(shù) 其中系數(shù)cn按上述表示的冪級數(shù)稱為在 點的Taylor級數(shù). 第五十一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月此定理給出了函數(shù)在 z0點的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)的公式, 同時給出了展開式的收斂半 徑R=|z0-a|, 其中a 是離z0最近的 f (z)的奇點.第五十二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月Taylor展開式的唯一性定理 定 理設 是 D上的解析函數(shù), 是 D內(nèi)的點，且在 內(nèi)可展成冪級數(shù)則這個冪級數(shù)是 在點的Taylor級數(shù)，即注 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)。第五十三張，PPT共一百一十二頁

15、，創(chuàng)作于2022年6月證明因為在 內(nèi)，絕對收斂.取則由收斂， 得于是有界, 即存在 使得則 其中所以是收斂的正項級數(shù). 第五十四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月則由 ,級數(shù)在上 可以逐項積分. 又因為 將上式在上逐項積分，利用 以及 因此, 解析函數(shù)在一點展開成冪級數(shù)的結(jié)果唯一.第五十五張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月考慮f (z)的任意展開式 顯然又所以第五十六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月顯然又所以又第五十七張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月即第五十八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月將函數(shù)展開為Taylor級數(shù)的方法:

16、1. 直接方法; 2. 間接方法.1. 直接方法 由Taylor展開定理計算級數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù) f (z)在z0 展開成冪級數(shù).第五十九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 求在的Taylor展開式.所以它在 處的Taylor級數(shù)為并且收斂半徑 因為在復平面上解析，且 第六十張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 間接方法 借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì), 冪級數(shù)運算性質(zhì) (逐項求導, 逐項積分等)和其它的數(shù)學技巧 (代換等) , 求函數(shù)的Taylor展開式.間接法的優(yōu)點: 不需要求各階導數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開更為簡潔 , 使用范圍也更

17、為廣泛 .第六十一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例利用 并且收斂半徑同理本例利用直接方法也很簡單以及上節(jié) 可得 第六十二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 1求 在點鄰域內(nèi) 的Taylor級數(shù). 解是的唯一奇點, 且 故收斂半徑在 中，用z替換-z, 則 逐項求導，得 第六十三張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 2 求對數(shù)函數(shù)的主值 在z=0點的Taylor級數(shù). 負實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析. 因為 并且由 有 函數(shù) 在復平面中割去從點-1沿 第六十四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月所以根據(jù) ，把上式逐項積分，得第六十五張，PPT

18、共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 3求冪函數(shù) (a為復數(shù))的主值支 在z=0點的Taylor展開式. 第六十六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 解法一 待定系數(shù)法由于 可知f (z)滿足微分方程 設 （） （ ） 第六十七張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月將（ ） 帶入（ ） 得即比較上式的系數(shù)第六十八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月所以所求得展開式為第七十張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析. 因此在 內(nèi), 可展開為z的冪級數(shù). 根據(jù)復合函數(shù)求導法則, 按

19、照直接方法展開如下: 顯然, 在復平面中割去從點-1沿負 解法二 第七十一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月令z=0, 有 第七十二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月于是第七十三張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月附: 常見函數(shù)的Taylor展開式第七十四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十五張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1 Laurent級數(shù)的概念2 函數(shù)的Laurent級數(shù)展開3 典型例題3.4 Laurent級數(shù)第七十六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月1 Laurent 級數(shù)的概念本節(jié)將引進一種在圓環(huán)域收斂的

20、雙邊冪級數(shù),即Laurent級數(shù). 它將在后面討論孤立奇點與留數(shù)中起重要作用.問題：解析函數(shù)能否在奇點處展開成冪級數(shù)？ 如果能應為何種形式？ 第七十七張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月負冪項部分正冪項部分這種雙邊冪級數(shù)的形式為同時收斂Laurent級數(shù)收斂主要部分解析部分第七十八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月收斂半徑R收斂域收斂半徑R2收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分第七十九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:.第八十張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(1) 冪級數(shù)的收斂域是圓域,且和函數(shù)在收斂域 內(nèi)解析.

21、(2) 在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一定能展開成冪級數(shù).對于Laurent級數(shù)，已經(jīng)知道： Laurent級數(shù)的收斂域是圓環(huán)域，且和函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析. 問題: 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開成Laurent級數(shù)?對于通常的冪級數(shù)，討論了下面兩個問題:第八十一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2 函數(shù)的Laurent 級數(shù)展開定理3.15(Laurent展開定理) 設 函數(shù)f (z)在圓環(huán)域 內(nèi)解析, 則函數(shù)f (z) 在此環(huán)域內(nèi)可展開為Laurent級數(shù) 其中C是圓 周 的正向. 第八十二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月證明設z在圓環(huán)域 內(nèi), 取 正數(shù)r和R, 使得 作圓周

22、 和 當z 在K2上變化時， 根據(jù) 和Rr.z.第八十三張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月于是所以與 的證明方法相同,可以逐項積分. Rr.z.第八十四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月當z 在K1上變化時， 類似有 因為f (z)在K1上有界, 即存在 使得z K1時, Rr.z.第八十五張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月所以其中 由于是收斂的正項級數(shù)， 根據(jù) , 可以逐項積分. 根據(jù) , Rr.z.第八十六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月因此，第八十七張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月注 函數(shù)f (z)展開成Laurent級數(shù)的

23、系數(shù) 與展開成Taylor級數(shù)的系數(shù)在形式上完全相同。 當 f (z)在圓環(huán)域 內(nèi)解析, 如果函數(shù) f (z)在內(nèi)解析，則根據(jù)所以Laurent級數(shù)包含了Taylor級數(shù).cn不能寫為 第八十八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月Laurent展開式的唯一性定理定理3.16 設函數(shù)f (z)在圓環(huán)域內(nèi)解析, 并且可以展開成雙邊冪級數(shù)則 其中C的正向. 是圓周注 函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)Laurent展開式是唯一的. 因此為函數(shù)展開成Laurent級數(shù)的間接方法奠定了基礎.第八十九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月方法, 可以證明雙邊冪級數(shù)也可以在C上逐項積 分. 設 是函數(shù) f (

24、z)在 內(nèi)的雙邊冪級數(shù)展開式，則在 上, 證明利用證明 的 第九十張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月于是在C上取積分得 根據(jù)所以第九十一張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月(1) 直接方法 直接計算展開式系數(shù)然后寫出Laurent展開式這種方法只有理論意義, 而沒有實用價值. 就是 說, 只有在進行理論推導時, 才使用這種表示方法.將函數(shù)展開為Laurent級數(shù)的方法: 1. 直接方法; 2. 間接方法.第九十二張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 根據(jù)解析函數(shù) Laurent 級數(shù)展開式的唯一性,可運用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去將函數(shù)展開成Lauren

25、t 級數(shù).(2) 間接方法這是將函數(shù)展開成Laurent 級數(shù)的常用方法. 給定函數(shù)與復平面內(nèi)的一點以后, 函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展開式(包括Taylor展開式作為特例). 這與Laurent展開式的唯一性并不矛盾, 在同一圓環(huán)域內(nèi)的展開式唯一.第九十三張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月內(nèi)展開成Laurent級數(shù). 例 1 將函數(shù)在圓環(huán)域處都解析, 并且可分解為 3.4.3 典型例題函數(shù)f (z)在z=1和z=2處不解析, 在其它點第九十四張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月oxy1(1) 在 內(nèi), 有 則 于是在 內(nèi)， 第九十五張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月12oxy(2) 在 內(nèi), 有 第九十六張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2oxy于是在 內(nèi), (3) 在 內(nèi), 有 第九十七張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月于是在 內(nèi), 第九十八張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月2oxy.1(4) 由 知, 展開的級數(shù)形式應為 所以在 內(nèi), 第九十九張，PPT共一百一十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 2 將 在 內(nèi)展開 為Laurent級數(shù). 解除z=0點之外, f (z)在復平面內(nèi)處處解析,對任何復數(shù)z , 于是在 內(nèi), 第一百張，PPT共一百一十二