流體力學(xué)課程課件(精華版).

1、 在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，討論描述流體運(yùn)動(dòng)的方法，根據(jù)運(yùn)動(dòng)要素的特性對(duì)流動(dòng)進(jìn)行分類(lèi)。 本章的討論是純運(yùn)動(dòng)學(xué)意義上的，不涉及流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)因素。 連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)具體約束，也在本章的討論范圍之中。第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)31 描述流動(dòng)的方法32 有關(guān)流場(chǎng)的幾個(gè)基本概念33 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析34 連續(xù)性方程第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)31 描述流動(dòng)的方法 離散 質(zhì)點(diǎn)系剛體流體質(zhì)點(diǎn)間的約束強(qiáng)無(wú)弱一. 描述流體運(yùn)動(dòng)的困難質(zhì)點(diǎn)數(shù)N個(gè)無(wú)窮無(wú)窮 離散 質(zhì)點(diǎn)系剛體流體六個(gè)自由度運(yùn)動(dòng) 編號(hào)，逐點(diǎn)描述 3N個(gè)自由度困難： 無(wú)窮多質(zhì)點(diǎn) 有變形 不易顯示 離散 質(zhì)點(diǎn)系剛體流體二. 拉格朗日法 拉格朗日法是質(zhì)點(diǎn)系法，它

2、定義流體質(zhì)點(diǎn)的位移矢量為： (a,b,c) 是拉格朗日變數(shù)，即 t=t0 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置，用來(lái)對(duì)連續(xù)介質(zhì)中無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，作為質(zhì)點(diǎn)標(biāo)簽。易知 流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其它運(yùn)動(dòng)要素和物理量的時(shí)間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等： 歐拉法是流場(chǎng)法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量場(chǎng)為： (x,y,z) 是空間點(diǎn)（場(chǎng)點(diǎn)）。流速 u 是在 t 時(shí)刻占據(jù)(x,y,z) 的那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量。三. 歐拉法 流體的其它運(yùn)動(dòng)要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時(shí)間和空間域上的場(chǎng)的形式表達(dá)。如加速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)等：拉格朗日法 歐拉法 著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤質(zhì)點(diǎn)描述其運(yùn)動(dòng)歷程著眼于空間點(diǎn)，研究質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間各固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

3、特性布哨跟蹤 如果流場(chǎng)的空間分布不隨時(shí)間變化，其歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間 t ，這樣的流場(chǎng)稱(chēng)為恒定流。否則稱(chēng)為非恒定流。 歐拉法是描述流體運(yùn)動(dòng)常用的一種方法。 歐拉法把流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素和物理量都用場(chǎng)的形式表達(dá)，為在分析流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)直接運(yùn)用場(chǎng)論的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了便利條件。四. 流體質(zhì)點(diǎn)的加速度、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)速度是同一流體質(zhì)點(diǎn)的位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度則是同一流體質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率。通過(guò)位移求速度或通過(guò)速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)該在拉格朗日觀點(diǎn)下進(jìn)行。 若流動(dòng)是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只須將位移矢量直接對(duì)時(shí)間求一、二階導(dǎo)數(shù)即可。 求導(dǎo)時(shí) a,b,c 作為參數(shù)不變，意即跟定流體質(zhì)

4、點(diǎn)。 跟定流體質(zhì)點(diǎn)后，x,y,z 均隨 t 變，而且 若流場(chǎng)是用歐拉法描述的，流體質(zhì)點(diǎn)加速度的求法必須特別注意。 用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點(diǎn)的問(wèn)題。=+質(zhì)點(diǎn)加速度 位變加速度由流速不均勻性引起時(shí)變加速度由流速不恒定性引起分量形式 時(shí)間因素與空間因素對(duì)加速度貢獻(xiàn)的分解yxzt+tM0MyxzM0tBAABuAdtuBdt舉例=+時(shí)變導(dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)局部導(dǎo)數(shù) 全 質(zhì)導(dǎo) 點(diǎn)數(shù) 導(dǎo) 數(shù)位變導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù)對(duì)流導(dǎo)數(shù) 算子例如不可壓是其特例32 有關(guān)流場(chǎng)的幾個(gè)基本概念一. 恒定流、非恒定流 若流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的任何運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，稱(chēng)流動(dòng)為恒定流。否則，為非恒定流。 恒定流中，所有物理量的歐拉表達(dá)式中將

5、不顯含時(shí)間，它們只是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，時(shí)變導(dǎo)數(shù)為零。 例如，恒定流的流速場(chǎng)： 恒定流的時(shí)變加速度為零，但位變加速度可以不為零。 流動(dòng)是否恒定與所選取的參考坐標(biāo)系有關(guān),因此是相對(duì)的概念。二. 跡線和流線 跡線是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，是與拉格朗日觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。 拉格朗日法中位移表達(dá)式即為跡線的參數(shù)方程。t 是變數(shù)，a,b,c 是參數(shù)。 這是由三個(gè)一階常微分方程組成的方程組，未知變量為質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)（x, y, z），它是 t 的函數(shù)。給定初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，就可以積分得到跡線。 在歐拉觀點(diǎn)下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)歐拉變數(shù) x,y,z 成為 t 的函數(shù)，所以跡線的微分方程為 流線是流速

6、場(chǎng)的矢量線，是某瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)中的一條曲線，該瞬時(shí)位于流線上的流體質(zhì)點(diǎn)之速度矢量都和流線相切。流線是與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。有了流線，流場(chǎng)的空間分布情況就得到了形象化的描繪。 根據(jù)定義，流線的微分方程為 實(shí)際上這是兩個(gè)微分方程，其中 t 是參數(shù)?？汕蠼獾玫絻勺迩妫鼈兊慕痪€就是流線族。其中 已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng) ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,試求t = 0 時(shí)過(guò) M(-1,-1) 點(diǎn)的流線。解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 (x+t)(-y+t) = Ct = 0 時(shí)過(guò) M(-1,-1)：C = -1 積分 xy=1 由流線的微分方程：t = 0 時(shí)過(guò) M(-1,

7、-1)點(diǎn)的流線：舉 例t = 0 時(shí)過(guò) M(-1,-1)： C1 = C2 = 0 已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng) ux=x+t； uy= -y+t；uz=0,試求t = 0 時(shí)過(guò) M(-1,-1) 點(diǎn)的跡線。解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0 求解 x+y = -2 由跡線的微分方程：x= -t-1y= t-1消去t，得跡線方程：舉 例跡線流線xyot = 0 時(shí)過(guò) M(-1,-1)點(diǎn)的流線和跡線示意圖M(-1,-1) 在非恒定流情況下，流線一般會(huì)隨時(shí)間變化。在恒定流情況下，流線不隨時(shí)間變，流體質(zhì)點(diǎn)將沿著流線走，跡線與流線重合。 跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移

8、曲線，與拉格朗日觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)，而流線是同一時(shí)刻、不同流體質(zhì)點(diǎn)速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。即使是在恒定流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。 根據(jù)流線的定義，可以推斷：除非流速為零或無(wú)窮大處，流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折。如何用攝象機(jī)獲取流線和跡線？思 考 ?三. 流管和流量流線 在流場(chǎng)中，取一條不與流線重合的封閉曲線L，在同一時(shí)刻過(guò) L上每一點(diǎn)作流線，由這些流線圍成的管狀曲面稱(chēng)為流管。 與流線一樣，流管是瞬時(shí)概念。根據(jù)流管的定義易知，在對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流體不可能通過(guò)流管表面流出或流入。L流管 與流動(dòng)方向正交的流管的橫斷面 過(guò)水?dāng)嗝鏋槊娣e微元的流管叫元流管，其中的流動(dòng)稱(chēng)為元流。 過(guò)水?dāng)嗝?/p>

9、為有限面積的流管中的流動(dòng)叫總流?？偭骺煽醋鳠o(wú)數(shù)個(gè)元流的集合?？偭鞯倪^(guò)水?dāng)嗝嬉话銥榍妗A1dA2u1u2 過(guò)水?dāng)嗝?稱(chēng)為質(zhì)量流量，記為Qm，單位為 kg/s . 流量計(jì)算公式中，曲面 A 的法線指向應(yīng)予明確，指向相反，流量將反號(hào)。閉曲面的法向一般指所圍區(qū)域的外法向。 通過(guò)流場(chǎng)中某曲面 A 的流速通量稱(chēng)為流量，記為 Q ，它的物理意義是單位時(shí)間穿過(guò)該曲面的流體體積，所以也稱(chēng)為體積流量，單位為 m3/s .dAuAn 總流過(guò)水?dāng)嗝嫔系牧魉倥c法向一致，所以穿過(guò)過(guò)水?dāng)嗝?A 的流量大小為 ，其中 u 為流速的大小。 定義體積流量與斷面面積之比 為斷面平均流速，它是過(guò)水?dāng)嗝嫔喜痪鶆蛄魉賣(mài) 的一個(gè)平均值

10、，假設(shè)過(guò)水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)流速大小均等于v，方向與實(shí)際流動(dòng)方向相同，則通過(guò)的流量與實(shí)際流量相等。位變導(dǎo)數(shù) ？均勻流非均勻流四. 均勻流、非均勻流；漸變流、急變流 均勻流的流線必為相互平行的直線，而非均勻流的流線要么是曲線，要么是不相平行的直線。 判別：uxazyx 應(yīng)注意將均勻流與完全不隨空間位置而變的等速直線流動(dòng) 例如，以下的流動(dòng)是均勻流： 相區(qū)別，前者是流動(dòng)沿著流線方向不變，后者是流動(dòng)沿著空間任何方向不變。后者是均勻流的一個(gè)特例。 o 在實(shí)際流動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到均勻流，如等截面的長(zhǎng)直管道內(nèi)的流動(dòng)、斷面形狀不變，且水深不變的長(zhǎng)直渠道內(nèi)的流動(dòng)等。 恒定均勻流的時(shí)變加速度和位變加速度都為零，即流體質(zhì)點(diǎn)的

11、慣性力為零，將作勻速直線運(yùn)動(dòng)。若總流為均勻流，其過(guò)水?dāng)嗝媸瞧矫?。這些均勻流的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，將給以后處理相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題帶來(lái)便利，因此在分析流動(dòng)時(shí)，特別關(guān)注流動(dòng)是否為均勻流的判別。是否接近均勻流？漸變流流線雖不平行，但夾角較小；流線雖有彎曲，但曲率較小。急變流流線間夾角較大；流線彎曲的曲率較大。 漸變流和急變流是工程意義上對(duì)流動(dòng)是否符合均勻流條件的劃分，兩者之間沒(méi)有明顯的、確定的界限，需要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)判定是否急變流示意圖五. 流動(dòng)按空間維數(shù)的分類(lèi)一維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)平面流動(dòng)軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng) 任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡(jiǎn)化和抽象，以便分

12、析處理。 直角系中的平面流動(dòng)： 流場(chǎng)與某一空間坐標(biāo)變量無(wú)關(guān)，且沿該坐標(biāo)方向無(wú)速度分量的流動(dòng)。xyoxyzou0u0大展弦比機(jī)翼繞流 二維流動(dòng)zro 柱坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(chēng)流動(dòng)：液體在圓截面管道中的流動(dòng)子午面 流動(dòng)要素只取決于一個(gè)空間坐標(biāo)變量的流動(dòng) 在實(shí)際問(wèn)題中，常把總流也簡(jiǎn)化為一維流動(dòng)，此時(shí)取定空間曲線坐標(biāo) s 的值相當(dāng)于指定總流的過(guò)水?dāng)嗝妫捎谶^(guò)水?dāng)嗝嫔系牧鲃?dòng)要素一般是不均勻的，所以一維簡(jiǎn)化的關(guān)鍵是要在過(guò)水?dāng)嗝嫔辖o出運(yùn)動(dòng)要素的代表值，通常的辦法是取平均值。s 一維流動(dòng)其流場(chǎng)為s 空間曲線坐標(biāo) 元流是嚴(yán)格的一維流動(dòng)，空間曲線坐標(biāo) s 沿著流線。六. 系統(tǒng)和控制體 由確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為系

13、統(tǒng)。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其空間位置、體積、形狀都會(huì)隨時(shí)間變化，但與外界無(wú)質(zhì)量交換。 有流體流過(guò)的固定不變的空間區(qū)域稱(chēng)為控制體，其邊界叫控制面。不同的時(shí)間控制體將被不同的系統(tǒng)所占據(jù)。 站在系統(tǒng)的角度觀察和描述流體的運(yùn)動(dòng)及物理量的變化是拉格朗日方法的特征，而站在控制體的角度觀察和描述流體的運(yùn)動(dòng)及物理量的變化是歐拉方法的特征。占 據(jù)有限體積 系統(tǒng) 流體團(tuán)微分體積 系統(tǒng)流體微團(tuán) 最小的 系統(tǒng)流體質(zhì)點(diǎn) 有限體積 控制體 微元 控制體 場(chǎng)點(diǎn)大 小33 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析 考察和分析流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位移和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。 談及相對(duì)運(yùn)動(dòng)就必須把討論問(wèn)題的尺度從流體質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)大到流體微團(tuán)。 給出在同一時(shí)刻流體微團(tuán)中任意兩

14、點(diǎn)速度之間的關(guān)系。分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。 一. 亥姆霍茲速度分解定理 在 M 點(diǎn)的一階臺(tái)勞展開(kāi)，以 x 方向分量為例。 dr 同理合并成矢量形式流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)間速度關(guān)系的一般形式。 亥姆霍茲速度分解定理主對(duì)角線上三個(gè)元素是線變形速率其余的是角變形速率流體的變形速率張量，是二階對(duì)稱(chēng)張量流體旋轉(zhuǎn)角速度矢量，它恰是流速場(chǎng)的旋度矢量的一半。旋度二. 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析 以 oxy 平面上的運(yùn)動(dòng)為例，解釋 E 和 的含義，進(jìn)而給出亥姆霍茲速度分解定理的物理意義，分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。MABAMBxyot t+dtdxdyMABAMBxyot t+dt 由 A 點(diǎn)相對(duì)于 M 點(diǎn)的 x 方向的速度差引起M

15、A 的伸長(zhǎng) =表示單位時(shí)間、x方向單位長(zhǎng)度流體線段的伸長(zhǎng)，即x方向的線變形速率。dxdyMABAMBxyot t+dtdxdyd1d2 , 直角 AMB 的減小: d1+d2=表示 oxy 坐標(biāo)面上流體直角減小速率的一半，也稱(chēng)為角變形速率 MABAMBxyot t+dtdxdyd1d2表示 oxy 坐標(biāo)面上兩直角邊旋轉(zhuǎn)的平均速率，即直角平分線的旋轉(zhuǎn)速率，也是 M 點(diǎn)處流體平均旋轉(zhuǎn)角速度矢量在 z 軸上的分量。 , 直角邊 MA，MB 的逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角度的平均值: 亥姆霍茲速度分解定理各項(xiàng)的物理意義： : 點(diǎn)的流速； : 點(diǎn)的流速； : 流體變形率張量 E 對(duì)兩點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的貢獻(xiàn)，包括線變形和角

16、變形； : 流體平均旋轉(zhuǎn)角速度 引起的兩點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。平移變形轉(zhuǎn)動(dòng)基準(zhǔn)點(diǎn)是展開(kāi)點(diǎn)M變形速度 轉(zhuǎn)動(dòng)速度 適用范圍流體剛體有因點(diǎn)而異流體微團(tuán)無(wú)不隨點(diǎn)變整個(gè)剛體 流體速度分解與剛體速度分解的異同 唯一的標(biāo)準(zhǔn)是看流速場(chǎng)是否滿(mǎn)足 ，寫(xiě)成分量形式為： 判別：三. 有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)旋度 無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)這個(gè)分類(lèi)是 很重要的無(wú)旋流動(dòng)有勢(shì)流動(dòng)等 價(jià) 稱(chēng)為速度勢(shì)函數(shù) 有旋流動(dòng)和有勢(shì)流動(dòng)的判別僅在于流速場(chǎng)的旋度是否為零。不要根據(jù)流線是直線或曲線來(lái)直觀判別，以免出錯(cuò)。流線是圓周，無(wú)旋流線是直線，有旋xyoxyo一. 三維流動(dòng)的連續(xù)性微分方程xyzodxdydzuxabcdabcd凈流入前后這一對(duì)表面的流體質(zhì)量為

17、在時(shí)間段dt 里，從 abcd 面流入微元體的流體質(zhì)量為從abcd面流出的流體質(zhì)量為34 連續(xù)性方程 連續(xù)性方程 質(zhì)量守恒定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)基本約束 用歐拉觀點(diǎn)對(duì)質(zhì)量守恒原理的描述：連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)必須維持質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)性，即質(zhì)點(diǎn)間不能發(fā)生空隙。因此，凈流入控制體的流體質(zhì)量必等于控制體內(nèi)因流體密度變化而增加的質(zhì)量。xyzodxdydzuzabcdabcd 同理可知，在時(shí)間段dt 里，沿著 y 方向和 z 方向凈流入左右和上下兩對(duì)表面的流體質(zhì)量分別為和uy三維流動(dòng)的連續(xù)性微分方程 在時(shí)間段dt 里，微元內(nèi)流體質(zhì)量的增加 根據(jù)質(zhì)量守恒原理簡(jiǎn)化或?qū)懗?對(duì)于不可壓縮流體的流動(dòng)（不論是恒定或非恒定），連續(xù)方程為 恒定流動(dòng)的連續(xù)方程速度場(chǎng)的散度流體微團(tuán)在三個(gè)互相垂直方向上的線變形速率之和，也是流體微團(tuán)的體積膨脹率。 連續(xù)方程 表明不可壓縮流體微團(tuán)在三個(gè)互相垂直方向上的線變形速率的總和必為零，若在一個(gè)方向上有拉伸，則必有另一個(gè)方向上的壓縮，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其體積不會(huì)發(fā)生變化。 試用微元分析法在極坐標(biāo)中寫(xiě)出平面流動(dòng)的微分形式連續(xù)方程duourrddrr 恒定條件下： 總流管的形狀、位置不隨時(shí)間變化。 總流內(nèi)的流體是不存在空隙的連續(xù)介質(zhì)，其密度分布恒定，所以這段總流管內(nèi)的流體質(zhì)量也不隨時(shí)間變化。 沒(méi)有流體穿過(guò)總