高等數(shù)學(xué)(7)多元函數(shù)微分學(xué)---簡明版

1、第六章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用 假設(shè)已經(jīng)搞懂了一元函數(shù)的微分（包括極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)概念）理論，那么這一章的主要任務(wù)就是弄清多元函數(shù)微分與一元函數(shù)微分的聯(lián)系與區(qū)別。 其中，從直線到平面的推廣或拓展，是最值得注意的。特別是與極限概念相關(guān)的部分。6.1多元函數(shù)的基本概念1. N維空間中的點(diǎn)集2. N維空間中點(diǎn)列的收斂3. 多元函數(shù)的定義4. 多元函數(shù)的極限5. 多元函數(shù)的連續(xù)性第六章第一節(jié)作業(yè)題1（2,4）；2；3（2,4,5,6）；4；5（3）；8.1 .n維歐氏空間點(diǎn)集（點(diǎn)集拓?fù)涞幕靖拍睿?2) 中兩點(diǎn)間的距離（歐式距離或度量）定義；歐氏（向量）空間，向量的模。(1) n元有序數(shù)組所組成的集合

2、（n維空間與n維點(diǎn)）.(3) 歐氏空間中的某些基本拓?fù)涓拍睿海╥i）歐式空間一個(gè)子集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)和邊界；集合的聚點(diǎn)。（iii）開集、閉集、（弧或道路）連通集；（開）區(qū)域（連通開集）、閉區(qū)域（開區(qū)域加上邊界）。（iv）有界集、無界集。去心鄰域；一般的鄰域概念。 （i） -鄰域；2. n維歐式空間中點(diǎn)列的收斂（n維空間中的極限）（1）n維歐式空間中點(diǎn)列收斂的定義（ 語言）（2）n維空間點(diǎn)列收斂的坐標(biāo)刻畫（定理6-1）.（3）點(diǎn)列收斂的某些基本性質(zhì)：極限的唯一性、點(diǎn)列有界性；極限與加、減、乘運(yùn)算的可交換性。注：由于在n維空間中沒有序（大?。┑囊?guī)定，也沒有除法，所以沒有所謂單調(diào)性，保號(hào)性，確界

3、和除法的討論。（4）n維空間中的柯西列，以及點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則（即n維歐式空間的度量完備性-定理6-2）。（5）由點(diǎn)列極限刻畫集合聚點(diǎn)-極限點(diǎn)（定理6-3）。3.多元函數(shù)（1）多元函數(shù)的定義-本質(zhì)上就是n維空間某個(gè)子集到實(shí)數(shù)集的映射。 符號(hào)與概念:自變量、因變量、定義域、值域（這個(gè)集合的表示）；自然定義域約定?！纠?-1】一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p，體積V和絕對(duì)溫度T之間具有關(guān)系 , 其中R為常數(shù).【例6-2】長方體體積V是它的長x，寬y，高z的三元函數(shù)【例6-3】求函數(shù) 的定義域.（2）多元初等函數(shù)。（3）多元函數(shù)的圖-曲面與超曲面概念（參見書中圖6-2），二元（連續(xù)）函數(shù)的圖像。4.多元函數(shù)

4、的極限（本章的難點(diǎn)大多在這一節(jié)） 注：多元函數(shù)的極限，在本質(zhì)上與一元函數(shù)的極限是一致的。但是在某些形式和性質(zhì)上卻往往有很多區(qū)別。多元函數(shù)的極限與二元函數(shù)的極限，無論是性質(zhì)和形式，差異都很小。所以這里以二元函數(shù)為主介紹相關(guān)內(nèi)容。（1）多元函數(shù)極限的定義（ 語言定義-定義6-4 ）（注：在二維空間情況下記為 ）即則稱常數(shù)是函數(shù)在時(shí)的極限。記為設(shè)是定義在 上的n元函數(shù)，。如果是 的聚點(diǎn)注：經(jīng)常記特別的，在n=2時(shí)，根據(jù)上面的記法，并記則上述極限可以記作或者注意：上述極限-稱為重極限-的刻畫，也可以利用空間的矩形鄰域，用各個(gè)坐標(biāo)之間的距離描述?！纠?-4】用定義證明（2）例與反例【例6-5】設(shè) 討論當(dāng)

5、(x,y) (0,0)時(shí)，f (x,y)的極限是否存在？ 從下面例子可以看出，多元函數(shù)的極限，情況遠(yuǎn)比一元函數(shù)極限的情況復(fù)雜?！纠?-6】求注：為什么多元函數(shù)的極限比較復(fù)雜呢？ 僅考慮二維的情況，二維點(diǎn)可以從平面的任何方向趨近于定點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于這些不同的趨近路線，函數(shù)取值的變化可能千差萬別。而在一維情況下，函數(shù)自變量只有兩個(gè)方向趨近于定點(diǎn)，易于觀察和驗(yàn)證。下面是可以按常規(guī)算法求極限的幾道例題。【例6-8】求【例6-7】求（3）累次極限概念。問題：請(qǐng)考察下面三個(gè)符號(hào)，；討論一下，它們所表達(dá)的是什么意思？有區(qū)別嗎？定義（6-5）-累次極限概念（從二次推廣到n次）。從幾何直觀考慮累次極限與重極限的區(qū)別。

6、 （4）累次極限與重極限之間的某些關(guān)系（i）重極限存在不意味著累次極限存在，例如：當(dāng)自變量趨近于0時(shí)，其累次極限都不存在，但是重極限為0. 注：請(qǐng)從函數(shù)的圖像觀察一下上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。（ii）累次都極限存在，變換順序也可不相等。考察函數(shù)（自變量趨近于0）.（v）兩個(gè)相互關(guān)聯(lián)的結(jié)論： 若重極限與累次極限都存在，則它們不能不相等；反之，如累次極限存在且不相等，則重極限不能存在。（iv）累次極限存在且相等，重極限也可能不存在。其累次極限均為0，但重極限不存在。直觀說明：如果兩個(gè)累次極限不相等，那么從函數(shù)的圖像可以看出，在接近z軸的時(shí)候，圖像一定有斷裂（或上下撕裂）的現(xiàn)象，重極限不可能存在。時(shí)，觀察

7、函數(shù)例：當(dāng)（iii）一個(gè)累次極限存在，另一個(gè)也可能不存在。例：考察函數(shù)1.計(jì)算下列極限（考慮累次極限，留作練習(xí)）： 2.判斷 該極限是否存在，若認(rèn)為不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，極限是什么？ 3.討論 的情況。附錄-一點(diǎn)補(bǔ)充：關(guān)于累次極限和重極限的關(guān)系。 前面僅僅討論了二元函數(shù)的累次極限與重極限之間的部分關(guān)系，并沒有全面展開。但不妨礙自己探討。 有同學(xué)提出：假設(shè)重極限和某個(gè)累次極限存在，是否這兩個(gè)極限也必然是相等的。這是對(duì)的。下面給出證明。假設(shè)函數(shù)滿足如下關(guān)系： 下面證明 。用反證法，假設(shè) ，將推出矛盾 。記 由于重極限存在并且 ，存在 ，當(dāng) 時(shí)， 。記因此有 由于 所以存在 ，先取定 。由（1

8、）式，可取 0,滿足（1）再取 ，于是有下面關(guān)系式成立：這與 矛盾。注：以上，其實(shí)也證明了累次極限都存在，則這些極限都相等。 但是，一個(gè)累次極限與重極限存在（則相等），并不能推出另一個(gè)累次極限存在。可自行舉例。（1）多元函數(shù)連續(xù)的定義（ 語言定義-定義6-6）即是 的聚點(diǎn)，并且屬于，如果也就是元函數(shù)，設(shè) 是定義在 上的n（注：在二維空間情況下記為 ）則稱函數(shù)在 點(diǎn)處是連續(xù)的。5.多元函數(shù)的連續(xù)性 對(duì)照一元函數(shù)函數(shù)連續(xù)的定義，可以看出，這里的多元函數(shù)連續(xù)定義，并沒有本質(zhì)區(qū)別。所不同的是，這里的點(diǎn)不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)“多維點(diǎn)”，它是由n個(gè)數(shù)描述的。因此在具體分析多元函數(shù)連續(xù)性的時(shí)候，所要分析的情形

9、也可能復(fù)雜一些。 比如說，下面用函數(shù)增量的形式表述多元（這里以二元函數(shù)為例）函數(shù)的連續(xù)性，就會(huì)產(chǎn)生一些新的概念。記；。則二元函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)就是這里的被稱為函數(shù)的全增量。注1：這里所謂函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)，與一元微積分中一樣，不要求這個(gè)點(diǎn)屬于定義域，只要求屬于定義域的聚點(diǎn)集。不連續(xù)點(diǎn)也可能不是孤立點(diǎn)（例如一條線）。注2：如果多元函數(shù)在某個(gè)集合上有定義，并且該集合中的每個(gè)點(diǎn)都是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，則稱這個(gè)函數(shù)在該集合上是連續(xù)的（盡管在定義域外可能有不連續(xù)點(diǎn)）。（2）連續(xù)函數(shù)的某些性質(zhì)（i）對(duì)四則運(yùn)算的封閉性-初等函數(shù)的連續(xù)性。【例6-9】求（ii）有界閉集上的多元連續(xù)函數(shù)具有：最值性；一致連續(xù)性。（iii

10、）在連通集（區(qū)域）上的連續(xù)函數(shù)具有介值性。注：（ii）的證明，涉及到有界閉集的緊性-既滿足有限覆蓋性質(zhì)（每個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋）。（iii）的證明，涉及到連續(xù)映射保持連通性，以及實(shí)數(shù)子集連通的充要條件是該子集是一個(gè)區(qū)間。注：考慮函數(shù)的連續(xù)性以及定義域的區(qū)域。復(fù)習(xí)題6-1（1）討論在 時(shí)是否存在極限？若存在，其極限與k的取值是否相關(guān)？若不存在，請(qǐng)說明理由。習(xí)題6.1-6. 假設(shè)二元函數(shù)關(guān)于一個(gè)變量連續(xù)，關(guān)于另一個(gè)變量滿足李普希斯條件。證明該函數(shù)是連續(xù)的。討論：如果二元函數(shù)關(guān)于每個(gè)單個(gè)變量是連續(xù)函數(shù)，是否可以認(rèn)為這個(gè)函數(shù)是連續(xù)的二元函數(shù)？6.2 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)1.偏導(dǎo)數(shù)2.高階偏導(dǎo)數(shù)第六章第

11、二、三節(jié)作業(yè)題第二節(jié)：1;2（2,4,6）；3（2）；4；5；6；7;9（2，4）；10；12.第三節(jié)：1；2（3,5,6）；4；5（2）；6；8；11.1.偏導(dǎo)數(shù)（1）偏導(dǎo)數(shù)的定義與派生概念多元函數(shù)關(guān)于第i個(gè)自變量的偏增量、以及對(duì)第i個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)、可偏導(dǎo)。（以二元、三元函數(shù)為例）及其記號(hào)。偏導(dǎo)函數(shù)（i）在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)記法：（ii）偏導(dǎo)函數(shù)的記法：等。（2）偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義（3）偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法-將其它變量看做參數(shù)即可【例6-10】設(shè) z=ln(x+lny)，求【例6-11】設(shè) 求【例6-12】設(shè) 驗(yàn)證【例6-13】求 的偏導(dǎo)數(shù).【例6-14】設(shè)一金屬平板在點(diǎn)(x,y)處的溫度由 確定，其中

12、T的單位是，x,y的單位是m，求T在點(diǎn)(2,1)處沿x方向和y方向的變化率.2.高階偏導(dǎo)-混合偏導(dǎo)（1）高階偏導(dǎo)、二階混合偏導(dǎo)、高階混合偏導(dǎo)。（2）混合偏導(dǎo)與求導(dǎo)順序無關(guān)的問題（證明略）例：成立的條件是相關(guān)的各階偏導(dǎo)函數(shù)都連續(xù)。注意記法中的順序關(guān)系：【例6-15】求函數(shù) z=xsin(x+y)+ycos(x+y) 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)【例6-17】驗(yàn)證函數(shù) 滿足方程注：拉普拉斯方程。關(guān)于6-16例題的計(jì)算和說明： 這里需要注意的是，無論是一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算還是二階混合偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，涉及到（0,0）點(diǎn)，都需要按照偏導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算。 因?yàn)楹瘮?shù)在（0，0）點(diǎn)的定義，不是直接根據(jù)解析表達(dá)式給出的?！纠?-1

13、6】設(shè)函數(shù)求6.3全微分與高階全微分1.一階全微分概念2.一階全微分的幾何意義3.連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系4.計(jì)算與應(yīng)用5.高階全微分1.全微分（一階）概念（1）回顧一元函數(shù)微分的定義。（2）全增量的代數(shù)解釋：是關(guān)于的一個(gè)二元函數(shù)。注：思考一下這個(gè)二元函數(shù)的局部圖像（注意自變量是 ）。例如函數(shù) ，其全增量為這個(gè)函數(shù)的圖像是一個(gè)越來越彎曲（隨著 不斷增大）的曲面。（3）全微分 的定義-可微與可微函數(shù)；由不難看出，這里的全微分是一個(gè)線性函數(shù)。但是它在一個(gè)局部區(qū)域，與二元函數(shù) 十分接近。令顯然這是一個(gè)平面方程。經(jīng)過曲面上的點(diǎn)換句話說，如果我們用全微分代替原來函數(shù)的全增量 ，就是在以一個(gè)平面代替原

14、來的曲面。而這個(gè)平面與曲面交于點(diǎn) 為了看的更清楚，先討論這里的常數(shù)A和B是什么？如果可微，上述微分式中有：下面先將主要的關(guān)系陳列出來，再具體討論。多元函數(shù)相比于一元函數(shù)，情況要復(fù)雜一些。3.連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微之間的關(guān)系 現(xiàn)在起碼知道，如果函數(shù)在這一點(diǎn)可微，已有兩條曲面上曲線的切線在這個(gè)平面上了。(參見6.8.2)2.全微分的幾何意義-貼近曲面的平面（圖6-5）（1）過點(diǎn) ，法向量為 的平面。（2）切平面概念（合理的要求是：曲面上曲線的切線在其切平面上）。注：前面討論，已知這個(gè)平面就是用全微分代替全增量所得到的那個(gè)平面。注：能否認(rèn)為上述平面就是曲面的切平面呢？（3+）函數(shù)連續(xù)+可偏導(dǎo)，不保證函數(shù)

15、可微；（4）偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則函數(shù)可微（逆命題不成立）。（已證明了） ；（1）連續(xù)不一定可偏導(dǎo)（與一元函數(shù)相似之處）；（2）可偏導(dǎo)不一定連續(xù)（與一元函數(shù)不同）；（3）可微必連續(xù)、可偏導(dǎo)，并且全微分必為說明：（i）關(guān)于（1）的例：連續(xù)，但關(guān)于y,在點(diǎn)（0,0）處不可偏導(dǎo)。（ii）關(guān)于結(jié)論（2）的例：考慮函數(shù)該函數(shù)在（0，0）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，但在該點(diǎn)不連續(xù)。也是關(guān)于兩個(gè)自變量單獨(dú)分別連續(xù)的例子。 分別考慮二維點(diǎn)沿著x=0和 趨近于（0，0）時(shí)的極限，可知函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)。 二元函數(shù)由二維（平面）區(qū)域的取值所確定。而兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的存在僅僅由函數(shù)在與坐標(biāo)軸平行的兩條直線上的取值情況所決定，無法決定函

16、數(shù)的整體形態(tài)。（iii）結(jié)論（3）-可微的必要條件-的證明（定理6-5）。注意：如記（iii+）函數(shù)連續(xù)，且可偏導(dǎo)，但是不可微的例子。則【例6-18】證明函數(shù)在O(0,0)處存在偏導(dǎo)數(shù)，但卻不可微.簡述：注意到此外，在（0,0）點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是0，于是；顯然，它沒有確定的極限，當(dāng)然也不能以0為極限。（iv）可微的充分條件-定理6-6的證明注：證明的關(guān)鍵點(diǎn)在于，由偏導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，當(dāng)時(shí)，所以 都是 的高階無窮小。（iv+）可微推不出來偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，考慮函數(shù)因?yàn)?；。所以它顯然是時(shí)，關(guān)于 的高階無窮小。但是也顯然在（0,0）點(diǎn)不連續(xù)。（5）微分中值公式與增量公式（i）微分中值公式只要函數(shù)可偏導(dǎo)（

17、有偏導(dǎo)函數(shù)），則其中 。 注：這個(gè)公式不意味函數(shù)可微。（ii）增量公式 當(dāng)函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的時(shí)候，便有（見前面可微充分條件的討論與符號(hào)說明）：這提供了近似計(jì)算的方法。在上面的證明中，附帶得到如下結(jié)果：4.全微分的計(jì)算與應(yīng)用注：關(guān)于四則運(yùn)算的全微分計(jì)算公式，和一元函數(shù)微分計(jì)算公式在形式上完全一樣，可自行驗(yàn)證?！纠?-19】計(jì)算 在點(diǎn)(2,1)處的全微分.【例6-20】計(jì)算函數(shù) 的全微分. 下面本質(zhì)上是求全微分函數(shù)（不僅是某點(diǎn)處的微分）：【例6-21】求下列函數(shù)的全微分：（iii）近似計(jì)算與誤差估計(jì)【例6-22】求 的近似值.解：考慮函數(shù) ，取定點(diǎn)為（1,2,3），然后代入微分公式?！纠?-23

18、】利用單擺擺動(dòng)測定重力加速度g的公式是 現(xiàn)測得單擺擺長l與振動(dòng)周期T分別為l=1000.1cm, T=20.004s，問由于測定l與T的誤差而引起g的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差各為多少？給出 的絕對(duì)誤差估計(jì) ，一般可以用全微分。這里可以更寬松些，令，則可得絕對(duì)誤差估計(jì)。其相對(duì)誤差估計(jì)為 。5.二階與高階全微分如果偏導(dǎo)數(shù)還可微，則有進(jìn)一步，可以歸納定義高階微分：從二階全微分公式不難看出更高階的全微分表示顯然會(huì)比較繁復(fù)。 而且，顯然多元函數(shù)的研究，將會(huì)和矩陣?yán)碚撁芮嘘P(guān)聯(lián)。因?yàn)榫仃嚕鋵?shí)就是某種意義上的“高維”數(shù)?！纠?-24】設(shè) 求附錄. 討論下面習(xí)題的解法（教材6-2第10題）：設(shè)函數(shù)：計(jì)算：6.4 多

19、元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法1.鏈?zhǔn)椒▌t2.全微分形式不變性3.隱函數(shù)存在定理的與隱函數(shù)求導(dǎo)法則第六章第四、五節(jié)作業(yè)題第四節(jié)：1(1,4);2(1);3;4(1,4);5;6(1,3);7(2);8;9(1)第五節(jié)：1(2，3);2;3(2);4.1 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t多元復(fù)合函數(shù)情況復(fù)雜，基本類型大體可有四類。下面先將這幾類情況做一簡介。僅以二元函數(shù)為例，三元函數(shù)或一般n元函數(shù)可以類推。（1）（多套多型）：設(shè)于是復(fù)合函數(shù)為：（1）。（2）（一套多型）：設(shè)復(fù)合為（2）。（3）（多套一型）設(shè)復(fù)合函數(shù)為（4）（偏復(fù)合-或部分復(fù)合型）復(fù)合函數(shù)為（3）.（4）. 下面將證明“多套多型”的復(fù)合求導(dǎo)

20、公式，給出其它計(jì)算公式。并特別說明所謂“偏復(fù)合型”函數(shù)求導(dǎo)公式中的符號(hào)約定。設(shè)有函數(shù)假設(shè)所涉及的函數(shù)都是可微的。（1+）多套多型復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式（矩陣表達(dá)）僅說明第一個(gè)分量等式的證明關(guān)鍵。記并注意到在每個(gè)點(diǎn)處都是存在的。因此可知，再利用全增量公式，可得【例6-25】（多套多型）的偏導(dǎo)數(shù).求函數(shù)【例6-28】設(shè) 其中f (u)為可導(dǎo)函數(shù)，求（2+）“一套多型”-（2）式的求導(dǎo)公式這種情況與一元復(fù)合函數(shù)情況基本相同。但要注意這里的符號(hào)表示（全導(dǎo)符號(hào)）。（3+）多套一型-（3）式的求導(dǎo)公式（全導(dǎo)數(shù)）【例6-27】設(shè) ，而 ，求全導(dǎo)數(shù)（4+）偏復(fù)合型-（4）式的求導(dǎo)公式首先對(duì)（4）式的含義做一些說明。

21、只是一個(gè)二元函數(shù)，但是在這里卻是被看做一個(gè)三元函數(shù)。所以如下符號(hào)表示僅對(duì) 中出現(xiàn)的x求導(dǎo)，將u看做常數(shù)。換句話說，這里的三個(gè)變量， 在函數(shù)表達(dá)式 中，是被看做相互獨(dú)立無關(guān)的?？深愃瓶紤] 類型的函數(shù)?！纠?-26】設(shè)求而 所表示的，則是對(duì)對(duì)于有更多變元的偏復(fù)合型函數(shù)的求導(dǎo)公式，可類似得到。中所出現(xiàn)的所有x 求導(dǎo)。這里沒有 ，僅僅是將函數(shù)中出現(xiàn)的y 看做常數(shù)。根據(jù)這樣的約定，注意到微分 ，可得（4）式的求導(dǎo)公式：【例6-29】設(shè)求（v）復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 從計(jì)算角度講，求具體函數(shù)高階導(dǎo)已沒有困難。無非是繼續(xù)利用前面的各種計(jì)算公式。 但是在做一般討論-即表述抽象函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的公式時(shí)-其表達(dá)式還是會(huì)比

22、較復(fù)雜。因此有必要細(xì)心辨析。并且為了簡化表式，有時(shí)也會(huì)引入一些新的符號(hào)。如【例6-30】設(shè) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求等等。2 一階全微分形式不變性 與一元函數(shù)的微分形式不變性一樣，多元函數(shù)的一階全微分形式無論是由中間變量增量表示，還是由初始變量增量的表示，它們均可以由形式等式相互轉(zhuǎn)化。例如對(duì)于（1）式，可驗(yàn)證其全微分有如下關(guān)系：【例6-31】設(shè) 其中 均有二階導(dǎo)數(shù)，證明【例6-32】設(shè) 求注：設(shè)，利用；以及 ，便可同時(shí)求得兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)。注：顯然對(duì)于高階微分，不具有類似的形式不變形。利用這個(gè)關(guān)系。可以簡化某些偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算過程。這個(gè)關(guān)系，便稱為一階全微分形式不變性。即無論是用中間變量還是初始變量表示。因

23、變量微分（在形式上）都是相等的， 附錄1.為了簡明和以后的應(yīng)用，這里提前引入雅比各行列式與雅各比矩陣的概念和符號(hào)。設(shè)有向量值函數(shù)（其實(shí)也就是一組可以看做具有相同自變量的函數(shù)）：（1）記（i）向量值函數(shù)的雅各比矩陣則向量值函數(shù)可以簡記為注：雅各比矩陣就相當(dāng)于向量值映射的“導(dǎo)數(shù)”或“偏導(dǎo)”。所以這里才用偏導(dǎo)符號(hào)表示雅各比矩陣。下面表示的矩陣稱為映射 關(guān)于 （或關(guān)于自變量 ）的雅各比矩陣也僅在這里這樣表示，其它地方還是用標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)。如果有映射關(guān)系 ，則有雅各比矩陣類似還有（注：雅各比矩陣對(duì)自變量個(gè)數(shù)沒有限制）：（ii）雅各比行列式 如果雅各比矩陣是方陣，比如說是m乘m矩陣。如前面的則該矩陣的行列式便稱

24、為雅各比行列式，并記為 附錄2-討論由方程組確定的隱函數(shù)偏導(dǎo)計(jì)算 設(shè)存在無法給出顯示解析表達(dá)式的函數(shù)關(guān)系使得如下方程組成立（設(shè)方程組有可偏導(dǎo)的表達(dá)式）試?yán)梅匠探M給出下列偏導(dǎo)數(shù)（的表達(dá)式）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)公式可以得到如下關(guān)系：于是得到兩個(gè)二元方程組（用矩陣表示）分別為：很顯然，兩個(gè)方程組要是有唯一解，其充要條件是雅各比矩陣滿秩，或它的行列式不為0， 即 利用雅各比矩陣，上述兩個(gè)方程還可以表示為： 有了上述表示方式，再根據(jù)克萊姆法則，我們可以得到方程組的解是：注：記這里的系數(shù)矩陣（雅各比矩陣）的行列式為而方程組的解是：如果將上述兩個(gè)方程組合并表示，得矩陣方程：由雅各比表示，表現(xiàn)出形式上的簡明和

25、關(guān)系規(guī)律 如果記 ，引用我們關(guān)于向量映射偏導(dǎo)符號(hào)或雅各比矩陣，上述方程還可以表示為： 仔細(xì)觀察上面給出隱函數(shù)偏導(dǎo)公式的表示規(guī)律，現(xiàn)在可以直接給出更一般的情況。設(shè)有函數(shù)組：確定了隱函數(shù)關(guān)系：如果這些函數(shù)都是可導(dǎo)的，則其導(dǎo)數(shù)公式為：注：這里當(dāng)然要假設(shè)取倒數(shù)的行列式非0. 附錄3-回顧-函數(shù)曲面的切平面： 講解下一節(jié)內(nèi)容之前，復(fù)習(xí)一下原來學(xué)過的知識(shí)。 在說明二元函數(shù)微分的幾何意義時(shí)，我們曾經(jīng)提到過函數(shù) 的圖像所表示的曲面，在點(diǎn) 處的切平面由如下方程表示，于是該曲面在 點(diǎn)處切平面的法向量是3.隱函數(shù)存在定理及其求導(dǎo)法則 隱函數(shù)有多種表示形式，有一些顯得挺復(fù)雜。并且在判斷某些情況下是否存在隱函數(shù)關(guān)系，也

26、不是那么顯然。這一節(jié)主要討論兩種情況：（1）由一個(gè)方程表示的多元函數(shù)關(guān)系；（2）由一組方程表示的多元（向量值）函數(shù)（分兩種情況-二維向量值與一般m維向量值情況）。 對(duì)于這兩種情況，證明都比較繁瑣、復(fù)雜，所以我們不給出證明。僅給出直觀解釋。（1+）由方程確定隱函數(shù)的條件 下面討論定理6-10（隱函數(shù)存在定理1），設(shè)有方程（1）也可以表示為： 。 于是問題在于是否存在某個(gè)函數(shù)關(guān)系使得。 一般來說，對(duì)這個(gè)問題的討論，主要是限制在局部情況。假設(shè)有一點(diǎn) ，使得其中，所要探討的問題就是：是否存在 的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)方程（1）確定里了 與 之間一個(gè)函數(shù)關(guān)系。下面從代數(shù)和幾何直觀這兩個(gè)角度解釋這個(gè)問題。

27、引入向量記號(hào)，則上述方程（i）代數(shù)解釋-在某個(gè)區(qū)域內(nèi)，給定一點(diǎn)代入方程（1），如果總可以求得唯一的一個(gè) 的值，比如說 ，使得 ，這便意味著在該區(qū)域內(nèi)方程（1）確定了一個(gè)函數(shù)關(guān)系；反之，假設(shè)對(duì)于該區(qū)域內(nèi)的某些 ，由方程（1）可以得到不少于兩個(gè) 的值滿足方程，或者沒有 的值可滿足方程，就意味著在該區(qū)域，方程（1）不能表示 與 之間的（隱）函數(shù)關(guān)系。（ii）幾何解釋-為了簡明起見，我們假設(shè)方程（1）中只有兩個(gè)變元x 與y。于是 表示三維空間中的一個(gè)曲面。而方程（1），其實(shí)就是這個(gè)曲面在xOy平面上的截痕，是一條曲線。而曲面在 點(diǎn)處切平面的法向量是這個(gè)向量不與y軸垂直的充要條件是：由此我們便得到“隱函

28、數(shù)存在定理1”：假設(shè)函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ，并且則在 的某個(gè)鄰域內(nèi)，由方程（1）確定唯一連續(xù)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 。 從直觀上看，此時(shí)曲面的截痕，便給出一個(gè)y=f(x)類型的函數(shù)曲線。注：幾何直觀解釋，并不是真正的證明。但是這個(gè)直觀卻是給出嚴(yán)格邏輯證明的基礎(chǔ)。嚴(yán)格的邏輯語言（或者說代數(shù)）證明，主要用到具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)的基本知識(shí)。但是對(duì)于高維情況（見后面的隱函數(shù)存在定理2、3），還需要某些線性代數(shù)知識(shí)。在上述條件下，不僅僅可以證明隱函數(shù)存在，還可證明該隱函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這里不再詳述。 而隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算，我們前面根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)的法則，已經(jīng)詳細(xì)討論過此類計(jì)算。記函數(shù)就是由方程（1）所確定

29、的隱函數(shù)關(guān)系。代入（1）即附：在某本經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中有如下一個(gè)推導(dǎo)顯然與上面的公式（2）相差一個(gè)負(fù)號(hào)。 討論一下，問題在哪里？（2）有了相關(guān)法則，計(jì)算基本是程序化的。兩邊分別對(duì) 求導(dǎo)，得【例6-33】驗(yàn)證方程 在點(diǎn)(0,0)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)y=f (x)，并求此函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在x=0的值.【例6-34】設(shè) z=f (x,y)是由方程 所確定的隱函數(shù)，試求【例6-35】設(shè) z=z (x,y)是由方程 所確定的隱函數(shù)，其中F有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且aF1+bF20，證明（注：可由公式計(jì)算或利用鏈?zhǔn)椒▌t-即復(fù)合還是隱式）（2+）由方程組確定的隱函數(shù)（映射）（1）設(shè)有如下方程組（1）

30、（這里是用向量的形式表示）： 探討的問題是：其中的 ，在何種條件下可以表示為 的函數(shù)。如果記則（1）式可以記為于是問題就可以敘述為：是否存在一個(gè)向量值函數(shù)滿足關(guān)系：當(dāng)且僅當(dāng)。（2）（3） 其相關(guān)的結(jié)論，與上面由一個(gè)方程給出的情況完全類似。特別是利用我們在這里引入的關(guān)于向量值映射偏導(dǎo)符號(hào)，其隱映射存在的條件在表示形式上，與上面定理的條件幾乎完全一樣。注：為了簡明，自變量中的向量不再用轉(zhuǎn)置表示。（iii）隱函數(shù)（隱映射）存在定理（多維映射） 如果點(diǎn) 是方程（8）的解，并且在該點(diǎn)處雅各比行列式不為0，即雅各比矩陣 滿秩，則在該點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)，由方程（8）可確定一組連續(xù)可偏導(dǎo)的函數(shù) 注：其偏導(dǎo)計(jì)算公式早

31、已討論過了，不再重述。 盡管看上去定理的形式似乎比較復(fù)雜，但是在具體計(jì)算的時(shí)候，卻并非那么繁瑣。除非要判斷某個(gè)定點(diǎn)附近是否存在隱函數(shù)，通常并不需要用雅各比行列式進(jìn)行判斷。求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際就是利用鏈?zhǔn)椒▌t，按照隱函數(shù)求導(dǎo)的方式計(jì)算。一般也不必計(jì)算所有那些公式中的雅各比行列式，結(jié)果往往是在計(jì)算時(shí)自然得到的?！纠?-36】設(shè) 求注：這里可按照兩種程序計(jì)算。除了利用鏈?zhǔn)椒▌t（公式），也可以利用求全微分的形式（由一階全微分的形式不變性）得到所需方程組，求得偏導(dǎo)數(shù)。 小結(jié)： 學(xué)過本節(jié)，需要熟悉的是雅各比矩陣和雅各比行列式的組成方式（注：轉(zhuǎn)置Nabla算子對(duì)數(shù)值函數(shù)的作用的結(jié)果，是一個(gè)數(shù)值函數(shù)的雅各比

32、矩陣）； 熟練運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)； 熟悉隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式； 記住隱函數(shù)存在定理的基本條件（充分條件）。第五節(jié)：方向?qū)?shù)與梯度1.方向?qū)?shù)；2.多元函數(shù)的梯度1.方向?qū)?shù)與梯度 函數(shù)是在平面上定義的。從定點(diǎn) 出發(fā)，其四面八方有無窮多個(gè)方向。從任何一個(gè)方向引一條直線（路徑），考察函數(shù)的變化率，對(duì)于現(xiàn)實(shí)來說也是很有意義的。 那么如何能夠表示函數(shù)在定義域中任何一條過定點(diǎn)的直線上的變化率呢？考慮這個(gè)問題，就產(chǎn)生了方向?qū)?shù)的概念。 問題的提出：設(shè)二元函數(shù) 在點(diǎn) 處可微，顯然函數(shù)關(guān)于兩個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都是存在的。但是，我們知道，偏導(dǎo)數(shù)僅僅是沿著與坐標(biāo)軸平行的方向。（1）方向?qū)?shù)的定義與

33、記法設(shè)有射線 從定點(diǎn)出發(fā)，其方向向量為則該射線的參數(shù)表示為（ii）符號(hào)記法顯然這里的 是點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離 。（i）方向?qū)?shù)的定義-注意兩個(gè)極限定義式的表示，后者有時(shí)不夠明確，但是一般無影響（僅需注意 與 之比，分別是某特定夾角的余弦和正弦 ）。即（iii）與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別-注意方向?qū)?shù)的定義，不是簡單差商的極限。所做的商，其分母是距離。比如沿著橫軸平行方向，從定點(diǎn)左側(cè)所求的方向?qū)?shù)，與偏導(dǎo)數(shù)會(huì)相差一個(gè)符號(hào)。 提示：考慮在一元函數(shù)定義方向?qū)?shù)，會(huì)出現(xiàn)什么情況。方向?qū)?shù)存在但偏導(dǎo)數(shù)不存在的例子?？紤]函數(shù)在（0,0）點(diǎn)處的情況。（iv）可微函數(shù)方向?qū)?shù)的存在性與計(jì)算公式。定理6-13（v）方向?qū)?shù)在高

34、維的推廣以及計(jì)算公式?！纠?-37】求函數(shù) 在點(diǎn)P(0,1)處沿著從點(diǎn)P(0,1)到點(diǎn)Q(-1,2)的方向的方向?qū)?shù).（2）梯度概念 一個(gè)問題：從定義我們可以看出，方向?qū)?shù)的大小刻畫了函數(shù)在給定方向向上“爬坡”的速率。那么在那個(gè)方向上爬坡的速率最高呢？根據(jù)前面導(dǎo)出的方向?qū)?shù)公式，有（1） 設(shè)n元函數(shù)函數(shù)是可微的，射線 的單位方向向量為如果引入向量值函數(shù)符號(hào)（注意在某點(diǎn)處取值的記法）則（1）式表示為向量的內(nèi)積形式很顯然，只有當(dāng)方向向量與向量 同向時(shí)，方向?qū)?shù)最大。 指向了函數(shù)“爬坡”（其反方向是“下坡”）速率最高的方向。所以給這個(gè)向量一個(gè)很貼切的名稱函數(shù)的梯度（注意：教材中將梯度表示為列向量，但

35、是有時(shí)卻又疏忽，以行向量表示）。【例6-38】求函數(shù) 在點(diǎn)P(1,2,-1)處，分別沿著什么方向時(shí)方向?qū)?shù)取得最大值和最小值？并求出其最大值和最小值. 不難看出，當(dāng)自變量增量總值（即與定點(diǎn)距離）固定時(shí)，沿梯度方向的全微分也是最大的。關(guān)于梯度符號(hào)與Nabla算子符號(hào) 的約定說明。 由于本教材中提到向量的時(shí)候，基本都是表示為列向量，所以我們在這里也將算子符號(hào) 由列向量的形式表示，即（假設(shè)函數(shù)有n個(gè)自變量）：我們還約定 這也還是Nabla算字符號(hào)，不過是以行向量的形式表示而已。下面說明其運(yùn)用方式。 假設(shè) 與 分別是是n元數(shù)值函數(shù)和向量值映射。于是約定 并約定：稱為函數(shù) 的海森矩陣。第六節(jié)：向量值函數(shù)

36、微分法1.概念；2.極限與連續(xù)；3.微分法（向量值函數(shù)）；4.多元函數(shù)的泰勒公式。6-6:1,3,5,66-7:1(2,3);2;3(2);46-8:1(2,4);2;3(2);4;5第六章6,7,8節(jié)作業(yè)題 前面我們曾經(jīng)使用過向量值函數(shù)的符號(hào)和概念，事實(shí)上，向量值函數(shù)在現(xiàn)實(shí)中有大量的應(yīng)用。其符號(hào)記法使得很多較復(fù)雜問題的表述簡單化，給數(shù)學(xué)研究帶來很多方便。 1.概念：一個(gè)從n維空間 的子集到m維空間 的映射，便稱為一個(gè)向量值函數(shù)。 (1)符號(hào)約定：我們用如下一些符號(hào)表示向量空間中的點(diǎn)，并且也表示這些向量空間中的向量（列向量表示）：一個(gè)向量值函數(shù)（映射）實(shí)際上就是由m個(gè)n元函數(shù)的有序組（組成的列

37、向量），即記則向量值函數(shù)可以記為（2）線性映射與線性變換（i）線性映射的定義；（ii）線性變換的表示（矩陣的意義）-見例6-39。其中 稱為 的分量函數(shù)。（iii）全微分與線性映射（變換）-從一維到高維?！纠?-39】 就是一個(gè) 的線性向量值函數(shù)，其坐標(biāo)函數(shù)為函數(shù)可寫成2.向量值函數(shù)極限與連續(xù)（1）定義-分量式定義與整體式定義；（2）連續(xù)向量值映射的運(yùn)算-線性運(yùn)算與內(nèi)積；（3）復(fù)合的連續(xù)性。3.向量值函數(shù)的微分法（1）向量值函數(shù)的偏導(dǎo)；（2）向量值函數(shù)的微分（全微分）注：自變量微分符號(hào)（向量），與距離的高階無窮?。粌啥x的等價(jià)，簡略說明。（i）分量式定義：（ii）整體式定義-正式定義（3）向量

38、值函數(shù)微分中的線性映射（矩陣A）是啥樣？-雅各比矩陣（4）雅各比矩陣-向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)）；記法：雅各比矩陣的轉(zhuǎn)置-向量值函數(shù)的梯度?！纠?-40】設(shè)向量值函數(shù) 求f (x)在點(diǎn)O(0,0)處的微分df (x).或（5）向量值函數(shù)運(yùn)算的微分（梯度）運(yùn)算法則加減、內(nèi)積、數(shù)乘（乘上數(shù)值函數(shù)）的微分： 注意：搞清這里面哪一個(gè)是矩陣，哪一個(gè)是向量。哪一個(gè)是行向量表示的，哪一個(gè)是列向量表示。 （6）復(fù)合映射的“導(dǎo)數(shù)”-鏈?zhǔn)椒▌t【例6-41】求n元復(fù)合函數(shù) y=f (Ax+b)的梯度，其中A是mn矩陣.【例6-42】設(shè)y=f (x)是n元函數(shù)，x是點(diǎn)x0的增量.求一元函數(shù) 的一階導(dǎo)數(shù) 和二階導(dǎo)數(shù)（7

39、）多元數(shù)值函數(shù)的海森（Hssian）矩陣注：類似于一元函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)對(duì)于判斷函數(shù)性質(zhì)具有重要意義一樣，海森矩陣也有著同樣的意義。但是情況要復(fù)雜一些。涉及二次型（或?qū)ΨQ矩陣?yán)碚摚?。注：這是對(duì)一個(gè)多元數(shù)值函數(shù)給出的定義。得到的矩陣稱為海森矩陣。二階偏導(dǎo)連續(xù)時(shí)，這個(gè)矩陣是對(duì)稱的。 4.多元數(shù)值函數(shù)泰勒展開式 同一元函數(shù)一樣，將一個(gè)多元超越函數(shù)用多元多項(xiàng)式函數(shù)近似，是極有意義的。但是，盡管可充分高階偏導(dǎo)的函數(shù)確實(shí)也能高次展開，但形式相當(dāng)繁復(fù)。一般來說，最常用來研究函數(shù)形態(tài)的，主要還是二階展開，所以這里也僅僅證明一、二階泰勒展開的結(jié)果。（1）一階展開。設(shè)函數(shù)在某定點(diǎn)鄰域內(nèi)二階可微則有【例6-43】設(shè)z=

40、z(x,y)是由方程 所確定的隱函數(shù)，且z(1,1)=2.求z(x,y)在點(diǎn)(1,1)處的帶有皮亞諾余項(xiàng)的二階泰勒公式.證明概述：設(shè)考察其拉格朗日型余項(xiàng)的一階展開式即可。同法可證（2）二階展開（皮阿諾余項(xiàng)）。設(shè)函數(shù)二階導(dǎo)連續(xù)則有接續(xù)【例6-43】解：對(duì)方程 z3-3xy=5 兩端求一階全微分，得于是有從而因?yàn)?z(1,1)=2，所以求 z (x,y) 的二階偏導(dǎo)數(shù)，易知由泰勒公式，得其中，第七節(jié)：多元函數(shù)的極值1.極值；2.最值；3.條件極值-拉格朗日乘數(shù)法。1.多元函數(shù)的極值（1）多元函數(shù)極值的相關(guān)定義-與一元函數(shù)基本一樣，唯一不同的是涉及到的鄰域是多維區(qū)域。在考察極值的時(shí)候，需要考慮得因素

41、更多一些。（2）多元函數(shù)取到極值的必要條件- 梯度為0（向量）的點(diǎn)，這樣的點(diǎn)也被稱為函數(shù)的駐點(diǎn)，極值點(diǎn)必必須是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不見得是極值點(diǎn)。（3）多元函數(shù)極值判定的充分條件 一個(gè)多元函數(shù)的海森矩陣，相當(dāng)于該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。假設(shè)函數(shù)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，利用二階泰勒展開式。對(duì)梯度為0的點(diǎn)可以依據(jù)海森矩陣的正定、負(fù)定判斷出所討論的駐點(diǎn)是否為極小值點(diǎn)或極大值點(diǎn)。 但是，在海森矩陣是半正定，伙半負(fù)定的情況下，則需要進(jìn)一步考察。沒有確定的結(jié)論。 如果海森矩陣是不定的對(duì)稱矩陣，則該駐點(diǎn)不是極值點(diǎn)?！纠?-44】求函數(shù) 的極值.【例6-45】求函數(shù) 的極值.考慮一下為什么？2.最值問題-與一元函數(shù)的情況一樣，對(duì)駐點(diǎn)

42、、可疑點(diǎn)以及邊界點(diǎn)的函數(shù)取值進(jìn)行比較。 但困難的是，多元函數(shù)定義域的邊界點(diǎn)，是無窮集。想要搞清楚邊界點(diǎn)處的情況，有時(shí)候比考慮內(nèi)部的情況困難的多。 不過很多實(shí)際問題，最值比較容易判斷。特別是僅有唯一駐點(diǎn)的時(shí)候?！纠?-46】求函數(shù) 在區(qū)域上的最大值和最小值.接續(xù)【例6-46】解：解方程組得駐點(diǎn)在D的邊界 上，函數(shù) z 可寫為一元函數(shù)求得它的駐點(diǎn)接續(xù)【例6-46】這樣共有9個(gè)“可疑點(diǎn)”：計(jì)算它們的函數(shù)值得比較它們的函數(shù)值，得最大值為最小值為 z (0,0)=0【例6-47】有一寬為24cm的長方形鐵板（圖6-7(a)），把它兩邊折起來做成一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？2

43、424-2xxx(a)(b)（圖6-7）接續(xù)【例6-47】即解：設(shè)折起來的邊長為 x cm，傾斜角為 (圖6-7(b)，則梯形斷面的下底長為24-2x，上底長為24-2x+2xcos ,高為 xsin ，所以斷面面積24-2xxx圖6-7(b)從而由于 上述方程組可化為解方程組，得 根據(jù)題意可知，斷面面積的最大值一定存在，而 是問題定義區(qū)域內(nèi)唯一的駐點(diǎn)，因此可以斷定，當(dāng)x=8cm， 時(shí)，就能使斷面的面積最大，其最大斷面面積是（3）條件極值-拉格朗日乘數(shù)法（i）幾個(gè)概念 無條件極值（自由極值）與條件極值；目標(biāo)函數(shù)與約束條件。（ii）拉格朗日乘數(shù)法 拉格朗日函數(shù)與拉格朗日乘子-及其記法多約束條件規(guī)

44、劃問題：設(shè)有規(guī)劃問題（單約束條件）：或簡記為稱為拉格朗日函數(shù)， 稱為拉格朗日乘子（乘數(shù)）。相對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)：（iii）求解方法與解法根據(jù)的簡單說明【例6-48】制作一個(gè)體積為V的無蓋長方體，問如何制造才能使用料最省.【例6-49】已知 ，試在球面 的第一卦限內(nèi)求一點(diǎn)，使 f (x,y,z)在此點(diǎn)取最大值.并由此證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,b,c，均有第八節(jié)：偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1.空間曲線的切線和法平面；2.空間曲面的切平面和法向量。1.空間曲線的切線與法平面（1）空間曲線切線的幾何定義（描述）-割線的極限位置-與平面曲線相同。（2）空間曲線切線的代數(shù)刻畫（i）參數(shù)曲線-割線方向向量的極限（參量趨近

45、于定點(diǎn)）-切線的代數(shù)表示（參數(shù)形式）。（ii）一般方程曲線-可以某一個(gè)主變量為參數(shù)。（注:這里要假設(shè)總有一個(gè)雅各比行列式不為0。）。 考察兩個(gè)曲面在交線上某一點(diǎn)處的法向量-對(duì)應(yīng)函數(shù)的梯度-的向量積是什么？參見下節(jié)。總有一個(gè)雅各比不為0，那么就還有-另一個(gè)思路：【例6-52】求曲線 在 t =1處的切線及法平面方程2.空間曲面的切平面與法向量（1）幾何描述 -曲面上所有過給定點(diǎn)的光滑曲線的切線所在的平面。（2）代數(shù)證明與求解 -將參數(shù)曲線代入曲面方程，對(duì)參變量求導(dǎo)，得到與曲線切線垂直的向量（曲面上任意過定點(diǎn)的曲線）。（3）空間曲線的法平面 -曲線切線的方向向量就是法平面的法向量?！纠?-54】求曲面 xy+yz